Сходимость интегралов, формулы и примеры

Содержание

Некоторые приемы исследования интегралов на сходимость (примеры)

. Доказать сходимость интеграла Эйлера Заметим, что подынтегральная функция пробегает значения от –1 до 1 и не имеет предела при x → ∞. Интегрируя по частям, получаем

Сходимость интегралов, формулы и примеры

(1)

Учитывая предельное соотношение заключаем, что интеграл в правой части уравнения (1) является собственным, а первый член равен нулю: Сходимость интегралов, формулы и примеры Таким образом, рассматриваемый интеграл представлен в виде собственного интеграла

(2)

что доказывет его сходимость.

***

. Чтобы доказать сходимость интеграла выполним подстановку Тогда

(3)

Полученный интеграл сходится.

***

. Аналогично устанавливается сходимость интеграла Действительно, представим этот интеграл в виде

(4)

где A — конечное положительное число. Первый член в правой части этого равенства представляет собой собственный интеграл. Преобразуем второе слагаемое, выполнив подстановку

(5)

Полученный интеграл сходится.

***

. Покажем, что интеграл сходится, если функция g(x) монотонно стремится к нулю при x → +∞ Представим интеграл в виде . Поскольку то условия теоремы выполняются и данный интеграл сходится.

Источник: http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/14/10_e1.htm

Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

Эта статья находится в разработке!
Пусть $ z = f(x, y), quad x ge a, y in [c; d] $.
Считаем, что f непрерывна в этой полосе.
$ F(y) = intlimits_a^{infty} f(x, y) dx $ — является несобственным интегралом, зависящим от параметра y.
Если считать, что для некоторого $ y_0 in [c; d] $, $ intlimits_a^{infty} f(x, y_0) dx $ — сходится, то $ intlimits_A^{infty} f(x, y_0) dx xrightarrow[A o + infty]{} 0 $, или $ forall varepsilon > 0 exists A_0(y_0): forall A > A_0(y_0) Rightarrow |intlimits_A^{infty} f(x, y_0) dx | < varepsilon $
Для исключения зависимости $ A_0 $ от $ y_0 $, вводится понятие для равномерной сходимости.
$ forall varepsilon > 0 : exists A_0 : forall A > A_0 , forall y_0 in [c; d] Rightarrow | intlimits_A^{infty} f(x, y_0) dx | < varepsilon $.
Прослеживается аналогия с функциональными рядами:
$ forall varepsilon > 0 : exists N : forall n > N , forall x in E : | sumlimits_{m = n}^{infty} f_m(x) | < varepsilon $

Сопоставляем два определения, видим $ m leftrightarrow x $, $ x leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов[править]

Теорема (Вейерштрасс, Признак равномерной сходимости несобственных интегралов):

Пусть $

Доказательство:

[math] riangleright[/math]

$ B > A: left

[math] riangleleft[/math]

Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра[править]

Базируясь на условии равномерной сходимости, докажем те же три свойства, что и для определенных интегралов.
Считаем далее, что интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.

Непрерывность[править]

$ F(y) = intlimits_a^{infty} f(x, y) dx stackrel{?}{Rightarrow} (F(y + Delta{y}) — F(y)) xrightarrow[Delta y o 0]{} 0 $ (доказываем непрерывность F(y)).

Доказательство ведем по аналогии с рядами.

В силу равномерной сходимости:

$ forall varepsilon > 0: exists A_0: forall A ge A_0: left| intlimits_A^{infty} f(x, y) dx
ight| < varepsilon, forall y in [c; d] $. $A = A_0$ — частный случай.

$ | F(y + Delta y) — F(y) | = left| intlimits_a^{infty} f(x, y + Delta y) dx — intlimits_a^{infty} f(x, y) dx
ight| $
По аддитивности интеграла:
$ |F(y + Delta y) — F(y)| le \ le left| intlimits_a^{A_0} f(x, y + Delta y) dx — intlimits_a^{A_0} f(x, y) dx
ight| + left| intlimits_{A_0}^{infty} f(x, y + Delta y) dx
ight| + left| intlimits_{A_0}^{infty} f(x, y) dx
ight| $ — последние два слагаемых $ le varepsilon $ по выбору $ A_0 $.
$ |Delta F(y) | le left| intlimits_a^{A_0} f(x, y + Delta y) dx — intlimits_a^{A_0} f(x, y) dx
ight| + 2 varepsilon $.
$ intlimits_a^{A_0} f(x, y) dx $ — определенный интеграл, зависящий от параметра — его величина неперывно зависит от $ y $.
Для нашего $ varepsilon: exists delta > 0: | Delta y | < delta $, следовательно, $ left| intlimits_a^{A_0} f(x, y + Delta y) dx — intlimits_a^{A_0} f(x, y) dx ight| $ окажется меньше $ varepsilon $ по непрерывности.
$ | Delta y | < delta Rightarrow | Delta F(y) | < 3 varepsilon $, что и требовалось доказать.

