Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Бессонный С. С. Частные случаи дифференциальных уравнений в полных дифференциалах // Молодой ученый. — 2018. — №29. — С. 1-3. — URL https://moluch.ru/archive/215/52109/ (дата обращения: 01.04.2020).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!



Отсутствие общего метода отыскания интегрирующего множителя, если неизвестно общее решение исходного уравнения, приводит к необходимости исследования решений отдельных типов дифференциальных уравнений, сводящихся к уравнениям в полных дифференциалах.

Рассмотрим уравнение следующего вида:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (1)

Оно является уравнением в полных дифференциалах при условии, что его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Это возможно при выполнении условия

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (2)

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах; Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (3)

Затем необходимо проинтегрировать любое из двух уравнений (3), причем интегрировать первое уравнение нужно по x, а второе по y.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Центр окружности описанной около треугольника

Оценим за полчаса!

Причем интегрируя первое уравнение по х будем считаем y константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(y) — неизвестную функция зависящую от y.

интегрируя второе уравнение по y будем считаем x константой и вместо постоянной интегрирования C, необходимо ставить C(x) — неизвестную функция зависящую от x.

Подставляя, полученное в результате интегрирования по x первого из уравнений (3), выражение во второе из уравнений (3) находят C(y). В случае интегрирования по y второго из уравнений (3) получившееся выражение подставляют в первое из уравнений (3) и находят C(x).

Отсюда следует что общий интеграл исходного уравнения в полных дифференциалах представляется в виде:

(4)

Рассмотрим применение данного метода на следующем примере:

Пример № 1. Решить уравнение

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (5)

Удостоверимся в том, что представленное дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах. [1, c. 25]

Для этого сначала представим его в стандартном виде

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (6)

И проверим выполняется ли условие (2) для уравнения (5)

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (7)

Делаем вывод о том, что дифференциальное уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию удовлетворяющую следующим условиям

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (8)

Для этого проинтегрируем по x первое из уравнений (8), принимая y за константу, а значение постоянной интегрирования С за С(y) — неизвестную функцию, зависящую от y.

(9)

Подставляя во второе из уравнений (8) найдем C(y)

(10)

Общее решение уравнения (5) имеет вид

(11)

Найдем решение уравнения (5) другим методом, который называется методом выделения полного дифференциала. Данный метод также применяется для отыскания интегрирующего множителя.

(12)

И сразу получаем решение

(13)

На данном примере видно, что удобней и быстрей применить метод выделения полного дифференциала и сразу записать общий интеграл исходного уравнения. Однако этот метод хорошо работает только в случаях, когда коэффициенты при дифференциалах являются интегрируемыми в квадратурах функциями.

Пример № 2. Привести к уравнению в полных дифференциалах

(14)

Найдем интегрирующий множитель. В данной ситуации мы имеем дело с частным случаем, когда интегрирующий множитель зависит только от x.

(15)

Умножив уравнение (14) на полученное значение получим искомое уравнение в полных дифференциалах

(16)

Приведенные выше примеры демонстрируют простоту нахождения общих интегралов дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, при условии правильного определения оптимального метода в каждом конкретном случае.

Литература:

1. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. / А. Ф. Филиппов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 176 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, полный дифференциал, интегрирующий множитель, исходное уравнение, дифференциал, второе, решение уравнения, метод выделения, общий интеграл, первое.

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

интегрированию составленного дифференциального уравнения и определению его общего решения

Далее рассмотрим ретроспективную идентификацию динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка.

Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид.

Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение

разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы. Методы решения нелинейных уравнений.

Если выступает как исходный реагент, то , если – продукт, то .

Во-первых, построенный алгоритм интегрирования второго порядка с контролем точности вычислений и

Литература: 1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

В равенстве интегрирующий множитель считаем а=1. Тогда имеем. . (16). Так как для уравнение (12) выполнятся, условия (13) то находим.

то для решения уравнения. (27). с начальным условием на отрезке имеет место оценка.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или…

Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.

Уравнения во второй строке (3) являются следствиями уравнений первой строки, в результате находим.

Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера…

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений. Здесь и далее: , … — известные интегрируемые функции, — неизвестная функция, , – вещественные постоянные…

Источник: https://moluch.ru/archive/215/52109/

Дифференциальные уравнения Понятие о частных производных Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множ — презентация, доклад, проект скачать

Слайд 1Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения Понятие о частных производных Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель

Читайте также:  Обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 2Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Понятие о частных производных

Слайд 3Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Понятие о частных производных

Слайд 4Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 5Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 6Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 7Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 8Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 9Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Слайд 10Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахОписание слайда:

Интегрирующий множитель

Слайд 11Описание слайда:

Интегрирующий множитель

Слайд 12Описание слайда:

Интегрирующий множитель

Слайд 13Описание слайда:

Интегрирующий множитель

Слайд 14Описание слайда:

Интегрирующий множитель

Слайд 15Описание слайда:

Интегрирующий множитель

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/differencialnye-uravneniya-ponyatie-o-chastnyx-proizvodnyx-differencialnye-uravneniya-v-polnyx-differencialax-integriruyushhij-mnozh

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

  • 1º. Основные понятия
  • Рассмотрим ОДУ в дифференциальной форме
  • M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,                                                 (1)
  • Считаем, что функции M(x, y), N(x, y) — непрерывные по обеим переменным в некоторой односвязной области D плоскости XOY, причём
  • M2(x, y) + N2(x, y) ¹ 0.

Определение 1. ОДУ (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных.

  1. Таким образом, если (1) — уравнение в полных дифференциалах, то существует функция u(x, y), такая что
  2. du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.
  3. Тогда ОДУ (1) можно записать в виде
  4. du(x, y) = 0.
  5. Автоматически следует, что общий интеграл этого уравнения
  6. u(x, y) = C.

Пример 1. ydx + xdy = 0.

  • Левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x, y) = xy.
  • Действительно,
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
  • поэтому полный дифференциал имеет вид d(xy) = ydx + xdy Þ d(xy) = 0
  • И общий интеграл этого уравнения xy = C.
  • На практике, чтобы использовать этот метод интегрирования, нужно решить две задачи:

1). Каким образом можно отличить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах от остальных.

2). Как найти функцию двух переменных, если известен её полный дифференциал.

Этим мы и будем заниматься.

2º. Признак уравнения в полных дифференциалах

Теорема 1. Пусть функции M(x, y), N(x, y) — непрерывно дифференцируемые в отмеченной области D. Уравнение (1) будет уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда для функций M(x, y), N(x, y) выполняется условие Эйлера

 » (x, y) Î D.                                            (2)

Доказательство. Необходимость. Считаем, что существует функция u(x, y), что

du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

С другой стороны

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

поэтому имеем тождество

  1. Дифференцируем (3) по y, (4) по x:
  2. , .
  3. Так как частные производные функций M(x, y), N(x, y) непрерывные по условию, поэтому будут непрерывными смешанные производные функции u(x, y). А это значит, они равны между собой, тогда выполняется условие Эйлера

Достаточность. Считаем, что выполняется условие Эйлера (2). Нужно показать, что существует функция u(x, y), для которой выполняются равенства (3), (4).

Доказательство конструктивное— функция u(x, y) строится.

Сначала рассмотрим формулу (3) как уравнение относительно неизвестной функции u(x, y)

  • Фиксируем точку (x0, y0) Î D, которая принадлежит D вместе с некоторой окрестностью.
  • В этой же окрестности рассмотрим подвижную точку (x, y).    
  • Из (3¢) найдём выражение для функции u(x, y) интегрированием по x на прамежутке от x0 до x:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Интеграл имеет смысл, т.к. M(x, y) – непрерывная. Здесь j(y) — любая функция, дифференцируемая по y, т.к. производная  должна существовать.

Найдём выражение для производной по y

.

Поднесение знака дифференцирования под знак интеграла возможно, т.к. функция M(x, y) и её производная  непрерывные по обеим переменным.

  1. С другой стороны, из равенства (4) имеем
  2. ,                                                                     (4¢)
  3. поэтому
  4. N(x, y) = .       
  5. Воспользовавшись формулой Эйлера (2)
  6. ,
  7. делаем замену функции под интегралом
  8. N(x, y) = .                                                             (6)
  9. Интегрируем
  10.  = N(x, y) – N(x0, y).
  11. Из (6) получаем
  12. N(x, y) = N(x, y) – N(x0, y) + j¢(y).
  13. Тогда j¢(y) = N(x0, y) и
  14. j(y) = ,                                   (7)
  15. где C — произвольная константа.
  16. Из (5) и (7) получаем формулу для функции u(x, y)
  17. .
  18. Нам нужна одна функция, а мы получили семейство функций. Считаем C = 0 и
  19. .
  20. Теорема доказательствоана.

