Дифференциальные уравнения, формулы и примеры

Содержание

Например.

Толчком к развитию теории дифференциальных уравнений послужили различного рода механические задачи, в которых находились координаты тел, их скорости и ускорения. Названные величины зависели от времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, которое было предложено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) и английским физиком, математиком, механиком и астрономом сэром Исааком Ньютоном (1642-1727). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Готфрид Лейбниц в 1676 г.

18 век стал вправе переломным для развития теории дифференциальных уравнений. Появилось огромное количество работ, среди которых особо выделялись труды швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707-1783) и французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813).

В их работах получила свое развитие теория малых колебаний, которая основывалась на теории линейных систем дифференциальных уравнений. Методы теории возмущения были разработаны французским математиком, механиком, физиком и астрономом Пьером-Симоном, маркизом де Лапласом (1749-1827), Ж.

Лагранжем и немецким математиком, механиком, физиком, астрономом и геодезистом Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Французский математик Жозеф Лиувиль (1809-1882) установил неразрешимость ряда дифференциальных уравнений в элементарных функциях и квадратурах.

«Качественная теория дифференциальных уравнений» (или теория динамических систем), предложенная французским математиком, механиком, физиком, астрономом и философом Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912), стала новой вехой в развитии теории дифференциальных уравнений.

От истории развития дифференциальных уравнений вернемся к ее основным определениям и понятиям.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например. .

Порядок дифференциального уравнения

Например. Уравнение – дифференциальное уравнение третьего порядка, поскольку старший порядок производной, входящей в него, равен трем (данная производная подчеркнута).

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка – или, если оно разрешимо относительно производной, – .

Решение дифференциального уравнения

Решением или общим интегралом дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая указанному уравнению.

Кривая , соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение
или

здесь C – произвольная постоянная или константа интегрирования. Это решение обладает следующим свойством: если разрешить выражение (или ) относительно y, то в результате получим функцию , являющуюся решением рассматриваемого дифференциального уравнения.

Уравнения (2) задают семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (1).

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения вида (2) при некотором значении произвольной постоянной C.

Например. Для дифференциального уравнения функция является общим решением, а при получаем частное решение .

Произвольную постоянную C можно определить из начальных условий – это такие условия, при которых ищется решение дифференциального уравнения, чтобы оно (решение) принимало значение при некотором заданном значении независимой переменной , то есть выполняется равенство
Если задано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (3), то такая задача называется задачей Коши.

Например. .

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/differencialnye-uravneniya/

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y(n).
Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.
Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.
График решения — это интегральная кривая.
Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.
Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y(n)) = 0 — это такое решение y = f(x, c1, c2, …, cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.
Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.
Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь

Решение ДУ первого порядка

— уравнение с разделяющимися переменными.
Метод решения: непосредственное интегрирование.
— однородное уравнение.
Метод решения: .
— обобщенное однородное уравнение.
Метод решения:
.
— линейное по y(x) уравнение.
Метод решения:
— линейное по x(y) уравнение.
Метод решения:
— уравнение Бернулли.
Метод решения:
— уравнение в полных дифференциалах.
Метод решения: интегрирование системы

Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка

Метод решения: последовательное интегрирование.
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения:

Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения:
D>0, , действительные, разные.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: , действительные, равные, кратность 2.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: , комплексные.
Вид общего решения: .
Корни характеристического уравнения: .
Вид общего решения: .

ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения: действительные, разные k1≠k2≠k3≠…≠kn.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k1=k2=k3=…=kr=k.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: комплексные, разные,
α1≠α2≠…≠αn, β1≠β2≠…≠βn.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k1=k2=…=kr=k=α+iβ.
Вид общего решения или вклад в общее решение:

Решение НЛДУ

Метод неопределенных коэффициентов

Вид правой части:
f(x)=Pn(x).
Корни характеристического уравнения:
а) 0 – не корень;
б) 0 – корень кратности кратности r(r=1, 2).

Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = Qn(x);
б) ỹ = xr×Qn(x).
Вид правой части:
f(x)=eax×Pn(x).
Корни характеристического уравнения:

а) a – не корень;

б) a – корень кратности кратности r(r=1, 2).
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = eax×Qn(x);
б) ỹ = xr×eax×Qn(x).
Вид правой части:
f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
Корни характеристического уравнения:

а) iβ – не корень;

б) iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = A1×cos βx + B1×sin βx;
б) ỹ = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx).
Вид правой части:
f(x) = Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx.
Корни характеристического уравнения:

а) iβ – не корень;

б) iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx;
б) ỹ = xr×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.
Вид правой части:
f(x) = eax×[Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx].
Корни характеристического уравнения:

а) a + iβ – не корень;

б) a + iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = eax×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx);
б) ỹ = xr×eax×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.

Метод вариации произвольной постоянной
, если — частные решения ОЛДУ и

Принцип суперпозиции
Если, то y = ỹ1 + ỹ2 + … + ỹn.

Решение НЛДУ n-го порядка

Метод неопределенных коэффициентов

Вид правой части:
f(x) = Pn(x) — многочлен степени n.
Корни характеристического уравнения:
а) число 0 не является корнем;
б) число 0 является корнем кратности r.

Вид частного решения:

а) ỹ = Qn(x);

б) ỹ = xr×Qn(x).
Вид правой части:
f(x)=eax×Pn(x).
Корни характеристического уравнения:

а) число α не является корнем;

б) число α является корнем кратности r.
Вид частного решения:

а) ỹ = eax×Qn(x);

б) ỹ = xr×eax×Qn(x).
Вид правой части:
f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
Корни характеристического уравнения:

а) число iβ не является корнем;

б) число iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:

а) ỹ = A1×cos βx + B1×sin βx;

б) ỹ = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx).
Вид правой части:
f(x) = Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx.
Корни характеристического уравнения:

а) число iβ не является корнем;

б) число iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:

а) ỹ = Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx, k = max(n, m);

б) ỹ = xr×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.
Вид правой части:
f(x) = eax×[Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx].
Корни характеристического уравнения:

а) число α + iβ не является корнем;

б) число α + iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:

а) ỹ = eax×[Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx];

б) ỹ = xr×eax×[Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx],
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.

Метод вариации произвольной постоянной
.

Источник: http://matematika.electrichelp.ru/differencialnye-uravneniya/

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее производную или несколько производных неизвестной функции.
Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.
Для того, чтобы уметь решать дифференциальные уравнения, необходимо сначала научиться интегрировать и дифференцировать.

Сперва вернемся к обычным уравнениям, которые состоят из переменных и чисел.
Например, 2x = 6.
Решить обычное уравнение — значит найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению.

У этого уравнения имеет один единственный корень х = 3. Подставив данное значение х в уравнение, получим

2*3 = 6

6 = 6 – получили верное равенство, т.е. решение уравнения правильно.

Примерно так же устроены и дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнения вида f ( x, y, ) = 0 называют обыкновенными дифференциальными уравнениями 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка включает в себя:

независимую переменную x;
зависимую переменную y (функцию);
первую производную функции: .

Решить дифференциальное уравнение – значит найти множество функций y = f(x) + C, удовлетворяющих этому уравнению. Тогда это множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример.

Сначала перепишем производную в несколько ином виде:

и подставим в наше уравнение:

Теперь посмотрим, удастся ли нам разделить переменные, т.е. в одной части уравнения оставить только x, а в другой – только y. Выполнять разделение можно обычными действиями вынесения за скобки, переноса слагаемых и множителей из одной части уравнения в и т.п.

В нашем уравнении переменные разделяются путем перекидывания множителей с применением правила пропорции:

Т.е. мы получили слева только х, а справа — только y.

Теперь приступим к интегрированию, для этого ставим интегралы в обе части уравнения:

Возьмем данные интегралы. В нашем случае они табличные:

Не забываем приписать константу к любой первообразной. Хотя у нас 2 интеграла, константу C можно добавить один раз. Обычно она ставится в правой части.

Далее необходимо найти общее решение, чтобы функция была представлена в явном виде.
Выполним один распространенный прием – запишем константу также под логарифмом:
,

где – такая же константа, как и C. Это нужно для того, чтобы y можно было выразить намного легче. Для этого воспользуемся свойством логарифмов: . В нашем случае это выглядит так:

Теперь логарифмы и модули можно спокойно убрать из обеих частей:
y = Сх

Как видим, функция представлена в явном виде. Это и будет общим решением.

