Частные производные, примеры решений

Определение 16.6. Частной производной по х от функции Частные производные, примеры решений называется
предел отношения частного приращения  к приращению  при стремлении последнего к нулю.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Свойства смежных углов, с примерами

Оценим за полчаса!
  • Частная производная по х обозначается одним из
    символов
  • ,          ,  
      .
  • Согласно
    определению

Частные производные, примеры решений

Определение 16.7. Частной производной по у от функции Частные производные, примеры решений называется
предел отношения частного приращения  к приращению  при стремлении последнего к нулю.

  1. Частная производная по у обозначается символами
  2. ,     ,     ,     .
  3. Согласно
    определению

Частные производные, примеры решений

Из этих определений сразу следует правило, по
которому следует вычислять частную производную.

Правило вычисления частной производной. Частная производная  вычисляется
от функции Частные производные, примеры решенийпо переменной х в предположении, что
у – постоянная. Частная производная  вычисляется по
переменной у в предположении, что х – постоянная
.

При вычислении частных производных работают все приемы
вычислений производных сложных функций (вспомним правило цепочки).

Пример
16.4.
Вычислить частные производные функции Частные производные, примеры решений 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Как удалить сноску в ворде

Оценим за полчаса!

Решение.

Частные производные, примеры решений – здесь  играет роль постоянного
множителя,

Частные производные, примеры решений

Пример
16.5.
Вычислить частные производные функции .

  • Решение.
  • , потому что у равен
    постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции Частные производные, примеры решений.
  • , потому что , и мы используем формулу производной
    показательной функции .

Пример
16.6.
Вычислить частные производные функции трех переменных .

Решение.

,     ,     .

Механический или кинетический смысл частных
производных остается прежним: они характеризуют скорость  изменения
функции по переменным х и у отдельно. С геометрией чуть сложнее.
Для функции одной переменной производная численно равна тангенсу угла наклона
касательной к положительному направлению оси OХ.

Для функции двух переменных касательная «переходит» в
касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Любая прямая, проходящая через
точку касания, и лежащая в этой плоскости, будет касательной к поверхности.

Выберем из них такую, чтобы ее проекция на плоскость ХОY
была параллельна оси ОХ. В этом случае у будет величиной
постоянной и тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению
оси ОХ будет равен частной производной .

Если рассмотреть другую касательную, проекция которой на плоскость ХОY
параллельна оси ОY, то в этом случае х будет постоянной.

Тангенс
угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОY
будет равен значению частной  производной  в данной точке (рис. 16.4).

Рис. 16.4

Для функций, содержащих большее число переменных,
геометрическую  интерпретацию частных производных дать нельзя.

16.5. Дифференциал

Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей
производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но
общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного
дифференциала
, как главной части
приращения функции.

Для функции одной переменной  дифференциал
равен . Для функции двух переменных логично
ожидать сумму «частных дифференциалов». Строгое доказательство этого
утверждения можно найти в рекомендуемой литературе.

Мы ограничимся определением
и покажем его применение для решения задач.

Определение 16.8 . Пусть функция  непрерывна
вместе со своими частными производными по х и у. Полным
дифференциалом  
называется сумма
произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых
переменных, т.е.

.                                           (16.8)

Это
выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной.
Добавлено новое слагаемое, и простая производная функции по одной переменной х
заменена частными производными по х и у. Для функции трех
переменных будет тройная сумма.

  1. Напомним, что дифференциал функции приближенно равен
    ее приращению: . Поэтому значение функции
    в точке  можно определить из приближенного
    равенства:
  2. ,       (16.9)
  3. где
    dx и dy
    приращения аргументов х и у соответственно.

Пример
16.7.
Найти полный дифференциал и полное приращение dz
и  для функции , если ,
, , .

  • Решение.Найдем значения
  • (3   и   .
  • по таблице логарифмов или при
    помощи калькуляторов. Определим приращение функции
  • .
  • Найдем
    дифференциалы аргументов:
  • ,   .
  • Тогда
  • ,
  • и, окончательно, получаем
  • .
  • Сравним приращение и дифференциал
    .
  • Приближенно оценим значение  по формуле (16.9):
  • .
  • Найдем
    относительную погрешность вычислений:
  • ,
  • что говорит о достаточной степени
    точности проведенных вычислений.

В разных точках функция имеет различные значения
частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о
степени возрастания и убывания функции.

16.6. Градиент

Вопрос о существовании единой производной для функции
двух переменных не переставал волновать пытливое человечество. Но переменные х
и у не могли объединиться, поэтому задачу сформулировали по-другому:
если в каждой точке функция меняется по двум и больше аргументам, то в каком направлении
ее изменение будет наибольшим?

Направление, как известно, задается вектором. В общем
виде вектор может быть записан так:, где  – координаты вектора в декартовом базисе, | – модуль  вектора,

,    ,   


направляющие косинусы, сумма их квадратов равна единице. Это координаты
единичного направляющего вектора  для
вектора . Его употребляют в вычислениях,
когда важно именно направление, а не длина вектора.

