Четность и нечетность функции, с примерами

Содержание

Время на чтение: 13 минут

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента.

Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения.

Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Область определения — D (f).
Виды.
Правила.
Свойства для четных и нечетных.
Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность.

Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения.

Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел.

Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной.

Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Разложить при необходимости на простые элементы.
Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
Радикал положительной нечетной степени.
Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
Интегральный синус: Si (x).
Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

Возведение в четную и целую степень.
Модуль аргумента.
Константа.
Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
Гиперболические: косинус и секанс.
Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)^2) / 2c 2 ].
Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением.

Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность.

Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).
График функции является симметричным, поскольку задан параболой.
Выполнить анализ по формулам: g (-y) = (-y)^2 + y — 2 = y 2 + y — 2 и h (-y) = (-y)^2 — 1 = y 2 — 1.
В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5).

Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y».

Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/chetnost-i-nechetnost-funktsi.html

Материал к уроку "Четные и нечетные функции" — алгебра, уроки

Просмотрсодержимого документа

Четность и нечетность функции
Функция называется четной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( ‑ x)=f(x).
Область определения четной функции симметрична относительно нуля.
График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Функция называется нечетной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( ‑ x)= ‑ f(x).
Область определения нечетной функции симметрична относительно нуля.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 1. Дан график функции .

Определите по графику четной или нечетной является функция.

Решение. Поскольку график функции симметричен относительно оси Ох, то функция является четной.

Ответ: функция четная

Задание 1. Определите по графику четной или нечетной является функция…

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Пример 2. На рисунке изображена часть графика некоторой функции, область определения которой — промежуток [ ‑ 4; 4]. Постройте график этой функции, если функция нечетная.

Решение. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Следовательно, для построения графика нужно отобразить данную часть относительно точки (0; 0):

Задание 2. На рисунке изображена часть графика некоторой функции, область определения которой — промежуток [ ‑ 3; 3]. Постройте график этой функции, если…

1) функция четная	2) функция нечетная
3) функция четная	4) функция нечетная
5) функция четная	6) функция нечетная
7) функция четная	8) функция нечетная
9) функция четная	10) функция нечетная

Пример 3. Определить четность (нечетность) функции .

Решение. По определению четной функции должно выполняться равенство f( ‑ x)=f(x).

=. Отсюда следует, что функция четная.

Ответ: четная

Задание 3. Определите, является функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 4. Исследовать функцию на четность (нечетность).

Решение. Подставим в выражение вместо х значение ‑ х: ==. Отсюда следует, что функция нечетная.

Ответ: нечетная

Задание 4. Определите четность или нечетность функции…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Пример 5. Вычислите , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 5)=3; f(2)= ‑ 8.

Решение. Поскольку функция f(x) – нечетная, то f( ‑ x)= ‑ f(x).

Т.е. f( ‑ 5)= ‑ f(5)= ‑ 3; f( ‑ 2)= ‑ f(5)=8.

Следовательно, =4( ‑ 3)+8= ‑ 4.
Ответ: ‑ 4
Задание 5. Вычислите…

1) , если f(x) – нечетная функция и f(3)= ‑ 7; f( ‑ 4)=3	2) , если f(x) – четная функция и f(2)=3; f( ‑ 5)=2
3) , если f(x) – четная функция и f(3)= ‑ 7; f( ‑ 4)=5	4) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 4)=2; f(2)= ‑ 3
5) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 3)=1; f(2)= ‑ 3	6) , если f(x) – четная функция и f(2)=2; f( ‑ 3)=3
7) , если f(x) – четная функция и f(3)=3; f(5)=2	8) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 4)=3; f(3)=5
9) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 3)=3; f(2)= ‑ 3	10) , если f(x) – четная функция и f(‑ 2)=3; f( ‑ 5)=4

Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных – нечетна.

Доказательство: f(x)+g(x)=f( ‑ x)+g( ‑ x)=f(x)+g(x).

Произведение двух четных функций является четной функций, произведение двух нечетных функций также является четной функций. Произведение четной и нечетной функции – нечетно.