Множество функций y = Сх, где С = const (постоянная величина), является общим решением дифференциального уравнения x= y.

Подставляя вместо константы С разные значения, мы получим бесконечное количество частных решений дифференциального уравнения. Любая функция вида y = x, y = -2х, y = х/3 и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению x= y.

Дифференциальное уравнение можно легко проверить. Для этого возьмем найденное решение y = Сх и найдем производную:
Теперь подставим полученное решение y = Cx и найденную производную = C в исходное уравнение x= y:
х*С = Сх
Сх = Сх

Мы получили верное равенство, т.е. найденное решение является правильным. Иными словами, общее решение y = Cx удовлетворяет уравнению x= y.

Сразу же возникает вопрос – всегда ли можно разделить переменные, как в нашем примере?

Нет, гораздо чаще этого сделать нельзя. Уравнение, которое мы рассмотрели, входит в уравнений, которые носят название «обыкновенные дифференциальные уравнения».

Также, не всегда можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, поэтому их решают приближенно с помощью методов Даламбера и Коши.
Рассмотрим еще один пример.
Дано дифференциальное уравнение = -2y.

Требуется найти его частное решение, которое буде удовлетворять начальному условию y(0) = 2. Задачи с такими требованиями как раз и носят название «задача Коши».

Сперва найдем общее решение. Хотя в нашем уравнении отсутствует переменная х, это вас пусть не смущает. Главное, что здесь есть первая производная.

Представим производную в виде:
Как видно, переменные можно разделить, что мы и сделаем:
Проинтегрируем уравнение:

Мы получили общий интеграл. Обозначение
выбрано не случайно, т.к. позднее она превратится в другую константу.

Далее преобразуем общий интеграл в общее решение, т.е.выразим y в явном виде. Для этого воспользуемся свойством: . В нашем случае это выгляди так:

Теперь, используя свойство степеней, представим функцию y в следующем виде:
– это константа, значит – тоже некоторая константа, которую мы обозначим уже с помощью знакомой буквы С:
Такой прием с константой часто используют при решении дифференциальных уравнений.
Таким образом, найдено, общее решение уравнения: , где С = const.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Для этого надо подобрать такое значение С, при котором будет выполняться заданное начальное условие y(0) = 2.

Вместо х подставим в общее решение 0, а вместо y — 2:
C = 2
Сделаем проверку:
Теперь в общее решение подставим найденное значение С = 2:
– это и будет нашим частным решением.

Проведем проверку. Сперва надо проверить, а удовлетворяет ли найденное частное решение начальному условию y(0) = 2? Для этого подставим вместо х 0:

– все верно, начальное условие выполнено.
Далее найдем производную:
Подставим и в исходное уравнение = -2y:

Проверка прошла успешно, т.е. мы нашли верное частное решение.

Далее следуют дифференциальные уравнения n-го порядка, которые относятся к уравнениям высших порядков. В общем случае их решение сводится к понижению порядка.

Пойдем дальше.

Заметка: изучается иностранный язык — звуки английского языка (http://www.english-source.ru/english-linguistics/english-phonetics/128-phonetic-notation) помогут в этом непростом деле.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Differencialnye-uravneniya

Дифференциальные уравнения!

При решении различных задач физики, химии, математики и других точных наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих одну или несколько независимых переменных, неизвестную функцию этих переменных и производные (или дифференциалы) этой функции. Такого сорта уравнения называют дифференциальными.

Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если независимых переменных две или более, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. С целью получить високовалифицированих специалистов во всех ВУЗах где изучают точные дисциплины обязательно курс дифференциальных уравнений.

Для одних студентов теория дается тяжело, практика еще с горем пополам, для других тяжелая и теория, и практика. Если анализировать дифференциальные уравнения с практической стороны, то для их вычислений Вам нужно только хорошо уметь интегрировать и брать производные. Все остальные преобразования сводятся к нескольким схемам которые можно понять и изучить.

