Формула потенциальной энергии

Потенциальная энергия.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей тела.Потенциальная энергия (от латинского potentia — возможность) определяется взаимным расположением тел или частей  тела, т.е. расстояниями между ними.
Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей. Работа силы тяжести.
Пусть тело свободно падает с высоты h1 над уровнем Земли на уровень h2. Тогда: При падении сила тяжести совершает положительную работу, при движении тела вверх — отрицательную. Величину  Eз = mgh называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.
Т.о.   A = — (Ep2 — Ep1) = —ΔEp Работа сила тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. Т.е., если потенциальная энергия увеличивается (тело поднимается), то сила тяжести совершает отрицательную работу и наоборот.	Eз = mgh A = — (Ep2 — Ep1) = —ΔEp
Т.к. потенциальная энергия определяется координатой, то величина потенциальной энергии определяется выбором системы координат (выбором нулевого уровня). Т.е. она определяется с точностью до постоянной величины.  В данной задаче удобно за точку отсчета выбирать уровень Земли.
Если тело движется под углом к направлению вектора силы тяжести, то, как видно из рисунка, работа силы тяжести  независимо от траектории определяется изменением положения тела (на рис. — высотой наклонной плоскости h). Если тело движется по произвольной траектории, то ее можно представить в виде суммы горизонтальных участков, на которых работа силы тяжести равна нулю, и вертикальных, на которых суммарная работа будет равна А=mgh. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т.к. потенциальная энергия не меняется.
Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством  гравитационных сил.
Знак «-» говорит о том, что это энергия притягивающихся тел. При сближении тел потенциальная энергия увеличивается по модулю.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Работа силы упругости.
Для вывода формулы используем, что работа численной равна площади под графиком зависимости силы от координаты. При малых упругих деформациях сила упругости прямо пропорциональна абсолютной деформации (з-н Гука) — см. рис. Тогда работа при изменении деформации от  х1 до х2 равна: .
Т.о., если принять за потенциальную энергию упруго деформированного тела величину , где k — коэффициент жесткости, а  х — абсолютная деформация тела, то можно сделать вывод , что , т.е. работа силы при деформации тела равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятой с обратным знаком.
Работа силы упругости зависит только от координат (начальной и конечной деформаций) тела и, следовательно, не зависит от траектории. Работа по замкнутой траектории равна нулю.
Консервативные силы. Консервативными (сохраняющими) наз. силы, работа которых не зависит от траектории и по замкнутой траектории равна нулю (эти силы не зависят от скоростей). Примеры: гравитационные, упругие.
Диссипативные силы Диссипативными (рассеивающими) наз. силы, работа которых зависит от траектории и по замкнутой траектории не равна нулю (такие силы зависят от скорости). Пример: сила трения.

Источник: https://www.eduspb.com/node/1735

Потенциальная энергия пружины и кинетическая – что это, какая формула?

Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий.

В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса).

Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.

Потенциальная энергия пружины

• Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:
• Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),
• где Еп– потенциальная энергия положения, Дж; F – сила, действующая на тело, Н; l – величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

1. 
2. Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:
3. Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G – вес тела, Н; m – масса тела, кг; g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

• Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:
• F = K ⋅ x, Н,
• где k – модуль упругости, Н/м; х – перемещение при сжатии, м.

1. Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .
2. При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:
3. dEп = k ⋅ x ⋅ dx
4. здесь dEп – элементарная работа, Дж; dx – элементарное приращение сжатия, Н.
5. Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:
6. 
7. Пределами интегрирования является интервал от до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям
8. Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:
9. 

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.

• На основании изложенного сформулировано положение:
• 
• где Ек – кинетическая энергия, Дж.

Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.

Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.

Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Ек.

В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.

Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.

Кинетическая энергия

1. Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:
2. 
3. здесь v – скорость движения тела, м/с.
4. 
5. Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.
6. Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.
7. 
8. Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.
9. Двигаясь с высоты h, он набирает скорость

• 
• Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия

Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.

Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.

Использование энергии пружины на практике

Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.

Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.

В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).

Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.

1. Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.
2. Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.

Источник: https://metmastanki.ru/energiya-pruzhiny

Формула потенциальной энергии

Определение

Потенциальной энергией называют часть механической энергии совокупности тел (тела), которая зависит от взаимного расположения частей системы (конфигурации) и положения во внешнем поле сил.