Пусть функция  непрерывна
вместе со своими частными производными в некоторой области D
и точке , принадлежит этой функции. Проведем
из точки М вектор .
Выражение вида

                          (16.10)

называется
производной функции  в
направлении вектора
.
Она позволяет найти скорость изменения данной функции в
направлении вектора .

Рассмотрим вектор, координаты которого равны частным
производным  функции  в некоторой точке . Этот вектор называется градиентом
функции  в данной точке.

.                                 (16.11)

Источник: https://vunivere.ru/work12923/page11

Частные производные. Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной.

Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции.

Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.

Частные производные, примеры решений

Иногда используют запись Частные производные, примеры решений . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

  • Обозначения:
  • или – частная производная по «икс»
  • или – частная производная по «игрек»
  • Начнем с .

Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Источник: https://megaobuchalka.ru/1/34144.html

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Частные производные, примеры решений

Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.

Пусть X1, X2, …, Xn – заданные функции переменных x1, x2, …, xn.

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка: необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):

:

Далее нужно представить решение в виде:

φ1(x1, x2, …, xn ) = C1,

φ2(x1, x2, …, xn ) = C2, ………………

φn-1(x1, x2, …, xn ) = Cn-1,

где Ck – постоянные. После чего сразу получаем общее решение:

,

где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F.

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X1, X2, …, Xn+1 – заданные функции от переменных x1, x2, …, xn и z.

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка: , необходимо решить уравнение характеристик:

Читайте также:  Как выделить весь текст в ворде

.

Решение этой системы нужно представить в следующем виде:

φ1(x1, x2, …, xn , z ) = C1,

φ2(x1, x2, …, xn , z ) = C2, ………………

φn(x1, x2, …, xn , z ) = Cn.

После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде: где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например: φ1 = F(φ2, φ3, …, φn), φ2 = F(φ1, φ3, …, φn), и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

  • Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием: , при .
  • Решение
  • Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения: ; ; .

Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение: Здесь переменные уже разделены, интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда

Подставим во второе уравнение: Или: Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид: где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2). Найдем ее вид из граничного условия при .

  1. Рассматриваем решение на границе. Положим x y = –1: Отсюда На границе
  2. .
  3. Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: F(φ1, φ2) = φ1 φ2. Такой же вид она имеет и во всей области Подставляя
  4. ;

, получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

  • Ответ
  • Общее решение: где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2).
  • Частное решение:

Неоднородное уравнение

  1. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению , и проходящую через данную окружность x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = a2.

  2. Решение
  3. Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения: ; ; .

Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

  • Решаем уравнение: Умножаем на 2 z и интегрируем: Интегралы табличные, Потенцируем: Отсюда
  • x = C1 y

Подставим во второе уравнение: Или: Замечаем, что , тогда Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем: Интегрируем: Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

  1. Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
  2. Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:
  3. Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид: F(φ1, φ2) = 0 Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде: φ1 = F(φ2), где F — произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе. На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2, . Из уравнения x + y + z = 0, z = –(x + y). Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем: x 2 + y 2 + (x + y) 2 = a 2 x 2 + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = a 2 2x 2 + 2xy + 2y 2 = a 2 Разделив на y 2, имеем Итак, мы нашли, что на границе: . Подставим в выражение общего интеграла:

φ1 = F(φ2)

. Сделаем подстановку

:

.

  • Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид: . Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
  • .

Подставляем выражения для φ1 и φ2: . Умножим на a 2y 2.

Ответ

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/chastnie_proizvodnie/

Найти частные производные

Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.

Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной.

Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.

Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
Производные
Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j, n}, где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Примеры

  • x*E^x, x;
  • x^3*E^x, {x,17};
  • x^3*y^2*Sin[x+y], x;
  • x^3*y^2*Sin[x+y], y,
  • x/(x+y^4), {x,6}.

Источник: https://allcalc.ru/node/663

Частные производные (стр. 1 из 4)

  • ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  • ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
  • ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ
  • КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
  • РЕФЕРАТ
  • НА ТЕМУ:
  • “ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”
  • ВЫПОЛНИЛ:
  • СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк — 2006

Содержание.

I. Функции нескольких переменных.

  1. II. Частные производные
  2. III. Частные производные и дифференциалы высших порядков
  3. Список литературы
  4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.
  5. Определение функции нескольких переменных.
  6. Переменная zназывается функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, — областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных

можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных

. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

1.2 Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству

или называется δ-окрестность точки .

Определение. ЧислоA называет пределом функции

при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция

называется бесконечно малой при если

1.3 Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка

принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если или причем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим

, . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных

в точке частные производные определяются так: , ,

если эти пределы существуют. Величина

называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных: , , , , , , , .

Символы

, , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная

угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.

  • Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная
  • Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
  • Пример 1. Если
  • Пример 2. Если
  • Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

есть скорость изменения функции относительно при постоянном . , то , . , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

2.2 Полный дифференциал.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде

, (2)

Где Аи В не зависят от

и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

Источник: https://mirznanii.com/a/315260/chastnye-proizvodnye

Ссылка на основную публикацию