Ниже изучем основные определения и метод решения простых ДР.

Теория дифференциальных уравнений

Определение: Обычным дифференциальным уравнением называют уравнение, которое в себе связывает независимую переменную х, функцию у(х) , ее производные у'(х), уn(х) и имеет общий вид F(x,y(x),y' (x), …, yn(x))=0 Дифференциальным уравнением (ДР) называется или обычное дифференциальное уравнение, или дифференциальное уравнение в частных производных. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной (n), которая входит в данное дифференциальное уравнение.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, которая содержит столько постоянных, каков порядок дифференциального уравнения, и подстановка которой в данное дифференциальное уравнение превращает его в тождество, то есть имеет вид y=f(x, C1, C2, …, Cn).

Общее решение, которое не разрешено относительно у(х) и имеет вид F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 называется общим интегралом дифференциального уравнения. Решение найденное из общего при фиксированных значениях постоянных C1,C2, …, Cn называется частным решением дифференциального уравнения.

Одновременное задания дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных условий называется задачей Коши.

F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0 y(x0)=y0; ….

yn(x0)=yn(0)

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y')=0. (1) Интегралом уравнения (1) называется cоотношение вида Ф (x,y)=0, если каждая неявно заданная им непрерывно-дифференциированая функция является решением уравнения (1). Уравнение которое имеет вид (1) и не может быть сведено к простому виду называется уравнением, неразрешимим относительно производной. Если его можно записать в виде y' = f(x,y), то оно называется решенным уравнением относительно производной. Задача Коши для уравнения первого порядка содержит только одну начальную условие и имеет вид: F(x,y,y')=0 y(x0)=y0. Уравнения вида

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)

где переменные x i y является «симметричными»: можно предполагать, что x — независимая, а y — зависимая переменная, или наоборот, y — независимая, а x — зависимая переменная, называется уравнением в симметричной форме. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка y'=f(x,y) (3) заключается в следующем.

Данное уравнение устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом y' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, уравнение y'= f(x,y) представляет собой совокупность направлений (поле направлений) на декартовой плоскости Oxy.

Кривая построенная на точках в которых направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклины можно использовать для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить производную равную постоянной y'=С f(x, y)=С — уравнение изоклины.. Интегральной линией уравнения (3) называется график решения этого уравнения. Обычные дифференциальные уравнения, решения которых можно задать аналитически y=g(x), называются интегрируемыми уравнениями. Уравнения вида

M0(x)dx+N0(y)dy=0 (3)

называются уравнениями с раздельными сменными. Из них и начнем знакомство с дифференциальными уравнениями. Процесс нахождения решений ДР называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения с разделенными переменными

Пример 1. Найти решение уравнения y'=x . Выполнить проверку решения. Решение: Запишем уравнение в дифференциалах dy/dx=x или dy=x*dx. Найдем интеграл правой и левой части уравнения

int(dy)=int(x*dx); y=x2/2+C.

Это и есть интеграл ДР. Проверим его правильность, вычислим производную функции

y'=1/2*2x+0=x.

Как можно убедиться получили исходное ДР, следовательно вычисления верны.

Мы только что нашли решение дифференциального уравнения первого порядка. Это именно проще уравнения, которое можно себе представить.

Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (x+1)y'=y+3 Решение: Запишем исходное уравнение в дифференциалах (x+1)dy=(y+3)dx. Полученное уравнение сводим к ДР с разделенными переменными Все что осталось это взять интеграл от обеих частей

По табличными формулами находим

ln|y+3|=ln|x+1|+C.
y+3=e ln|x+1|+C или y=e ln|x+1|+C-3.
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
ln|y+3|=ln(С|x+1|).

Если экспонировать обе части, то получим Такая запись является правильной, но не является компактной. На практике применяют другой прием, при вычислении интеграла постоянную вносят под логарифм По свойствам логарифма это позволяет свернуть два последних слагаемых Теперь при экспонировании решение дифференциального уравнения станет компактное и легко читаемое y= С|x+1|+3 Запомните это правило, на практике оно применяется как эталон вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y'=-y*sin(x). Решение:Запишем уравнение в дифференциалах dy/dx= y*sin(x) или после перегруппировки множителей в виде уравнения с разделенными переменными dy/ y=-sin(x)dx. Осталось проинтегрировать уравнение

int(1/y,y)=-int(sin(x), x); ln|y|=cos(x)-ln(C).

