Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Содержание

Знання → Вища математика →

Неопределенный интеграл

Додати до моєї бази знань

Математика

32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R — знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типасводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно,

Поэтому

где R1(t) — рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:

1) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно sinx, т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;

2) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно cosx, т.е. R(sinx; — cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;

3) если функция R(sin x; cos x) четна относительно sinx и cosx R(— sin x; — cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Пример 32.1. Найти интеграл

Решение: Cделаем универсальную подстановку Тогда dx= , , . Следовательно,

Пример 32.2. Найти интеграл

Решение: Так как
то полагаем tg x=t. Отсюда
Поэтому

32.2. Интегралы типа ∫sinmх•cosnx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1) подстановка sinx=t, если n — целое положительное нечетное число;
2) подстановка cosx=t, если m — целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип — целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка tg х=t, если m+n — есть четное отрицательное целое число.

Пример 32.3. Найти интеграл

Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx И

Пример 32.4. Найти интеграл

Решение:

Пример 32.5. Найти интеграл

Решение: Здесь m+n =-4. Обозначим tg x=t. Тогда х=arctg t,

32.3. Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32.6. Найти интеграл

Решение:

МатематикаНеопределенный интегралНеопределенный интегралВища математика

загрузка…

Источник: http://www.znannya.org/?view=integr-trigonom-function

Интегрирование тригонометрических функций

Знать:
v Основные тригонометрические формулы;
v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
; ; , (16)

Интегралы вида:

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
= ; .
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.

если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=cosx; dt= -sinxdx; , .

если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=sinx; dt=cos x dx; .

если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку

t=tgx; ;
, .
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
; ; ;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t=sinx;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t=cosx;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t=tgx;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
Интегралы вида:
, , (19)
если n=1, то
;
,
если n>1, воспользоваться формулами:
; ,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) .
►1) = =
= = ;
2) = = =
= =
= =
= ;
3) = =
= = =
= = =
= ;
4) = = =
= = = ;
5) = = =
= = = =
= = = =
= +С;
6) = = = =
= = , ( .◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:

№248. . Ответ: .

№249. . Ответ: .

№250. . Ответ: .

№251. . Ответ: .

№252. . Ответ: .

№253. . Ответ: .

№254. . Ответ: .

№255. . Ответ: .

№256. . Ответ: .

№257. . Ответ: .

№258. . Ответ: .

№259. . Ответ: .

№260. .

Указание. Замена сosx=t.

Ответ: .

№261. .

Указание. Замена sinx=t.

Ответ: .
Домашнее задание
Найти интегралы:

№262. . Ответ: .

№263. . Ответ: .

№264. . Ответ: .

№265. . Ответ: .

№266. . Ответ: .

№267. . Ответ: tg x–x.

№268. . Ответ: .

№269. . Ответ: .

№270. . Ответ: .

№271. . Ответ: .

№272. . Ответ: .

№273. . Ответ: .

№274. . Ответ: .

№275. . Ответ: .

№276. . Ответ: .

№277. . Ответ: .

№278. . Ответ: .

№279. . Ответ: .

№280. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№281. . Ответ: .

№282. . Ответ: .

№283. . Ответ: .

№284. .

Ответ: .

№285. . Ответ: .

№286. .

Ответ: .

№287. .

Ответ: .

№288. . Ответ: .

№289. .

Указание. Замена t=ctg x. Ответ: .

№290. . Ответ: .

№291. . Ответ: .

№292. . Ответ: , где t=tg x.

№293. . Ответ: ln|tg x|.

№294. . Ответ: .

№295. .

Указание. Замена ctgx=t.

Ответ: .

№296. . Ответ: ln|sinx|-sinx.

№297. .

Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:

№18. .

► = =
= =
= =
= .◄

№19. .

► = =
= = =
= .◄

№20. .

► = =

= = .◄

№38. .

► = =
= = = =
= .◄

№39. .

► = =
= = = =
= .◄
№40.
► = =
= = = =
= = =
= .◄
Занятие 7
Интегрирование некоторых иррациональностей
Цели
Знать:
v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
Уметь:
v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
Интегралы вида:
(20)
называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.

Постановка задачи. Найти интеграл .

План решения.

Для нахождения интеграла следует:

1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду .

2. Если числитель не зависит от х, т.е. М=0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул

[11]
или
[12].

3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку , при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.

Интегралы вида
, (21)
где R — рациональная функция; p,q,…,s,t — целые числа, находятся с помощью постановки
,
где m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t.
Частные случаи:
1) если в интеграле (21) с=0, то он будет иметь вид
, (22)
где ;
2) если b=c=0, a=d=1, то интеграл (21) примет вид
. (23)
Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
или .
К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
(24)
подстановкой
x=a sint; dx=a cost dt
или
x=a cost; dx=-a sint dt
(25)
подстановкой
x=a tgt;
или
x=a ctgt;
(26)
подстановкой
;
или
Интегралы вида:
(27)
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
, , .
Интеграл от дифференциального бинома
(28),
где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или — является целым.
Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
1) когда р — целое число,
подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
2) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби p;
3) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

Интеграл вида:
(29)
можно найти подстановкой .
№ 7. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) .
►1) = =
= = = =
= = ;
2) = = = =
= = ;
3) = = =
= = =
= ;
4) = = =
= = = ;
5) = = =
= = = =
= .
Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и , следовательно
= ;
6) Это интеграл от дифференциального бинома.
= =
= =
= =
= = = = =
= ;
7) = = =
= = .
Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1

Источник: https://cyberpedia.su/10×10815.html

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции 17-18 Классы интегрируемых функций

Содержание лекции: Интегрирование основных классов функций: рациональных функций , тригонометрических функций.

Интегрирование иррациональных функций. «не берущиеся» интегралы.

Интегрирование рациональных функций

В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.

Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции.

Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности.

Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида

Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. ( А, а – константы)

II. , ( k ³ 2 целое число)
III. ( М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
IV. ( k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)
Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,

Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых — табличный:

а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:

Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.

Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.
Пример 1.
Найти : а) ; б) ; в) ; г)
Решение.
а) ;
б)
;
в)
= ;
г)
.
Пример 2.
Найти

Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:

,
тогда = х – 1 + .
Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:

=
.
Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим
х2 А + В = 0
х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1 , С

св.чл. А + С = 5.

Значит, = . Тогда, искомый интеграл равен
=
=
= .
Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

при , ,
х = 2arctgt , ,
то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

Функцию R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции и(х), если R(–u, v) = –R(u, v);
функция R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции v(х), если R(u, –v) = –R(u, v);
функция R(u(x),v(x))– четная относительно и(х), если R(–u, v) = R(u, v);
функция R(u(x),v(x)) –четная относительно v(х), если R(u, –v) = R(u, v);
если R(–u, –v) = R(u, v), то функция R(u(x),v(x)) четная относительно обеих функций u и v.
А) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно sinx, то ее можно представить в виде R1(cosx)sinx, тогда используется подстановка cosx = t:
= .
Б) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно cosx, то ее можно представить в виде R1(sinx)cosx, тогда используется подстановка sinx = t:
= .
В) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – четная относительно sinx и cosx, то она может быть преобразована к виду R1(tgx) или R2(сtgx), поэтому используется подстановка tgx = t или ctgx = t соответственно:

= = .
Рассмотрим примеры.
Пример1.
1) Найти . Используем универсальную подстановку:

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sinx. Действительно,

R(–sinx, cosx) = = – R(sinx, cosx),
поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t= cosx:
.
3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sinx и cosx:
,
поэтому удобно сделать подстановку t = tgx. Получим
.
Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные , то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:
В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.
Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул
Рассмотрим примеры.
Пример2.
1)
2) .
3) .
Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s10854t8.html

Интегрирование тригонометрических функций

Хорошо известно, что, например, решение тригонометрических уравнении можно получить многими способами: один — простой, но рутинный, а другой — трудный, но оригинальный. Т.е.

для того, чтобы 'увидеть' оригинальный способ решения, нужно хорошо ориентироваться во всем множестве формул тригонометрии и знать специальные методы решения. Также обстоит дело и в интегрировании тригонометрических выражений, т.е.

необходимо помнить много формул и свойств тригонометрии.

При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения к и к соответственно, для эффективной замены переменных.

Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.

Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

Для избавления от произведения используются следующие формулы:

Также нужно помнить формулы двойных углов:

Интегрирование иррациональных выражений
Найдём неопределённый интеграл от иррационального выражения
Избавимся в первую очередь от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на x − 1:
Первый интеграл является табличным, и найти его можно с помощью подстановки Чебышева:

I₁ = ∫dx/√(x² − 1) = ln|x + √(x² − 1)| + C
Во втором интеграле домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на x:
Применим теперь подстановку t² = x² − 1. Тогда x² = 1 + t²; x·dx = t·dt
I₂ = ∫dt/(1 + t²) = arctgt = arctg√(x² − 1)
Окончательно:
I = ln|x + √(x² − 1)| − arctg√(x² − 1) + C
13. –
Интегрирование дифференциального бинома
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
где – рациональные числа.

План решения. Выражение называется дифференциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементарных функциях получены П.Л. Чебышевым. Интеграл

выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:
1) – целое число; в этом случае данный интеграл вычисляется простым разложением;
2) – целое число; в этом случае подстановка , где – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции.
3) – целое число; в этом случае подстановка , где – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции.

Задача 13. Найти неопределенные интегралы.

Интегрирование иррациональных функций
Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .
Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .

Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки
Пример 1
Найти интеграл .
Решение.
Сделаем подстановку:
Вычислим интеграл
(ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

16.Постановка задачи— точная формулировка условий задачи с описанием входной и выходной информации.

Входная информация по задаче — данные, поступающие на вход задачи и используемые для её решения.

Выходная информация может быть представлена в виде документов, кадров на экране монитора, информации в базе данных, выходного сигнала устройству управления.

Постановка задачи разрабатывается организацией, разработчиком программной продукции, на основании технического задания совместно с заказчиком. Главный исполнитель — это разработчик.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница относится к математическому анализу и является основной формулой интегрального исчисления!

Ранее, когда мы рассматривали Формулу бинома Ньютона, мы сказали что Исааку Ньютону принадлежит роль «Отца современной математики». Ньютон вместе с Лейбницем, Огюстеном Коши, Кантором, Леонардом Эйлером и другими заложили основы современного дифференциального и интегрального исчисления, хотя строгое и стройное построение математического анализа возникло несколько позже.

Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:
Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь F(x) — первообразная для функции f(x)! Таким образом, чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, надо вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования B, при нижнем пределе интегрирования — A, а затем взять их разность F(b)-F(a). Вначале мы рассмотрим доказательство данной формулы, а затем приведем Примеры решения интегралов по основной формуле интегрального и дифференциального исчисления.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 116;

Источник: https://studopedia.net/5_40123_integrirovanie-trigonometricheskih-funktsiy.html

прикладная математика

Интегрирование тригонометрических функций. Примеры решения задач.

Пример 1.

$$int frac{dx}{sin x}$$

$$int frac{dx}{cos x}$$

Полагая (u=tgfrac{x}{2}), получим $$int frac{dx}{sin x}=int frac{1+u^{2}}{2u}frac{2du}{1+u^{2}}=int frac{du}{u}=ln left|u
ight|+C=ln left|tgfrac{x}{2}
ight|+C,$$ $$int frac{dx}{cos x}=int frac{dx}{sin (frac{pi }{2}+x)}=ln left|tg(frac{x}{2}+frac{pi }{4})
ight|+C.$$

Пример 2.

$$int frac{dx}{3+5cos x}.$$
Полагаем (u=tgfrac{x}{2}). Тогда $$int frac{dx}{3+5cos x}=int frac{2du}{(1+u^{2})(3+5frac{1-u^{2}}{1+u^{2}})}=int frac{du}{4-u^{2}}=frac{1}{4}ln left|frac{2+u}{2-u}
ight|+C=frac{1}{4}ln left|frac{2+tgfrac{x}{2}}{2-tgfrac{x}{2}}
ight|+C.$$

Пример 3. $$int frac{dx}{sin ^{2}x-3cos ^{2}x}=int frac{du}{(1+u^{2})(frac{u^{2}}{1+u^{2}}-frac{3}{1+u^{2}})}=frac{1}{2sqrt{3}}ln left|frac{u-sqrt{3}}{u+sqrt{3}}
ight|+C=frac{1}{2sqrt{3}}ln left|frac{tgx-sqrt{3}}{tgx+sqrt{3}}
ight|+C.$$

