Формула работы идеального газа, а

Добрый день! Мы приступаем к изучению нового раздела физики под названием «Термодинамика». Это наука, описывающая тепловые явления без учёта молекулярного строения вещества – через макропараметры (объём, давление и температуру).

Для описания состояния вещества используют понятие внутренняя энергия. Это суммарная энергия составляющих его молекул. Мы уже встречали это понятие, когда изучали закон сохранения в механике. При неупругом столкновении механическая энергия не оставалась постоянной, часть энергии превращалась именно во внутреннюю энергию.

Приведу пример: 

Рис. 1. Движение шариков

После столкновения, так как шарики остановились, кинетическая энергия системы стала равна: .

Итак, энергия, потерянная системой (в данном случае была потеряна вся кинетическая энергия) перешла во внутреннюю энергию шариков. То есть молекулы или атомы, из которых состоит вещество, приобрели дополнительную кинетическую энергию, стали двигаться быстрее.

Помимо этого, с понятием внутренней энергии мы сталкивались в молекулярно-кинетической теории, когда вводили один из макропараметров – температуру. Температура является мерой внутренней энергии вещества. Если речь идёт об идеальном или разреженном реальном газах, мы можем пренебречь потенциальной энергией взаимодействия его частиц.

В этом случае температура будет пропорциональна средней кинетической энергии движения молекул. Почему средней? Потому что количество молекул в рассматриваемом количестве вещества, как правило, огромно. Нас не интересует энергия каждой отдельной молекулы, поэтому проводится статистическая обработка и используется средняя энергия.

Для плотных газов, жидкостей и твердых тел выразить внутреннюю энергию через макроскопические параметры значительно труднее.

В частности, внутренняя энергия газа при очень большой плотности может зависеть и от объема, так как при малых расстояниях между молекулами существенный вклад во внутреннюю энергию вносит потенциальная энергия взаимодействия между частицами.

• Итак, связь температуры и средней кинетической энергии для идеального и разреженного реального газов имеет следующий вид: .
• А внутренняя энергия таких газов будет равна суммарной кинетической энергии всех молекул. То есть произведению средней кинетической энергии молекул на их количество:
• Внутренняя энергия обычно обозначается большой латинской буквой U и измеряется в джоулях.

Выразим N через количество вещества: .

1. Произведение постоянной Больцмана и числа Авогадро называется универсальной газовой постоянной и обозначается большой латинской буквой R.
2. Таким образом, выражение для внутренней энергии одноатомного идеального или разреженного реального газов принимает следующий вид: .

Обратите внимание, что мы рассматривали именно одноатомный газ. Для идеального газа из молекул с двумя, тремя или большим числом атомов требуется учет кинетической энергии вращения молекул (их уже нельзя считать материальными точками), поэтому выражение для их внутренней энергии отличается от , но отличается только числовым коэффициентом.

Для двухатомного газа (например, , , CO и пр.) (рис. 2): .

Рис.2. Молекулы двухатомных газов

Для газа с тремя атомами и более (например, , ) (рис. 3):

Рис.3. Газ с тремя и более атомами

Чтобы изменить внутреннюю энергию вещества, нужно передать ему некоторое количество теплоты либо совершить над ним работу. Существует несколько видов теплопередачи – и с ними вы можете познакомиться в ответвлении.

Виды теплопередачи

Существует три вида теплопередачи.

1) Теплопроводность – это процесс переноса энергии от более нагретых частей тела к менее нагретым, осуществляемый хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т.п.). Простой пример – нагревание ложки в горячем чае.

2) Конвекция – вид теплопередачи, при котором внутренняя энергия передается струями или потоками жидкости, или газа. Пример: проветривание комнаты.

3) Излучение – процесс переноса энергии посредством электромагнитного излучения. Простой пример: солнечный свет. Количество переданной при теплообмене внутренней энергии называют количеством теплоты. Обычно ее обозначают Q и считают положительной, если тело принимает теплоту, и отрицательной, если отдает

Мы же сегодня подробнее остановимся на втором способе изменения внутренней энергии вещества – совершении работы.

При уменьшении объёма одноатомного газа в 3,6 раза его давление увеличилось на 20%. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия.

• Давайте порассуждаем:
• — формулу для нахождения внутренней энергии одноатомного газа мы знаем: ;
• — состояние газа в любой момент времени описывается уравнением Менделеева – Клапейрона.
• Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа для двух состояний. До уменьшения объёма и после.

1. Запишем выражения для внутренней энергии газа в этих состояниях:
2. Мы получили систему из 4 уравнений, решив которую мы сможем найти искомое соотношение: .
3. Пронаблюдать подробное решение системы вы можете в ответвлении.
4. Подробное решение системы
5. Выразим из первого уравнения температуру: .
6. И подставим её в третье уравнение: .
7. Аналогично выразим температуру из второго уравнения и подставим в четвёртое: .
8. Из условий задачи известно, что объём уменьшился в 3,6 раза, значит: .
9. Давление, согласно условиям, возросло на 20%, значит: .

