Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Треугольники

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

      Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

      Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.

Признаки равенства треугольников, формулы и примерыПризнаки равенства треугольников, формулы и примеры

  • Рис.1
  •       В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов.
  • Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов
Рисунок Тип треугольника Определение
Признаки равенства треугольников, формулы и примеры Остроугольный треугольник Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным
Признаки равенства треугольников, формулы и примеры Прямоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным
Признаки равенства треугольников, формулы и примеры Тупоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным
Остроугольный треугольник
Признаки равенства треугольников, формулы и примерыОпределение:Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным
Прямоугольный треугольник
Признаки равенства треугольников, формулы и примерыОпределение:Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным
Тупоугольный треугольник
Определение:Треугольник, у которого один из углов тупой, называют тупоугольным

      В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.

Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники

Рисунок Тип треугольника Определение
Равнобедренный треугольник Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника
Равносторонний (правильный) треугольник Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником
Равнобедренный треугольник
Определение:Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника
Равносторонний (правильный) треугольник
Определение:Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником

Признаки равенства треугольников

  1.       Треугольники называют равными, если их можно совместить наложением.
  2.       В таблице 3 приведены признаки равенства треугольников.

  3. Таблица 3 – Признаки равенства треугольников
Рисунок Название признака Формулировка признака
Признак равенства треугольников подвум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников постороне и двум прилежащим к ней углам Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников потрём сторонам Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними
Формулировка признака.Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам
Формулировка признака.Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников по трём сторонам
Формулировка признака.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

      Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула муравьиного спирта в химии

Оценим за полчаса!

      Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 2), две другие стороны называют катетами.

  • Рис.2
  • Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников
Рисунок Название признака Формулировка признака
Признак равенства прямоугольных треугольников подвум катетам Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников покатету и прилежащему острому углу Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников покатету и противолежащему острому углу Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников погипотенузе и острому углу Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников покатету и гипотенузе Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Формулировка признака. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу
Формулировка признака. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Формулировка признака.Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
Формулировка признака.Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
Формулировка признака. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/treq.htm

Как репетитор по математике работает с темой «признаки равенства треугольников»

С темы «признаки равенства треугольников» фактически начинается изучение курса геометрии в 7 классе.

В этот период репетитор по математике занимается построением очень важной основы предмета – логической основы.

На некоторое время приходится отложить в сторону вычислительные заботы предыдущих тем (смежные и вертикальные углы) и всецело посвятить уроки искусству построения логических выводов.

Изучение нового материала всегда сопряжено с определенными проблемами, которые в данной теме многократно усиливаются, ибо механизмы, позволяющие решать задачи, принципиально меняются. Теперь репетитор по математике заставляет ученика не только подбирать действия и находить ответ, но и оформлять объяснения.

Да еще какие!!! Работа, можно сказать, ювелирная. Каждое неряшливое слово, каждое лишнее слово может смутить и запутать ребенка. Однако аккуратно преподнести тему можно. Что должен сделать для ее понимания репетитор по математике? Какие методы я использую? Постараюсь ответить на эти вопросы.

Как правило, ученики не усваивают школьное объяснение. Шумная обстановка, невозможность вовремя и четко сформулировать неясность, если она возникает, приводит к тому, что всю черновую работу по внесению ясности в происходящее выполняет репетитор по математике. Как будто ученика не было в классе.

Преподаватели в школе в большинстве случаев сами толком не могут подобрать нужные слова для весьма сложной и новой для школьника системы действий. Обычно пояснения к использованию признаков достаточно мутные или очень длинные и сложные. Решенные задачи ясности тоже не приносят.

Доска стремительно заполняется какими-то равенствами, сокращенными фразами, обозначениями, стрелками, скобками. С непривычки разобраться в этом потоке информации крайне сложно даже сильному ученику. Какие то равенства можно использовать сразу, а какие то только после каких-то записей. Туман в голове ученика возникает мгновенно.

Весь этот коктейль из чисел, букв и фраз просто сканируется в тетрадь без всякого изучения. В такие моменты ребенок часто сам выступает с инициативой поиска репетитора по математике.

В классе преподаватель математики почти не объясняет механизм работы признаков как таковых. Они просто используются в задачах с расчетом на то, что ученики со временем сами поймут смысл.

Классу диктуется текст первого признака, и сразу же предлагается задачи на его применение : «отрезки AB и CD имеют общую середину. Найдите AC, если BD равно 5см.

