Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Введение
• Методы решения дифференциальных уравнений условно классифицируются по следующему признаку:
• — точное решение, позволяющее представить искомую функцию в элементарных функциях;
• — приближенные решения, в которых точное решение получается как предел некоторой последовательности; в этом случае, как правило, используются разложения искомой функции в ряды Тэйлора, Фурье и так далее;
• — численные решения, когда искомая функция определяется для конечного числа значений аргумента в узлах разностной сетки.

Благодаря развитию современных средств вычислительной техники методы решения дифференциальных уравнений с использованием компьютеров, в том числе персональных, получили широкое распространение. Задачи теплопроводности, механики жидкостей и газов, механики твердого деформируемого тела и многие другие были решены в основном благодаря широкому использованию сеточных методов. Вместе с тем следует иметь в виду, что неквалифицированное применение разностных схем к решению дифференциальных уравнений приводит к получению решений, далеких от истинных. Поэтому понятен интерес к теории разностных схем, позволяющей еще на стадии разработки алгоритма решения сложной инженерной проблемы выяснить условия успешной реализации вычислительной модели.

Одним из важнейших вопросов является оценка порядка аппроксимации применяемой разностной схемой исходного дифференциального уравнения, позволяющая судить о степени адекватности используемой сеточной модели исходной дифференциальной задаче.

Основная идея решения дифференциальных уравнений численными методами на ЭВМ заключается, как правило, в сведении исходной задачи к решению систем алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. При этом естественно возникает вопрос о разрешимости этой получаемой системы.

Поскольку решить систему с бесконечным числом алгебраических уравнений невозможно, весьма актуальным представляется вопрос об оценке погрешности получаемых численных решений исходной дифференциальной задачи.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
2. Решением, интегралом или интегральной кривой обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
3. , или

Различают три типа задач:

• — граничная задача[1], когда условия на искомую функцию задаются для нескольких различных значений аргумента, , ;
• — задачи на собственные значения, когда в формулировку задачи входят неопределенные параметры, определяемые из самой задачи (нахождение частот собственных колебаний многомассовых систем).
• Численные методы следует применять лишь к корректно поставленным задачам, то есть таким, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных, то есть от начальных (граничных) условий и коэффициентов уравнения.
• Численное решение задачи считается корректным, если исходная задача поставлена корректно, и ее дискретный аналог сохраняет свойства корректности, то есть получаемая система алгебраических уравнений однозначно разрешима и устойчива[2] по входным данным.

Пример 1.1. На материальную точку массы m, находящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная периодическая сила . Определить закон движения точки, если ее начальная скорость v0.

Уравнение, описывающее движение точки, имеет вид:

В качестве начальных условий примем:

Интегрирование исходного уравнения с заданными начальными условиями дает решение

Очевидно, что при малом отклонении величины v0 от выбранного значения, например за счет погрешности округления данных в ЭВМ, при численном решении задачи получаем (рис. 1)

Таким образом, даже при корректно поставленной задаче ее численное решение может быть связано со значительными трудностями.

Рис. 1.1. Действительное (нижняя кривая) и возмущенное (верхняя кривая) решения задачи из примера 1.1.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_11029_obiknovennie-differentsialnie-uravneniya.html

Обыкновенные дифференциальные уравнения — matematiku5.ru

Глава 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

При изучении интегрального исчисления функций одной переменной приходилось отыскивать неизвестную функцию по ее производной или дифференциалу. Практически решалось уравнение или (у – неизвестная функция от х, f(x) – заданная функция), которое является простейшим дифференциальным уравнением.

Гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида. В эти уравнения может входить не только у’, независимая переменная х, но и сама неизвестная функция.

• Пример:
• Заменяя на , эти уравнения можно переписать в дифференциальной форме:

Мы будем рассматривать такие дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит только от одного аргумента. Такие уравнения называют обыкновенными.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от многих/нескольких аргументов, называют уравнениями в частных производных*).

В настоящем курсе будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Раздел 8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

8.1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение.

Пусть — уравнение искомой кривой, М(х, у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у’ . По условию задачи АМ=МВ, т. е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т. е. получилось дифференциальное уравнение относительно у. Этому уравнению удовлетворяет функция *), где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство» кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х0,у0), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из .

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М0, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т. е. . Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается. Обращаем внимание на тот факт, что величина М0 не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях), установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды*). Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

Решение.

Пусть тело нагрето до температуры Т0. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тс (Тс

Источник: http://matematiku5.ru/uchebnye-materialy-po-matematike/obyknovennye-differencialnye-uravneniya

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939 (pdf)

Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (pdf)

Аносов Д.В. (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). М.: Мир, 1977(pdf)

Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (pdf)

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970 (pdf)

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 (pdf)

Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969 (pdf)

Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950 (pdf)

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967 (pdf)

Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974 (pdf)

Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913 (pdf)

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979 (pdf)

Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: АН БССР, 1963 (pdf)

Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГУ, 1956 (pdf)

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)

Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989 (pdf)

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971 (pdf)

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972 (pdf)

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). М.: Наука, 1971 (pdf)

Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959 (pdf)

Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979 (pdf)

Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958 (pdf)

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (pdf)

Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (pdf)

Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (pdf)

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959 (pdf)

Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962 (pdf)

Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933 (pdf)

Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957 (pdf)

Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. Л.-М., ГИТТЛ, 1934 (pdf)

Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964 (pdf)

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (pdf)

Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (pdf)

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966 (pdf)

Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук. думка, 1972 (pdf)

Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967 (pdf)

Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975 (pdf)

Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (pdf)

Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910 (pdf)

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969 (pdf)

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947 (pdf)

Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964 (pdf)

Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1973 (pdf)

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974 (pdf)

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947 (pdf)

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987 (pdf)

Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 1. М.: ИЛ, 1953 (pdf)

Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 2. М.: ИЛ, 1954 (pdf)

Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970 (pdf)

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977 (pdf)

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). М.: ГТТИ, 1950 (pdf)

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959 (pdf)

Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 1. М.: ИЛ, 1960 (pdf)

Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том 2. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962 (pdf)

Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977 (pdf)

Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966 (pdf)

Фрёман H., Фрёман П.У. ВКБ-приближение М.: Мир, 1967 (pdf)

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 (pdf)

Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965 (pdf)

Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964 (djvu)

Четаев Н.Г. Устойчивость движения (3-е изд.). М.: Наука, 1965 (pdf)

Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947 (pdf)

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969 (pdf)

Источник: https://ikfia.ysn.ru/obyknovennye-differentsialnye-uravneniya/

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Решение
  различных геометрических, физических
  и инженерных задач часто приводят к
  уравнениям, которые связывают независимые
  переменные, характеризующие ту ил иную
  задачу, с какой – либо функцией этих
  переменных и производными этой функции
  различных порядков.
• В
  качестве примера можно рассмотреть
  простейший случай равноускоренного
  движения материальной точки.
• Известно,
  что перемещение материальной точки при
  равноускоренном движении является
  функцией времени и выражается по формуле:

В
свою очередь ускорение a
является производной по времени t
от скорости V,
которая также является производной по
времени t
от перемещения S. Т.е.

Определение.
Дифференциальным
уравнениемназывается
уравнение, связывающее независимые
переменные, их функции и производные
(или дифференциалы) этой функции.

Определение.
Если дифференциальное уравнение имеет
одну независимую переменную, то оно
называется обыкновенным
дифференциальным уравнением,
если же независимых переменных две или
более, то такое дифференциальное
уравнение называется дифференциальным
уравнением в частных производных.

Определение.
Наивысший порядок производных, входящих
в уравнение, называется порядком
дифференциального уравнения.

Пример.

— обыкновенное
дифференциальное уравнение 1 – го
порядка. В общем виде записывается .

— обыкновенное
дифференциальное уравнение 2 – го
порядка. В общем виде записывается

Определение.
Общим
решениемдифференциального
уравнения называется такая дифференцируемая
функция y
= (x,
C),
которая при подстановке в исходное
уравнение вместо неизвестной функции
обращает уравнение в тождество

Свойства общего решения

1)
Т.к. постоянная С – произвольная величина,
то вообще говоря дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество
решений.

2)
При каких- либо начальных условиях х =
х0,
у(х0)
= у0
существует такое значение С = С0,
при котором решением дифференциального
уравнения является функция у = (х,
С0).

Определение.
Решение вида у = (х,
С0)
называется частным
решениемдифференциального
уравнения.

Определение.
Задачей
Коши(Огюстен Луи
Коши (1789-1857)- французский математик)
называется нахождение любого частного
решения дифференциального уравнения
вида у = (х,
С0),
удовлетворяющего начальным условиям
у(х0)
= у0.

Теорема
Коши.
(теорема о существовании и единственности
решения дифференциального уравнения
1- го порядка)

Если
функция f(x,
y)
непрерывна в некоторой области D
в плоскости XOY
и имеет в этой области непрерывную
частную производную

png» width=»84″>,
то какова бы не была точка (х,
у)
в области D,
существует единственное решение уравнения

bHAa/img-iVUgZd.png» width=»84″>,
определенное в некотором интервале,
содержащем точку х,
принимающее при х = х
значение (х)
= у,
т.е.

существует единственное решение
дифференциального уравнения.

Определение.
Интеграломдифференциального
уравнения называется любое уравнение,
не содержащее производных, для которого
данное дифференциальное уравнение
является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального
уравнения .

Допустим,
заданы некоторые начальные условия: x0
= 1; y0
= 2, тогда имеем

При
подстановке полученного значения
постоянной в общее решение получаем
частное решение при заданных начальных
условиях (решение задачи Коши).

Определение.
Интегральной
кривойназывается
график y
= (x)
решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение.
Особым
решениемдифференциального
уравнения называется такое решение, во
всех точках которого условие единственности
Коши (см. Теорема
Коши.
) не выполняется, т.е. в окрестности
некоторой точки (х, у) существует не
менее двух интегральных кривых.

Особые решения не
зависят от постоянной С.

Особые
решения нельзя получить из общего
решения ни при каких значениях постоянной
С. Если построить семейство интегральных
кривых дифференциального уравнения,
то особое решение будет изображаться
линией, которая в каждой своей точке
касается по крайней мере одной интегральной
кривой.

Отметим,
что не каждое дифференциальное уравнение
имеет особые решения.

Пример.
Найти общее решение дифференциального
уравнения:
Найти особое решение, если оно существует.

Данное
дифференциальное уравнение имеет также
особое решение у
= 0. Это решение невозможно получить из
общего, однако при подстановке в исходное
уравнение получаем тождество. Мнение,
что решение y
= 0 можно
получить из общего решения при С1
= 0
ошибочно,
ведь C1
= eC
0.

Далее
рассмотрим подробнее приемы и методы,
которые используются при решении
дифференциальных уравнений различных
типов.

Источник: https://studfile.net/preview/6324323/