Следовательно, внутренняя энергия газа уменьшилась в 3 раза. Задача решена

В механике работа силы определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения тела: .

(θ – угол между векторами силы и перемещения) (рис. 4).

Рис. 4. Угол между векторами силы и перемещения

Работа силы положительна, если вектор силы имеет положительную проекцию на перемещение (), и отрицательна, если эта проекция отрицательна (). Механическая работа меняет механическую энергию тела. В термодинамике то же самое.

К примеру, если газ двигает поршень, расширяясь, то у нас, как и в механике есть и сила, и перемещение.

Разница только в том, что при совершении работы в термодинамике меняется не кинетическая или потенциальная энергия газа как целого тела, а кинетическая энергия его молекул, то есть внутренняя энергия газа.

Поскольку внутренняя энергия газа есть не что иное, как кинетическая энергия составляющих его частиц, газ может сам совершать работу, например, при нагревании расширяясь и передвигая поршень.

Охлаждение газа, находящегося в неизменном объеме, наоборот, означает уменьшение энергии частиц и уменьшение давления на ограничивающую его поверхность.

Давайте найдем работу, которую совершит газ при изобарном расширении.

Пусть газ находится под подвижным поршнем. Он нагревается и расширяется, при этом поршень поднимается. Газ и до расширения, и после был под давлением атмосферы и давлением одного и того же поршня, то есть давление действительно не менялось и процесс изобарный (рис. 5).

Рис. 5. Газ до расширения и после

Работа по определению равна силе, умноженной на перемещение: .

Работу по перемещению поршня на высоту  выполняет сила, с которой газ действует на поршень. Эту силу можно выразить через параметр, который мы используем при описании состояния газа – давление. Давление, по определению, равно силе, деленной на площадь: . Тогда сила равна: .

Помня, что объем цилиндра – это площадь основания, умноженная на высоту, подставим в формулу для работы: .

В итоге формула для нахождения работы газа при изобарном процессе примет следующий вид: .

Это работа, которую выполнял газ (то есть выполняла сила, с которой газ действовал на поршень). По третьему закону Ньютона, эта сила по модулю равна силе, с которой поршень действовал на газ, и противоположна ей по направлению. Обозначим силу, действовавшую на газ: . Ее работа равна: .

Если  мы считали работой, которую совершил газ, то  – работа, совершенная над газом. Часто эти работы обозначают наоборот:  –  работа газа,  – работа над газом. Это не имеет принципиального значения, главное – условиться об обозначениях и в рамках задачи пользоваться именно ими.

Относительно работы, совершаемой газом, можно сделать общий вывод: при расширении газа работа, производимая газом, положительна, т.к. сила давления направлена в сторону перемещения (расширения) (рис. 6); при сжатии работа газа отрицательна, т.к.

При расширении сам газ совершает работу, поэтому теряет часть внутренней энергии.

Рис. 6. Расширение газа

Рис. 7. Сжатие газа

Геометрически формула  при некотором  дает площадь прямоугольника abcd на графике  (рис. 8).

Рис. 8. График зависимости давление от объема (изобарный процесс)

В общем случае давление не поддерживается постоянным. Например, в изотермическом процессе давление меняется обратно пропорционально объёму. Но и в этом случае работа газа  равна площади под кривой  (рис. 9).

Рис. 9. График зависимости давления от объема (изотермический процесс)

Эту площадь можно вычислить, разбив изменение объема на малые участки, вычислив площади малых полосок (похожих на прямоугольники) и просуммировав эти площади (рис. 10).

Рис. 10. Разбивка объема на малые участки

Процедура, смысл которой я описал, называется интегрированием. Её вы будете изучать на математике в 11 классе, поэтому сейчас я просто приведу готовую формулу для работы в изотермическом процессе: .

В изохорном процессе – объём остаётся постоянным, а значит, работа не совершается.

В вертикально расположенном цилиндре с площадью основания 1 дм2 под поршнем массой 10 кг скользящим без трения находится воздух. При изобарном нагревании воздуха поршень поднялся на 20 см. Какую работу совершил воздух, если наружное давление 100 кПа (рис. 11).

Рис. 11. Рисунок к задаче

• Давайте порассуждаем:
• — процесс изобарный. Работа при изобарном процессе находится по следующей формуле: ;
• — нам дана площадь основания цилиндра и расстояние, на которое поднялся поршень, значит, мы легко найдём изменение объёма: ;
• — чтобы найти давление газа под поршнем запишем условия равновесия поршня по первому закону Ньютона в любом из положений.
• Решение

Итак, запишем первый закон Ньютона для поршня. На него действует сила тяжести mg. Снизу давит газ с силой . Cверху давит атмосфера с силой

Все силы действуют вдоль одной вертикальной прямой, значит, нам будет достаточно одной координатной оси. Направим её вертикально вниз (рис. 12) и запишем первый закон Ньютона в проекциях: .