» Типовой номер, рассматривающийся в 99 случаях из 100.

План репетитора математики

1) Изучить первый признак раньше школы
Это очень важно потому, что если репетитор по математике даст урок, например, на первый признак после школьного, то вполне возможно, что в его распоряжении не останется ни одной содержательный задачи с оригинальным условием.

Средств для обоснования равенства треугольников в 7 классе крайне мало. Равные углы между сторонами могут быть или равными углами по условию, или вертикальными, или равны как смежные с равными. Иных комбинаций нет. Никаких углов при основании или накрест лежащих углов.

При крайне скудной дидактике репетитор по математике, ведомый школой редко усложняет себе работу.

2) Повторить определение равных треугольников
Эта работа проводится быстро и устно. Репетитор по математике напоминает, что о равенстве треугольников (по Погорелову) можно говорить в том случае, если у треугольников имеются шесть пар равных элементов. Репетитор может выписать все эти пары в тетрадь по конкретному примеру.

Далее – важно сказать, что на практике никто не проверяет все эти 6 равенств. Достаточно проверить только три из них. Какие? И вот тогда репетитор по математике вводит признак «две стороны и угол между ними». Можно обвести в выписанных равенствах те элементы, о которых идет речь.

3) доказательство признака (ов).
Я не советую репетиторам математики демонстрировать доказательства.

Практика общения с учениками показывает, что а) в них тяжело разобраться б) их сразу же забывают в) на отработку доказательств и даже на их демонстрацию не хватает времени г) на усвоении практических навыков решения задач они не влияют.

Если репетитором по математике ставится цель научить искусству проведения доказательств, то для этого есть куда более простые и полезные теоремы.

4) Запись в теоретическую тетрадь.

Читайте также:  Как файл pdf перевести в word

Записывается текст (формулировка признака) и рядом с ним предлагается картинка с отмеченными элементами треугольника, при которых признак можно использовать.

Кроме этого нужно показать схему работы признака. Важно использовать четкую оформления и показать ее в том виде, в котором она используется при решении задач. У меня она выглядит следующим образом:

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

5) Обучение культуре обозначений
Репетитору по математике обязательно нужно уделить внимание обучению равных треугольников. Выписывать буквы (вершины треугольников) нужно так, чтобы выявленные равные элементы треугольников стояли на соответствующих местах .

Для этого репетитор математики может предложить отдельные задания такого рода: обозначьте правильно треугольники, изображенные на рисунке, и запишите их равенство:
Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Сначала репетитор по математике обсуждает саму возможность этой записи и задает ученику контрольный вопрос: «Кто гарантирует равенство треугольников?» Именно так.

В этом случае с легкой руки репетитора первый признак равенства треугольников превращается в некий одушевленный персонаж – блюститель порядка или хранитель закона, который может разрешить или не разрешить ученику произвести те или иные логические действия.

Перед тем как использовать равенство треугольников ученик, скорее всего, вспомнит вопрос репетитора и призадумается: есть ли гарантия этого равенства или ее нет.

После того, как придет понимание признака, нужно научить школьника правильно записывать равные треугольники в разных ситуациях. Репетитор по математике объясняет: «Вершины первого из них можно указать в любом порядке и отметить порядок их следования стрелкой.

В том же порядке нужно записать вершины другого треугольника. Двигаясь по этой стрелке, мы проходим сначала сторону с «одной черточкой», затем попадает в отмеченный угол, а потом идем «по двум черточкам» к последней вершине.

Вершины другого треугольника нужно записать в том же порядке: «черточка»—>«угол»—> «две черточки».

Если репетитор по математике проходит с уче6ником второй признак, то лучше всего ориентироваться по углам: «дуга» —> «две дуги» —> «пустой угол» для одной записи и также «дуга» -> «две дуги» —> «пустой угол» для другой.

Такой формализм позволяет репетитору по математике научить ученика делать выводы о равенстве элементов без помощи рисунка. Если ребенок в 7 классе привыкнет к соответствию, ему будет проще в дальнейшем, например, при работе с такой темой как подобие.

Соответствие — важный элемент для правилого усвоения темы «равные треугольники». Не зря в формулировке признаков употрбляется слово соответствующие Репетитору необходимо

Техника решения и оформления задач
1. Отметить карандашом равные элементы в треугольниках и расказать репетитору как работает признак при таких условиях.