Замечание. Достаточность условия Эйлера в теореме можно доказательствоать, используя криволинейный интеграл. При таком подходе функция u(x, y) определяется криволинейным интегралом от дифференциальной формы

  • Так как дифференциальная форма является полным дифференциалом, то значение интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечнойточек.
  • 3º. Метод нахождения общего интеграла
  • Метод интегрирования уравнения в полных дифференциалах фактически определяется доказательствоательством достаточности в теореме. Формула общего интеграла имеет вид
  • нужно отметить, что доказательство достаточности можно было бы начать с интегрирования формулы
  • ,                                         (4¢)
  • тогда бы получили формулу
  • .
  • Соответственно общий интеграл
  • .
  • Формулы равнозначные.

Пример 2. (y3 – 2xy) dx+ (3xy2 – x2) dy= 0.

  1. Это не уравнение с разделяющимися переменными.
  2. Проверяемем условие Эйлера
  3.  = 3y2 – 2x,  = 3y2 – 2x.
  4. Выполняется. Воспользуемся первой формулой
  5. .
  6. В качестве точки (x0, y0) возьмём начало координат (0, 0)
  7. .
  8. Получаем общий интеграл
  9. y3xx2y = C.
  10. 4º. Интегрирующий множитель
  11. Часто уравнение в дифференциальной форме
  12. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,                                                 (1)
  13. уравнением в полных дифференциалах не является, но его можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью умножения на некоторую функцию.
  14. Определение 2. Интегрирующий множитель — это функция m(x, y), которая уравнение
  15. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
  16. приводит к уравнению в полных дифференциалах
  17. m(x, y)M(x, y)dx + m(x, y)N(x, y)dy = 0.                                       (8)
  18. Поскольку (8) — уравнение в полных дифференциалах, то должно выполняться условие Эйлера. Тогда
  19. ,
  20. ,
  21. ,
  22. .

Последнее уравнение — уравнение в частных производных, и, вообще говоря, более сложное, чем исходное. Но есть частные случаи.

  • Пример 3. Проверить, что для уравнения
  • (3x + 2y + y2)dx + (x + 4xy + 5y2)dy = 0
  • интегрирующий множитель имеет вид m(x, y) = x + y2.
  • (x + y2)(3x + 2y + y2) = 2y(3x + 2y + y2) + (x + y2)(2 + 2y) = 2x + 8xy + 6y2 +4y3
  • (x + y2)(x + 4xy + 5y2) = (x + 4xy + 5y2) + (x + y2)(1 + 4y) = 2x + 8xy + 6y2 + 4y3
  • Формула Эйлера выполняется.
  • Одним из частных случаев существованя интегрирующего множителя является уравнение с разделяющимися переменными (§ 6)
  • M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0.                                               (9)
  • Делением на N1(y)M2(x) (умножением на ) мы приводили его к  уравнению с разделёнными переменными
  • .
  • Если проверить формулу Эйлера:
  •  и ,
  • то получается, что уравнение с разделёнными переменными, есть уравнение в полных дифференциалах, а для уравнения (9) интегрирующий множитель имеет вид
  • m(x, y) = .

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 127;

Источник: https://studopedia.net/7_28419_differentsialnie-uravneniya-v-polnih-differentsialah.html

УравнениЯ в полных дифференциалах

Сведения из теории

Будем рассматривать дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

В нормальной форме оно имеет вид

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом некоторой функции

  • Если функции и непрерывны вместе со своими производными в некоторой односвязной области[1] D, то равенство
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
  • необходимое и достаточное условие того, что является в области D уравнением в полных дифференциалах.
  • Так как уравнение можно переписать в виде , то — его общий интеграл. Функцию u можно найти по формуле
  • ,
  • где – какая-нибудь точка из D.
  • Примеры решения задач

7.2.1.Решить уравнение .

◄ Данное уравнение не принадлежит ни к одному из типов, которые мы умеем определять по их нормальной форме. Перепишем исходное уравнение в дифференциальной форме

.