Рис. 12. Направление оси Ох

Вместе с выражением для работы, о котором я говорил в рассуждениях, . И вместе с выражением для изменения объёма: .

1. Математическая часть решения задачи
2. Выразим давление газа под поршнем из первого уравнения: .
3. Теперь подставим полученное выражение для давления газа, а также выражение для изменения объёма из третьего уравнения – во второе уравнение:
4. Остаётся подставить числа и посчитать ответ:

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

Домашнее задание

1. Что изучает термодинамика?
2. Запишите формулу для внутренней энергии одноатомного, двухатомного и трехатомного газа.
3. Что такое изохорный, изобарный и изотермический процессы? При каких из них меняется внутренняя энергия? При каких выполняется работа и чему она равна?

Список рекомендованной литературы

1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание – М.: Просвещение, 2010.
2. Касьянов В.А. Физика. 10 кл.: Профильный уровень. 13-е издание. – М.: 2013 – 432 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/osnovy-termodinamiki/vnutrennyaya-energiya-i-rabota-v-termodinamike

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

В термодинамике, в отличие от механики, рассматривается не движение тела как целого, а лишь относительное изменение частей термодинамической системы, в результате которого меняется ее объем.

Рассмотрим работу газа при изобарическом расширении.

Вычислим работу, совершаемую газом при его действии на поршень с силой ${F'}↖{→}$, равной по величине и противоположной по направлению силе ${F'}↖{→}$, действующей на газ со стороны поршня: ${F'}↖{→}=-{F'}↖{→}$ (согласно третьему закону Ньютона), $F'=pS$, где $p$ — давление газа, а $S$ — площадь поверхности поршня. Если перемещение поршня $∆h$ в результате расширения мало, то давление газа можно считать постоянным и работа газа равна:

$A'=F'∆h=pS∆h=p∆V$

Если газ расширяется, он совершает положительную работу, та к как перемещение поршня совпадает по направлению с силой ${F'}↖{→}$. Если газ сжимается, то работа газа отрицательна, поскольку перемещение поршня противоположно силе ${F'}↖{→}$. В формуле $A'=F'∆h=pS∆h=p∆V$ появится знак «минус»: $∆V < 0$, поскольку $∆h < 0$.

Работа внешних сил $А$, наоборот, положительна при сжатии газа и отрицательна при расширении:

$A=-A'=-p∆V$

Совершая над газом положительную работу, внешние тела передают ему часть своей энергии. При расширении газа внешние тела отбирают у газа часть его энергии — работа внешних сил отрицательна.

На графике зависимости давления от объема $р(V)$ работа определяется как площадь, ограниченная кривой $р(V)$, осью $V$ и отрезками $ab$ и $cd$, равными давлениям $р_1$ в начальном ($V_1$) и $р_2$ в конечном ($V_2$) состояниях, как для изобарного, так и для изотермического процессов.

Первый закон термодинамики

Первое начало (первый закон) термодинамики — это закон сохранения и превращения энергии для термодинамической системы.

Согласно первому началу термодинамики, работа может совершаться только за счет теплоты или какой-либо другой формы энергии. Следовательно, работу и количество теплоты измеряют в одних единицах — джоулях (как и энергию).

Первое начало термодинамики было сформулировано немецким ученым Ю. Л. Майером в 1842 г. и подтверждено экспериментально английским ученым Дж. Джоулем в 1843 г.

• Первый закон термодинамики формулируется так:
• Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе:
• $∆U=A+Q$
• где $∆U$ — изменение внутренней энергии, $А$ — работа внешних сил, $Q$ — количество теплоты, переданной системе.

Из $∆U=A+Q$ следует закон сохранения внутренней энергии. Если систему изолировать от внешних воздействий, $A=0$ и $Q=0$,а следовательно, $∆U=0$.

1. При любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее внутренняя энергия остается постоянной.
2. Если работу совершает система, а не внешние силы, то уравнение ($∆U=A+Q$) записывается в виде:
3. $Q=∆U+A'$
4. где $А'$ — работа, совершаемая системой ($А'=-А$).
5. Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

Первое начало термодинамики может быть сформулировано как невозможность существования вечного двигателя первого рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника, т. е. только за счет внутренней энергии.

Действительно, если к телу не поступает теплота ($Q=0$), то работа $А'$, согласно уравнению $Q=∆U+A'$, совершается только за счет убыли внутренней энергии $A'=-∆U$. После того, как запас энергии окажется исчерпанным, двигатель перестает работать.

