Свойства квадрата, с примерами

Магический квадрат – квадратная таблица, заполненная натуральными числами, в которой сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Магический квадрат родом из Древнего Китая. По легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) однажды из реки Хуанхэ выплыла громадная черепаха, на панцире которой был начертан таинственный узор.

Со временем узор превратился в знаменитый план «девяти квадратов «. Каждый квадрат ассоциируется с направлением и содержит число. Это называется «диаграммой ло-шу», или «первоначальным планом» и является основой школы Блуждающих или Летящих Звезд в искусстве фэн-шуй. Интересный аспект плана девяти квадратов заключается в том, что вы можете сложить любые три числа по прямой линии – вверх, вниз, поперек или по диагонали – и всегда получите в сумме число 15.  

 Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел.

Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. 

Для квадрата 3-го порядка S = 15

Для квадрата 4-го порядка S = 34

Для квадрата 5-го порядка S = 65

Cвойства магических квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Свойство 3. Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, …, а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15 + 66

Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

Постников М.М. Магические квадраты

Источник: https://ozenok.net/help/magich_kvadrat.html

Характеристическое свойство фигуры. характеристические свойства прямоугольника, ромба, квадрата. | социальная сеть работников образования

• Подготовила
• Ученица 7 «В» класса
• Шлянина Екатернина
• Руководитель:
• Атабиева М.И
• учитель математики
• ЦЕЛИ ПРОЕКТА:

Познакомиться с характеристическим свойством фигуры. Характеристическими свойствами прямоугольника, ромба, квадрата.

1. ЗАДАЧИ:
2. Рассмотреть характеристические свойства этих фигур.
3. ОГЛАВЛЕНИЕ:

• Многоугольники
• Характеристическое свойство фигуры
• Прямоугольник
• Ромб  
• Квадрат
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия-одна из самых древнейших наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землетрясение» («гео»-по-гречески земля, «метрео»-мерить).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.

Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. 

Многоуго́льником  называется геометрическая фигура, состоящая из n(n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник — это замкнутая ломаная линия. Существуют три различных варианта определения:

• Плоские замкнутые ломаные;
• Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
• Части плоскости, ограниченные ломаными.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам)евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° — прямоугольников не существует.

РОМБ

Ромб (греч. ρομβος) — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

• КВАДРАТ
• Квадра́т — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
• Свойства

• Квадрат может быть определён как 

• прямоугольник, у которого две смежные стороны равны
• ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).

• Пусть t — сторона квадрата, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Тогда 

• Радиус вписанной окружности квадрата равен: 

• Радиус описанной окружности квадрата равен: 

1. ,
2. ,
3. S = t2 = 2R2 = 4r2.

• Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет 

• одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2018/11/15/harakteristicheskoe-svoystvo-figury

Квадратный корень. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

• Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )
• А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «квадратный корень».
• К примеру, перед нами уравнение  .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом  ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ:   и   (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ  

Давай разберемся с корнем до конца…

СОДЕРЖАНИЕ

Введение понятия арифметического квадратного корня​  Свойства арифметического квадратного корня Извлечение корней из больших чисел Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Введение понятия арифметического квадратного корня​

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .  .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что «квадратным корнем из числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

1. А из   следует, что  .
2. Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.
3. В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .
4. Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
5. Итак, вкратце на примере, нужно ли ставить «плюс-минус» (этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это):
6. Пусть есть две ситуации:
7. 1)  
8. 2)  
9. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет   (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня  
10. Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.
11. А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

• Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .
• Таким образом,  .
• Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

1. Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.
2. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.
3. То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.
4. Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

• Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
• Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:
• Ответы:
• Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
• Ответы:

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Свойство	Пример
Корень произведения равен произведению корней:
Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:  , если
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:  , при

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

1. Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
2. Начнем с простенького:
3. Минуууточку.

     это  , а это значит, что мы можем записать вот так:

4. Усвоил? Вот тебе следующий:
5. Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Теперь полностью самостоятельно:

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

• С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
• Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
•  , если  .
• А значит это, что корень из частного равен частному корней.
• Ну что, давай разбираться на примерах:
• Вот и вся наука. А вот такой пример:
• Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
• А что, если попадется такое выражение:
• Надо просто применить формулу в обратном направлении:
• А вот такой примерчик:
• Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

1. Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?
2. Ну, конечно,  !
3. Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

• Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
• Забыл?
• Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.
• Вот, к примеру, такое выражение:
• В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
• С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

А вот и ответы:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко! 

Допустим, у нас записано число  

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из  !

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

  Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример —   Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если  , значит,  .

Отсюда твердо делаем вывод, что  . И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

1. Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
2. Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
3. А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

Вот и все, не так все и страшно, правда?

Получилось  ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать   на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на   (вспоминаем признаки делимости):

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

Ну что, получилось  ? Молодец, все верно!

Подведем итоги

1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .  .
2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
3. Свойства арифметического корня:
   
   

   Свойство	Пример
   Корень произведения равен произведению корней , если
   Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя. , если
   Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при

4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в х и удачи на экзаменах!

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

• Стать учеником YouClever,
• Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
• А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/kvadratnyj-koren-1

Квадрат числа: интересное свойство

Всем привет!

