Формулы приведения тригонометрических функций

О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математике Тригонометрия
Таблица формул приведения

Формулы приведения тригонометрических функций

      Рассмотрим рисунок 1.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Формулы приведения тригонометрических функций

Рис.1

      На этом рисунке

Формулы приведения тригонометрических функцийФормулы приведения тригонометрических функцийФормулы приведения тригонометрических функций

      Следовательно, справедливы формулы:

Формулы приведения тригонометрических функцийФормулы приведения тригонометрических функций (1)

откуда вытекают формулы:

Формулы приведения тригонометрических функций (2)

      Если же в формулах (1) и (2) сделать замену: α → – α, то, воспользовавшись свойствами четности тригонометрических функций, мы получим формулы:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Вынужденные колебания. резонанс

Оценим за полчаса!
(3)

      Формулы (1), (2), (3) называют формулами приведения.

Таблица формул приведения

      В целом формулы приведения удобно представить в виде следующей таблицы.

      Таблица — Формулы приведения

Аргумент Формула приведения
синус косинус тангенс котангенс
– α – sin α cos α
cos α sin α
cos α – sin α
π – α sin α – cos α
π + α – sin α – cos α
– cos α – sin α
– cos α sin α
2π – α – sin α cos α
2π + α sin α cos α
sin (– α) = – sin α;
cos (– α) = cos α;
sin (π – α) = sin α;
cos (π – α) = – cos α;
sin (π + α) = – sin α
cos (π + α) = – cos α
sin (2π – α) = – sin α
cos (2π – α) = cos α
sin (2π + α) = sin α
cos (2π + α) = cos α

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/reduction.htm

Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (π+a), (π-a), (frac{3pi}{2}+a), (frac{3pi}{2}-a), (2π+a) и (2π-a). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: (90^°+a), (90^°-a), (180^°+a), (180^°-a), (270^°+a), (270^°-a), (180^°+a), (180^°-a). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Формулы приведения тригонометрических функций

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

  • Функция:                Кофункция: (sin⁡) (a)          (→)            (cos⁡) (a) (cos⁡) (a)          (→)             (sin⁡) (a) (tg⁡) (a)            (→)            (ctg) (a)
  • (ctg⁡) (a)          (→)             (tg) (a)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам: — как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией

Например, выводим формулу приведения для (⁡cos⁡(frac{3pi}{2}-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (frac{pi}{2}), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима).

В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (frac{3pi}{2}-a)? Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (frac{3pi}{2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).

Формулы приведения тригонометрических функций

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(frac{3pi}{2}-a)=-…)

Здесь правило еще проще:

— если «точка привязки» (frac{pi}{2}) ((90^°)) или (frac{3pi}{2}) ((270^°))– функция меняется на кофункцию; — если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же

То есть, при аргументах исходной функции (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (frac{3pi}{2}+a) или (frac{pi}{2}-a), мы должны поменять функцию, а при аргументах (π+a), (π-a), (2π+a) или (2π-a) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Читайте также:  Таблица сложения чисел, формулы и примеры

Точки, обозначающие (frac{pi}{2}) ((90^°)) и (frac{3pi}{2}) ((270^°)), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Формулы приведения тригонометрических функций

Точки же, обозначающие (π) ((180^°)) и (2π) ((360^°)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Формулы приведения тригонометрических функций

Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?». Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=…) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=-sin⁡) (a). Это и есть верная формула приведения.

Зачем нужны формулы привидения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{18 cos {⁡{41}^°} }{sin⁡ {{49}^°}})

Решение:

(frac{18 cos {{⁡41}^°} }{sin⁡{{49}^°}}=) Углы ({41}^°) и ({49}^°) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на одну важный момент: (49^°=90^°-41^°). Поэтому мы можем заменить на (49^°) на (90^°-41^°).
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{sin⁡ {({90}^°-{41}^°)}}=) Теперь применим к синусу формулу приведения:

  • (90^°-41^°) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
  • (90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию.

(sin⁡{(90^°-41^°)}=cos⁡ 41^° )

(=frac{18 cos {⁡41^° }}{cos⁡ {{41}^°}}=) В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
(= 18) Записываем ответ

Ответ:  (18)

Пример. Найдите значение выражения (frac{3 sin{⁡(pi-a)}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}})

Решение:

(frac{3 sin{⁡(pi-a)}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=) Рассмотрим первое слагаемое числителя: (sin⁡(π-a)). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:

  • ((π-a)) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс;
  • (π) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же.

