Дифференциальные уравнения первого порядка

Приведена инструкция, как решать дифференциальные уравнения первого порядка. Перечислены основные типы обыкновенных ДУ первого порядка. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы с подробным изложением методов решения и разобранными примерами.

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: . Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида: , где .

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов: .

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на : . Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.

Уравнения с разделяющимися переменными

; . Делим на и интегрируем. При получаем: . Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Делаем подстановку . Тогда ; . Далее разделяем переменные и интегрируем.

Подробнее >>>

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:

,

где – функция от . Тогда ; . Разделяем переменные и интегрируем.

Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и : ; . Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль: ; . В результате получаем однородное уравнение в переменных и . Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и . Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

1) Метод интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель : ; . Далее интегрируем.

Подробнее >>>

2) Метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной : . ; . Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения: . Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для . Подробнее >>>

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа). Здесь мы сначала решаем однородное уравнение: Общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной : . Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем . Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной : . Подставляем в исходное уравнение:

;

. В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения: . Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Подробнее >>>

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкой уравнение Риккати приводится к виду:

,

где – постоянная;   ;   . Далее, подстановкой: оно приводится к виду:

,

где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице Дифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Решается подстановкой:

.

Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

• При условии
• .
• .
• .
• .

При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции: Тогда Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы: ; ; ; . Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель .

Интегрирующий множитель – это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей.

Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет. Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y'

Уравнения, допускающие решение относительно производной y'

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители: , то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:

;

; ; Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

Здесь – постоянная: , где – корень уравнения . Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

  или   Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда   или   . Далее интегрируем уравнение:

;

. В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:   или   также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр . Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение: ; . Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решение Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр. Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку . Подробнее >>>

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/

Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка

Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y''=fleft(x
ight)$. В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y'$, а зависит только от $x$. Решается это уравнение последовательным интегрированием.

• Представим его в таком виде: $frac{d}{dx} left(y'
  ight)=fleft(x
  ight)$, откуда $dleft(y'
  ight)=fleft(x
  ight)cdot dx$.
• Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $int dleft(y'
  ight) =int fleft(x
  ight)cdot dx $ или $y'=int fleft(x
  ight)cdot dx +C_{1} $, где $C_{1} $ — произвольная постоянная.
• Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=left(int fleft(x
  ight)cdot dx +C_{1}
  ight)cdot dx$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=int left(int fleft(x
ight)cdot dx +C_{1}
ight)cdot dx =int left(int fleft(x
ight)cdot dx
ight)cdot dx +int C_{1} cdot dx$. Окончательно получаем:$y=int left(int fleft(x
ight)cdot dx
ight)cdot dx +C_{1} cdot x+C_{2} $, где $C_{2} $ — произвольная постоянная.

Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$, которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(x
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

1. находим интеграл $I_{1} left(x
   ight)=int fleft(x
   ight)cdot dx $ и записываем первую производную искомой функции в виде $y'left(x,C_{1}
   ight)=I_{1} left(x
   ight)+C_{1} $;
2. находим интеграл $I_{2} left(x
   ight)=int I_{1} left(x
   ight)cdot dx $ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_{2} left(x
   ight)+C_{1} cdot x+C_{2} $;
3. для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y'$, а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_{1} $ и $C_{2} $.

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y''=4$. Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$, $y'=1$ при $x=1$.

В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$, ни от её производной $y'$. Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.

Находим интеграл $I_{1} left(x
ight)=int fleft(x
ight)cdot dx =int 4cdot dx =4cdot x$. Записываем выражение для первой производной в виде $y'left(x,C_{1}
ight)=I_{1} left(x
ight)+C_{1} $, то есть $y'=4cdot x+C_{1} $.

Находим интеграл $I_{2} left(x
ight)=int I_{1} left(x
ight)cdot dx =int 4cdot xcdot dx =2cdot x^{2} $. Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_{2} left(x
ight)+C_{1} cdot x+C_{2} $. Получаем: $y=2cdot x^{2} +C_{1} cdot x+C_{2} $.

Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y'=1$ при $x=1$ в выражение для $y'$: $1=4cdot 1+C_{1} $, откуда $C_{1} =-3$. Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$: $1=2cdot 1^{2} +left(-3
ight)cdot 1+C_{2} $, откуда $C_{2} =2$. Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2cdot x^{2} -3cdot x+2$.

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$, имеет вид $y''=fleft(x,y'
ight)$.

Для его решения применяют замену $y'=zleft(x
ight)$.

В свою очередь, поскольку $y'=zleft(x
ight)$, то $y'=phi left(x,C_{1}
ight)$. Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=int phi left(x,C_{1}
ight)cdot dx +C_{2} $.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(x,y'
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ — на $z$;
2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
3. найденное решение $z=phi left(x,C_{1}
   ight)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=phi left(x,C_{1}
   ight)$, которое допускает непосредственное интегрирование;
4. находим интеграл $I=int phi left(x,C_{1}
   ight)cdot dx $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} $.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения$y''-frac{y'}{x} =3cdot x$.

Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$, поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ — на $z$. Получаем: $z'-frac{z}{x} =3cdot x$.

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot x$.

Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=phi left(x,C_{1}
ight)$, то есть $y'=left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot x$. Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.

Находим интеграл $I=int phi left(x,C_{1}
ight)cdot dx =int left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot xcdot dx =x^{3} +C_{1} cdot frac{x^{2} }{2} $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} =x^{3} +C_{1} cdot frac{x^{2} }{2} +C_{2} $. Это общее решение можно представить также в виде $y=x^{3} +C_{1} cdot x^{2} +C_{2} $.