Доказательство: (fg)( ‑ x)=f( ‑ x)g( ‑ x)=f(x)g(x)=(fg)(x).
Если функция f четна (нечетна), то и функция четна (нечетна).
Доказательство: если функция f четна и f(x)0, то .
Если Х симметрично относительно начала координат, то любая заданная на Х функция f является суммой четной и нечетной функций f=g+h, где , .

Доказательство: , . Отсюда следует, что функция g(x) четна, а функция h(x) нечетна. При этом .

Пример 6. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если h(x)=f2(x)g2(x), f – четная функция, g – нечетная?

Решение. Поскольку f – четная функция, g – нечетная, то f2 и g2 – четные функции. Произведение четных функций – функция четная. Следовательно, h(x)=f2(x)g2(x) является четной функцией.

Ответ: четная

Задание 6. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если…

1) h(x)=f(x)g2(x), f – четная функция, g – нечетная	2) h(x)=f(x)g2(x), f и g – четные функции	3) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции
4) h(x)=f(x)g(x), f и g – нечетные функции	5) h(x)=f(x)g2(x), f и g – нечетные функции	6) h(x)=f(x)+g(x), f и g – четные функции
7) h(x)=f(x)g(x), f – четная функция, g – нечетная	8) h(x)=f(x)g(x), f и g – четные функции	9) h(x)=f(x)‑g(x), f – четная функция, g – нечетная
10) h(x)=f(x)g2(x), f – нечетная функция, g – четная

Задание 7. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций…

Задание 8. Найдите ось симметрии для графиков функций…

Задание 9. Найдите центр симметрии для графиков функций…

Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/material-k-uroku-chetnye-i-nechetnye-funkcii-85756.html

Четность и нечетность функций

Вопросы занятия:
· повторить такое свойство функции, как чётность и нечётность.
Материал урока

Прежде давайте вспомним свойства функций, о которых мы уже говорили. Это: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции.

Для того чтобы мы могли говорить о чётности, еще раз давайте повторим, что мы понимаем под областью определения функции.
Определение.
Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент.
Теперь вспомним, что

Теперь давайте разберёмся с этим определением по подробней. Первым условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно икс равного нулю. Что это значит? Это значит, что если число А принадлежит области определения, то и число минус А тоже принадлежит области определения этой функции.

Выполним задание:

Пример.

Второе условие чётности говорит о том, что:

Если посмотреть на график чётной функции, то можно увидеть, что он будет симметричен относительно оси ординат.
Если же нарушается первое условие, то есть область определения функции – не симметричное относительно x = 0 множество, то такая функция не обладает свойством чётности.
Теперь давайте вспомним какую функцию называют нечётной.

Если мы посмотрим на график нечётной функции, то нетрудно увидеть, что он симметричен относительно начала координат.

Мы с вами уже рассмотрели некоторые элементарные функции, их свойства и графики. А теперь давайте попробуем определить какие из этих функций являются чётными, нечётными, ни чётными, ни нечётными.

Итак, начнём с прямой пропорциональности. Область определения прямой пропорциональности – вся числовая прямая, то есть говорить о чётности или нечётности, мы можем. Подставим вместо х -x и получим, что y(-x) = —y(x), то есть прямая пропорциональность – нечётная функция.

Если мы посмотрим на графики прямой пропорциональности, то увидим, что эти графики симметричны относительно начала координат.
Теперь давайте рассмотрим обратную пропорциональность.
Область определения этой функции – симметричная относительно x = 0 область, то есть говорить о чётности или нечётности этой функции можно.
Подставим вместо х -х и получим, что y(-x) = —y(x), то есть обратная пропорциональность – нечётная функция.
Следующей мы рассмотрим линейную функцию.
Область определения функции – вся числовая прямая, то есть область определения – симметричное множество. Подставим вместо х -х, тогда получим что:

То есть линейная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим функцию y = │x│.