Таким образом, (sin⁡(π-a)=sin⁡a) 

(=frac{3 sin{⁡a}-cos(frac{pi}{2}+a) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=) Второе слагаемое числителя: (cos⁡{(frac{π}{2} + a)}):

  • ((frac{π}{2} + a)) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус.
  • (frac{π}{2}) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус.

Таким образом, (cos{⁡(frac{π}{2} + a)}=-sin⁡a)

(=frac{3 sin{⁡a}-(-sin{a}) }{cos⁡ {(frac{3pi}{2}-a)}}=) Теперь знаменатель: (cos⁡(frac{3π}{2} — a)). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. (cos⁡(frac{3π}{2} — a)=-sin{⁡a})
(=frac{3 sin{⁡a}-(-sin{a}) }{-sin⁡ {a}}=) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
(=frac{3 sin{⁡a}+sin{a}}{-sin⁡ {a}}=frac{4sin{a}}{-sin{a}}) Сократив на (sin⁡{a}), получаем ответ.
(=frac{4 }{-1}=)(-4)
  1. Ответ:  (-4)
  2. Пример. Вычислить чему равен (ctg(-a-frac{7π}{2})), если (tg) (⁡a=2)
  3. Решение:
(ctg(-a-frac{7π}{2}) =) Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, (a) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.
(= ctg(-frac{7π}{2}-a) =) Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
(= ctg(-(frac{7π}{2}+a)) =) Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть (ctg) ((-t)=- ctg) (t). Преобразовываем наше выражение.
(= — ctg(frac{7π}{2}+a) =) Несмотря на то, что точка привязки (frac{7π}{2}) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что (frac{7π}{2}) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). ((frac{7π}{2}+a)) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем (ctg(frac{7π}{2}+a)=-tg a) .
(= — (- tg) (a) = tg) (a = 2) Готов ответ.

Ответ:  (2)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения (frac{7π}{2}) — это тоже самое, что и (frac{3π}{2}). Почему? Потому что (frac{7π}{2}=frac{3π+4π}{2}=frac{3π}{2}+frac{4π}{2}=frac{3π}{2}+2π). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот (2π). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

(cos) (⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= …=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…) (sin) (t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= …=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен (π)). (tg) (t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= …=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…)

(ctg) (t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= …=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…)

  • Таким образом, (-ctg(frac{7π}{2}+a)=- ctg(frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(frac{3π}{2}+a)).
  • То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами ((frac{π}{3}-a)),((frac{π}{4}+a)),((frac{7π}{6}+a)) или тому подобное? Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, (cos⁡(frac{π}{3}-a)=cos⁡frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡frac{π}{3} sin⁡a=frac{1}{2}cos⁡a+frac{sqrt{3}}{2} sin⁡a).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/239/

Формулы приведения. Быстро и легко!

Тригонометрия.Формулы приведения.

Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода. Это очень легко!

  • Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.
  • Формулы приведения тригонометрических функций
  • Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a).
  • Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.

В первой четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
И функция cos(a)>0, потому что ось X положительна в этой четверти.
Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).

Формулы приведения тригонометрических функций

Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a)

Формулы приведения тригонометрических функций

В четвертой четверти видно, что функция sin(a)0, потому что ось X положительна в этой четверти.
Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).

Формулы приведения тригонометрических функций

Теперь рассмотрим сами формулы приведения.

Запомним простой алгоритм:
1. Четверть. (Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
2. Знак. (Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
3. Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется.

И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.

Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции косинуса положительный.
3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.

Будет cos(90-α) = sin(α)

Источник: https://TutoMath.ru/uroki/formuly-privedeniya.html

Узнать ещё

Как запомнить  формулы приведения тригонометрических функций? Это легко, если использовать ассоциацию.Данная ассоциация придумана не мной. Как уже говорилось, хорошая ассоциация должна «цеплять», то есть вызывать яркие эмоции.

Не могу назвать эмоции, вызываемые этой ассоциацией, позитивными. Но она дает результат — позволяет запоминать формулы приведения, а значит, имеет право на существование.

В конце концов, если она вам не понравится, вы же ее можете не использовать, правильно?

Формулы приведения имеют вид: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запоминаем, что +α дает движение против часовой стрелки, — α  — движение по часовой стрелке.