Область определения этого уравнения – односвязна. Проверяем условие .

. .

Таким образом, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Находим по формуле при

Итак, общий интеграл уравнения имеет вид . ►

7.3. Задачи для самостоятельного решения

7.3.1. . 7.3.2. .
7.3.3. . 7.3.4. .
7.3.5. . 7.3.6. .

Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка

Примеры решения задач

8.1.1.Для каждого из дифференциальных уравнений

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. определить, является ли оно уравнением одного из следующих типов:
  7. 1) уравнением с разделяющимися переменными,
  8. 2) однородным уравнением,
  9. 3) линейным уравнением,
  10. 4) уравнением Бернулли (но не линейным уравнением),
  11. 5) уравнением в полных дифференциалах,
  12. 6) не является уравнением типов 1) – 5).

◄ Уравнение приведем нормальному виду . В его правую часть переменные входят только в виде отношения , следовательно, – однородное уравнение и его можно решать заменой , . С другой стороны, правая часть является линейной функцией переменной y и уравнение является линейным. Поэтому его можно решать, например, методом Бернулли.

Уравнение имеет нормальный вид. Правую часть можно представить в виде произведения функции от x на функцию от y: , поэтому это уравнение с разделяющими переменными.

Поскольку правую часть можно представить в виде , то уравнение является и линейным (линейным неоднородным).

Однако нет смысла решать его ни методом Бернулли, ни методом Лагранжа (то есть делать замену переменных, сводящую уравнение к уравнению с разделяющимися переменными) ибо переменные изначально разделяются.

Уравнение записано в дифференциальной форме. Однако уравнением в полных дифференциалах оно не является, так как

, и . Приведем уравнение (8.3) к нормальному виду . Правая часть является отношением однородных многочленов первой степени. Разделив числитель и знаменатель на x, запишем уравнение в виде , то есть уравнение имеет вид и, следовательно, является однородным.

  • Уравнение равносильно уравнению , имеющему вид , то есть оно является уравнением Бернулли.
  • Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как совпадают производные
  • и ,
  • а область определения уравнения – односвязна.

Ясно, что уравнение не принадлежит ни одному из типов 1) – 4) (хотя строго доказать это совсем непросто). Записав уравнение в дифференциальной форме , нетрудно убедиться, что условие не выполняется, и потому это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Итак, для уравнения имеет место случай 6), то есть мы не можем решить уравнение разобранными выше методами. ►

8.2. Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие дифференциальные уравнения.

8.2.1. . 8.2.2. .
8.2.3. . 8.2.4. .
8.2.5. . 8.2.6. .
8.2.7. . 8.2.8. .
8.2.9. . 8.2.10. .

Источник: https://infopedia.su/14x16ed.html

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Даны методы его решения. Приводится пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя способами.

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах – это уравнение вида: (1)   , где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y: . При этом   .

Если найдена такая функция U(x, y), то уравнение принимает вид: dU(x, y) = 0. Его общий интеграл:

U(x, y) = C,

где C – постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную: , то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx. Тогда   . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы: (1)   .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение: (2)   .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y. Точка x0, y0 также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2). Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y): . Тогда

;

. Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то

;

. Отсюда следует, что   . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2). Пусть выполняется условие (2): (2)   . Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y), что ее дифференциал: . Это означает, что существует такая функция U(x, y), которая удовлетворяет уравнениям: (3)   ; (4)   . Найдем такую функцию.

Проинтегрируем уравнение (3) по x от x0 до x, считая что y – это постоянная: ; ; (5)   . Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2): . Уравнение (4) будет выполнено, если . Интегрируем по y от y0 до y: ; ; . Подставляем в (5): (6)   .

Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой

.

Достаточность доказана.

В формуле (6), U(x0, y0) является постоянной – значением функции U(x, y) в точке x0, y0. Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение: (1)   . Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2): (2)   . Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах: .

Решение

Здесь ,   . Дифференцируем по y, считая x постоянной: . Дифференцируем по x, считая y постоянной: . Поскольку:

Читайте также:  Теорема о базисном миноре матрицы

,

то заданное уравнение – в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме: du ± dv = d(u ± v); v du + u dv = d(uv); ; . В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его: (П1)   . Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.