Область определения этой функции – вся числовая прямая. То есть можно проверить эту функцию на чётность и нечётность. Подставим вместо х -х. По свойству модуля:

Тогда получим, что функция игрек равно модуль икс – чётная функция.
Теперь поговорим о функции у = х2.
Область определения – вся числовая прямая.
Подставим вместо х -х. По свойству квадрата выражения, получим, что:

то есть функция чётная.
Рассмотрим квадратичную функцию.
Область определения – вся числовая прямая.
Подставим вместо х -х и получим, что:

то есть квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Теперь давайте рассмотрим функцию:

Область определения функции – промежуток [0; + ∞) – это не симметричное относительно точки x = 0 множество, то есть мы сразу можем написать, что о чётности или нечётности этой функции говорить нельзя.

Теперь давайте рассмотрим функцию y = x3. Область определения – вся числовая прямая. Подставим вместо x —x и получим, что:

то есть перед нами нечётная функция.
Теперь давайте решим несколько заданий.
Пример.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример.
Пример.
Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили такое свойство функций как чётность. Вспомнили какая функция называется чётной, а какая – нечётной.

Источник: https://videouroki.net/video/41-chietnost-i-niechietnost-funktsii.html

Четные и нечетные функции

Функция у = f(x) называется четной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(—х) = — f(x). Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и (—х) оказалось, что f(-x) ≠-f(x), и хотя бы для одной пары значений х и (-х) оказалось, что f(-x) ≠ f(x), то функция называется функцией общего вида. Кратко: если

то f(x) — функция общего вида.

Из определения четных и нечетных функций следует, что область определения D(f) как четной, так и нечетной функции симметрична относительно начала координат, если
х∈ D(f)=>(-x)∈ D(f).
Если функция у = f(x) является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.
Если функция у = f(x) является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример. Выяснить, является ли данная функция четной, нечетной, общего вида:

Решение.

— четная функция;

— четная функция;

— нечетная функция;

— функция общего вида;

— функция общего вида.

Ответ: а), б) — четные функции; в), г) — нечетные функции; д), е) — функции общего вида.

Источник: https://math-helper.ru/elementarnaya-matematika/matematika-dlya-postup/chetnyie-i-nechetnyie-funktsii

Четность-нечетность функции. Период функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3. Назначая любые значения независимой переменной x, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y. Например, если x=-0,5, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5.

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0).

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.
Исследуем на четность нижеприведенную функцию:
f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^{3}-7 cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x).

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T
eq 0.

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T.

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) cup (x_{3}; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-infty; x_{1} ) cup (x_{2}; x_{3} )

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число A, для которого выполняется неравенство f(x) geq A для любого x in X.
Пример ограниченной снизу функции: y=sqrt{1+x^{2}} так как y=sqrt{1+x^{2}} geq 1 для любого x.
Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число B, для которого выполняется неравенство f(x)
eq B для любого x in X.
Пример ограниченной снизу функции: y=sqrt{1-x^{2}}, x in [-1;1] так как y=sqrt{1+x^{2}}
eq 1 для любого x in [-1;1].
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x in X тогда, когда существует такое число K > 0, для которого выполняется неравенство left | f(x)
ight |
eq K для любого x in X.
Пример ограниченной функции: y=sin x ограничена на всей числовой оси, так как left | sin x
ight |
eq 1.

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) > y(x_{2}).

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) < y(x_{2}).

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0, то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}). y_{min} — обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}). y_{max} — обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x), что дифференцируема в точке x_{0}, появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}.

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

Ищется производная f'(x);
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b];
Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

Источник: https://academyege.ru/page/chetnost-i-nechetnost-funkcii-period-funkcii-ehkstremumy-funkcii.html

Четные и нечетные функции

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

Читайте также: Формула длины волны

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
Следующая тема: Функция y=x^n: линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/chetnye-i-nechetnye-funkcii

Внеклассный урок — Четные и нечетные функции. Периодические функции

Четная функция.

Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.

