Свойства параллелограмма, с примерами

Определение 14. Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых Свойства параллелограмма, с примерами Свойства параллелограмма: Свойства параллелограмма, с примерами Теорема 22. Противоположные стороны параллелограма равны. Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников: Теорема 23. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠А=∠С и ∠В=∠D. Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй — АВС и ACD.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Теорема 24. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.

Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.

Теорема 25. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.

Читайте также:  Как уменьшить расстояние между строками в ворде

Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Признаки параллелограмма

Теорема 26. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

Теорема 27. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360о, то ∠А+∠В=180о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению. Теорема 28. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом. Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.

Читайте также:  Формула дифракционной решетки

Теорема 29. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.

Теорема 30. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.

В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат. Теорема 31. Площадь параллелограмма равна произведению стоны и проведенную к ней высоту.

Свойства параллелограмма, с примерами Теорема 32. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон и синуса угла между ними.Свойства параллелограмма, с примерами Теорема 33. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними.Свойства параллелограмма, с примерами Теорема d2. (о сумме квадратов диагоналей параллелограмма): Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Доказательство: Пусть ABCD — данный параллелограмм. Тогда: AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = 2(AB2 + BC2) = = 2(AO2 + BO2 — 2AO·BO·cosAOB + + BO2 + CO2 — 2BO·CO·cosBOC) = = 2(2·(AO2 + BO2 — AO·BO(cosAOB — cosAOB))) = = 4(AO2+ BO2) = (2·AO)2 + (2·BO)2 = AC2 + BD2. Что и требовалось доказать.

Источник: http://methmath.ru/parall.html

7.2. Параллелограмм



  • Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Высотой параллелограмма, проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.
  • Признаки параллелограмма.

Теорема 7.1. 

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по теореме 3.2 прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Свойства параллелограмма, с примерами1
Рисунок 7.2.1.Диагонали четырехугольника

Теорема 7.2. 

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырехугольник и (AB) || (CD), AB = CD.

Свойства параллелограмма, с примерами2
Рисунок 7.2.2.К теореме 7.2

Проведем диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB. Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм по определению.

Теорема доказана.

Теорема 7.3. 

Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и AB = CD, BC = AD.

Свойства параллелограмма, с примерами3
Рисунок 7.2.3.К теореме 7.3

Проведем диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB = CD, BC = AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда BCA = CAD и BAC = ACD.

Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC, а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.

2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD, а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD. Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Теорема 7.4. 

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырехугольник, и B = D,A = C. Проведем диагональ AC.

4
Рисунок 7.2.4.К теореме 7.4

Сумма углов четырехугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD. Так как сумма углов каждого треугольника – 180°, то A + B + C + D = 360°. С учетом условия получаем, что A +D = 180° и C + D = 180°.

Углы A и D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD, и, так как их сумма равна 180°, то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны.

Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD, а сумма их равна 180°, и, следовательно, прямые BC и AD – параллельны.

Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.

Свойствa параллелограмма.

Теорема 7.5. 

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению (AB) || (CD) и (AD) || (BC). Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA, отложен отрезок OC1, равный отрезку OA. По теореме 7.1 получившийся четырехугольник ABC1D – параллелограмм, и, следовательно, (BC1) || (AD) и (AB) || (C1D). С учетом условия – (BC) || (AD) и (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.3 (BC) = (BC1) и (DC) = (DC1). Поэтому точки C и C1 совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC1D. Отсюда AO = OC и BO = OD. Теорема доказана.

5
Рисунок 7.2.5.К теореме 7.5

Следствие 7.1. 

Параллелограмм – выпуклый четырехугольник.

Теорема 7.6. 

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. (AB) || (CD) и (BC) || (AD) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD. Поскольку углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB = CD. Аналогично из равенства углов (AOD) и (COB) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC. В силу доказанного в треугольниках BAD, DCB AB = DC, AD = BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8  Δ BAD = Δ DCB. Тогда BCD = BAD. Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов (ABC) и (CDA). Теорема доказана.

6
Рисунок 7.2.6.К теореме 7.6

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

7
Рисунок 7.2.7.Прямоугольник

Свойство прямоугольника задается следующей теоремой:

Теорема 7.7. 

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC равны по теореме 4.1, так как AD = BC, AB – общая сторона.  BAD =  ABC = 90°. Отсюда BD = AC. Теорема доказана.