Потенциальная энергия определяется работой, совершаемой потенциальными силами, которые действуют на все части системы, если система переходит из исследуемой конфигурации к состоянию, в котором считают потенциальную энергию равной нулю.

А именно работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Начало отсчета потенциальной энергии делают произвольно. Эмпирически представляется возможным измерение только изменения потенциальной энергии.

Начало отсчета потенциальной энергии делают так, чтобы упрощалось решение конкретной задачи.

Потенциальную энергию системы (Ep) можно разделить на внешнюю: (Epvnesh) и внутреннюю потенциальные
энергии Epvnesh . Тогда:

где Epvnesh получается как результат воздействия на систему со стороны тел, которые в рассматриваемую систему не входят.
Epvnutr – вызвана взаимодействием разных частей составляющих систему.

Epvnutr является функцией координат всех материальных точек системы;
Epvnesh помимо координат может в явном виде зависеть от времени.

Выражения для потенциальной энергии

Потенциальная энергия материальной точки находящейся в потенциальном поле сил определяют формулой:

где Y – силовая функция, C – постоянная интегрирования.

• где или
  – оператор Гамильтона (оператор набла).
• В случае нестационарных консервативных сил потенциальная энергия материальной точки является функцией координат и
  времени (Ep=Ep(x,y,z,t)).
• Внутренняя потенциальная энергия системы – алгебраическая сумма потенциальных энергий (Ep(ik))взаимодействия всех пар точек системы:

где ,
–потенциальные силы с которыми взаимодействуют
i–я и k-я точки системы. Если тело является твёрдым, то Epvnutr=const, тогда считают, что:

Частные случаи формул для потенциальной энергии

1. Потенциальная энергия упруго деформированного в случае линейного растяжения тела наx равна:
2. где k – коэффициент упругости.
3. Потенциальная энергия точки в поле гравитации Земли:

где m – масса материальной точки, M – масса Земли, R – радиус Земли. G – гравитационная постоянная.
При этом полагают, что при
потенциальная энергия равна нулю .

• Потенциальная энергия тела поднятого над Землей на расстояние много меньшее, чем радиус Земли равна:
• где m – масса тела, g- ускорение свободного падения, h — высота поднятия тела ( от некоторого условно нулевого уровня,
  где потенциальная энергия считается равной нулю).

Единицы измерения потенциальной энергии

Основной единицей измерения кинетической энергии (как и любого другого вида энергии) в системе СИ служит Дж (джоуль), в системе СГС – эрг. При этом: 1 дж = 107 эрг.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка перемещается в положительном направлении оси X (x>0)в поле консервативных сил, потенциальная энергия которых задана графиком (рис.1). Как изменится в процессе движения модуль ускорения?

Решение. Исходя из графика на рис.1 можно записать уравнение, которое свяжет потенциальную энергию и координату материальной точки в ходе перемещения:

1. где A – некоторая постоянная.
2. В качестве основы для решения задачи используем формулу, связывающую консервативную силы и потенциальную энергию:
3. Для движения по оси X, которое представлено в нашей задаче выражение (1.2) примет вид:

Соответственно (1.1) и (1.3) модуль силы, действующей на материальную точку равен:

• По второму закону Ньютона модуль силы может быть найден как:
• Значит, получим выражение для ускорения рассматриваемой материальной точки:

Ответ. Из полученного выражения для ускорения материально точки в заданном поле можно сделать вывод, что ускорение по модулю не изменяется.

Пример

Задание. Какую работу совершают над материальной точкой силы поля, если частица переходит из точки имеющей координаты (1;1;1) в точку с координатами (2;2;2). При этом потенциальная энергия частицы задана функцией: . Учтите, что потенциальная энергия задана в Дж, а координаты в метрах.

1. Решение. Потенциальная энергия определяется работой, совершаемой потенциальными силами, а именно работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:
2. Используя условия задачи, найдем Ep1 и Ep2:
3. Получаем:
4. (Дж)
5. Ответ. (Дж)

Читать дальше: Формула силы притяжения.

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_21_6_potencialnaja_jenergija.php

Потенциальная энергия — урок. Физика, 7 класс

Энергия характеризует способность тела совершать работу. Натянутая тетива лука, сжатая пружина, поднятый с земли камень, сжатый газ при определённых условиях могут совершать работу.

Потенциальной энергией обладают:  

1. Тела, поднятые над поверхностью земли (например, камень при падении с высоты образует на земле воронку). 

2. Упруго деформированные тела (например, человек натягивает тетиву лука и выпускает стрелу). 