;

; ; ; . Подставляем в (П1): ; .

  • Ответ
  • .

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y), удовлетворяющую уравнениям: (3)   ; (4)   .

Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной: . Здесь φ(y) – произвольная функция от y, которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4): . Отсюда:

.

Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y).

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах: .

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения: ,   . Ищем Функцию U(x, y), дифференциал которой является левой частью уравнения: . Тогда:

(3)   ;

(4)   . Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной: (П2)   . Дифференцируем по y: . Подставим в (4): ; . Интегрируем:

.

Подставим в (П2): . Общий интеграл уравнения:

  1. U(x, y) = const.
  2. Ответ
  3. .

Объединяем две постоянные в одну.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U, определяемую соотношением: dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy, можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x0, y0) и (x, y): (7)   . Поскольку

(8)   ,

то интеграл зависит только от координат начальной (x0, y0) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим: (9)   . Здесь x0 и y0 – постоянные. Поэтому U(x0, y0) – также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах: (6)   . Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y, от точки (x0 , y0) до точки (x0 , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x, от точки (x0 , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x0 , y0) и (x, y) в параметрическом виде: x1 = s(t1);   y1 = r(t1); x0 = s(t0);   y0 = r(t0); x = s(t);   y = r(t); и интегрировать по t1 от t0 до t.

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x0 , y0) и (x, y). В этом случае: x1 = x0 + (x – x0) t1; y1 = y0 + (y – y0) t1; t0 = 0;   t = 1; dx1 = (x – x0) dt1; dy1 = (y – y0) dt1. После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1. Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/polnie_differentsiali/

Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dFleft(x,y
ight)=0$, где $Fleft(x,y
ight)$ — такая функция, что $dFleft(x,y
ight)=Pleft(x,y
ight)cdot dx+Qleft(x,y
ight)cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dFleft(x,y
ight)=0$: $int dFleft(x,y
ight)=Fleft(x,y
ight) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $Fleft(x,y
ight)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $.

Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $Fleft(x,y
ight)$, для которой можно записать: $dF=frac{partial F}{partial x} cdot dx+frac{partial F}{partial y} cdot dy=Pleft(x,y
ight)cdot dx+Qleft(x,y
ight)cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $frac{partial F}{partial x} =Pleft(x,y
ight)$ и $frac{partial F}{partial y} =Qleft(x,y
ight)$.

Интегрируем первое соотношение $frac{partial F}{partial x} =Pleft(x,y
ight)$ по $x$ и получаем $Fleft(x,y
ight)=int Pleft(x,y
ight)cdot dx +Uleft(y
ight)$, где $Uleft(y
ight)$ — произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $frac{partial F}{partial y} =Qleft(x,y
ight)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $Fleft(x,y
ight)$ по $y$ и приравняем результат к $Qleft(x,y
ight)$. Получаем: $frac{partial }{partial y} left(int Pleft(x,y
ight)cdot dx
ight)+U'left(y
ight)=Qleft(x,y
ight)$.

Дальнейшее решение таково:

  • из последнего равенства находим $U'left(y
    ight)$;
  • интегрируем $U'left(y
    ight)$ и находим $Uleft(y
    ight)$;
  • подставляем $Uleft(y
    ight)$ в равенство $Fleft(x,y
    ight)=int Pleft(x,y
    ight)cdot dx +Uleft(y
    ight)$ и окончательно получаем функцию $Fleft(x,y
    ight)$.

Чтобы получить частное решение уравнения в полных дифференциалах, начальное условие $y=y_{0} $ при $x=x_{0} $ нужно подставить в общее решение $Fleft(x,y
ight)=C$. Получаем $Fleft(x_{0} ,y_{0}
ight)=C$. Таким образом, частное решение имеет вид $Fleft(x,y
ight)=Fleft(x_{0} ,y_{0}
ight)$.

Интегрирующие множители

Если для дифференциального уравнения $Pleft(x,y
ight)cdot dx+Qleft(x,y
ight)cdot dy=0$ условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $ не выполняется, то такое уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях его можно преобразовать в уравнение в полных дифференциалах посредством умножения на некоторую функцию $mu left(x,y
ight)$, которая называется интегрирующим множителем.

Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:

  • когда он зависит только от $x$, то есть $mu =mu left(x
    ight)$;
  • когда он зависит только от $y$, то есть $mu =mu left(y
    ight)$.

Первый случай имеем тогда, когда отношение $frac{frac{partial P}{partial y} -frac{partial Q}{partial x} }{Q} =phi _{1} left(x
ight)$ зависит только от $x$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $mu =e^{int phi _{1} left(x
ight)cdot dx } $.

Второй случай имеем тогда, когда отношение $frac{frac{partial P}{partial y} -frac{partial Q}{partial x} }{P} =phi _{2} left(y
ight)$ зависит только от $y$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $mu =e^{-int phi _{2} left(y
ight)cdot dy } $.

В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.

Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде.

После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.

Алгоритмы решения

Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:

  1. Данное дифференциальное уравнение следует представить в стандартном виде $Pleft(x,y
    ight)cdot dx+Qleft(x,y
    ight)cdot dy=0$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Чтобы убедиться в этом, следует проверить условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $. Если это условие не выполняется, нужно перейти к поиску интегрирующего множителя. Иначе выполнение алгоритма продолжаем.
  2. Вычисляем интеграл $Vleft(x,y
    ight)=int Pleft(x,y
    ight)cdot dx $ и выбираем для него какое-то простое значение.
  3. Находим частную производную $V'_{y} left(x,y
    ight)=frac{partial }{partial y} Vleft(x,y
    ight)$.
  4. Находим разность $U'left(y
    ight)=Qleft(x,y
    ight)-V'_{y} left(x,y
    ight)$.
  5. Интегрируем $U'left(y
    ight)$ по $y$, находим $Uleft(y
    ight)$ и выбираем для неё какое-то простое значение.
  6. Записываем искомую функцию $Fleft(x,y
    ight)=Vleft(x,y
    ight)+Uleft(y
    ight)$.
  7. Записываем общее решение $Fleft(x,y
    ight)=C$ и частное решение $Fleft(x,y
    ight)=Fleft(x_{0} ,y_{0}
    ight)$, где $y=y_{0} $ при $x=x_{0} $ — начальное условие.

Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:

  1. Вычисляем вспомогательную функцию $R=frac{partial P}{partial y} -frac{partial Q}{partial x} $.
  2. Находим функции $phi _{1} left(x
    ight)=frac{R}{Q} $ и $phi _{2} left(y
    ight)=frac{R}{P} $. Если функция $phi _{1} left(x
    ight)$действительно зависит только от $x$, то интегрирующий множитель находим по формуле $mu =e^{int phi _{1} left(x
    ight)cdot dx } $. Если функция $phi _{2} left(y
    ight)$ действительно зависит только от $y$, то интегрирующий множитель находим по формуле $mu =e^{-int phi _{2} left(y
    ight)cdot dy } $. В обоих случаях для интегрирующего множителя выбираем какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.
  3. Если интегрирующий множитель найти удалось, то умножаем на него данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах и можно переходить на соответствующий алгоритм его решения. Если интегрирующий множитель найти не удалось, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.

Решение типичной задачи

Дано дифференциальное уравнение, имеющее следующий вид:

[left(5cdot y^{3} +13cdot y^{2} +6cdot y
ight)cdot dx+left(10cdot xcdot y^{2} +23cdot xcdot y-2cdot y+6cdot x-4
ight)cdot dy=0.]

Найти его общее решение. Найти также его частное решение для начального условия $y=3$ при $x=2$.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид $Pleft(x,y
ight)cdot dx+Qleft(x,y
ight)cdot dy=0$, где $Pleft(x,y
ight)=5cdot y^{3} +13cdot y^{2} +6cdot y$, $Qleft(x,y
ight)=10cdot xcdot y^{2} +23cdot xcdot y-2cdot y+6cdot x-4$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Поэтому проверяем условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $.

Находим частные производные: $frac{partial P}{partial y} =15cdot y^{2} +26cdot y+6$, $frac{partial Q}{partial x} =10cdot y^{2} +23cdot y+6$. Условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $ не выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому переходим к поиску интегрирующего множителя.

Находим вспомогательную функцию $R=frac{partial P}{partial y} -frac{partial Q}{partial x} $. Получаем$R=15cdot y^{2} +26cdot y+6-10cdot y^{2} -23cdot y-6=5cdot y^{2} +3cdot y$.