2. Записать: рассмотрим и

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры
обозначая треугольники в соответствующем для элементов порядке.

3. Выделить три строчки для записи равных элементов. Советую репетиторам математики требовать от ученика нумеровать строки (в колонку) до их заполнения. Номера напомнят о необходимости указать и объяснить все три равенства.

4. Заполнение строк.
Все равенства должны поясняться. При заполнении каждой строки, в случае использования углов, репетитор по математике может использовать такой прием: угол первого треугольника обозначается по рисунку.

После этого репетитор закрывает рисунок и просит определить парный элемент по обозначению в строке «рассмотрим…». Затем рисунок открывается и ученик проверят, тот ли угол был обозначен. Если что-то не сходится, значит допущена ошибка в обозначении треугольников.

Метод приучает школьника к проверке соответствий.

5. Cделать вывод о равенстве тех треугольников, которые рассматривались (сохраняя их обозначение) и подписать номер используемого признака рядом с записью равенства.

Как репетитор по математике добивается понимания темы?

Нужно научить школьника выполнять логические переходы от одного факта к другому, выстраивая их в цепочку. Четкие и точные фразы — комментарии репетитора – важная составляющая методики объяснения. Ребенок должен понять, в каких ситуациях он имеет право использовать равенство сторон (или углов) у двух треугольников.

Важно усвоить, как работать с записью Признаки равенства треугольников, формулы и примеры еще до изучения первого признака. Репетитор по математике произносит следующее: «Все равенства используются только с чьего-либо разрешения. Первый признак разрешает использовать равенство треугольников, если мы проверим равенство трех пар элеменов. Если нам станет известно, что Признаки равенства треугольников, формулы и примеры (это будет написано в условии или мы это докажем через признак), то имеем право пользоваться всеми шестью равенствами соответствующих сторон и углов». Фраза «имеем право» очень хорошо передает смысл происходящего и быстро запоминается. Она четкая и точная. Если имеешь право, значит делаешь правильный вывод. В процессе решения задачи, когда ребенок записал Признаки равенства треугольников, формулы и примеры, репетитор по математике задает наводящий вопросом «что полезного мы имеем право взять из этого равенства». Как правило, дети сразу догадываются, что именно им подсказывают.

Как репетитор работает с памятью?
Дети в 7 классе часто забывают номера признаков, особенно путают первый со вторым. Как репетитору по математике помочь их запомнить? Очень просто.

Номер признака совпадает с количеством участвующих в нем углов (у одного из треугольников). По двум сторонам и углу между ними — первый. По сторону и двум прилежащим углами — второй.

Выбивается из общего правила только третий признак, но с ним не возникакет никакиих проблем. Три стоорны — третий.

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, м.Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/kak-repetitor-po-matematike-rabotaet-s-temoj-priznaki-ravenstva-treugolnikov/

Построение треугольников. Признаки равенства треугольников

Построение треугольников по одному или двум элементам

Пусть требуется построить треугольник по данной стороне а. Так как об углах треугольника и о других его сторонах ничего не сказано, то можем построить сколько угодно различных треугольников, у которых одна сторона будет равна отрезку а

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Пусть требуется построить треугольник по данному углу α. В этом случае также можно построить сколько угодно различных треугольников, имеющих данный угол,

Точно так же можно построить сколько угодно различных треугольников по двум сторонам, или по двум углам, или по углу и стороне (см. рис.).

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

  • Таким образом, если будут заданы только один или два элемента треугольника, то по этим элементам можно построить сколько угодно различных треугольников.
  • Далее о построении треугольников не по одному и не по двум, а по трём элементам:
  • Пусть требуется построить треугольник, одна сторона которого равна, например,
  • 35 мм, другая сторона равна 32 мм и угол, заключённый между этими сторонами, равен 46°.

Построим с помощью транспортира ∠A, равный 46°, и на его сторонах отложим отрезки АВ и АС, соответственно равные 35 мм и 32 мм. Соединив точки В и С, получим искомый треугольник ABC.

По тем же данным построим другой треугольник — Δ А’В’С’.

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Докажем, что эти треугольники равны между собой.

Для этого наложим Δ А’В’С на Δ AВС так, чтобы вершины А’ и А совместились. Сторону А’С’ направим по стороне АС. Тогда точка С совместится с точкой С’, потому что А’С’ = АС.

