Системы уравнений с двумя переменными

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• уравнение и неравенство, способы их решения;
• система уравнений, система неравенств;
• изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;

• Глоссарий по теме
• Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
• Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.
• Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
• Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.
• Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
• Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.
• Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

1. Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
2. Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.
3. Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:
4. Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.
5. Пример.
6. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

1. 

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

• Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)
• Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)
• Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

1. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
2. Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.
3. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

1. Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6123/conspect/

Видеоурок «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Основные понятия»

Содержание:

§ 1  Система линейных уравнений с двумя переменными

Давайте познакомимся с понятием «система уравнений» и разберёмся, что будет являться решением системы и сколько таких решений может быть.

Для начала вспомним, что линейные уравнения с двумя переменными– это уравнения вида ах + ву + с = 0.

Решением такого уравнения будет являться пара чисел (х; у), которая обратит это уравнение в верное числовое равенство. И таких решений будет бесконечно много.

Если все решения изобразить на координатной плоскости, то мы получим прямую, которую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными.

А теперь представим себе ситуацию. Я задумала два числа. Известно, что их сумма равна 8, а разность 2. Какие числа я задумала? Если записать эту ситуацию в виде алгебраической модели, то первое условие «сумма чисел равна 8» запишется в виде уравнения х + у = 8. Второе условие «разность равна 2» запишется как х – у = 2.

Мы получили два линейных уравнения с двумя неизвестными. Каждое из этих уравнений в отдельности имеет бесконечное число решений. Но нам надо подобрать такую пару чисел, которая являлась бы решением обоих уравнений одновременно. В таких случаях математики договорились записывать эти уравнения особым способом.

Их записывают одно под другим и 

Это и есть система уравнений. Читают такую запись следующим образом: «система уравнений х+у=8 и х–у=2».

§ 2  Решение системы линейных уравнений с двумя переменными

Решить систему– это значит найти все её решения или установить, что их нет. 

Решением системыуравнений будет являться такая пара чисел (х; у), которая обратит в верное числовое равенство каждое из уравнений системы.

И тут возникает вопрос: а сколько таких пар нам надо найти? Давайте разбираться. И поможет нам в этом графический способ. Мы знаем, что множество решений каждого из линейных уравнений с двумя переменными можно изобразить на координатной плоскости в виде прямой. А из курса геометрии мы знаем, что прямые на плоскости могут быть параллельными, т.е.

не иметь общих точек, или пересекаться, т.е. иметь только одну общую точку. Значит, и наша система может либо не иметь решений вообще, либо иметь только одно решение. Правда, есть ещё один возможный случай расположения прямых – это их полное совпадение.

Тогда система будет иметь бесконечное количество решений, что при решении реальных задач практически не встречается.

Давайте решим полученную нами систему графически. Построим график первого уравнения х + у = 8. Выразим переменную у через х и получим выражение у = 8 – х. Для построения прямой достаточно двух точек. Если х = 0, то у = 8. Если х = 3, то у = 5. Получили точки с координатами (0; 8) и (3; 5). Построим прямую, используя найденные точки.

Аналогично поступим со вторым уравнением. Представим его в виде у = х – 2. Если х = 0, то у = –2. Если х = 6, то у = 4. Получили точки с координатами (0; –2) и (6; 4). Через них тоже проведём прямую. Теперь на рисунке видим, что наши прямые пересекаются в точке с координатами (5; 3). Найденные значения необходимо проверить.

Подставим в оба уравнения системы вместо х число 5, а вместо у — 

Получили два верных числовых равенства, значит, решение найдено правильно. Я задумала числа 5 и 3.

Возникает вопрос: всегда ли необходима проверка? Здесь надо отметить, прежде всего, ненадёжность графического способа решения. Ведь не всегда прямые пересекаются в таких удачных точках с целыми координатами.

И тогда при определении точки пересечения прямых по чертежу можно потерять сотые и даже десятые доли числа. Да и сама точка пересечения далеко не всегда попадает на наш тетрадный лист. Поэтому решения, найденные графическим способом, необходимо всё-таки проверять.

И здесь вы спросите: а есть ли методы решения систем, позволяющие сразу, без рисунков, найти точные решения? Конечно, есть, но это тема отдельного урока.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г.Мордкович и др.]; под редакцией А.Г.Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е.Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/algebra/Sistemy-lineynykh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi.-Osnovnye-ponyatiya.html

Система уравнений

• Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
• Пример системы уравнений
• { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
• Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
• Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

1. Пример:
2. Решить систему уравнений методом подстановки
3. { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
4. Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

{ x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

• 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4
• 24 − 6 y − y = − 4
• − 7 y = − 4 − 24
• − 7 y = − 28
• y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
• y = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

y = 4

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

1. x = 0, y = 4
2. { x = 0 y = 4
3. ( 0 ;   4 )

1. Решение системы уравнений методом сложения.
2. Метод сложения основывается на следующем свойстве:
3. если
4. { a = b c = d
5. то
6. ( a + c ) = ( b + d )
7. Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
8. Пример:
9. Решить систему уравнений методом сложения
10. { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты.

Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) .

Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

• { x + 2 y = 8   |   ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4
• { ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4
• { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4
• Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.
• { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕
• ( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )
• − 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4
• − 7 y = − 28
• y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

1. x + 2 y = 8
2. x + 2 ⋅ 4 = 8
3. x + 8 = 8
4. x = 8 − 8 = 0
5. Ответ можно записать одним из трех способов:
6. Ответ:

1. x = 0, y = 4
2. { x = 0 y = 4
3. ( 0 ;   4 )

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений { 4 x + y = 10 x + 3 y = − 3

В ответе запишите сумму решений.

