Частные производные, примеры решений

Определение 16.6. Частной производной по х от функции  называется
предел отношения частного приращения  к приращению  при стремлении последнего к нулю.

• Частная производная по х обозначается одним из
  символов
• ,          ,  
    .
• Согласно
  определению

Определение 16.7. Частной производной по у от функции  называется
предел отношения частного приращения  к приращению  при стремлении последнего к нулю.

1. Частная производная по у обозначается символами
2. ,     ,     ,     .
3. Согласно
   определению

Из этих определений сразу следует правило, по
которому следует вычислять частную производную.

Правило вычисления частной производной. Частная производная  вычисляется
от функции по переменной х в предположении, что
у – постоянная. Частная производная  вычисляется по
переменной у в предположении, что х – постоянная.

При вычислении частных производных работают все приемы
вычислений производных сложных функций (вспомним правило цепочки).

Пример
16.4. Вычислить частные производные функции  

Решение.

 – здесь  играет роль постоянного
множителя,

Пример
16.5. Вычислить частные производные функции .

• Решение.
• , потому что у равен
  постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции .
• , потому что , и мы используем формулу производной
  показательной функции .

Пример
16.6. Вычислить частные производные функции трех переменных .

Решение.

,     ,     .

Механический или кинетический смысл частных
производных остается прежним: они характеризуют скорость  изменения
функции по переменным х и у отдельно. С геометрией чуть сложнее.
Для функции одной переменной производная численно равна тангенсу угла наклона
касательной к положительному направлению оси OХ.

Для функции двух переменных касательная «переходит» в
касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Любая прямая, проходящая через
точку касания, и лежащая в этой плоскости, будет касательной к поверхности.

Выберем из них такую, чтобы ее проекция на плоскость ХОY
была параллельна оси ОХ. В этом случае у будет величиной
постоянной и тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению
оси ОХ будет равен частной производной .

Тангенс
угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОY
будет равен значению частной  производной  в данной точке (рис. 16.4).

Рис. 16.4

Для функций, содержащих большее число переменных,
геометрическую  интерпретацию частных производных дать нельзя.

16.5. Дифференциал

Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей
производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но
общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного
дифференциала , как главной части
приращения функции.

Для функции одной переменной  дифференциал
равен . Для функции двух переменных логично
ожидать сумму «частных дифференциалов». Строгое доказательство этого
утверждения можно найти в рекомендуемой литературе.

Мы ограничимся определением
и покажем его применение для решения задач.

Определение 16.8 . Пусть функция  непрерывна
вместе со своими частными производными по х и у. Полным
дифференциалом  называется сумма
произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых
переменных, т.е.

.                                           (16.8)

Это
выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной.
Добавлено новое слагаемое, и простая производная функции по одной переменной х
заменена частными производными по х и у. Для функции трех
переменных будет тройная сумма.

1. Напомним, что дифференциал функции приближенно равен
   ее приращению: . Поэтому значение функции
   в точке  можно определить из приближенного
   равенства:
2. ,       (16.9)
3. где
   dx и dy –
   приращения аргументов х и у соответственно.

Пример
16.7. Найти полный дифференциал и полное приращение dz
и  для функции , если ,
, , .

• Решение.Найдем значения
• (3   и   .
• по таблице логарифмов или при
  помощи калькуляторов. Определим приращение функции
• .
• Найдем
  дифференциалы аргументов:
• ,   .
• Тогда
• ,
• и, окончательно, получаем
• .
• Сравним приращение и дифференциал
  .
• Приближенно оценим значение  по формуле (16.9):
• .
• Найдем
  относительную погрешность вычислений:
• ,
• что говорит о достаточной степени
  точности проведенных вычислений.

В разных точках функция имеет различные значения
частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о
степени возрастания и убывания функции.

16.6. Градиент

Вопрос о существовании единой производной для функции
двух переменных не переставал волновать пытливое человечество. Но переменные х
и у не могли объединиться, поэтому задачу сформулировали по-другому:
если в каждой точке функция меняется по двум и больше аргументам, то в каком направлении
ее изменение будет наибольшим?

Направление, как известно, задается вектором. В общем
виде вектор может быть записан так:, где  – координаты вектора в декартовом базисе, | – модуль  вектора,

,    ,   

–
направляющие косинусы, сумма их квадратов равна единице. Это координаты
единичного направляющего вектора  для
вектора . Его употребляют в вычислениях,
когда важно именно направление, а не длина вектора.