Константу удобно внести под логарифм, да еще и с отрицательным значением, чтобы перенеся в левую часть получить

ln|С*y|=cos(x). Экспонируем обе части зависимости

С*y=exp(cos(x)). Это и есть общий интеграл дифференциального уравнения. Его можно оставить как есть, а можно постоянную перенести в правую сторону Вычисления не сложные, интегралы тоже в большинстве случаев можно найти по табличным формулам интегрирования.

Пример 4. Решить задачу Коши y'=y+x, y(1)=e3-2. Решение:Здесь уже предварительные преобразования не пройдут. Однако уравнение линейное и довольно простое. В таких случаях нужно ввести новую переменную z=y+x. Помня, что y=y(x) найдем производную от z. z'= y'+1, откуда выражаем старую производную

y'= z'-1.

Подставим это все в исходное уравнение

z'-1=z или z'=z+1.

Распишем дифференциальное уравнения через дифференциалы dz=(z+1)dx. Отделяем переменные в уравнении Осталось вычислить простые интегралы, которые под силу каждому Экспонируем зависимость, чтобы избавиться от логарифма при функции

z+1=ex+Сабо z=ex+1-1

Не забываем вернуться к выполненной замене

z=x+y= ex+С-1,

отсюда выписываем общее решение дифференциального уравнения y= ex+С-x-1. Найти решение задачи Коши в ДР в данном случае не сложно. Выписываем условие Коши

y(1)=e3-2
e1+С-1-1= e3-2.
1+С=3; С=3-1=2.

и подставляем в только что найденное решение Отсюда получим условие для вычисления постоянной Теперь можем записать решение задачи Коши (частичный решение ДР) y= ex+2-x-1. Если Вы хорошо умеете интегрировать, с производной у Вас дела тоже на высоте, тогда тема дифференциальных уравнений для Вас не будет препятствием в образовании. В дальнейшем обучении Вам необходимо изучить несколько важных схем, чтобы научиться различать уравнения и знать, какая замена или методика работает в каждом случае.

После этого Вас ждут однородные и неоднородные ДР, дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Чтобы не нагружать Вас теорией в следующих уроках мы будем приводить только тип уравнений и краткую схему их вычислений.

Всю теорию Вы можете почитать из методических рекомендаций для изучения курса «Дифференциальные уравнения» (2014) авторы Бокало Николай Михайлович, Доманская Елена Викторовна, Чмырь Оксана Юрьевна. Можете использовать другие источники, содержащие понятны Вам объяснения теории дифференциальных уравнений.

Готовые примеры для диф. уравнений взяты из программы для математиков ЛНУ им. И. Франка.

Мы знаем, как решить дифференциальные уравнения и постараемся в легкий способ привить эти знания Вам.

Источник: https://yukhym.com/ru/reshenie-diff-uravnenij/differentsialnye-uravneniya-osnovnye-ponyatiya.html

Ду с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида:$$ f_1(x)g_1(y)dy=f_2(x)g_2(y)dx $$называют дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. В данном разделе математики эти уравнения самые лёгкие в решении.

Формула

Для решения существует универсальный алгоритм:

Суть его состоит в том, чтобы обе части ду разделить на произведение функций, зависящих от разных переменных: $$ f_1(x)g_2(y) $$
Таким образом мы приводим исходное уравнение, заданное по условию, к виду: $$ frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$
Далее необходимо проинтегрировать обе части уравнения, из которых мы получим функцию y(x): $$ int frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = int frac{f_2(x)}{f_1(x)}dx $$

Примеры решений

Пример 1

Решить уравнение: $$ (x^2+9)y'=4xy $$

Решение

Решение как всегда начнем с анализа типа дифференциального уравнения. Данное уравнение попадает под определение ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. А значит, начнем действовать по алгоритму решения. Распишем подробно: $$ y' = frac{dy}{dx} $$