3. Сжатые газы (расстояние между молекулами газа уменьшается, и увеличивается сила отталкивания между ними). 

Слово «потенциальный» (potentia) на греческом языке означает «возможность».

Огромной потенциальной энергией обладают воды водопада. Потенциальная энергия воды совпадает с работой силы притяжения Земли.

Потенциальная энергия накапливается в водах рек. Сила притяжения Земли производит работу, заставляя реки течь в более низко расположенное место — в море. Человек научился полезно использовать потенциальную энергию рек. В древние времена строили водяные мельницы, а с (20) века — гидроэлектростанции (ГЭС).

Гидроэлектростанция в Итайпу, находящаяся на границе между Бразилией и Парагваем на реке Парана, на сегодня является крупнейшим действующим сооружением такого рода в мире. У её плотины (через которую протекает вода) имеются шлюзы, состоящие из (14) ворот, через которые за секунду проходит (62200) кубометров воды.

Потенциальную энергию тела, поднятого над опорой на высоту (h), рассчитывают по формуле:

Epot=mgh , где m — масса тела, а g — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Потенциальную энергию тела измеряют относительно некоторого условного уровня отсчёта, чаще всего относительно поверхности Земли. В таком случае принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

Обрати внимание!

Тело одновременно может обладать и потенциальной, и кинетической энергией, и они могут переходить одна в другую.

Человек, качающийся на качелях, обладает максимальной потенциальной энергией в наивысшей точке подъёма, в этой точке качели на мгновение замирают и, значит, в этот момент кинетическая энергия человека равна нулю.

При движении из состояния (1) в состояние (2), потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая растёт (так как высота тела над уровнем земли уменьшается, а скорость движения тела возрастает).

Когда человек находится в самой нижней точке траектории движения (2), кинетическая энергия является наибольшей, так как в этот его момент скорость самая высокая. При движении из состояния (2) в состояние (3), увеличивается потенциальная энергия (так как увеличивается высота подъёма тела), а кинетическая энергия уменьшается (так как скорость движения тела уменьшается).

В замкнутой системе сумма кинетической и потенциальной энергии в любой момент времени остаётся неизменной.

Сумма потенциальной и кинетической энергии тела называется полной механической энергией тела.

Привязанный отвес на высоте (h) обладает максимальной потенциальной энергией, а кинетическая энергия (энергия движения) в это время равна (0).

Когда верёвку перерезают, отвес начинает свободно падать, высота уменьшается, а скорость увеличивается (с ускорением (g)), соответственно, потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия возрастает.

В каждый момент времени, до момента соударения, сумма потенциальной и кинетической энергии отвеса одинакова.

В момент соударения энергия отвеса не исчезает, она передаётся другому телу — гвоздю, который под воздействием этой энергии начинает движение, уходя глубже в брус. Некоторая часть энергии преобразуется во внутреннюю — тепловую энергию (так как отвес при соударении нагревается).

Любое тело обладает внутренней энергией, которая не связана с движением тела.

Внутреннюю энергию образует движение атомов и молекул тела.

Например, в результате удара частички начинают двигаться интенсивнее — это проявляется в виде нагрева тела. При сжатии пружины изменяется потенциальная энергия частиц.

Натянутая резинка обладает потенциальной энергией, причиной этого является взаимное притяжение молекул.

Закон сохранения энергии:энергия не исчезает и не возникает снова, она только преобразуется из одного вида энергии в другой вид энергии или переходит от одного тела к другому.

Полная энергия тела — это сумма его механической и внутренней энергии.

Полная энергия тела ↗↖ Механическая энергия                Внутренняя энергия ↗↖↗↖ Тела Eпот   Тела Eкин     Частиц Eпот   Частиц Eкин

Источник: https://www.yaklass.ru/p/fizika/7-klass/rabota-i-moshchnost-energiia-11875/energiia-12347/re-34eba070-fdda-465e-89a4-2692ae8c4608

Потенциальная энергия, ее определение, виды и формулы

Энергия, говоря простым языком, это возможность что-либо сделать, возможность совершить работу. То есть, если какое-либо тело может совершить какую-либо работу, то про это тело можно сказать, что оно обладает энергией.

По сути, энергия — это мера различных форм движения и взаимодействия материи, а её изменение происходит при совершении некоторой работы. Таким образом, совершённая работа всегда равна изменению какой-либо энергии.