Пусть функция  непрерывна
вместе со своими частными производными в некоторой области D
и точке , принадлежит этой функции. Проведем
из точки М вектор .
Выражение вида

                          (16.10)

называется
производной функции  в
направлении вектора .
Она позволяет найти скорость изменения данной функции в
направлении вектора .

Рассмотрим вектор, координаты которого равны частным
производным  функции  в некоторой точке . Этот вектор называется градиентом
функции  в данной точке.

.                                 (16.11)

Источник: https://vunivere.ru/work12923/page11

Частные производные. Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной.

Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

• Обозначения:
• или – частная производная по «икс»
• или – частная производная по «игрек»
• Начнем с .

Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Источник: https://megaobuchalka.ru/1/34144.html

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.

Пусть X1, X2, …, Xn – заданные функции переменных x1, x2, …, xn.

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка: необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):

:

Далее нужно представить решение в виде:

φ1(x1, x2, …, xn ) = C1,

φ2(x1, x2, …, xn ) = C2, ………………

φn-1(x1, x2, …, xn ) = Cn-1,

где Ck – постоянные. После чего сразу получаем общее решение:

,

где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F.

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X1, X2, …, Xn+1 – заданные функции от переменных x1, x2, …, xn и z.

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка: , необходимо решить уравнение характеристик:

.

Решение этой системы нужно представить в следующем виде:

φ1(x1, x2, …, xn , z ) = C1,

φ2(x1, x2, …, xn , z ) = C2, ………………

φn(x1, x2, …, xn , z ) = Cn.

После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде: где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например: φ1 = F(φ2, φ3, …, φn), φ2 = F(φ1, φ3, …, φn), и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

• Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием: , при .
• Решение
• Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения: ; ; .

Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение: Здесь переменные уже разделены, интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда

Подставим во второе уравнение: Или: Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид: где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2). Найдем ее вид из граничного условия при .

1. Рассматриваем решение на границе. Положим x y = –1: Отсюда На границе
2. .
3. Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: F(φ1, φ2) = φ1 φ2. Такой же вид она имеет и во всей области Подставляя
4. ;

, получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

• Ответ
• Общее решение: где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2).
• Частное решение:

Неоднородное уравнение

1. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению , и проходящую через данную окружность x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = a2.
2. Решение
3. Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения: ; ; .

Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

• Решаем уравнение: Умножаем на 2 z и интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда
• x = C1 y

Подставим во второе уравнение: Или: Замечаем, что , тогда Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

1. Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
2. Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:
3. Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид: F(φ1, φ2) = 0 Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде: φ1 = F(φ2), где F — произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе. На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2, . Из уравнения x + y + z = 0, z = –(x + y). Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем: x 2 + y 2 + (x + y) 2 = a 2 x 2 + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = a 2 2x 2 + 2xy + 2y 2 = a 2 Разделив на y 2, имеем Итак, мы нашли, что на границе: . Подставим в выражение общего интеграла:

φ1 = F(φ2)

. Сделаем подстановку

:

.

• Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: . Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
• .

Подставляем выражения для φ1 и φ2: . Умножим на a 2y 2.

Ответ

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/chastnie_proizvodnie/

Найти частные производные

Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.

Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной.

Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.

Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x] : sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x] : sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Производные Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j, n}, где означает тоже, что и Выше. Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа. Примеры x*E^x, x; x^3*E^x, {x,17}; x^3*y^2*Sin[x+y], x; x^3*y^2*Sin[x+y], y, x/(x+y^4), {x,6}.

Источник: https://allcalc.ru/node/663

Частные производные (стр. 1 из 4)

• ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
• ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
• ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ
• КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
• РЕФЕРАТ
• НА ТЕМУ:
• “ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”
• ВЫПОЛНИЛ:
• СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк — 2006

Содержание.

I. Функции нескольких переменных.

1. II. Частные производные
2. III. Частные производные и дифференциалы высших порядков
3. Список литературы
4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.
5. Определение функции нескольких переменных.
6. Переменная zназывается функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, — областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных

можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных

. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

1.2 Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству

или называется δ-окрестность точки .

Определение. ЧислоA называет пределом функции

при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция

называется бесконечно малой при если

1.3 Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка

принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если или причем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим

, . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных

в точке частные производные определяются так: , ,

если эти пределы существуют. Величина

называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных: , , , , , , , .

, , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная

— угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.

• Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная
• Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
• Пример 1. Если
• Пример 2. Если
• Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

есть скорость изменения функции относительно при постоянном . , то , . , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

2.2 Полный дифференциал.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде

, (2)

Где Аи В не зависят от

и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

Источник: https://mirznanii.com/a/315260/chastnye-proizvodnye