Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Приведена инструкция, как решать дифференциальные уравнения первого порядка. Перечислены основные типы обыкновенных ДУ первого порядка. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы с подробным изложением методов решения и разобранными примерами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: . Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида: , где .

Читайте также:  Факториал, примеры решения

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов: .

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на : . Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид: , то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид: .

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула хлора в химии

Оценим за полчаса!

Уравнения с разделяющимися переменными

; . Делим на и интегрируем. При получаем: . Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Делаем подстановку . Тогда ; . Далее разделяем переменные и интегрируем.

Подробнее >>>

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:

,

где – функция от . Тогда ; . Разделяем переменные и интегрируем.

Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и : ; . Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль: ; . В результате получаем однородное уравнение в переменных и . Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и . Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

1) Метод интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель : ; . Далее интегрируем.

Подробнее >>>

2) Метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной : . ; . Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения: . Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для . Подробнее >>>

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа). Здесь мы сначала решаем однородное уравнение: Общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной : . Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем . Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной : . Подставляем в исходное уравнение:

;

. В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения: . Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Подробнее >>>

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкой уравнение Риккати приводится к виду:

,

где – постоянная;   ;   . Далее, подстановкой: оно приводится к виду:

,

где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице Дифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Решается подстановкой:

.

Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

  • При условии
  • .
  • .
  • .
  • .

При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции: Тогда Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы: ; ; ; . Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель .

Интегрирующий множитель – это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей.

Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет. Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y'

Уравнения, допускающие решение относительно производной y'

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители: , то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:

;

; ; Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

Здесь – постоянная: , где – корень уравнения . Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

  или   Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда   или   . Далее интегрируем уравнение:

;

. В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:   или   также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр . Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение: ; . Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решение Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр. Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку . Подробнее >>>

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/

Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка

Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y''=fleft(x
ight)$. В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y'$, а зависит только от $x$. Решается это уравнение последовательным интегрированием.

  • Представим его в таком виде: $frac{d}{dx} left(y'
    ight)=fleft(x
    ight)$, откуда $dleft(y'
    ight)=fleft(x
    ight)cdot dx$.
  • Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $int dleft(y'
    ight) =int fleft(x
    ight)cdot dx $ или $y'=int fleft(x
    ight)cdot dx +C_{1} $, где $C_{1} $ — произвольная постоянная.
  • Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=left(int fleft(x
    ight)cdot dx +C_{1}
    ight)cdot dx$.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=int left(int fleft(x
ight)cdot dx +C_{1}
ight)cdot dx =int left(int fleft(x
ight)cdot dx
ight)cdot dx +int C_{1} cdot dx$. Окончательно получаем:$y=int left(int fleft(x
ight)cdot dx
ight)cdot dx +C_{1} cdot x+C_{2} $, где $C_{2} $ — произвольная постоянная.

Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$, которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(x
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

  1. находим интеграл $I_{1} left(x
    ight)=int fleft(x
    ight)cdot dx $ и записываем первую производную искомой функции в виде $y'left(x,C_{1}
    ight)=I_{1} left(x
    ight)+C_{1} $;
  2. находим интеграл $I_{2} left(x
    ight)=int I_{1} left(x
    ight)cdot dx $ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_{2} left(x
    ight)+C_{1} cdot x+C_{2} $;
  3. для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y'$, а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_{1} $ и $C_{2} $.

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y''=4$. Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$, $y'=1$ при $x=1$.

В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$, ни от её производной $y'$. Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.

Находим интеграл $I_{1} left(x
ight)=int fleft(x
ight)cdot dx =int 4cdot dx =4cdot x$. Записываем выражение для первой производной в виде $y'left(x,C_{1}
ight)=I_{1} left(x
ight)+C_{1} $, то есть $y'=4cdot x+C_{1} $.