А значит, рассматривая вопрос о совершённой телом работе, мы неизбежно приходим к изменению какого-либо вида энергии.

Вспомним также и тот факт, что работа совершается только в том случае, когда тело под действием некоторой силы движется, и при этом сама работа определяется как скалярное произведение вектора этой силы и вектора перемещения, то есть А = F*s*cosa, где а — угол между вектором силы и вектором перемещения. Это нам пригодится в дальнейшем для вывода формул различных видов энергии.

Энергию, связанную с взаимодействием тел, называют ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ. Иначе говоря, если тело за счёт взаимодействия с другим телом может совершить некоторую работу, то оно будет обладать потенциальной энергией, и при совершении работы будет происходить изменение этой энергии. Обозначают механическую потенциальную энергию чаще всего — Еп.

Виды потенциальной энергии

Существуют различные виды потенциальной энергии.

К примеру, любое тело на Земле находится в гравитационном взаимодействии с Землёй, а значит обладает потенциальной энергией гравитационного взаимодействия.

И ещё пример — витки растянутой или сжатой пружины находятся в упругом взаимодействии друг с другом, а значит сжатая или растянутая пружина будет обладать потенциальной энергией упругого взаимодействия.

Далее мы рассмотрим только виды механической потенциальной энергии и формулы, по которым их можно рассчитать. Но в дальнейшем вы узнаете и о других видах потенциальной энергии — к примеру, о потенциальной энергии электрического взаимодействия заряженных тел, о потенциальной энергии взаимодействия электрона с атомным ядром.

Знакомьтесь: наш мир. Физика всего на свете.

Книга адресована школьникам старших классов, студентам, преподавателям и учителям физики, а также всем тем, кто хочет понять, что происходит в мире вокруг нас, и воспитать в себе научный взгляд на все многообразие явлений природы. Каждый раздел книги представляет собой, по сути, набор физических задач, решая которые читатель укрепит свое понимание физических законов и научится применять их в практически интересных случаях.

Купить

Формулы потенциальной энергии

Перед тем как приступить к выводу формул потенциальной энергии, ещё раз вспомним, что совершённая телом или над телом работа равна изменению его энергии.

При этом, если само тело совершает работу, то его энергия уменьшается, а если над телом совершают работу, то его энергия увеличивается.

Также, если вы открываете дверь, растягивая пружину, то вы сообщаете пружине потенциальную энергию упругого взаимодействия, но если потом дверь закрывается, благодаря сжатию пружины в начальное состояние, то и энергия упругой деформации пружины уменьшается до нуля.

• А) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, рассмотрим, какую работу совершает тело, двигаясь под действием силы тяжести:
• А = F*s = mg*s = mg*(h1 — h2) = mgh1 — mgh2 = Eп1 — Еп2, то есть, мы получили, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела с Землёй может быть вычислена по формуле: Еп = mgh.
• Здесь важно отметить, что поверхность Земли принимается за начало отсчёта высоты, то есть для тела, находящегося на поверхности Земли Еп = 0, для тела, поднятого над Землёй Еп > 0, а для тела, находящегося в яме глубиной h, Еп < 0.

Отметим также и то, что в формуле работы отсутсвовал cosa. Это не случайно. Ведь если тело движется по сложной траектории, то, какой бы сложной она ни была, её можно разбить на множество вертикальных и горизонтальных участков.

Но на горизонтальных участках работа силы тяжести будет равна нулю, так как угол между силой тяжести и перемещением будет прямым, а значит работа будет совершаться только на вертикальных участках траектории, для которых cosa = 1 или cosa = −1.

Тогда можно сделать ещё один важный вывод — работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а только от расположения начальной и конечной точки. А это не случайность — это свойство любых сил, сообщающих телам потенциальную энергию. Такие силы называют потенциальными и сила тяжести — одна из них. К потенциальным силам относится и сила упругости.

1. Б) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии упругой деформации, рассмотрим, какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину, изменив её длину на х (х = l — l0):
2. А = –Fупр(ср.)*s,
3. Во-первых, знак минус в формуле стоит потому, что угол между силой упругости и перемещением свободного конца пружины равен 180 градусов и cosa = −1.
4. Во-вторых, возникающая при растяжении пружины сила упругости является переменной силой, в отличие от силы тяжести, поэтому в формуле работы стоит средняя сила упругости. При этом величина силы упругости, в соответствии с законом Гука, прямо пропорциональна изменению длины пружины, а значит её среднее значение можно определить так:

Fупр(ср.) = (Fупр(нач.) + Fупр(конеч.))/2

И так как Fупр(нач.) = 0, а Fупр(конеч.) = kх, то:

• А = —kх*s/2
• Но s = x, поэтому: А = —kx2/2 = 0 — kх2/2 = Еп1 — Еп2.
• В итоге, мы получили формулу потенциальной энергии упругой деформации: Еп = kx2/2.