Практически все знают, что такое квадрат числа. Это число во второй степени. Или, другими словами, это число, умноженное само на себя. Это очень просто. Сегодня же я хочу показать Вам одно интересное свойство квадрата любого натурального числа. Большинство математиков скажут, что это очевидно. Но для остальных, не работающих каждый день с числами, это, думаю, покажется интересным фактом.

Что ж, сначала я напишу Вам формулировку этого свойства, затем докажу его. Звучит оно так: квадрат любого натурального числа n есть сумма n первых нечётных чисел.

Чтобы проще это было понять, приведу пару примеров. 1. 5²=25. А теперь сложим 5 первых нечётных чисел: 1+3+5+7+9=25 — для числа 5 работает. 2. 11²=121.

Сложим 11 первых нечётных чисел: 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121. Тоже работает.

Свойство квадрата числа

Для меня лично это было открытием! А сейчас я Вам докажу, что это справедливо для любого натурального числа. Доказательство очень простое. В одной из предыдущих статей я рассказывал Вам об арифметических прогрессиях.

Для доказательства свойства очень пригодится формула нахождения суммы членов арифметической прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём по этой формуле сумму n первых нечётных чисел. Первый член прогрессии равен единице, разность прогрессии равна двум (разность между двумя последовательными нечётными числами всегда равна двум). Подставив эти данные в формулу, получим:

Доказательство свойства

Вот так всё просто. То есть, на самом деле, это интересное свойство применимо к абсолютно любому натуральному числу. А ещё мне очень нравится геометрическое представление данного свойства. Оно очень наглядно демонстрирует, что добавляя следующее нечётное число, получается новый квадрат со стороной, на один больше предыдущего:

Геометрическое представление свойства

Казалось бы, что такого интересного может быть в простом ряду квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …? Оказывается, даже в таком простом наборе скрывается интересная закономерность. Вот за что я люблю математику! Что-то мистическое кроется в самом обыкновенном!

Надеюсь, Вам понравилась статья. Спасибо, что прочитали! Буду рад Вашим лайкам, м и подпискам.

Предыдущая статья

Следующая статья

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c3a0c0975ce4600a97cd95a/5caa4dedaeacde00ae23531b

Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры, свойства корней n й степени

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах.

1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b — число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·b при возведениив квадрат.

По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/korni/svojstva-kornej/

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Примеры:

• 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним. 112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 1122 = (100 + 12)2
• Воспользуемся формулой квадрата суммы: 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не равно (a2 + b2)

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2 Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a3».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться: (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3 не равно a3 + b3

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение: (a2− ab + b2) Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

• Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
• Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
• Примеры:

• a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffsu%2Fshort_multiplication_formula.php

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру с равными сторонами и углами. Об этом большинство из нас знают еще со школы. А вот какими свойствами он обладает и как вычисляются его площадь и периметр, помнят, к сожалению, не все.

Поэтому в данной статье речь пойдет о том, что такое квадрат, более подробно.

Основное определение и свойства квадрата

Итак, квадрат представляет собой правильный четырехугольник (прямоугольник), обладающий равными сторонами и углами.

Прямоугольник является параллелограммом, следовательно, квадрат также следует считать параллелограммом. Кроме того, учитывая, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, он является и ромбом.

Таким образом, можно сделать вывод, что квадрат обладает некоторыми свойствами как ромба, так и прямоугольника.

Каковы же свойства квадрата? Во-первых, у него все углы являются прямыми, а диагонали и стороны такого прямоугольника равны друг другу. Во-вторых, диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и выступают биссектрисами углов четырехугольника. В точке пересечения они делятся пополам.

Как вычислить периметр и площадь квадрата

Для вычисления площади и периметра квадрата необходимо знать значение одной стороны данного прямоугольника либо диагонали.

Поскольку стороны у него имеют одинаковую длину, то для того чтобы узнать периметр квадрата, следует умножить значение стороны на 4 или просто сложить все 4 стороны: полученная сумма и является периметром. К примеру, длина одной стороны вашего квадрата 5 см.

Следовательно, 5 нужно умножить на 4 (5 х 4 = 20) или же сложить все стороны: 5+5+5+5 = 20. Это самый простой способ вычисления.

Это означает, что если длина диагонали у вашего квадрата 10 см, то следует из 2 вывести корень (что будет равно приблизительно 1,4) и умножить на 2, затем на длину. Таким образом, 1,4 х 2 х 10 = 28 см (если округлить).

То есть периметр квадрата с диагональю 10 см будет равен около 28 см.

Для вычисления площади квадрата используется простой метод: следует возвести в квадрат длину одной стороны. Так, если она составляет 4 см, то следует 4 умножить на 4. Получается, что площадь квадрата со стороной 4 см равна 16 см.

Также можно узнать площадь, если знать длину диагонали. Ее необходимо возвести в квадрат, но затем разделить на 2. Так, если диагональ равна 6 см, то 6 х 6 = 36, затем 36 : 2 = 18. Площадь квадрата с диагональю 6 см равна 18 см. По теме читайте также нашу статью Как найти площадь квадрата.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/geometricheskie-ponjatija/chto-takoe-kvadrat