Повторное интегрирование.[править]

Установим формулу повторного интегрирования . Логика действия другая, из-за рассмотрения несобственных интегралов.

Надо установить формулу:
$ intlimits_c^d dy intlimits_a^{infty} f(x, y) dx = intlimits_a^{infty} dx intlimits_c^d f(x,y) dy $
В условиях непрерывности f на полосе и равномерной сходимости интегралов при $ A > a $, верна формула
$ intlimits_a^A dx intlimits_c^d f(x, y) dy = intlimits_c^d dy intlimits_a^A f(x, y) dx $.
В силу предыдущего параграфа:
$ intlimits_c^d dy intlimits_a^{infty} f(x, y) dx = intlimits_c^d dy left( intlimits_a^A f(x, y) dx + intlimits_A^{infty} f(x, y) dx
ight) = \
= intlimits_c^d dy intlimits_a^A f(x, y) dx + intlimits_c^d dy intlimits_A^{infty} f(x, y) dx = \
= intlimits_a^A dx intlimits_c^d f(x, y) dy + intlimits_c^d dy intlimits_A^{infty} f(x, y) dx = $
Отметим, что интегралы существуют по пункту 1 (непрерывность F по y).
$ forall varepsilon > 0 $, по равномерной сходимости $ exists A_0 : forall A > A_0, forall y in [c; d]: left| intlimits_A^{infty} f(x, y) dx
ight|le varepsilon $
Значит, $ left| intlimits_c^d dy intlimits_A^{infty} f(x, y) dy
ight| le intlimits_c^d varepsilon dy = (d — c) varepsilon $, то есть сколь угодно мал.
$ left| intlimits_c^d dy intlimits_a^{infty} f(x, y) dx — intlimits_a^A dx intlimits_c^d f(x, y) dy
ight| le (d — c) varepsilon quad forall A ge A_0 $
В силу произвольности $ varepsilon $:
$ intlimits_a^A dx intlimits_c^d f(x, y) dy xrightarrow[A o infty]{} intlimits_c^d dy intlimits_a^{infty} f(x, y) dx $.
По определению несобственного интеграла, формула верна.
Замечание: можно поставить вопрос:
$ intlimits_a^{infty} dy intlimits_c^{infty} f(x, y) dx = intlimits_c^{infty} dx intlimits_a^{infty} f(x, y) dy $ — решается, как правило, намного труднее.
В ряде частных случаев, ответ будет положительным.
Если $ f(x, y) $ — непрерывна, $ x ge a, y ge c $, считаем, что $ f(x, y) ge 0 $, то можно утверждать, что это действительно выполняется(упражнение средней сложности).
В теории интеграла Лебега будет доказана знаменитая теорема Фубини, полностью решающая этот вопрос, но уже на языке интеграла Лебега.

Формула Лейбница[править]

Предположим непрерывность $ frac{partial f}{partial y} $.
$ intlimits_a^{infty} frac{partial f}{partial y} (x, y) dx $ — равномерно сходится, $ intlimits_a^{infty} f(x, c) dx $ — сходится.
Тогда: $ left( intlimits_a^{infty} f(x, y) dx
ight)' = left( intlimits_a^{infty} frac{partial f}{partial y} (x, y) dx
ight) $ — это и есть формула Лейбница, которую мы хотим доказать.
Доказываем по аналогии с функциональными рядами.
$ g(y) = intlimits_a^{infty} frac{partial f}{partial y} (x, y) dx $ — непрерывна в силу равномерной сходимости интеграла.
Значит, ее можно интегрировать.
$ intlimits_c^y g(t) dt = intlimits_c^y dt intlimits_a^{infty} frac{partial f}{partial y} (x, t) dx $.
По предыдущему пункту, меняем порядок интегрирования.
$ intlimits_c^y g(t) dt = intlimits_a^{infty} dx intlimits_c^y frac{partial f}{partial y} (x, t) dt $
$ intlimits_c^y frac{partial f}{partial y} (x, t) dt = f(x, y) — f(x, c) $ — по формуле Ньютона — Лейбница.
$ intlimits_c^y g(t) dt = intlimits_a^{infty} (f(x, y) — f(x, c)) dx $
Интеграл для c — сходящийся, интеграл от разности — сходящийся, поэтому:
$ intlimits_c^y g(t) dt = intlimits_a^{infty} f(x, y) dx — intlimits_a^{infty} f(x, c) dx $
Интеграл слева по теореме Барроу дифференциируем по верхнему пределу — продифференциируем обе части по y.
$ g(y) = left( intlimits_c^{y} g(t) dt
ight)' = left( intlimits_a^{infty} f(x, y) dx
ight)' $, но $ g(y) = intlimits_a^{infty} frac{partial f}{partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.