8
Рисунок 7.2.8.К теореме 7.7



Hydra.center.onion
hydra.center.onion
web-onion.com

Источник: https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter7/section/paragraph2/theory.html

Параллелограмм — это базовая геометрическая фигура с рядом важных свойств и признаков

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

В этой статье мы подробно расскажем о таком термине, как ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

С этой фигурой каждый из нас познакомился еще в школе – на уроках геометрии в 8 классе. Но если кто проболел в то время, прогулял занятия или просто не усвоил материал – мы поможем закрыть этот пробел.

Определение параллелограмма

Итак,

Параллелограмм – это геометрическая фигура, которая является разновидностью четырехугольника. У него противоположные стороны лежат на параллельных линиях, а соответственно, являются параллельными по отношению друг к другу.

Выглядит эта фигура вот так:

Это классический вид параллелограмма, который в учебниках приводят всегда в первую очередь. В данной фигуре сторона AD параллельна стороне ВС, а АВ параллельна CD.

Интересно, что более известные всем нам фигуры – квадрат, прямоугольник и ромб – также являются параллелограммами.

Можно даже дать такие определения:

  1. Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
  2. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого стороны пересекаются под прямым углом, но при этом они не равны между собой.
  3. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны между собой, но при этом они не пересекаются под прямым углом.

Происхождение термина «параллелограмм»

Как и многие термины в математике, слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ пришло к нам из Древней Греции. И легко предположить, что оно как-то связано с самым известным в истории математиком – Евклидом.

Действительно, так и есть. Слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ впервые можно найти именно в трудах Эвклида, которые называются «Начала». Оно состоит из двух греческих слов – «Parallelos», что, естественно, означает «параллельный», и «Gramme» — «линия».

Таким образом, ПАРАЛЛЕЛОГРАММ можно перевести как «параллельные линии». Этот принцип и заложен в определении геометрической фигуры.

Еще любопытный факт, что именно Евклид поделил все четырехугольники на две большие категории. Первая – это параллелограммы, у которых противоположные стороны параллельны. И трапеции (что это?), у которых параллельна только одна пара сторон.

Свойства и признаки параллелограмма

Как понять, что перед нами ПАРАЛЛЕЛОГРАММ? Есть целый ряд признаков, который характерен только для этой геометрической фигуры.

Возьмем в качестве примера еще раз нашу фигуру:

Чтобы этот четырехугольник ABCD можно было считать параллелограммом, должно выполняться одно из следующих условий:

  1. Две противоположные стороны попарно параллельны.
  2. Две противоположные стороны попарно равны между собой.
  3. Две противоположные стороны и равны, и параллельны. В данном случае можно брать только одну пару сторон.

    AD II BC и AD =BC. Или AB II CD и AB = CD

  4. Противоположные углы попарно равны между собой.
  5. Диагонали пересекаются в центре фигуры и делятся точкой пересечения на две равные части.
  6. Если сложить два соседних угла, то получится 180 градусов.

    ∠А + ∠В = ∠В + ∠С = ∠С + ∠D = ∠D + ∠А = 180

Читайте также:  Факториал, примеры решения

Это самые простые признаки параллелограмма. Есть еще некоторые признаки, смысл которых поясняется в этом видео:

Причем, для того чтобы удостовериться в подлинности фигуры, достаточно доказать только одно из них.

Правило действует и в обратную сторону – если хоть один из признаков параллелограмма верен, то автоматически верны и все остальные, и они не нуждаются в отдельном доказательстве.

Соответственно, если хоть один признак не получил подтверждения, то фигуру нельзя считать параллелограммом. И все остальное также не совпадет.

Как посчитать периметр параллелограмма

Для подсчетов длины периметра четырехугольников обычно просто складывают длины его сторон. Но в случае с параллелограммом все несколько проще, так как стороны у него попарно равны.

Снова возьмем для примера нашу фигуру:

Только для удобства обозначим стороны по-другому. AD и ВС будет просто «а», а АВ и CD – «b». Получится вот так:

Чтобы рассчитать периметр, надо просто сложить все стороны:

P = a + b + a + b

Но эту же формулу можно переиначить и по-другому:

P = 2a +2b

Или совсем просто:

P = (a + b) * 2

Это и есть формула периметра параллелограмма, которая записана во всех учебниках.

Как рассчитать площадь параллелограмма

С площадью геометрических фигур всегда чуть сложнее, чем с периметрами. Но параллелограмм в какой-то мере уникален, потому что для расчета его площади существует сразу несколько формул.

  1. Вычисление площади параллелограмма по высоте.

    Напомним, высотой называют линию, которая выходит из вершины геометрической фигуры и идет под прямым углом к противоположному основанию.