Для работы с формулами приведения нужны два пункта:

Формулы приведения тригонометрических функций1) ставим знак, который имеет начальная функция (в учебниках пишут: приводимая. Но, чтобы не запутаться, лучше назвать ее начальной), если считать α углом I четверти, то есть маленьким.

2) Горизонтальный диаметр — π±α, 2π±α, 3π±α… — в общем, когда нет дроби — название функции не меняет. Вертикальный π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α…- когда дробь есть — название функции меняет: синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс и котангенс — на тангенс.Формулы приведения тригонометрических функций

  • Теперь, собственно, ассоциация:
  • вертикальный диаметр (есть дробь) —
  • пьяный стоит. Что с ним случится рано

или поздно? Правильно, упадет.

Название функции изменится.

Если же диаметр горизонтальный — пьяный уже лежит. Спит, наверное. С ним уже ничего  не случится, он уже принял горизонтальное положение. Соответственно, название функции не меняется.

Формулы приведения тригонометрических функций

То есть sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) и т.д. дают ±cosα,

а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … —  ±sinα.

Как запомнить знаки тригонометрических функций по четвертям, уже знаем.

Как это работает? Смотрим на примерах.

1) cos(π/2+α)=?

Становимся на π/2. Поскольку +α — значит, идем вперед, против часовой стрелки. Попадаем во II четверть, где косинус имеет знак «-«. Название функции меняется («пьяный стоит», значит — упадет). Итак,

cos(π/2+α)=-sin α.

2) tg(2π-α)=?

Становимся на 2π. Так как -α — идем назад, то есть по часовой стрелке. Попадаем в IV четверть, где тангенс имеет знак «-«. Название функции не меняется (диаметр горизонтальный, «пьяный  уже лежит»). Таким образом, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Примеры, в которых функция возводится в четную степень, решаются еще проще. Четная степень «-» убирает, то есть надо только выяснить, меняется название функции или остается. Диаметр вертикальный (есть дробь, «пьяный стоит», упадет), название функции меняется. Получаем: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Источник: http://www.uznateshe.ru/formuly-privedeniya-trigonometricheskix-funkcij/

Формулы приведения в тригонометрии

Теорема. Для любого угла φ

sin (90° — φ) = cosφ (1)

Доказательство. Если угол φ оканчивается в 1-й четверти, то угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Используя единичный круг, получаем:

sin (90° + φ) = BD, cos φ = ОС.

Но треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Отсюда и вытекает равенство (1).

Формулы приведения тригонометрических функций

Если угол φ оканчивается во 2-й четверти, то угол 90° +φ должен оканчиваться в 3-й четверти. Используя единичный круг, получаем:

sin (90°+φ) = — BD, cos φ= -ОС.

Треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Следовательно, -BD = -ОС, или sin (90° +φ) = cos φ.

Формулы приведения тригонометрических функций

Аналогично можно рассмотреть случаи, когда угол φ оканчивается в 3-й или в 4-й четверти. Тождество (1) легко проверить и в случае, когда конечная сторона угла φ лежит на какой-нибудь оси координат.

  • Из доказанного тождества (1) вытекает ряд других важных тождеств. Заменив в (1) φ на — φ, получаем:
  • sin (90° — φ) = cos (-φ) = cos φ. (2)
  • Чтобы получить аналогичную формулу для cos (90° — φ), заменим в (2) φ на 90° — φ. В результате получаем:
  • или sin [90° — (90° — φ)] = cos (90° — φ),
  • Итак, sin φ= cos (90° — φ).
  • cos (90° — φ) = sin φ. (3)
  • Из (2) и (3) вытекает:
  • ( tg(90^o-varphi)=frac{sin(90^o-varphi)}{cos(90^o-varphi)}=frac{cosvarphi}{sinvarphi}=ctgvarphi )

tg (90° — φ) = ctg φ. . (4)

  1. Аналогично, ( ctg(90^o-varphi)=frac{cos(90^o-varphi)}{sin(90^o-varphi)}=frac{sinvarphi}{cosvarphi}=tgvarphi )
  2. Формулы
  3. sin (90° — φ) = cos φ, tg (90° — φ) == ctg φ,
  4. cos (90° — φ) = sin φ, ctg (90° — φ) = tg φ.