Следует помнить, что как работа, так и количество теплоты являются характеристиками процесса изменения внутренней энергии, поэтому нельзя говорить, что в системе содержится определенное количество теплоты или работы. Система в любом состоянии обладает лишь определенной внутренней энергией.

Применение первого закона термодинамики к различным процессам

Рассмотрим применение первого закона термодинамики к различным термодинамическим процессам.

Изохорный процесс. Зависимость $р(Т)$ на термодинамической диаграмме изображается изохорой.

• Изохорный (изохорический) процесс — термодинмический процесс, происходящий в системе при постоянном объеме.
• Изохорный процесс можно осуществить в газах и жидкостях, заключенных в сосуд с постоянным объемом.
• При изохорном процессе объем газа не меняется ($∆V=0$), и, согласно первому началу термодинамики $Q=∆U+A'$,
• $∆U=Q$

т. е. изменение внутренней энергии равно количеству переданного тепла, т. к. работа ($A=p∆V=0$) газом не совершается.

Если газ нагревается, то $Q > 0$ и $∆U > 0$, его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении газа $Q < 0$ и $∆U < 0$, внутренняя энергия уменьшается.

1. Изотермический процесс графически изображается изотермой.
2. Изотермический процесс — это термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянной температуре.
3. Поскольку при изотермическом процессе внутренняя энергия газа не меняется ($T=const$), то все переданное газу количество теплоты идет на совершение работы:
4. $Q=A'$

При получении газом теплоты ($Q > 0$) он совершает положительную работу ($А' > 0$). Если газ отдает тепло окружающей среде, $Q < 0$ и $А' < 0$. В этом случае над газом совершается работа внешними силами. Для внешних сил работа положительна. Геометрически работа при изотермическом процессе определяется площадью под кривой $р(V)$.

• Изобарный процесс на термодинамической диаграмме изображается изобарой.
• Изобарный (изобарический) процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе с постоянным давлением $p$.
• Примером изобарного процесса является расширение газа в цилиндре со свободно ходящим нагруженным поршнем.
• При изобарном процессе согласно формуле $Q=∆U+A'$ передаваемое газу количество теплоты идет на изменение его внутренней энергии $∆U$ и на совершение им работы $A'$ при постоянном давлении:
• $Q=∆U+A'$
• Работа идеального газа определяется по графику зависимости $p(V)$ для изобарного процесса ($A'=p∆V$).
• Для идеального газа при изобарном процессе объем пропорционален температуре, в реальных газах часть теплоты расходуется на изменение средней энергии взаимодействия частиц.

Адиабатический процесс

Адиабатический процесс (адиабатный процесс) — это термодинамический процесс, происходящий в системе без теплообмена с окружающей средой ($Q=0$).

Адиабатическая изоляция системы приближенно достигается в сосудах Дьюара, в так называемых адиабатных оболочках. На адиабатически изолированную систему не оказывает влияния изменение температуры окружающих тел. Ее внутренняя энергия и может меняться только за счет работы, совершаемой внешними телами над системой, или самой системой.

1. Согласно первому началу термодинамики ($∆U=A+Q$), в адиабатной системе
2. $∆U=A$
3. где $А$ — работа внешних сил.
4. При адиабатном расширении газа $А < 0$.
5. Следовательно,
6. $∆U={i}/{2}·{m}/{M}R∆T < 0,$

что означает уменьшение температуры при адиабатном расширении. Оно приводит к тому, что давление газа уменьшается более резко, чем при изотермическом процессе.

На рисунке адиабата $1—2$, проходящая между двумя изотермами, наглядно иллюстрирует сказанное. Площадь под адиабатой численно равна работе, совершаемой газом при его адиабатическом расширении от объема $V_1$ до $V_2$.

Адиабатное сжатие приводит к повышению температуры газа, т. к. в результате упругих соударений молекул газа с поршнем их средняя кинетическая энергия возрастает, в отличие от расширения, когда она уменьшается (в первом случае скорости молекул газа увеличиваются, во втором — уменьшаются).

Резкое нагревание воздуха при адиабатическом сжатии используется в двигателях Дизеля.

Принцип действия тепловых двигателей

Тепловой двигатель — это устройство, преобразующее внутреннюю энергию топлива в механическую энергию.

Согласно второму началу термодинамики, тепловой двигатель может непрерывно совершать периодически повторяющуюся механическую работу за счет охлаждения окружающих тел, если он не только получает теплоту от более горячего тела (нагревателя), но при этом отдает теплоту менее нагретому телу (холодильнику). Следовательно, на совершение работы идет не все количество теплоты, полученное от нагревателя, а только часть ее.