Бета- и Гамма-функции Эйлера[править]

На базе этой достаточно элементарной теории можно определить и исследовать две важных функции в анализе — $B$ и $Gamma$ — функции Эйлера.
Полагаем:
$ B (a, b) = intlimits_0^1 x^{a — 1} (1 — x)^{b — 1} dx $
$ Gamma (a) = intlimits_0^{infty} x^{a — 1} e^{-x} dx $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.

Гамма-функция[править]

Гамма-функция связана с обобщением факториала на $ mathbb{R} $.

Поставим задачу: продолжить $ f(n) = n! $ на $ mathbb{R}_+ $ так, чтобы $ f in mathbb{C}^{infty} (mathbb{R}_+) $(бесконечно дифференцируема) и $ f(n) = n! $.

Эта задача решается Гамма-функцией.
Легко убедиться, что $ Gamma(n + 1) = n! $:
$ Gamma (n + 1) = intlimits_0^{infty} x^n e^{-x} = — intlimits_0^{infty} x^n d(e^{-x}) = \ = -x^n e^{-x} |_0^{infty} + n intlimits_0^{infty} x^{n — 1} e^{-x} = n Gamma(n) = dots = n! Gamma(1) $
$ Gamma(1) = intlimits_0^{infty} e^{-x} dx = 1 $
Что касается $ f in mathbb{C}^{infty}(mathbb{R}_+) $, применяем развитую нами теорию.
$ Gamma'(a) = int_0^{infty} frac{partial}{partial a} (x^{a — 1} e^{-x}) dx = int_0^{infty} ln x x^{a-1} e^{-x} dx $
Требуется проверить равномерную сходимость интеграла от частной производной.

Ввиду локальности дифференцирования, можно проверить равномерную сходимость в малом отрезке $ [a — Delta; a + Delta] $, с помощью признака Вейерштрасса(также проверить отдельно в 0 и в $ infty $). TODO: Проделать в качестве упражнения.

Аналогично, при двойном дифференцировании получаются равномерно сходящиеся интегралы и т.д.

$ Gamma(a) = intlimits_0^{infty} underbrace{ln^2 x x^{a — 1} e^{-x}}_{>0} dx Rightarrow Gamma(a) > 0 $

$ Gamma $ — выпукла вниз, $ Gamma' $ растет.

При этом, $ Gamma(1) = 1, Gamma(2) = 1 $. По теореме Ролля, для $ c in (1; 2), Gamma'(c) = 0 $. Но $ f' $ растет, следовательно, такая точка будет только одна, и в точке $ c $ будет минимум.

Очевидно, что $ Gamma(a) xrightarrow[a o + 0] {} {+ infty }$, $ Gamma(a) xrightarrow[a o + infty] {} {+ infty} $.
Можно писать аналогичные формулы, приведенные для Бета-функции, а также связь бета- и гамма-функции с помощью формулы Эйлера:
$ B(a, b) = frac{Gamma(a) Gamma(b)}{Gamma(a + b_)} $ — Фихтенгольц, том 2.

Источник: https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2,_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%8F%D1%89%D0%B8%D1%85_%D0%BE%D1%82_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0

§1. Несобственные интегралы 1-го рода

– 68–

Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В
теме «Определенный интеграл» было
рассмотрено понятие определенного
интеграла для случая конечного промежутка

png» width=»41″>и ограниченной функции(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся
обобщением этого понятия для случаев
бесконечного промежутка и неограниченной
функции.

Необходимость такого обобщения
показывают, например, такие ситуации.

1.
Если, используя формулу для длины дуги,
попытаться вычислить длину четверти
окружности ,,
то придем к интегралу от неограниченной
функции:

, где .

2.
Пусть тело массой
движется
по инерции в среде с силой сопротивления
,
где— скорость тела.

Используя второй закон
Ньютона (,
гдеускорение),
получим уравнение:,
где

png» width=»58″>.
Нетрудно показать, что решением этого
(дифференциального!) уравнения является
функция
Если
нам потребуется вычислить путь, пройденный
телом до полной остановки, т.е. до момента,
когда

png» width=»59″>,
то придем к интегралу по бесконечному
промежутку:

I Определение

Пусть
функция определена и непрерывна на промежутке.