иногда называют формулами дополнительного угла. Это связано с тем, что углы 90° — φ и φ дополняют друг друга до прямого угла. Эти формулы очень просто запомнить: одна функция заменяется на другую, сходную с ней (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Например, sin 40° = cos 50°; tg 70° = ctg 20° и т. д.

  • Теперь получим формулы для угла 90° + φ. Одну из таких формул мы уже доказали выше:
  • sin (90° +φ) = cos φ.
  • Остальные формулы легко получаются из формул дополнительного угла и свойства четности (нечетности) тригонометрических функций. Имеем:
  • cos (90° + φ) = cos [90° — (- φ)] = sin (- φ) = -sin φ;
  • tg (90° + φ) = tg [90°- (— φ)] = ctg(— φ) = -ctg φ;
  • ctg (90° + φ) =ctg [90° -(- φ)] = tg (— φ) = — tg φ.
  • Исходя из этих формул, можно получить формулы для углов 180° ± φ. Например,
  • sin (180° + φ) = sin [90° + (90°+ φ)] = cos (90° + φ) = -sin φ;
  • sin (180° — φ) = sin [90° + (90° — φ)] = cos (90° — φ) = sin φ.
  • Аналогично доказываются формулы
  • cos (180° + φ) = — cos φ; cos (180° — φ) = — cos φ.
  • Чтобы получить соответствующие формулы для тангенса и котангенса, можно воспользоваться выведенными соотношениями
  • для синуса и косинуса, учитывая, что tg φ= sin φ/cos φ, ctg φ= cos φ/sin φ.
  • Однако в данном случае лучше всего исходить из того, что угол 180° является периодом функций tg φи ctg φ. Отсюда сразу же получаем:
  • tg (180° + φ) = tg φ,
  • tg (180° — φ) == tg (-φ) = — tg φ,
  • ctg (180° + φ) = ctg φ,
  • ctg (180° —φ) = ctg (- φ) =- ctg φ.
  • Из формул для углов 180° ± φможно получить аналогичные формулы для углов 270° ± φ.
  • Формулы для углов 360° ± φ легко получаются, если учесть, что угол 360° является общим периодом тригонометрических функций.
Функция Угол sin х cos x tg x ctg x
φ sin φ cos φ tg φ ctg φ
90° — φ (π /2- φ) cos φ sin φ ctg φ tg φ
90° + φ(π /2 + φ) cos φ -sin φ -ctg φ -tg φ
180° φ (π — φ) sin φ -cos φ -tg φ -ctg φ
180° + φ(π + φ) -sin φ -cos φ tg φ ctg φ
270° — φ (π — φ) -cos φ -sin φ ctg φ tg φ
270° + φ(π + φ) -cos φ sin φ -ctg φ -tg φ
360°φ(2π — φ) -sin φ cos φ -tg φ -ctg φ
360° + φ(2π + φ) sin φ cos φ tg φ ctg φ

Чтобы не заучивать эти формулы, достаточно помнить:

1) если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;

если же в формуле содержатся углы 90° и 270° (π/2и 3π/2), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);

2) чтобы определить знак в правой части формулы (+ или-), достаточно, считая угол φ острым, определить знак выражения, стоящего в левой части формулы.

Пусть, например, нужно определить tg (90° + φ). Прежде всего мы замечаем, что в формуле содержится угол 90°. Поэтому в правой части искомой формулы должен стоять ctg φ.

Чтобы определить знак перед ctg φ, предположим, что угол φ острый. Тогда угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но тангенс угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен.

Поэтому передctg φ нужно взять знак -.

  1. Итак,
  2. tg (90° + φ) = -ctg φ.
  3. Аналогично устанавливается формула
  4. cos (180° — φ) = — cos φ.

Поскольку в формуле содержится угол в 180°, наименование функции не изменяется. Если угол φ острый, то угол 180°-φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но косинус угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому в правой части формулы должен стоять знак -.

Полученные выше формулы носят название формул приведения.

Источник: http://razdupli.ru/teor/47_formuly-privedeniya-v-trigonometrii.php

Формулы приведения

Два правила формул приведения

  1. при 900 и при 2700 (в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a)) — функция меняется на кофункцию (sin на cos либо в обратную сторону, tg на ctg либо в обратную).
  2. при 1800 и при 3600 (в виде (π ±a) или (2*π ±a)) — функция НЕ изменяется.