• Решение:
• 1 способ: (метод подстановки)
• { 4 x + y = 10 x + 3 y = − 3
• { y = 10 − 4 x x + 3 y = − 3
• { y = 10 − 4 x x + 3 ( 10 − 4 x ) = − 3
• x + 3 ( 10 − 4 x ) = − 3
• x + 30 − 12 x = − 3
• − 11 x = − 33
• x = − 33 − 11 = 3
• Теперь осталось найти переменную y .
• y = 10 − 4 x = 10 − 4 ⋅ 3 = − 2
• В ответе надо указать сумму решений:
• x + y = 3 + ( − 2 ) = 1
• Ответ: 1
• 2 способ: (метод сложения)
• { 4 x + y = 10   | ⋅ ( − 3 ) x + 3 y = − 3
• { ( − 3 ) ⋅ ( 4 x + y ) = ( − 3 ) ⋅ 10 x + 3 y = − 3
• { − 12 x − 3 y = − 30       x + 3 y = − 3 ⊕
• ( − 12 x − 3 y + ( x + 3 y ) = ( − 30 ) + ( − 3 )
• − 12 x − 3 y + x + 3 y = − 30 − 3
• − 11 x = − 33
• x = − 33 − 11 = 3
• Теперь осталось найти переменную y .
• 4 x + y = 10
• 4 ⋅ 3 + y = 10
• y = 10 − 12 = − 2
• В ответе надо указать сумму решений:
• x + y = 3 + ( − 2 ) = 1
• Ответ: 1

№2. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

Решение:

Абсцисса – x , ордината – y . Если две прямые пересекаются, то для нахождения точки их пересечения надо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки.

1. { 2 x − y = − 8 x + 2 y = 6
2. { 2 x − y = − 8 x = 6 − 2 y
3. { 2 ( 6 − 2 y ) − y = − 8 x = 6 − 2 y
4. 12 − 4 y − y = − 8
5. − 5 y = − 8 − 12 = − 20
6. y = − 20 − 5 = 20 5 = 4
7. x = 6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 4 = 6 − 8 = − 2
8. Ответ: -2

№3. На рисунке изображены графики функций y = 3 − x 2 и y = − 2 x . Вычислите координаты точки B .

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

• Решение:
• Для того, чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки:
• { y = − 2 x y = 3 − x 2
• { y = − 2 x − 2 x = 3 − x 2  
• − 2 x = 3 − x 2
• x 2 − 2 x − 3 = 0
• a = 1, b = − 2, c = − 3
• D = b 2 − 4 a c = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = 4 + 12 = 16
• D > 0
• x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 2 ) ± 16 2 ⋅ 1 = [ 2 + 4 2 = 6 2 = 3 2 − 4 2 = − 2 2 = − 1
• Поскольку нас интересует точка B , которая лежит правее точки A , выбираем x = 3 .
• Ищем координату y (ординату), соответствующую координате x = 3 (абсциссе).
• x = 3
• y = − 2 x = − 2 ⋅ 3 = − 6
• B ( 3 ; − 6 )
• Ответ: 3;-6

Источник: https://epmat.ru/sistema-uravnenij/

Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Уравнение с двумя переменными и его график

Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5.

Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .

Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

При уравнение обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных является решением этого уравнения. Пара х = 3, у = 8 не обращает уравнение в верное равенство, значит, не является его решением.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пару , являющуюся решением уравнения , можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).'

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.

Чтобы найти решения уравнения

можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения .

Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:

• Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:

Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).

По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения . Например, если х = 2, то ;

если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения

Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению , а формулой задается функция, графиком которой является парабола.

1. Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 Каждое из уравнений с двумя переменными , имеет вид , где а, b и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.

Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.

Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.

Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение. Имеем:

Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения , так как это уравнение равносильно уравнению

Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.

Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример 1. Построим график уравнения .

В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:

Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения

Пример 2. Построим график уравнения х= — 3. Это уравнение можно записать в виде . графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1883-algebra-7-9-klassy-9-reshenie-linejnykh-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi

Теоретический материал: Линейное уравнение с двумя неизвестными

Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными

Определение

Уравнение вида , где и — неизвестные и свободный член — любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными. — нормальный вид такого уравнения. Каждая пара значений и , удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

• Ученик:
• А как решается, например, уравнение ?
• Учитель:

Одному из неизвестных можно дать любое значение; тогда получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем значение второго неизвестного. Пусть , тогда , , .Если бы неизвестному дали значение , то нашли бы значение . Пара чисел и удовлетворяет данному уравнению — обращает его в верное равенство : , , .Таких пар чисел существует бесконечно много.

1. Ученик:
2. Так сколько решений обычно имеют уравнения с двумя неизвестными?
3. Учитель:
4. Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.
5. Ученик:
6. А может ли быть такое, чтобы такое уравнение вообще не имело корней?
7. Учитель:

Да, конечно, такое может быть. Например, уравнение . После приведения его к нормальному виду получим: ,, (или ) — равенство неверно, т.к. ему не удовлетворяют никакие значения и .

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным (). Например, ;

;. Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений является прямая, параллельная оси ординат.

Итак, графиком уравнения

, если и не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если и , то возможны два случая:1) или — уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;2) или — уравнение имеет бесчисленное множество решений (причем значения и здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10170