Далее разделим обе части уравнения на произведение двух функций: $$ y(x^2+9) $$
Получаем:$$ frac{dy}{y} = frac{4xdx}{x^2+9} $$
Возьмем интеграл от обеих частей последнего равенства:$$ int frac{dy}{y} = int frac{4xdx}{x^2+9} $$
Используя формулы и методы интегрирования, получаем: $$ ln|y| = 2 int frac{d(x^2+9)}{x^2+9} $$
$$ ln|y| = 2 ln|x^2+9|+C $$
Общее решение: $$ y = C cdot (x^2+9)^2, C = const $$
Как видим ответ легко получен и записан в последней строчке.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y = C cdot (x^2+9)^2, C = const $$

Пример 2

Решить ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: $$ xsqrt{1-y^2}dx + ysqrt{1-x^2}dy=0 $$

Решение

Перенесем первое слагагаемое, содержащее dx в правую часть для удобства решения:
$$ ysqrt{1-x^2}dy = — xsqrt{1-y^2}dx $$
Разделим обе части на выражение: $$ sqrt{1-x^2} cdot sqrt{1-y^2} $$
Получаем: $$ frac{ydy}{1-y^2} = -frac{xdx}{1-x^2} $$
Как положено алгоритмом возьмем интегралы: $$ int frac{ydy}{1-y^2} = — int frac{xdx}{1-x^2} $$
$$ -frac{1}{2} int frac{d(1-y^2)}{1-y^2} = frac{1}{2} int frac{d(1-x^2)}{1-x^2} $$
$$ -frac{1}{2} ln|1-y^2| = frac{1}{2} ln|1-x^2|+C $$
$$ ln|1-y^2| = — ln|1-x^2|+C $$
Искомое решение: $$ 1-y^2 = frac{C}{1-x^2} $$
Получаем ответ, в виде: $$ 1-y^2 = frac{C}{1-x^2} $$
$$ y_{1,2} = pm sqrt{1-frac{C}{1-x^2}} $$

Ответ

$$ y_{1,2} = pm sqrt{1-frac{C}{1-x^2}} $$

Пример 3

Решить ДУ 1-го порядка разделяя переменные: $$ cos^2xdy=sin^2ydx $$

Решение

Решаем: $$ frac{dy}{sin^2y}=frac{dx}{cos^2x} $$
$$ int frac{dy}{sin^2y}=int frac{dx}{cos^2x} $$
$$ -ctgy = tgx + C $$

Ответ

$$ y = arcctg(-tgx+C) $$

Пример 4

Найти общее решение Ду с разделяющимися переменными: $$ y'e^{x+y}=1 $$

Решение

Решать начнем с того, что воспользуемся свойством:$$ e^{x+y} = e^x cdot e^y $$
Получаем, $$ y'e^xcdot e^y = 1 $$
Разделяем переменные, $$ e^y dy=frac{dx}{e^x} $$
Спокойно интегрируем уравнение, $$ int e^y dy= int frac{dx}{e^x} $$
$$ e^y= int e^{-x} = -e^{-x} + C $$
Отсюда ответ, $$ y=ln(-e^{-x}+C) $$

Ответ

$$ y=ln(-e^{-x}+C) $$

Пример 5

Решить задачу Коши: $$ x^2 y'=y^2, y(1)=1 $$

Решение

Найдем для начала общее решение ДУ: $$ frac{dy}{y^2}=frac{dx}{x^2} $$
$$ int frac{dy}{y^2}=int frac{dx}{x^2} $$
$$ -frac{1}{y}= -frac{1}{x} + C $$
Отсюда получается общее решение: $$ y = frac{1}{frac{1}{x}+C} $$

Решить задачу Коши это значит, найти постоянную $ С $ из дополнительного условия $ y(1)=1 $. Чтобы это проделать нужно подставить в общее решение $ x = 1 $ и $ y = 1 $.

$$ frac{1}{1+C}=1 $$
$$ 1+C=1 $$
$$ C=0 $$
Теперь, подставляя найденное $ С = 0 $ в общее решение, записываем ответ: $$ y = x $$

Ответ

$$ y = x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/du-s-razdelyayushhimisya-peremennymi.html