Методические советы учителям

1. 1) Обязательно обратите внимание учащихся на связь энергии и работы.
2. 2) Не давайте учащимся формулы потенциальной энергии без вывода.
3. 3) Обратите внимание учащихся на то, что оба вида потенциальной энергии зависят от выбора начальной точки, то есть от системы координат.
4. 4) При выводе формул потенциальной энергии обязательно поясните учащимся почему отсутствует cosa в формуле работы.
5. 5) Отметьте, что и работа силы тяжести, и работа силы упругости не зависят от формы траектории и, следовательно равны нулю на замкнутой траектории — это общее и важное свойство всех потенциальных сил.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/potentsialnaya-energiya/

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия наравне с кинетической энергией является одним из ключевых понятий физики. Понимание ее сути существенно облегчает решение ряда прикладных задач и позволяет прийти к важнейшему закону природы – закону сохранения энергии

Находясь в поле консервативных сил, тело обладает, энергией, которая может быть затрачена на совершение работы (перемещение тела). Ее называют потенциальной, и зависит она только от конфигурации системы, то есть от положения тела относительно источника силы.

Рассмотрим перемещение тела в поле силы тяжести (которая является консервативной и центральной). Работа для этого перемещения находится по формуле:

$A=FS=mgS$.

При достаточно малом S силу тяжести с определенной точностью можно считать постоянной. Если перемещение происходит по вертикали, то $S=h_2 – h_1$. Если тело скатывается по наклонной поверхности, то перемещение равно $lcos varphi$. Но это произведение равно высоте, на которую опустилось тело. То есть работа в поле тяжести определяется только начальным и конечным положением тела. Поэтому:

$A = mgh_2 – mgh_1$.

Рис. 1. Работа в поле тяжести.

Произведение силы тяжести на высоту называют потенциальной энергией тела в поле тяжести. В данном случае $mgh_1$ принято за потенциальную энергию нулевой точки.

Так как нулевая точка выбирается произвольно, значение потенциальной энергии в любой точке определяется с точностью до константы. В строгом виде формула потенциальной энергии будет такой: $V = mgh + C$.

В физическом смысле С – часть потенциальной энергии, которая запасена телом в нулевой точке. Если рассматривать разность потенциальных энергий относительного одного и того же нулевого уровня, то константы сокращаются. Поэтому определение абсолютного значения потенциальной энергии чаще всего не нужно.

Рис. 2. Потенциальная энергия в нулевой точке.

Рассмотрим пружинный маятник, а точку х=0 будем считать нулем. Работа по перемещению груза, прикрепленного к пружине, определяется формулой: $A= int_0^x kxdx = {1 over 2}kx^2$, где kx – сила упругости.

В общем случае работа – всегда интеграл.

Выражение ${1 over 2}kx^2$ называют потенциальной энергией упругой деформации, и зависит оно только от положения груза относительно нулевой точки и не зависит от периода изменения.

Рис. 3. Изменение энергии пружинного маятника.

Для обоих рассмотренных случаев (работа в поле силы тяжести и работа упругой деформации) общим является одно: если тело, начав движение в начальной точке, в конце концов вернулось в нее же, то общая работа равна нулю.

По этому правилу легко проверить, консервативная сила или нет. К консервативным, помимо упомянутых, относится также сила кулоновского взаимодействия.

• Альпинист массой 70 кг находится в штурмовом лагере, на высоте 5200 метров. Высота вершины – 6100. Найти его потенциальную энергию в каждой точке, приняв за нулевую точку уровень моря. Найти работу против силы тяжести, которую совершит альпинист, совершив переход от штурмового лагеря до вершины.