Сторона А’В’ пойдёт по стороне АВ, так как ∠A’ = ∠A. Точка В’ совместится с точкой В, так как А’В’ = АВ. Если точки С и С’, В и В’ совместились, то совместятся и стороны В’С’ и ВС.

  1. Треугольники ABC и А’В’С’ совпали, значит, они равны.
  2. Мы можем по этим же данным построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.
  3. Таким образом, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.
  4. Назовём это первым признаком равенства треугольников.
  5. Пусть требуется построить треугольник, одна сторона которого равна, например, 40 мм, а углы, прилежащие к ней, равны 50° и 48°.

На произвольной прямой построим отрезок АС, равный 40 мм. Затем на этом отрезке при точке А построим угол, равный 50°, а при точке С — угол, равный 48°.

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Если мы достаточно продолжим стороны этих углов, то они пересекутся в некоторой точке В. Получим треугольник ABC.

По тем же данным построим другой треугольник — Δ А’В’С’ и докажем, что эти треугольники будут равны между собой.

Для этого наложим Δ А’В’С’ на Δ ABC так, чтобы совместились равные стороны АС и А’С’. Тогда сторона А’В’ пойдёт по стороне АВ, так как ∠A’ = ∠A, и сторона С’В’ пойдёт по стороне СВ, так как ∠C’ = ∠C. Точка В’ одновременно должна быть и на стороне АВ, и на стороне СВ, следовательно, она совместится с точкой В, так как две прямые могут пересечься только в одной точке.

Треугольники ABC и А’В’С’ совпали, значит, они равные. По этим же данным можно построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.

Таким образом, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Назовём это вторым признаком равенства треугольников.

Пусть требуется построить треугольник по трём его сторонам, например, сторона а = 30 мм, сторона с = 40 мм и сторона b = 42 мм. (Заданные размеры должны удовлетворять условию: сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны.)

Сначала на произвольной прямой построим отрезок АС, равный данному отрезку b, т. е. 42 мм; мы сразу получим две вершины искомого треугольника — А и С.

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Так как длина второй и третьей сторон соответственно равна отрезкам с и а (в данном случае 40 мм и 30 мм), то третья вершина треугольника должна находиться как на дуге, описанной из центра А радиусом, равным 40 мм, так и на дуге, описанной из центра С радиусом, равным 30 мм. Следовательно, третьей вершиной треугольника будет точка пересечения этих дуг. Обозначив эту точку буквой В и соединив её отрезками с точками А и С, получим искомый треугольник ABC.

По тем же данным построим второй треугольник — Δ А’В’С’ и докажем,

что Δ АВС = Δ А’В’С’. Для этого приложим треугольник А’В’С’ к треугольнику ABC так, чтобы их равные стороны А’С’ и AС совместились, причём точка А’ совпала бы с точкой А, точка С — с точкой С. Тогда треугольник А’В’С’ примет положение АВ»С. Сторона АВ будет равна стороне АВ» и сторона ВС — стороне В»С.

  • Соединив отрезком прямой точки В и В», получим два равнобедренных треугольника ВАВ» и ВСВ», у которых ∠1 = ∠2, а ∠3 = ∠4, откуда ∠B = ∠B».
  • Следовательно, Δ АВС = Δ АВ»С, но тогда и Δ АВС = Δ А’В’С’.
  • По этим же данным можно построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.
  • Мы доказали, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.
  • Назовём это третьим признаком равенства треугольников.

Замечания. 1. Во всех трёх признаках равенства треугольников в число трёх данных элементов входит хотя бы одна сторона треугольника.

2. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Итак, три признака равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой

Источник: http://razdupli.ru/teor/41_postroenie-treugolnikov-priznaki-ravenstva-treugolnikov.php

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

  • Теорема:
  • Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.
  • Доказательство:
  • Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:
  •  AB = A1B1,  AC = A1C1,  ∠A = ∠A1.
  • Требуется доказать, что
  • ABC = A1B1C1.

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1B1  совместилась со стороной  AB, то точка  B  совместится с точкой  B1 , так как  A1B1 = AB. Сторона  A1C1  совместится со стороной  AC , так как  ∠A = ∠A1. Точка  C1  совпадёт с точкой  C , так как  A1C1 = AC. Стороны  B1C1  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

  1. Теорема:
  2. Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.
  3. Доказательство:
  4. Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:
  5.  AC = A1C1,  ∠A = ∠A1  и  ∠C = ∠C1.
  6. Требуется доказать, что
  7. ABC = A1B1C1.