Таким образом, основными элементами любого теплового двигателя являются:

1. рабочее тело (газ или пар), совершающее работу;
2. нагреватель, сообщающий энергию рабочему телу;
3. холодильник, поглощающий часть энергии от рабочего тела.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя

• Согласно закону сохранения энергии, работа, совершаемая двигателем, равна:
• $A'=|Q_1|-|Q_2|$
• где $Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя, $Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
• Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называется отношение работы $А'$, совершаемой двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя:
• $η={A'}/{|Q_1|}={|Q_1|-|Q_2|}/{|Q_1|}=1-{|Q_2|}/{|Q_1|}$
• Так как у всех двигателей некоторое количество теплоты передается холодильнику, то $η < 1$.

КПД теплового двигателя пропорционален разности температур нагревателя и холодильника. При $T_1 — T_2=0$ двигатель не может работать.

Цикл Карно

Цикл Карно — это круговой обратимый процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов.

Впервые этот процесс был рассмотрен французским инженером и ученым Н. Л. С. Карно в 1824 г. в книге «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу».

Целью исследований Карно было выяснение причин несовершенства тепловых машин того времени (они имели КПД $< 5%$)и поиски путей их усовершенствования.

Выбор двух изотермических и двух адиабатических процессов был обусловлен тем, что работа газа при изотермическом расширении совершается за счет внутренней энергии нагревателя, а при адиабатном процессе — за счет внутренней энергии расширяющегося газа. В этом цикле исключен контакт тел с разной температурой, следовательно, исключена теплопередача без совершения работы.

Цикл Карно — самый эффективный из всех возможных. Его КПД максимален.

На рисунке изображены термодинамические процессы цикла. В процессе изотермического расширения ($1-2$) при температуре $Т_1$ работа совершается за счет изменения внутренней энергии нагревателя, т. е. за счет подведения к газу количества теплоты $Q_1$:

$A_{12}=Q_1.$ Охлаждение газа перед сжатием ($3-4$) происходит при адиабатном расширении ($2-3$). Изменение внутренней энергии $∆U_{23}$ при адиабатном процессе ($Q=0$) полностью преобразуется в механическую работу:

1. $A_{23}=-∆U_{23}$
2. Температура газа в результате адиабатического расширения ($2-3$) понижается до температуры холодильника $Т_2 < Т_1$. В процессе ($3-4$) газ изотермически сжимается, передавая холодильнику количество теплоты $Q_2$:
3. $A_{34}=Q_2,$
4. Цикл завершается процессом адиабатического сжатия ($4—1$), при котором газ нагревается до температуры $Т_1$.
5. Максимальное значение КПД тепловых двигателей, работающих на идеальном газе, по циклу Карно:
6. $η={T_1-T_2}/{T_1}=1-{T_2}/{T_1}$

Суть формулы $η={T_1-T_2}/{T_1}=1-{T_2}/{T_1}$ выражена в доказанной С. Карно теореме о том, что КПД любого теплового двигателя не может превышать КПД цикла Карно, осуществляемого при той же температуре нагревателя и холодильника.

Источник: https://examer.ru/ege_po_fizike/teoriya/rabota_v_termodinamike

Работа в термодинамике

Работа в термодинамике.
В термодинамике движение тела как целого не рассматривается и речь идет о перемещении частей макроскопического тела относительно друг друга. При совершении работы меняется объем тела, а его скорость остается раной нулю. Носкорости молекул тела меняются! Поэтому меняется температура тела. Причина в том, что при столкновении с движущимся поршнем (сжатие газа) кинетическая энергия молекул изменяется — поршень отдает часть своей механической энергии. При столкновении с удаляющимся поршнем (расширение) скорости молекул уменьшаются, газ охлаждается. При совершении работы в термодинамике меняется состояние макроскопических тел: их объем и температура.
— сила, действующая на газ со стороны поршня. А — работа внешних сил по сжатию газа. — сила, действующая на поршень со стороны газа. А' — работа газа по расширению. = —  — по 3-ему з-ну Ньютона. Следовательно: А= — А' = pS, где p— давление, S — площадь поршня. Если газ расширяется: Δh=h2 — h1  — перемещение поршня. V1=Sh1; V2=Sh2.
Тогда: A'=F'Δh=pS(h2 — h1)=p(Sh2 — Sh1)=p(V2-V1)=pΔV
При расширении работа газа положительна. При сжатии — отрицательна. Таким образом: A' = pΔV     — работа газа A= — pΔV  — работа внешних сил.
Эти выражения справедливы при очень малых (!) изменениях объема или при постоянном давлении (т.е. в изобарном процессе)
Физический смысл универсальной газовой постоянной. — универсальная газовая постоянная численно равна работе 1 моля идеального газа при изобарном нагревании на 1 К.
Геометрическое истолкование работы.
В изобарном процессе площадь под графиком в координатах p,V численно равна работе (вспомните — перемещение на графике скорости!).
Например, в изотермическом процессе .
В изохорном процессе объем не меняется, следовательно, в изохорном процессе работа не совершается! В адиабатном процессе .