• Решение первой задачи
• В нулевой точке потенциальная энергия принимается равной нулю. Тогда в штурмовом лагере потенциальная энергия альпиниста относительного нулевого уровня равна:
• $V_1 = mgh_1 = 70g5200 = 3640 кДж$
• А на вершине:
• $V_2 = mgh_2 = 70g6100 = 4270 кДж$
• Работа же равна разности минимальной потенциальной энергии и максимальной:
• $A = mgh_2 – mgh_1 = 4270 – 3640 = 630 кДж$

• Деформация пружины маятника равна 5 см, жесткость пружины равна 100 Н/м. Найти потенциальную энергию груза в момент, когда деформация максимальная.

1. Решение второй задачи
2. Предполагая, что в х=0 потенциальная энергия равна нулю, запишем:
3. $V= {1 over 2}kx^2 = {{100 cdot 0,0025} over 2} = 0,125 Дж$ – потенциальная энергия в точке максимальной деформации.

В ходе урока было выяснено, что такое потенциальная энергия в общем случае (функция, зависящая от координат), рассмотрены потенциальные энергии в поле тяжести и при упругих деформациях и выведены формулы расчета. В закрепление материала были приведены примеры решения двух простых задач на разные виды потенциальной энергии.

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 36.

Источник: https://obrazovaka.ru/fizika/potencialnaya-energiya-formula-primery.html

Беседа 4. Потенциальная энергия

Коллега, о потенциальной энергии, пожалуйста, поподробнее.Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.

• Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).
• Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.
• Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?

Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):

«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля…».

Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.

Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть – объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м3). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр.

136 читаем (дословно):

«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».

Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.

Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее – давление, Дж/м3 или Н/м2).

Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом – напряженностью поля.

Если потенциальную энергию (WП, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v2 = WП/m, Дж/кг) или электрический (U = WП/q, Дж/Кл) потенциалы.

Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:

— для гравитационного поля: g = – grad v2;

— для электрического: E = – grad U (о знаке речь пойдет ниже).

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.

С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.

Дополнение: Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = – grad v2. Помножив эти два параметра на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (WП = mv2). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = – grad W).

Аналогично для электрического поля: напряженность электрического поля E = – grad U, сила F = qE, потенциальная энергия WП = qU. Значит, и здесь F = – grad W.Уравнение F = – grad W показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.

Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?

Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с2) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.

ДАВЛЕНИЕ измеряется в Н/м2 или в Дж/м3. Здесь тоже более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает нам на ОБЪЁМНУЮ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ (Дж/м3).

ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м2/с2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м2/с2) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.

1. И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.
2. WП = mgh, Дж,
3. Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.

Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:- упрощенный (приближенный) – для однородного поля;- общий (истинный) – для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:где g – напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h – вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.Более того, для математиков он является практически единственным. Причина в том, что в математике потенциальная энергия определяется через свои производные и в этом случае непосредственный смысл имеет только разность её значений, ибо абсолютное значение потенциальной энергии после интегрирования включает некоторую произвольную постоянную. Поэтому математики выбирают нулевое значение потенциальной энергии произвольно (чаще всего — у поверхности Земли), хотя реально она имеет это значение только на границе поля.К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).Здесь рассматривается:- уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);- и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии: — уравнение (25.6) W(U) = – GMm/r в первом источнике и — уравнение W(Ur) = – GMm/r – во втором.Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:- в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;- во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = – GMm/r.И действительно, свободно падающее к центру поля тело теряет свою потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния (r) между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния – увеличивается.

Учитывая, что в уже известном нам уравнении WП = – GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до… нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.

Вывод: потенциальная энергия для всех материальных частиц отрицательна.

Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v2 = WП/m = – GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.

Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.

Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы…

Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения (кинетическая энергия) частиц в кипящей воде и в паре.

Дополнение: Тем, кто не может проверить это утверждение с помощью термометра, можно открыть раздел «Кипение» в БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и прочесть (даю дословно): «Температура, при которой происходит кипение жидкости, находящейся под постоянным давлением, называется температурой кипения, которая соответствует температуре насыщенного пара (температуре насыщения) над плоской поверхностью кипящей жидкости».

Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия (потенциальную энергию) частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.

Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.

И здесь Вы совершенно правы. Для физиков проблем с пониманием сути и знака потенциальной энергии нет, ибо они гравитационное поле, в том числе и поле тяготения Земли, считают НЕОДНОРОДНЫМ. Для физиков напряженность гравитационного поля изменяется с расстоянием в квадрате: g = Gm/r2.

Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh.

Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое. Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.

Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?

В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:«Векторное поле называется однородным, если А(Р) — постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az — постоянные величины.

Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».

Теперь и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.

На главную

Источник: https://vip46.livejournal.com/1790.html