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1C1  совместилась со стороной  AC, то точка  C1  совпадёт с точкой  C, так как  A1C1 = AC. Сторона  A1B1  совпадёт со стороной AB, так как  ∠A = ∠A1. Сторона  C1B1  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C1. Вершина  B1  совпадёт с вершиной  B, так как  B  и  B1  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

  • Теорема:
  • Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.
  • Доказательство:
  • Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1, у которых:
  • AB = A1B1,  BC = B1C1,  AC = A1C1.
  • Требуется доказать, что
  • ABC = A1B1C1.
  • Приложим треугольники  ABC  и  A1B1C1  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A1, вершина  C  – с  C1, а вершины  B  и  B1  оказались по разные стороны от прямой  AC.
  • Соединив точки  B  и  B1, получим два равнобедренных треугольника  BAB1  и  BСB1.
  • В треугольнике  BAB1 = 4, в  BСB2 = 3 (как углы при основании). Следовательно,
  • 1 + 2 = 4 + 3, поэтому  ∠ABC = ∠AB1C.
  • Итак,  AB = A1B1,  BC = B1C1,  ∠ABC = ∠A1B1C1.
Читайте также:  Как сделать схему в ворде

Из этого следует, что треугольники ABC  и  A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Новое на сайте | contact@izamorfix.ru
2018 − 2020 © izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/ravenstvo_treug.html

Презентация на тему: Новые признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников, формулы и примеры Описание слайда:

Школьное научное общество школы №1131 Новые признаки равенства треугольников Жабин Виктор, Бобков Сергей. Научный руководитель: Кузнецова Т. Н. 2004 г. г. Москва

Описание слайда:

Содержание:

Описание слайда:

ВВЕДЕНИЕ

Описание слайда:

В курсе геометрии 7 класса изучаются 3 признака равенства треугольников, которые позволяют решать определённый тип задач.

Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.

В курсе геометрии 7 класса изучаются 3 признака равенства треугольников, которые позволяют решать определённый тип задач.

Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.

Таким образом, целями нашей работы является: 1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты. 2. Доказать новые признаки равенства треугольников. 3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.

Описание слайда:

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 А= А1; АС=А1С1; AВ=А1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B= B1; А= А1; AВ=A1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 СВ=С1В1; АС=А1С1;AВ=А1В1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С ВЫСОТОЙ 8

Описание слайда:

Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1: B= B1 (по усл.) H= H1=900 (по усл.

) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1= 3 AH=A1H1 (по усл.) 2) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1: AH=A1H1 (по усл.) C= C1 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2= 4 H= H1=900 (по усл.) 3 ) 1= 3 (п.1) 2= 4 (п.2) 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.

2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A= A1 (п.3)

Описание слайда:

Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1 : B= B1 (по усл.) H= H1=900 (по усл.

) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1= 3 AH=A1H1 (по усл.) => 2= 4 A= A1 (по усл.) 1= 3 (п.1) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1 : AH=A1H1(по усл.) 2= 4 (по п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1(кпу)=>AC=A1C1 H= H1=900 (по усл.) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1(п.1) AC=A1C1 (п.

2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A= A1 (по усл.)

Описание слайда:

Теорема: Если высота и два прилежащих к ней острых угла одного треугольника соответственно равны высоте и двум прилежащим к ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 1= 3; 2= 3; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

Теорема: Если сторона, противолежащий угол и высота, проведённая не из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из вершины данного угла, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 1= 3; 2= 3; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

Теорема: Если сторона, прилежащий угол и высота, проведённая из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 AB=A1B1 ; А= А1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

Теорема: Если угол, высота, проведённая из вершины этого угла, и проекция прилежащей к этому углу стороны одного треугольника соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции прилежащей к этому углу стороны другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 BH=B1H1 ; А= А1; AH=A1H1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Описание слайда:

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С БИССЕКТРИСОЙ

Описание слайда:

Если в одном треугольнике угол, прилежащая сторона и выходящая из него биссектриса соответственно равны углу, прилежащей стороне и выходящей из него биссектрисе в другом треугольнике, то треугольники равны. Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A= A1 AZ = A1Z1- биссектрисы AB=A1B1 Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1

Описание слайда:

Если в одном треугольнике угол, выходящая из него биссектриса и угол между биссектрисой и стороной соответственно равны углу, выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны. Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – биссектрисы A = <A1 ALC = A1L1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Описание слайда:

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С МЕДИАНОЙ

Описание слайда:

Если в одном треугольнике: сторона, выходящая из одного из её концов медиана и прилежащая к другому её концу сторона соответственно равны стороне, выходящей из одного из её концов медиане и прилежащая к другому её концу стороне в другом треугольнике, то треугольники равны. Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы BLA = B1L1A1 AL = A1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Описание слайда:

Если в одном треугольнике медиана, сторона угол между медианой и стороной соответственно равны медиане, стороне углу между медианой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны. Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы BLA = B1L1A1 AL = A1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Описание слайда:

Если в одном треугольнике угол прилежащая сторона и проведённая к ней медиана соответственно равны углу, прилежащей стороне и проведённой к ней медиане в другом треугольнике, то треугольники равны. Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы ABL = A1B1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА

Описание слайда:

1. Геометрия 7-9 кл. Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов.

Описание слайда:

РЕЦЕНЗИЯ

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/novye-priznaki-ravenstva-treugolnikov.html

"Нестандартные признаки равенства треугольников"

МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

  • Математика
  • Тема: «Нестандартные теоремы о равенстве треугольников»
  • Автор работы:
  • Подгорный Максим, 7 кл.,
  • МБОУ СОШ № 3,
  • г. Сальск, Ростовская область
  • Руководитель:
  • Олейникова Людмила Александровна,
  • учитель математики,
  • МБОУ СОШ № 3,
  • г. Сальск, Ростовская область
  • г. Ростов-на-Дону
  • 2017 год
  • Содержание
  • Введение………………………………………………………….………………3
  • Основная часть
  • Признаки равенства треугольников…………………………………………… 4
  • Нестандартные признаки равенства треугольников………………………….7
  • Заключение…………………………………………………………………… 10
  • Список литературы…………………………………………………………… 11
  • Приложение
  • Введение.
  • Актуальность:

Треугольник одна из основных фигур в планиметрии. Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к ЕГЭ им часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточным знание основных признаков.

Мне захотелось узнать, а можно ли доказать равенство треугольников по другим параметрам . В учебнике геометрии, по которому обучаются ученики нашей школы ( авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9) рассматриваются всего 3 признака равенства треугольников.

Я просмотрел учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы.

Гипотеза:

Возможно, ли сформулировать, кроме трех известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провел социологический опрос среди учащихся 7-11 классов      см. приложение  1 ).

Мои предположения подтвердились. Большенство учеников знают только  три признака равенства треугольников.

  1. Таким образом,  целью моего исследования стало отыскание новых признаков равенства треугольников.
  2. Задачи :
  3.        ΘИзучить литературу по исследуемой  теме.
  4.        ΘУточнить количество признаков равенства треугольников.
  5.        ΘПродемонстрировать своим одноклассникам и учащимся нашей  школы существование других признаков равенства треугольников  и возможности их доказательства.
  6. Объект исследования :
  7. Изучение признаков равенства  треугольников.

Предмет  исследования.  Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

  • Метод  исследования:  Теоретический ( изучение, анализ и синтез),системно-поисковый, практический (доказательство теорем ).
  • Историческая справка
  • Треугольник является одной из центральных фигур всей геометрии.
  • При решении задач используют его самые разнообразные свойства.
  • Свойства треугольника широко применяют на практике: в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии треугольник является очень значимой фигурой; треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя.

Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб.

Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

  1. Поэтому изучение треугольника и всех его свойств – очень актуальная тема.
  2. Цель данной работы – рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из важнейших их свойств.
  3. Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.
  4. В геометрии используются три признака равенства треугольников.
  5. Данная тема практически изучена, так как на сегодняшний день существуют три признака равенства треугольников, доказываемых с помощью соответствующих теорем. 

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.

Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше.

В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.

Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы.

По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно.

Признаки  равенства  треугольников.

Начнем с определения. Треугольники  АВС  и  А1В1С1  называются равными, если их можно совместить наложением.

  • Треугольник состоит из  шести элементов: трех углов и трех сторон.
  • При этом возникает вопрос :   » Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства   двух  треугольников ?»
  • Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному  элементу, потому что неизвестно :»Будут ли равны остальные элементы ?»

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2017/08/06/nestandartnye-priznaki-ravenstva

Ссылка на основную публикацию