Источник: https://www.eduspb.com/node/1746

Изобарный процесс, связанные с ним уравнения и вывод формулы работы :

Изобарный процесс (также называемый изобарическим процессом) является одним из термодинамических процессов, которые происходят при постоянном показателе давления. Масса газа системы при этом также остается постоянной. Наглядное представление о графике, демонстрирующем изобарный процесс, дает термодинамическая диаграмма в соответствующей системе координат.

Примеры

Наиболее простым примером изобарического процесса можно назвать нагревание некоторого объема воды в открытом сосуде. В качестве еще одного примера можно привести расширение идеального газа в цилиндрическом объеме, где поршень имеет свободный ход. В каждом из этих случаев давление будет постоянным. Оно равно обыкновенному атмосферному давлению, что вполне очевидно.

Обратимость

Изобарный процесс можно считать обратимым в том случае, если давление в системе совпадает с внешним давлением и равно во все моменты времени процесса (то есть оно постоянно по своему значению), а температура изменяется очень медленно. Таким образом, термодинамическое равновесие в системе сохраняется в каждый момент времени. Именно совокупность вышеперечисленных факторов дает нам возможность считать изобарный процесс обратимым.

Чтобы осуществить в системе изобарический процесс, теплоту к ней нужно или подводить, или отводить. При этом теплота должна расходоваться на работу расширения идеального газа и на изменение его внутренней энергии.

Формулу, демонстрирующую зависимость величин друг от друга при изобарном процессе, называют законом Гей-Люссака. Она показывает, что объем пропорционален температуре.

Давайте выведем эту формулу на основании поверхностных знаний.

Вывод закона Гей-Люссака (первичное понимание)

Человек, хотя бы немного разбирающийся в молекулярной физике, знает, что многие задачи связаны с определенными параметрами. Имя им – давление газа, объем газа и температура газа. В тех или иных случаях в ход идут молекулярная и молярная масса, количество вещества, универсальная газовая постоянная и другие показатели. И здесь есть определенная связь. Давайте поговорим об универсальной газовой постоянной подробнее. На тот случай, если кто-то не знает, каким образом ее получили.

Получение универсальной газовой постоянной

Эту константу (постоянное число с определенной размерностью) принято также называть постоянной Менделеева. Она присутствует также в уравнении Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Как же получил наш знаменитый физик эту константу?

Как мы знаем, уравнение идеального газа имеет следующую форму: PV/T (что озвучивается так: “произведение давления на объем, деленное на температуру”).

По отношению к универсальной газовой постоянной применим так называемый закон Авогадро.

Он гласит о том, что если мы возьмем любой газ, то одинаковое его количество молей при одинаковой температуре и одинаковом давлении займет одинаковый объем.

По сути дела, это есть словесная формулировка уравнения состояния идеального газа, которое было записано в виде формулы немного ранее.

Если мы возьмем нормальные условия (а это когда температура газа равна 273,15 Кельвинов, давление равно 1 атмосфере, соответственно, 101325 Паскалей, а объем моля газа равен 22,4 литра) и подставим их в уравнение, все перемножим и разделим, то получим, что совокупность подобных действий дает нам численный показатель, равный 8,31. Размерность дается в Джоулях, деленных на произведение моля на Кельвин (Дж/моль*К).

Уравнение Менделеева-Клапейрона

Давайте возьмем уравнение состояния идеального газа и перепишем его в новом виде. Изначальное уравнение, напомним, имеет вид PV/T=R. А теперь умножим обе части на температурный показатель. Получим формулу PV(м)=RT. То есть произведение давления на объем равно произведению универсальной газовой постоянной на температуру.

Теперь умножим обе части уравнения на то или иное количество молей. Обозначим их количество буквой, скажем, X. Таким образом, получим следующую формулу: PV(м)X=XRT. Но ведь мы знаем, что произведение V с индексом “м” дает нам в результате просто объем V, а число молей X раскрывается в виде деления частной массы на молярную массу, то есть имеет вид m/M.

Таким образом, конечная формула будет выглядеть следующим образом: PV=MRT/m. Это и есть то самое уравнение Менделеева-Клапейрона, к которому пришли оба физика практически одновременно.

Мы можем умножить правую часть уравнения (и в то же время разделить) на число Авогадро. Тогда получим: PV = XN(a)RT/N(a).

Но ведь произведение количества молей на число Авогадро, то есть XN(a), дает нам не что иное, как общее число молекул газа, обозначаемое буквой N.

В то же время частное от универсальной газовой постоянной и числа Авогадро – R/N(a) даст постоянную Больцмана (обозначается k). В итоге мы получим еще одну формулу, но уже в несколько другом виде. Вот она: PV=NkT. Можно раскрыть эту формулу и получить следующий результат: NkT/V=P.

