Физический смысл производной

Содержание

Определение: Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Изучив теоретические материалы по данной теме, вы должны знать понятие производной функции, понимать геометрический и физический смысл производной, уметь применять их для решения задач, уметь находить производные функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.
Примеры.
1. Найти значение производной функции

Решение.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ:.
2. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e-2x, параллельной прямой y=-x
Решение.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x0. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1.Таким образом, f'(x0)=-1.

Уравнение касательной:

Уравнение касательной: y=1-1(x-0)=1-x

Ответ: y=1-x.

3. На параболе у=х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение.
Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х2-2х-8:
k =у'=(х2-2х-8)'=2х-2.
Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:
у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х2-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)2-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

Источник: https://www.sites.google.com/site/matematikafizik/algebra/tema-17-proizvodnaa-geometriceskij-i-fiziceskij-smysl-proizvodnoj

Геометрический и физический смысл

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке
Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом.
Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 в контрольных по математике и учебниках обозначают символом f'(x0). Следовательно, по определению
Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Геометрический смысл производной

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.
Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо ) принимает вид
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) — скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Источник: http://univer-nn.ru/matematika/geometricheskij-i-fizicheskij-smysl/

Физический смысл производной. Задачи!

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной.

В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = t2 – 7t – 20

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Ответ: 3
Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t3 – 3t2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Посмотреть решение
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t4 + 6t3 + 5t + 23

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Посмотреть решение
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t2 + 5t + 28

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3
Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Посмотреть решение
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t3 – 3t2 – 5t + 3

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Посмотреть решение

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/pervoobraznaya-proizvodnaya/fizicheskij-smysl-proizvodnoj-zadachi-na-skorost.html

Производная. Физический смысл производной. Задание В8

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-01-27

Главная » СТАТЬИ » 07 Задание (2016) » Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени . Чтобы найти скорость точки в момент времени , рассмотрим маленький промежуток времени . За этот промежуток времени точка пройдет расстояние . Тогда скорость точки будет примерно равна . Чем меньше промежуток времени мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при , мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени :

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию и зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно . Возьмем приращение аргумента . Значение функции в этой точке равно . Получим приращение функции

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию , то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции в точке :

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение.
1. Найдем производную функции :
2. Найдем значение производной в точке :
Ответ: 60 м/с.
Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.
Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке .
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.
Получаем уравнение:
Отсюда с.
Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание. Задание В9 (№119979)

Решение.
Найдем производную функции :
По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.
Получаем уравнение:
Решим его:
, — не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 7

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/01/27/geometricheskiy-smyisl-proizvodnoy-fizicheskiy-smyisl-proizvodnoy

Физический смысл производной в задаче 7

15 мая 2014

Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t
ight)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
[v={S}'={x}'left( t
ight)]
Точно так же мы можем посчитать и ускорение:
[a={v}'={{S}'}'={{x}'}'left( t
ight)]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t
ight)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

[v={S}'={x}'left( 2
ight)]
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
[{x}'left( t
ight)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
[{x}'left( t
ight)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
[{x}'left( 2
ight)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]
[=-16+32-12+5=9]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t
ight)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:
[{x}'left( t
ight)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]
[{x}'left( t
ight)={{t}^{2}}-8t+19]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
[{{t}^{2}}-8t+19=3]
[{{t}^{2}}-8t+16=0]
[{{left( t-4
ight)}^{2}}=0]
[t-4=0]
[t=4]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение.

Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния.

Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.berdov.com/ege/derivative/fizicheskijj-smysl-proizvodnojj/

Физический смысл производной

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью.

Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени. Чтобы найти скорость точки в момент времени , рассмотрим маленький промежуток времени ?t .

За этот промежуток времени точка пройдет расстояние ?S .

Тогда скорость точки будет примерно равна . Чем меньше промежуток времени ?t мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при ?t 0, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию f (x) и зафиксируем точку. Значение функции в этой точке равно f.

Возьмем приращение аргумента ?x.

Значение функции в этой точке равно f?(+.Получим приращение функции

)

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Физический смысл производной. Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции S(x) в точке

Пример 1 мгновенный скорость приращение аргумент

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c .

Решение.

1. Найдем производную функции
2. Найдем значение производной в точке t=9:

Ответ: 60 м/с.
Пример 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
,

где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.
Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке .
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.
Получаем уравнение:
Отсюда
Ответ: 8
Пример 3.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.
Получаем уравнение:
Решим его:
— не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ :7

Источник: https://studwood.ru/1043537/matematika_himiya_fizika/fizicheskiy_smysl_proizvodnoy