  2. Вычисление площади параллелограмма по углам. Если известны длины сторон и хотя бы один угол, то можно применить следующую формулу.
  3. Вычисление площади параллелограмма по диагоналям. Для этого надо знать не только длину диагоналей, но и величину угла между ними. И тогда можно применять следующую формулу.

Источник: https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/parallelogramm-chto-ehto-takoe-opredelenie-svojstva-priznaki-perimetr.html

Параллелограмм

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Параллелограмм  — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.    На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями. Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:

ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)

BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом) AC и BD — диагонали параллелограмма.

  • Противоположные стороны параллелограмма равны
  • Противоположные углы параллелограмма равны
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
  • Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
  • Сумма всех углов равна 360°
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

  • Противоположные стороны попарно равны
  • Противоположные стороны попарно параллельны и равны
  • Противоположные углы попарно равны
  • Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
  • Сумма соседних углов равна 180 градусов
  • Две стороны равны и параллельны

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже: То есть:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
  3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  4. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними 
  5. Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
  6. Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Стороны параллелограмма можно найти через:

  • Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2) 
  • Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
  • Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
  • Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и 8)
  • Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
  • Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
  • Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Периметр параллелограмма может быть найден:

  • через его стороны (Формула 1)
  • через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
  • через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)

Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:

Содержание главы:

  • Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

0  

 Трапеция, описанная вокруг окружности | Описание курса | Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter84/

Презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему: Параллелограмм. Свойства и признаки. | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Параллелограмм 1

Слайд 2

Цели: Ввести понятие параллелограмма. Рассмотреть свойства параллелограмма. Рассмотреть признаки параллелограмма. Решение базовых задач. 2

Слайд 3

3 А В С D ABCD – параллелограмм. AB II CD, DC II AD. Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

  • Слайд 4
  • 4 А В С D Свойства параллелограмма 1 В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. ∠ A = ∠ C, ∠B = ∠D ВС = AD , АВ = С D
  • Слайд 5
  • 5 А В С D Свойства параллелограмма 2 Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. О ВО = О D , АО = ОС О – точка пересечения диагоналей
  • Слайд 6
  • 6 А В С D Свойства параллелограмма 3 В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 °. ∠А + ∠ D = 180 ° , ∠ D + ∠ C = 180 ° , ∠А + ∠ B = 180 ° , ∠В + ∠ C = 180 ° ,
  • Слайд 7
  • 7 А В С D Признаки параллелограмма 1 Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, АВ ∥ CD АВС D – параллелограмм
  • Слайд 8

8 А В С D 1 Доказательство Пусть АВ = С D и АВ ∥ С D , проведем диагональ АС.

Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ ACD – по двум сторонам и углу между ними (АС – общая, АВ = С D – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ С D и секущей АС. Поэтому ∠3 = ∠ 4 .

1 2 3 4 Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD. Таким образом, если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник АВС D — параллелограмм.

  1. Слайд 9
  2. 9 А В С D Признаки параллелограмма 2 Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D АВС D – параллелограмм
  3. Слайд 10

10 А В С D 2 АВС D — четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D . Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ ACD – по трем сторонам (АС – общая, АВ = С D , ВС = А D – по условию).

1 4 3 2 Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС. Отсюда следует, что АВ ∥ С D . Проведем диагональ АС.

Так как АВ ∥ С D и АВ = С D , то по признаку 1 четырехугольник АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

  • Слайд 11
  • 11 А В С D 3 О Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС АВС D – параллелограмм
  • Слайд 12

12 А В С D 3 О АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС. Доказательство 1 2 3 4 Проведем диагонали АС и BD.

Рассмотрим треугольники ∆ АО B и ∆ C О D : ∆ АО B = ∆ C О D – по первому признаку равенства треугольников (ВО = О D, АО = ОС – по условию, ∠ АО B = ∠ C О D – как вертикаль.) Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2. Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD .

Так как в четырехугольнике АВС D стороны АВ = CD и АВ ∥ CD , то по 1 признаку четырехугольник АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Слайд 13

13 Дано : Доказать : 1 АВС D – четырехугольник, ∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA АВС D – параллелограмм. Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : 1.

∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA – по условию, АС – общая; следовательно ∆ А BC = ∆ ACD – по стороне и двум прилежащим углам; поэтому ВС = AD. А В С D 2 .Так как ∠ B А C = ∠ ACD – накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС, AD и секущей — АС, то ВС ∥ AD . 3.

Так как ВС = AD и ВС ∥ AD , то по 1-му признаку параллелограмма АВС D – параллелограмм, что и требовалось доказать. Задача

Слайд 14

14 Ответить на вопросы: Спасибо за внимание! Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2017/10/30/parallelogramm-svoystva-i-priznaki

Ссылка на основную публикацию