Задача  Д.8. Уравнение Лагранжа второго рода (2 степени свободы)

(Методические  указания)

 

Пример решения задачи

Голономная механическая система (рис. 178) состоит из твердых тел (1 – 4) и нерастяжимой нити между телами 1 и 3. Система движется под действием сил  и . Обобщенные координаты x1, x2 показаны на чертеже. Заданы следующие величины: m1 = 4 кг; m2 = 8 кгm3 = 2 кг; m4 = 6 кг – массы тел; F1 = 10 Н; F2 = 40 Н – действующие силы. Диск 1 и цилиндры 4 катятся без скольжения. Определить ускорение центра масс тела 1 и тела 2.

 

Решение

На рис. 178 показываем скорости всех тел, входящих в систему, выражая их через обобщенные скорости  и  .

Рис. 178

 

Вычисляем кинетическую энергию системы.

.

Тело 1 совершает плоское движение, поэтому

.

Абсолютная скорость , угловая скорость ,  -  момент инерции тела 1.

Тогда          ;

.

Тело 2 совершает поступательное движение, поэтому

 

.

 

Тело 3 совершает плоское движение, поэтому

.

При   и  ,  находим

; .

Тело 4 совершает плоское движение, поэтому для однородных цилиндров кинетическая энергия

.

При  , получаем  .

.

Окончательно запишем значение кинетической энергии системы в следующем виде:

.

Для обобщенных координат x1  и  x2 запишем уравнения Лагранжа второго рода:

;

.

 

Кинетическая энергия  - функция только обобщенных скоростей, поэтому

 

.

 Частные производные по обобщенным скоростям  и :

 

;        .

 

Полученные выражения дифференцируем по времени:

 

;        .

 

На схеме рис. 177 показываем возможные перемещения центров масс тел 1 и 2.

Вычисляем обобщенные силы.

Обобщенная сила , при этом d x1 ¹ 0, d x2 = 0.

, тогда  .

Обобщенная сила  ,  при этом  d x2 ¹ 0, d x1 = 0.

. Тогда  .

При  (относительное ускорение тела 1) и  , окончательно запишем систему двух алгебраических уравнений:

Определитель коэффициентов при неизвестных a1 и   a2

 

.

 

;       .

 

Тогда  м/с2;          м/с2.

 

Окончательный ответ: a1 = 2,7 м/с2;      a2 = 2,2 м/с2.