2 способа запоминания формул приведения

1. «Правило лошади»:

  • Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
  • Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет свое название.
  • Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.

2. Использование четности и периодичности.

нечетная функция

  • sin (-α) = -sin α
  • tg (-α) = -tg α
  • сtg (-α) = -сtg α

четная функция

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими:

  • sin α, cos α — периодические функции с наименьшим положительным периодом 2π: sin(α+2kπ) = sin α,cos(α+2kπ) = cos α, k ∈ Z.
  • tg α, ctg α — периодические функции с наименьшим положительным периодом π: tg(α+kπ) = tgα, ctg(α+kπ) = ctg α, k ∈ Z.

Формулы приведения в виде списка

sin

  • sin(900 — α) = cos α
  • sin (900 + α) = cos α
  • sin (1800 — α) = sin α
  • sin (1800 + α) = -sin α
  • sin (2700 — α) = -cos α
  • sin (2700 + α) = -cos α
  • sin (3600 — α) = -sin α
  • sin (3600 + α) = sin α

cos

  • cos (900 — α) = sin α
  • cos (900 + α) = -sin α
  • cos (1800 — α) = -cos α
  • cos (1800 + α) = -cos α
  • cos (2700 — α) = -sin α
  • cos (2700 + α) = sin α
  • cos (3600 — α) = cos α
  • cos (3600 + α) = cos α

tg

  • tg(900 — α) = ctg α
  • tg (900 + α) = -ctg α
  • tg (1800 — α) = -tg α
  • tg (1800 + α) = tg α
  • tg (2700 — α) = ctg α
  • tg (2700 + α) = -ctg α
  • tg (3600 — α) = -tg α
  • tg (3600 + α) = tg α

ctg

  • ctg (900 — α) = tg α
  • ctg (900 + α) = -tg α
  • ctg (1800 — α) = -ctg α
  • ctg (1800 + α) = ctg α
  • ctg (2700 — α) = tg α
  • ctg (2700 + α) = -tg α
  • ctg (3600 — α) = -ctg α
  • ctg (3600 + α) = ctg α

Угол альфа α находится в интервале 0 — 90°.

Знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти

Дополнительный материал: Формулы тригонометрии

Смотри также: Основные формулы по математике

Источник: https://bingoschool.ru/blog/36/

Внеклассный урок — Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t,  3π/2 – t,  π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

Правило приведения:

Для выраженийπ + t,   π – t,   2π + t,   2π – t Для выражений π/2 + t,   π/2 – t,   3π/2 + t,  3π/2 – t
1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения.2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2. 1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную.2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.

  • Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).
  • Решение.
  • Следуем правилу:
  • 1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:
  • cos (π + t) = cos t.

2) Осталось определиться со знаком полученной функции.

Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:

  1. cos (π + t) = –cos t.
  2. Пример решен.
  3. Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).
  4. Решение.
  5. Следуем правилу:
  6. 1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:
  7. sin (3π/2 – t) = cos t

2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 – t находится в третьей четверти. А в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое тождественное выражение тоже со знаком минус:

  • sin (3π/2 – t) = –cos t.
  • Пример решен.
  • Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.
  • Формулы приведения.
cos (π + t) = –cos t sin (π + t) = –sin t tg (π + t) = tg t ctg (π + t) = ctg t
cos (π – t) = –cos t sin (π – t) = sin t tg (π – t) = –tg t ctg (π – t) = –ctg t
cos (2π + t) = cos t sin (2π + t) = sin t tg (2π + t) = tg t ctg (2π + t) = ctg t
cos (2π – t) = cos t sin (2π – t) = –sin t tg (2π – t) = –tg t ctg (2π – t) = –ctg t
cos (π/2 + t) = –sin t sin (π/2 + t) = cos t tg (π/2 + t) = –ctg t ctg (π/2 + t) = –tg t
cos (π/2 – t) = sin t sin (π/2 – t) = cos t tg (π/2 – t) = ctg t ctg (π/2 – t) = tg t
cos (3π/2 + t) = sin t sin (3π/2 + t) = –cos t tg (3π/2 + t) = –ctg t ctg (3π/2 + t) = –tg t
cos (3π/2 – t) = –sin t sin (3π/2 – t) = –cos t tg (3π/2 – t) = ctg t ctg (3π/2 – t) = tg t

Примечание:

Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила. Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.

Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-300

Ссылка на основную публикацию