Находим интеграл $I_{2} left(x
ight)=int I_{1} left(x
ight)cdot dx =int 4cdot xcdot dx =2cdot x^{2} $. Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_{2} left(x
ight)+C_{1} cdot x+C_{2} $. Получаем: $y=2cdot x^{2} +C_{1} cdot x+C_{2} $.

Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y'=1$ при $x=1$ в выражение для $y'$: $1=4cdot 1+C_{1} $, откуда $C_{1} =-3$. Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$: $1=2cdot 1^{2} +left(-3
ight)cdot 1+C_{2} $, откуда $C_{2} =2$. Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2cdot x^{2} -3cdot x+2$.

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$, имеет вид $y''=fleft(x,y'
ight)$.

Для его решения применяют замену $y'=zleft(x
ight)$.

При этом $y''=z'left(x
ight)$. После подстановки данное дифференциальное уравнение приобретает вид дифференциального уравнения первого порядка относительно $z$, то есть $z'=fleft(x,z
ight)$. Решая его, находим $zleft(x
ight)=phi left(x,C_{1}
ight)$.

В свою очередь, поскольку $y'=zleft(x
ight)$, то $y'=phi left(x,C_{1}
ight)$. Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=int phi left(x,C_{1}
ight)cdot dx +C_{2} $.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(x,y'
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

  1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ — на $z$;
  2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
  3. найденное решение $z=phi left(x,C_{1}
    ight)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=phi left(x,C_{1}
    ight)$, которое допускает непосредственное интегрирование;
  4. находим интеграл $I=int phi left(x,C_{1}
    ight)cdot dx $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} $.

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения$y''-frac{y'}{x} =3cdot x$.

Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$, поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $z'$, а $y'$ — на $z$. Получаем: $z'-frac{z}{x} =3cdot x$.

Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot x$.

Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y'=phi left(x,C_{1}
ight)$, то есть $y'=left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot x$. Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.

Находим интеграл $I=int phi left(x,C_{1}
ight)cdot dx =int left(3cdot x+C_{1}
ight)cdot xcdot dx =x^{3} +C_{1} cdot frac{x^{2} }{2} $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_{2} =x^{3} +C_{1} cdot frac{x^{2} }{2} +C_{2} $. Это общее решение можно представить также в виде $y=x^{3} +C_{1} cdot x^{2} +C_{2} $.

Читайте также:  Формула дифракционной решетки

Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.

  1. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$, имеет вид $y''=fleft(y,y'
    ight)$.
  2. Для его решения применяют замену $y'=zleft(y
    ight)$.
  3. Ищем вторую производную: $y''=frac{dleft(y'
    ight)}{dx} =frac{dleft(y'
    ight)}{dy} cdot frac{dy}{dx} =frac{dz}{dy} cdot frac{dy}{dx} =frac{dz}{dy} cdot zleft(y
    ight)$.

Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в данное дифференциальное уравнение: $zcdot frac{dz}{dy} =fleft(y,z
ight)$. Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной $z$, которая является функцией $y$. Решая его, находим $zleft(y
ight)=phi left(y,C_{1}
ight)$.

В свою очередь, поскольку $frac{dy}{dx} =zleft(y
ight)$, то $frac{dy}{dx} =phi left(y,C_{1}
ight)$. Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, общее решение которого можно найти из выражения $int frac{dy}{phi left(y,C_{1}
ight)} =x+C_{2} $.

Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y''=fleft(y,y'
ight)$ может быть представлен в следующем виде:

  1. переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y''$ на $zcdot z'$, а $y'$ — на $z$;
  2. полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
  3. найденное решение $z=phi left(y,C_{1}
    ight)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $frac{dy}{dx} =phi left(y,C_{1}
    ight)$, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными;
  4. находим интеграл $I=int frac{dy}{phi left(y,C_{1}
    ight)} $ и получаем общее решение в виде $I=x+C_{2} $.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/differencialnye_uravneniya_privodimye_k_uravneniyam_pervogo_poryadka/

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядкаи уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

(1)

где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

, где — новая неизвестная функция от .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от . Нормальный вид такого уравнения

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем

или

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

итак,

(6)

Подставляя это уравнение в , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

(7)

где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.