Работа газа при изобарном процессе

Как мы выяснили ранее, изобарным процессом называется термодинамический процесс, при котором давление остается величиной постоянной. А чтобы выяснить, как будет определяться работа при изобарном процессе, нам придется обратиться к первому началу термодинамики. Общая формула выглядит следующим образом: dQ = dU + dA, где dQ — это количество теплоты, dU – изменение внутренней энергии, а dA – работа, совершаемая в ходе выполнения термодинамического процесса.

Теперь рассмотрим конкретно изобарный процесс. Примем во внимание тот фактор, что давление остается постоянным. Теперь попытаемся переписать первое начало термодинамики для изобарного процесса: dQ = dU + pdV. Чтобы получить наглядное представление о процессе и работе, нужно изобразить его в системе координат.

Ось абсцисс обозначим p, ось ординат V. Пускай объем будет увеличиваться. В двух отличных друг от друга точках с соответствующим значением p (конечно же, фиксированным) отметим состояния, представляющие собой V1 (первоначальный объем) и V2 (конечный объем).

В этом случае график будет представлять собой прямую линию, параллельную оси абсцисс.

Найти работы в таком случае проще простого. Это будет просто площадь фигуры, ограниченная с двух сторон проекциями на ось абсцисс, а с третьей стороны – прямой линией, соединяющей точки, лежащие, соответственно, в начале и конце изобарной прямой. Попробуем вычислить значение работы при помощи интеграла.

Он будет вычисляться следующим образом: A = p (интеграл в пределах от V1 до V2) dV. Раскроем интеграл. Получим, что работа будет равна произведению давления на разность объемов. То есть выглядеть формула будет следующим образом: A = p (V2 – V1). Если мы раскроем некоторые величины, то получим еще одну формулу. Она выглядит так: A = xR (T2 – T2), где x – количество вещества.

Универсальная газовая постоянная и ее смысл

Можно сказать, что последнее выражение будет определять физический смысл R – универсальной газовой постоянной. Чтобы было понятнее, давайте обратимся к конкретным числам. Возьмем для проверки один моль какого-либо вещества. В то же время пускай температурная разница будет составлять 1 Кельвин. В этом случае легко заметить, что работа газа будет равна универсальной газовой постоянной (или же наоборот).

Заключение

Этот факт можно подать немного в другом свете, перефразировав формулировку.

Например, универсальная газовая постоянная будет численно равна работе, совершаемой при изобарном расширении одним молем идеального газа, если он нагревается на один Кельвин.

Вычислить работу при других изопроцессах будет несколько сложнее, но главное — при этом применять логику. Тогда все быстро встанет на свои места, и вывод формулы окажется проще, чем вы думаете.

Источник: https://www.syl.ru/article/205671/mod_izobarnyiy-protsess-svyazannyie-s-nim-uravneniya-i-vyivod-formulyi-rabotyi

11.2. Элементарная работа. Работа идеального газа при изопроцессах

Принято считать,
что если система совершает работу против
действия внешних сил, то эта работа
положительная.

Если внешние силы
совершают работу над системой, то работа
отрицательная.

Рассмотрим идеальный
газ, находящийся под поршнем в цилиндре
(рис. 11.6). Газ расширяется, и поршень
поднимается на бесконечно малую высоту
.
Силу,
действующую со стороны газа на поршень,
находим по формуле

где
– давление газа на поршень;– площадь поршня. Бесконечно малую
работу, совершаемую газом, можно найти
по формуле

Рис. 11.6

Элементарной
работой газа называется величина

• Это выражение
  остается справедливым для элементарной
  работы произвольной физически однородной
  и изотропной термодинамической системы
  в равновесном процессе.
• Работа
  A12
  термодинамической системы в равновесном
  процессе перехода из начального состояния
  с объёмом V1
  в конечное состояние с объёмом V2
  (работа в конечном процессе) вычисляется
  интегрированием.
• При конечном
  изменении объёма газа от доработа

Изобразим процесс
перехода системы из начального состояния
1
в конечное состояние 2,
построив график зависимости P(V).
Элементарная работа

png» width=»72″>
численно равна площади прямоугольника
с длинами сторон P
и dV.
Работа в конечном процессе, когда объём
изменяется от до

png» width=»27″>,
работа равна площади фигуры, ограниченной
отрезком

png» width=»60″>оси абсцисс, соответствующим этому
отрезку участком графика функцииP(V)
и проходящими через концы отрезка параллельными оси ординат прямыми.

Рис. 11.7

Работа – это мера изменения внутренней энергии системы в процессе совершения работы.Работа является функцией процесса, но не является функцией состояния.

Работа идеального газа при изопроцессах

I.
Рассмотрим изобарический процесс
(рис. 11.8).

При изобарическом процессе.
Если в результате этого процесса объём
газа изменился отдо,
то работа газа

Построим график
процесса в координатах .
Работаграфически выражается площадью
заштрихованного прямоугольника.