График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

Примеры четной функции:
y = cos x
y = x2
y = –x2
y = x4
y = x6
y = x2 + x

Пояснение:Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x3
y = –x3
Пояснение:

Возьмем функцию y = –x3. Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x). График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

Свойства четной и нечетной функций:

1) Сумма четных функций является четной функцией. Сумма нечетных функций является нечетной функцией.2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна. Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.3) Произведение двух четных функций является четной функцией. Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

Периодические функции.

Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-273

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x).

Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения.

График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.

Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.
Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция

• neither even nor odd – функция общего вида

Основные функции

: x^a

модуль x: abs(x)

: Sqrt[x]
: x^(1/n)
: a^x
: Log[a, x]
: Log[x]
: cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x]

: tan[x] или Tan[x]

: cot[x] или Cot[x]

: sec[x] или Sec[x]

: csc[x] или Csc[x]

: ArcCos[x]

: ArcSin[x]

: ArcTan[x]

: ArcCot[x]

: ArcSec[x]

: ArcCsc[x]

: cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x]

: tanh[x] или Tanh[x]

: coth[x] или Coth[x]

: sech[x] или Sech[x]

: csch[x] или Csch[е]

: ArcCosh[x]

: ArcSinh[x]

: ArcTanh[x]

: ArcCoth[x]

: ArcSech[x]

: ArcCsch[x]

[19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Источник: https://allcalc.ru/node/675

Четность функции — это… Что такое Четность функции?

Четность и нечетность функции — [odd and even function]; четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f ( x) =f(x) , например, y= |x|; нечетной — такая функция , когда f( x) = — f(x), например, y= x2n+1, где n… … Экономико-математический словарь
четность и нечетность функции — Четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f ( x) =f(x) , например, y= |x|; нечетной такая функция , когда f( x) = f(x), например, y= x2n+1, где n любое натуральное число. Функции которые не являются ни … Справочник технического переводчика
ЧЕТНОСТЬ — квантовое число, характеризующее симметрию волновой функции физической системы или элементарной частицы при некоторых дискретных преобразованиях: если при таком преобразовании ? не меняет знака, то четность положительна, если меняет, то четность… … Большой Энциклопедический словарь
ЧЕТНОСТЬ УРОВНЯ — чётность состояния физ. системы (чётность волн. ф ции), соответствующего данному уровню энергии. Такая хар ка уровней возможна для системы ч ц, между к рыми действуют эл. магн. или яд. силы, сохраняющие чётность. При учёте слабого взаимодействия… … Физическая энциклопедия
Четность — Чётность в теории чисел способность целого числа делиться без остатка на 2. Чётность функции в математическом анализе определяет, изменяет ли функция знак при изменении знака аргумента: для чётной/нечётной функции. Чётность в квантовой механике… … Википедия
Четность (математика) — Чётность в теории чисел способность целого числа делиться без остатка на 2. Чётность функции в математическом анализе определяет, изменяет ли функция знак при изменении знака аргумента: для чётной/нечётной функции. Чётность в квантовой механике… … Википедия
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x. Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А точка окружности с центром в… … Математическая энциклопедия
ВНУТРЕННЯЯ ЧЕТНОСТЬ — (Р), одна из хар к (квант. чисел) элем. ч цы, определяющая поведение её волновой функции y при пространственной инверсии (зеркальном отражении), т. е. при замене координат х® х, y® у, z® z. Если при таком отражении y не меняет знака, В. ч. ч цы… … Физическая энциклопедия
Зарядовая четность — Зарядовое сопряжение операция замены частицы на античастицу (напр., электрон на позитрон). Зарядовая чётность Зарядовая чётность квантовое число, определящее поведение волновой функции частицы при операции замены частицы на античастицу… … Википедия
Циклическая проверка на четность — Алгоритм вычисления контрольной суммы (англ. Cyclic redundancy code, CRC циклический избыточный код) способ цифровой идентификации некоторой последовательности данных, который заключается в вычислении контрольного значения её циклического… … Википедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1193652