Подставляя в , после преобразования получаем

(8)

Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .

Пример 3. Решить задачу Коши: .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь

или

Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например , и подставляя его, получаем уравнение , из которого находим функцию . Следовательно, общее решение уравнения будет

или

Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .

Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :

Найти силу тока для случая, когда и .

Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет

Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .

Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид

, где — текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем

Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .

Пример 6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: ограничено при .

Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

, где (при и это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Делим обе части уравнения на :

Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

или , общее решение которого Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения или

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

Итак, общее решение исходного уравнения .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .

  • Деля обе части уравнения на , получаем .
  • Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .
  • Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .

В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем

или

Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно

или

Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=linyeinye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka-i-uravnenie-bernulli

Дифференциальные уравнения 1 порядка

  • 19
  • Конспект лекций
    по
  • дифференциальным
    уравнениям
  • Дифференциальные
    уравнения
  • Введение

При изучении
некоторых явлений часто возникает
ситуация, когда процесс не удаётся
описать с помощью уравнения y=f(x)
или F(x;y)=0.
Помимо переменной х и неизвестной
функции , в уравнение входит производная
этой функции.

Определение:
Уравнение,
связывающее переменную х, неизвестную
функцию y(x)
и её производные называется дифференциальным
уравнением.
В общем виде дифференциальное уравнение
выглядит так:

F(x;y(x);;;…;y(n))=0

Определение:
Порядком
дифференциального уравнения называется
порядок входящей в него старшей
производной.

Определение:
Решением
дифференциального уравнения является
функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.

Определение:
Уравнение вида =f(x;y)
или F(x;y;)=0называется
дифференциальным уравнением 1 порядка.

Определение:
Общим решением
дифференциального уравнения 1 порядка
называется функция y=γ(x;c),
где (с –const),
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество. Геометрически
на плоскости общим решением соответствует
семейство интегральных кривых, зависящих
от параметра с.

Определение:Интегральная
кривая, проходящая через точку плоскости
с координатами (х0;y0)
соответствует частному решению
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальному условию:

Примеры:

Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка

Дано дифференциальное
уравнение 1 порядка

png» width=»85″>и
функцияf(x;y)
непрерывна вместе с частными производными
в некоторой области D
плоскости XOY,
тогда через точку М0(х0;y0)

png» width=»17″>D
проходит единственная кривая
соответствующая частному решению
дифференциального уравнения
соответствующему начальному условию
y(x0)=y0

Через точку
плоскости с данными координатами
проходит 1 интегральная кривая.

  1. F(x;
    y;
    c) =0 –
    неявный вид
  2. Общее решение в
    таком виде называется общим
    интегралом
    дифференциального уравнения.
  3. По отношению к
    дифференциальному уравнению 1 порядка
    ставится 2 задачи:
  4. 1)Найти общее
    решение (общий интеграл)

2)Найти частное
решение (частный интеграл) удовлетворяющее
заданному начальному условию. Эту задачу
называют задачей Коши для дифференциального
уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

умножим на dx

разделим переменные

переменные разделены

проинтегрируем
обе части уравнения

Дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными
можно записать в виде:

Проинтегрируем
обе части уравнения:

Примеры:

2)нач. условия:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение:
Функция называется однородной порядкаn,
если

Определение:
Однородная
функция порядка 0 называется однородной.

Определение:
Дифференциальное
уравнение называется однородным, если-
однородная функция, т.е

Таким образом
однородное дифференциальное уравнение
может быть записано в виде:

Замена


подставим в уравнение

Переменные
разделены, проинтегрируем обе части
уравнения

Пример:

Однородное
дифференциальное уравнение может быть
записано в дифференциальной форме.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0,
где M(x;y)
и N(x;y)
– однородные функции одинакового
порядка.

Пример:

Источник: https://studfile.net/preview/4402045/

Ссылка на основную публикацию