Тогда для любогоона интегрируема на промежутке

png» width=»45″>,
то есть существует интеграл.

Определение
1.
Конечный или бесконечный предел этого
интеграла при называют несобственным интегралом 1-го
рода от функциипо промежутку

lUlz/img-oUEHis.png» width=»59″>и обозначают символом.
При этом, если указанный предел конечен,
то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае (

png» width=»57″>или не существует ) – расходящимся.

Итак,
по определению

(1)

Примеры

Несобственный
интеграл из примера 1 сходится, в примерах
2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пусть
— некоторая первообразная для функции(сущест-вует на,
т.к.— непрерывна). Тогда

Отсюда
ясно, что сходимость несобственного
интеграла (1) равносильна существованию
конечного предела.
Если этот предел обозначить,
то можно написать для интеграла (1)
формулу Ньютона-Лейбница:
,
где .
Примеры.

Теперь
можем найти интеграл , учитывая,
что
:
.
III Свойства
Приведем
ряд свойств несобственного интеграла
(1), которые вытекают из общих свойств
пределов и определенного интеграла:

интегралы исходятся или расходятся одновременно;
если , то интегралыисходятся или рас-ходятся одновременно;
если интеграл сходится, то.

IV
Другие определения
Определение
2.
Если непрерывна
на ,
то
.
Определение
3.
Если непрерывна
на,
то принимают по определению
(–
произвольное),
причем
несобственный интеграл в левой части
сходится, если только оба ин-теграла в
правой части сходятся.
Для
этих интегралов, как и для интеграла
(1) можно написать соответствующие
формулы Ньютона – Лейбница.
Пример
7.
§2. Признаки сходимости несобственного
интеграла 1-го рода
Чаще
всего несобственный интеграл вычислить
по определению не-возможно, поэтому
используют приближенное равенство
(для
больших ).

Однако,
это соотношение имеет смысл лишь для
сходящихся интегралов. Необходимо иметь
методы выяснения поведения интеграла
минуя определение.

I Интегралы от положительных функций

Пусть

на
.
Тогда определенный интеграл как функция верхнего предела есть
функция возрастаю-щая (это следует из
общих свойств определенного интеграла).

Теорема
1.
Несобственный интеграл 1го
рода от неотрицательной функ-ции сходится
тогда и только тогда, когда функция
остается
ограниченной при увеличении.

Эта
теорема – следствие общих свойств
монотонных функций. Практического
смысла теорема почти не имеет, но
позволяет получить т.н. признаки
сходимости.

Теорема
2
(1-й признак сравнения). Пусть функции
и

png» width=»41″>непре-рывны наи удовлетворяют неравенству

png» width=»107″>.
Тогда:

1)
если интеграл сходится, то исходится;

2)
если интеграл расходится, то ирасходится.

Доказательство.
Обозначим: и.
Так как

png» width=»85″>,
то.
Пусть интеграл

png» width=»80″>сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция‒ ограничена. Но тогда и

png» width=»48″>ограничена,
а значит, интегралтоже сходится. Аналогично доказывается
и вторая часть теоремы.

Этот
признак не применим в случае расходимости
интеграла от или сходимости интеграла от.
Этот недостаток отсутствует у 2-го
признака сравнения.

Теорема
3
(2-й признак сравнения). Пусть функции инепрерывны и неотрицательны на.

Тогда, еслипри,
то несобственные интегралыи

png» width=»80″>сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.
Из условия теоремы получим такую цепочку
равно-сильных утверждений:
,
,
.

Применим
теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим
утверждение теоремы 3.
В
качестве эталонной функции, с которой
сравнивают данную, высту-пает степенная
функция ,.
Предлагаем студентам самим доказать,
что интеграл
сходится
при и расходится при.

Примеры.
1.
.

, .

Интеграл
сходится, ибо.
По 2-му признаку сравнения сходится и
интеграл,
а в силу свойства 2) из §1 сходится и
исход-ный интеграл.

Так
как ,
тоcуществует
такое, что при.
Для таких значений переменной:

Известно,
что логарифмическая функция растет
медленнее степенной, т.е.

а
значит, начиная с некоторого значения
переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

Интеграл
сходится как эталонный. В силу 1-го
признака сравнения сходится и

png» width=»82″>.
Применяя 2-й признак, получим, что и
интегралсходится.

И снова свойство 2) из §1
доказывает сходимость исходного
интеграла.

Источник: https://studfile.net/preview/5684092/