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

1. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$, имеет вид $y''=fleft(y,y'
   ight)$.
2. Для его решения применяют замену $y'=zleft(y
   ight)$.
3. Ищем вторую производную: $y''=frac{dleft(y'
   ight)}{dx} =frac{dleft(y'
   ight)}{dy} cdot frac{dy}{dx} =frac{dz}{dy} cdot frac{dy}{dx} =frac{dz}{dy} cdot zleft(y
   ight)$.

Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в данное дифференциальное уравнение: $zcdot frac{dz}{dy} =fleft(y,z
ight)$. Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной $z$, которая является функцией $y$. Решая его, находим $zleft(y
ight)=phi left(y,C_{1}
ight)$.

В свою очередь, поскольку $frac{dy}{dx} =zleft(y
ight)$, то $frac{dy}{dx} =phi left(y,C_{1}
ight)$. Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, общее решение которого можно найти из выражения $int frac{dy}{phi left(y,C_{1}
ight)} =x+C_{2} $.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(y,y'
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $zcdot z'$, а $y'$ — на $z$;
2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
3. найденное решение $z=phi left(y,C_{1}
   ight)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $frac{dy}{dx} =phi left(y,C_{1}
   ight)$, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными;
4. находим интеграл $I=int frac{dy}{phi left(y,C_{1}
   ight)} $ и получаем общее решение в виде $I=x+C_{2} $.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/differencialnye_uravneniya_privodimye_k_uravneniyam_pervogo_poryadka/

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядкаи уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

(1)

где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

, где — новая неизвестная функция от .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем

или

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

итак,

(6)

Подставляя это уравнение в , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

(7)

где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.

Подставляя в , после преобразования получаем

(8)

Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .

Пример 3. Решить задачу Коши: .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь

или

или

Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .

Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :

Найти силу тока для случая, когда и .

Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет

Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .

Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид

, где — текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем

Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .

Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

, где (при и это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Делим обе части уравнения на :

Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

или , общее решение которого Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения или

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

Итак, общее решение исходного уравнения .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .

• Деля обе части уравнения на , получаем .
• Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .
• Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .

В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем

или

Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно

или

Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=linyeinye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka-i-uravnenie-bernulli

Дифференциальные уравнения 1 порядка

• 19
• Конспект лекций
  по
• дифференциальным
  уравнениям
• Дифференциальные
  уравнения
• Введение

При изучении
некоторых явлений часто возникает
ситуация, когда процесс не удаётся
описать с помощью уравнения y=f(x)
или F(x;y)=0.
Помимо переменной х и неизвестной
функции , в уравнение входит производная
этой функции.

Определение:
Уравнение,
связывающее переменную х, неизвестную
функцию y(x)
и её производные называется дифференциальным
уравнением.
В общем виде дифференциальное уравнение
выглядит так:

F(x;y(x);;;…;y(n))=0

Определение:
Порядком
дифференциального уравнения называется
порядок входящей в него старшей
производной.

Определение:
Решением
дифференциального уравнения является
функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.

Определение:
Уравнение вида =f(x;y)
или F(x;y;)=0называется
дифференциальным уравнением 1 порядка.

Определение:
Общим решением
дифференциального уравнения 1 порядка
называется функция y=γ(x;c),
где (с –const),
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество. Геометрически
на плоскости общим решением соответствует
семейство интегральных кривых, зависящих
от параметра с.

Определение:Интегральная
кривая, проходящая через точку плоскости
с координатами (х0;y0)
соответствует частному решению
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальному условию:

Примеры:

Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка

Дано дифференциальное
уравнение 1 порядка

png» width=»85″>и
функцияf(x;y)
непрерывна вместе с частными производными
в некоторой области D
плоскости XOY,
тогда через точку М0(х0;y0)

png» width=»17″>D
проходит единственная кривая
соответствующая частному решению
дифференциального уравнения
соответствующему начальному условию
y(x0)=y0

Через точку
плоскости с данными координатами
проходит 1 интегральная кривая.

1. F(x;
   y;
   c) =0 –
   неявный вид
2. Общее решение в
   таком виде называется общим
   интегралом
   дифференциального уравнения.
3. По отношению к
   дифференциальному уравнению 1 порядка
   ставится 2 задачи:
4. 1)Найти общее
   решение (общий интеграл)

2)Найти частное
решение (частный интеграл) удовлетворяющее
заданному начальному условию. Эту задачу
называют задачей Коши для дифференциального
уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

умножим на dx

разделим переменные

переменные разделены

проинтегрируем
обе части уравнения

Дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными
можно записать в виде:

Проинтегрируем
обе части уравнения:

Примеры:

2)нач. условия:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение:
Функция называется однородной порядкаn,
если

Определение:
Однородная
функция порядка 0 называется однородной.

Определение:
Дифференциальное
уравнение называется однородным, если-
однородная функция, т.е

Таким образом
однородное дифференциальное уравнение
может быть записано в виде:

Замена

—
подставим в уравнение

Переменные
разделены, проинтегрируем обе части
уравнения

Пример:

Однородное
дифференциальное уравнение может быть
записано в дифференциальной форме.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0,
где M(x;y)
и N(x;y)
– однородные функции одинакового
порядка.

Пример:

Источник: https://studfile.net/preview/4402045/