Находим функции: $phi _{1} left(x
ight)=frac{R}{Q} =frac{5cdot y^{2} +3cdot y}{10cdot xcdot y^{2} +23cdot xcdot y-2cdot y+6cdot x-4} $ и $phi _{2} left(y
ight)=frac{R}{P} =frac{5cdot y^{2} +3cdot y}{5cdot y^{3} +13cdot y^{2} +6cdot y} $.

Выполняем упрощение найденных функций посредством сокращения дробей. Оказывается, что для функции $phi _{1} left(x
ight)$ сокращение невозможно. Функция $phi _{2} left(y
ight)$ в результате сокращения получает вид $phi _{2} left(y
ight)=frac{1}{y+2} $. При этом она зависит только от $y$ и поэтому подходит для определения интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель находим по формуле $mu =e^{-int phi _{2} left(y
ight)cdot dy } $. Получаем: $mu =e^{-int phi _{2} left(y
ight)cdot dy } =e^{-int frac{1}{y+2} cdot dy } =e^{-ln left|y+2
ight|} =frac{1}{e^{ln left|y+2
ight|} } =frac{1}{left|y+2
ight|} $. Выбираем конкретное значение $mu =frac{1}{y+2} $.

  • Умножаем полученный интегрирующий множитель на данное дифференциальное уравнение:
  • После деления многочленов имеем:
  • Получили новое дифференциальное уравнение, в котором $Pleft(x,y
    ight)=5cdot y^{2} +3cdot y$, $Qleft(x,y
    ight)=10cdot xcdot y+3cdot x-2$.

[frac{5cdot y^{3} +13cdot y^{2} +6cdot y}{y+2} cdot dx+frac{10cdot xcdot y^{2} +23cdot xcdot y-2cdot y+6cdot x-4}{y+2} cdot dy=0.] [left(5cdot y^{2} +3cdot y
ight)cdot dx+left(10cdot xcdot y+3cdot x-2
ight)cdot dy=0. ]

Снова проверяем условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $: получаем $frac{partial P}{partial y} =10cdot y+3$, $frac{partial Q}{partial x} =10cdot y+3$. Условие $frac{partial P}{partial y} =frac{partial Q}{partial x} $ выполняется. Следовательно, новое дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Переходим к алгоритму его решения.

  1. Вычисляем интеграл: $Vleft(x,y
    ight)=int Pleft(x,y
    ight)cdot dx =int left(5cdot y^{2} +3cdot y
    ight)cdot dx =$
  2. Находим частную производную:
  3. Находим разность:
  4. Интегрируем $U'left(y
    ight)$ по $y$ и находим $Uleft(y
    ight)=int left(-2
    ight)cdot dy =-2cdot y$.
  5. Находим результат: $Fleft(x,y
    ight)=Vleft(x,y
    ight)+Uleft(y
    ight)=5cdot xcdot y^{2} +3cdot xcdot y-2cdot y$.
  6. Записываем общее решение в виде $Fleft(x,y
    ight)=C$, а именно:
  7. Находим частное решение $Fleft(x,y
    ight)=Fleft(x_{0} ,y_{0}
    ight)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:
  8. Частное решение имеет вид: $5cdot xcdot y^{2} +3cdot xcdot y-2cdot y=102$.

[=left(5cdot y^{2} +3cdot y
ight)cdot int dx =left(5cdot y^{2} +3cdot y
ight)cdot x=5cdot xcdot y^{2} +3cdot xcdot y.] [V'_{y} left(x,y
ight)=frac{partial }{partial y} Vleft(x,y
ight)=frac{partial }{partial y} left(5cdot xcdot y^{2} +3cdot xcdot y
ight)=10cdot xcdot y+3cdot x.] [U'left(y
ight)=Qleft(x,y
ight)-V'_{y} left(x,y
ight)=10cdot xcdot y+3cdot x-2-10cdot xcdot y-3cdot x=-2.] [5cdot xcdot y^{2} +3cdot xcdot y-2cdot y=C.] [Fleft(2,3
ight)=5cdot 2cdot 3^{2} +3cdot 2cdot 3-2cdot 3=90+18-6=102.]

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_v_polnyh_differencialah/

Ссылка на основную публикацию