II. Рассмотрим
изохорический процесс (рис. 11.9).
При изохорическом процессе

png» width=»69″>и изменение объёма газаdV= 0
равно нулю. Следовательно, согласно
формулам (11.6) и (11.9) работа

png» width=»21″>газа при изохорическом процессе равна
нулю.

III.
Рассмотрим
изотермический процесс.
При изотермическом процессе и внутренняя энергия газа

Изменение внутренней
энергии ,
т.к..

1. Если в результате
   этого процесса объём газа изменился от
   до,
   то работа газа равна:.
2. Но здесь .
   Найдём давлениеиз уравнения Менделеева – Клапейрона:
3. .
4. Тогда

Итак, при
изотермическом процессе:

11.3. Первое начало термодинамики

Рассмотрим газ в
теплоизолированном цилиндре
(теплоизолированную термодинамическую
систему), рис.
11.11. Цилиндр
разделен жесткой теплопроводящей
перегородкой на два отсека CиD.

Объём отсека С
поддерживается постоянным, над этой
частью газа не может быть совершена
работа. Объём отсека D
может меняться при помощи подвижного
поршня.

За счет теплопроводящей
перегородки отсеки могут обмениваться
внутренней энергией.

Тогда

png» width=»185″>,
изменение внутренней энергии газа в
отсекеС
произошло за счет теплообмена без
совершения работы и равно количеству
теплоты Q,
полученному газом через жёсткую
перегородку. Обозначим

png» width=»104″>изменение внутренней энергии газа в
отсекеD.
Тогда получим: .
Это равенство является математическим
выражениемпервого
начала термодинамики.

Оно подразумевает, что полученное
термодинамической системой количество
теплоты Q
равно приращению её внутренней энергии
за вычетом работы над системой внешних
сил.

Если переход
системы из состояние 1
в состояние 2
является равновесным, то =
–A,
где А
– работа системы против внешних сил.
В таком случае

• Это выражение
  представляет собой интегральную форму
  записи первого начала термодинамики.
• Равенство
  подразумевает, что полученное
  термодинамической системой в равновесном
  процессе количество теплоты Q
  идет на приращение его внутренней
  энергии и совершение работы над внешними телами.
• Для бесконечно
  малого (элементарного) равновесного
  процесса уравнение принимает вид:

Это выражение
представляет собой дифференциальную форму записи первого начала термодинамики.

Таким образом,
первое начало термодинамики является
фундаментальным постулатом, утверждающим
собой закон сохранения энергии. Оно
устанавливает закон взаимопревращения
теплоты, энергии и работы. За всю историю
развития науки не обнаружено опытных
фактов, которые противоречили бы этому
постулату.

Дифференциальная
форма записи закона подчеркивает важные
свойства теплоты, энергии и работы.
Обратим на это внимание.

Внутренняя энергия
термодинамической системы (или тела) –
это сумма всех видов энергии (энергии
теплового движения атомов или молекул,
потенциальная энергия их взаимодействия
и т.п.), заключающихся в данной системе,
за исключением энергии, которой система
обладает в результате взаимодействия
с другими телами. Внутреннюю энергию
можно изменить двумя способами.

1.
Газ находится под поршнем. Вдвигая
поршень, совершаем работу. Газ
сжимается и нагревается, его внутренняя
энергия изменяется. Совершение работы
– первый способ изменения внутренней
энергии тела.

2. Но можно изменить
внутреннюю энергию тела и другим
способом, не совершая работы А,
а только подводя к телу тепло. Газ
находится под поршнем. Пусть поршень
закреплён. При подведении тепла к газу,
его внутренняя энергия меняется.

Подведение
некоторого количества теплоты – второй
способ изменения внутренней энергии
тела. Но тогда теплота и работа должны
быть эквивалентными формами передачи
энергии.

Теплота – тоже
способ передачи энергии.

Внутренняя энергия
является функцией состояния системы
(или тела, если система состоит из одного
тела).

Это означает, чтооднозначно определяется термодинамическим
состоянием тела, т.е.

каждому состоянию
тела соответствует одно значение.

Если тело в состоянии
1
имеет энергию ,
а в состоянии2
– энергию

png» width=»28″>,
то изменение энергиине зависит от того, каким путём совершается
переход из одного состояния в другое.
Следовательно, бесконечно малое изменение

png» width=»31″>внутренней энергии является полным
дифференциалом (11.13).

Количества теплоты
и работы зависят от пути перехода системы
из начального в конечное состояние, они
не являются функциями состояния системы,
их бесконечно малые изменения ине являются полными дифференциалами,
что подчёркивается в записи этих величин
в формуле (11.13).

В
СИ количество теплоты, энергия и работа
измеряются в джоулях (Дж).

Источник: https://studfile.net/preview/4242245/page:37/