Пример 4. $$int frac{dx}{1+2tgx}=int frac{du}{(1+u^{2})(1+2u)}.$$
Находя интеграл от рациональной дроби и возвращаясь к старой переменной, получим $$int frac{dx}{1+2tg x}=frac{1}{5}[x+2ln left|cos x+2sin x
ight|]+C.$$

Пример 5. $$int frac{sin ^{5}x}{cos ^{2}x}dx=int frac{sin ^{4}x}{cos ^{2}x}sin x dx=-int frac{(1-u^{2})^{2}}{u^{2}}du,$$

где (u=cos x). Разбивая интеграл на сумму интегралов, интегрируя и возвращаясь к переменной (x), получим $$int frac{sin ^{5}x}{cos ^{2}x}dx=frac{1}{cos x}+2cos x-frac{cos ^{3}x}{3}+C.$$

Пример 6. $$int sin ^{2}xcos ^{4}xdx=int (frac{1-cos 2x}{2})(frac{1+cos 2x}{2})^{2}dx=frac{1}{8}int sin ^{2}2x(1+cos 2x)dx=frac{1}{8}int frac{1-cos 4x}{2}dx+frac{1}{16}int sin ^{2}2xcos 2xd(2x)=$$
$$=frac{1}{16}x-frac{1}{64}sin 4x+frac{1}{48}sin ^{3}2x+C.$$

     Пример 7. $$int frac{dx}{sin ^{3}xcos x}=int frac{du}{(1+u^{2})frac{u^{3}}{(1+u^{2})^{frac{3}{2}}}frac{1}{(1+u^{2})^{frac{1}{2}}}}=int frac{1+u^{2}}{u^{3}}du=-frac{1}{2u^{2}}+ln left|u
ight|+C=-frac{1}{2tg^{2}x}+ln left|tgx
ight|+C.$$
     Пример 8. $$int frac{dx}{sin ^{6}x}=int frac{(sin ^{2}x+cos ^{2}x)^{2}}{sin ^{6}x}dx=int frac{dx}{sin ^{2}x}+2int frac{ctg^{2}x}{sin ^{2}x}dx+int frac{ctg^{4}x}{sin ^{2}x}dx=-ctg x-frac{2}{3}ctg^{3}x-frac{1}{5}ctg^{5}x+C.$$
     Пример 9. $$int frac{dx}{sin ^{3}x}=int frac{2du}{(1+u^{2})(frac{2u}{1+u^{2}})^{3}}=-frac{1}{8u^{2}}+frac{1}{2}ln left|u
ight|+frac{u^{2}}{8}+C=-frac{1}{8tg^{2}frac{x}{2}}+frac{1}{2}ln left|tgfrac{x}{2}
ight|+frac{tg^{2}frac{x}{2}}{8}+C.$$
     Пример 10. $$I_{n}=int cos ^{n}x dx.$$
     Положим

$$dv=cos x dx,$$

$$u=cos ^{n-1}x.$$

При этом

$$v=sin x,$$

$$du=-(n-1)cos ^{n-2}xsin x dx$$

и $$I_{n}=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)int cos ^{n-2}xsin ^{2}xdx=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)int cos ^{n-2}xdx-(n-1)int cos ^{n}xdx,$$
откуда $$nI_{n}=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}$$

и, следовательно, $$I_{n}=frac{1}{n}sin xcos ^{n-1}x+frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$
Нравится | +10
2012-11-04 • Просмотров [ 4912 ]

Источник: http://primat.org/publ/spravochnye_materialy/primery_integrirovanija_trigonometricheskikh_funkcij/37-1-0-703

Список интегралов от тригонометрических функций — это… Что такое Список интегралов от тригонометрических функций?

Список интегралов элементарных функций — Интегрирование это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… … Википедия
Список интегралов — Смотрите следующие страницы для списка интегралов: Список интегралов элементарных функций Список интегралов от рациональных функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Список интегралов от… … Википедия
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус … Википедия
Интегрирование тригонометрических выражений — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и список интегралов. Константа c не равняется нулю. Содержание 1 Интегралы, содержащие только… … Википедия
Тригонометрические функции — Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Tan — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Tg — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Косинус — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Котангенс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
Секанс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/48325