Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Знання → Вища математика →

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Неопределенный интеграл

Додати до моєї бази знань  Математика
  • 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R — знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типаИнтегралы тригонометрических функций, все формулысводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой  , которая называется универсальной.

Действительно,

Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Поэтому

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Физические и химические свойства водорода

Оценим за полчаса!

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

где R1(t) — рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:

1)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  sinx,  т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;

2)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  cosx,  т.е. R(sinx; — cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;

3)  если функция  R(sin x; cos x)   четна  относительно sinx   и  cosx R(— sin x; — cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Пример 32.1.  Найти интеграл Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Решение: Cделаем универсальную подстановку  Тогда dx= , Интегралы тригонометрических функций, все формулы , Интегралы тригонометрических функций, все формулы . Следовательно,

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Пример 32.2.  Найти интеграл Интегралы тригонометрических функций, все формулы  

  • Решение: Так как
  • то полагаем tg x=t. Отсюда
  • Поэтому
  • 32.2. Интегралы типа ∫sinmх•cosnx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

  1. 1)  подстановка sinx=t, если n — целое положительное нечетное число;
  2. 2)  подстановка cosx=t, если m — целое положительное нечетное число;
  3. 3)  формулы   понижения   порядка:   cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип — целые неотрицательные четные числа;
  4. 4) подстановка tg х=t, если m+n — есть четное отрицательное целое число.

Пример 32.3.  Найти интеграл

Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx И

Пример 32.4.  Найти интеграл

Решение:

Пример 32.5.  Найти интеграл

Решение: Здесь m+n =-4. Обозначим tg x=t. Тогда х=arctg t,

Читайте также:  Молярная масса метана (ch4), формула и примеры

 и

  • 32.3. Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32.6.  Найти интеграл  

Решение:

МатематикаНеопределенный интегралНеопределенный интегралВища математика

загрузка…

Источник: http://www.znannya.org/?view=integr-trigonom-function

Интегрирование тригонометрических функций

  • Знать:
  • v Основные тригонометрические формулы;
  • v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
  • Уметь:
  • v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
  • Использование тригонометрических преобразований
  • Интегралы вида:
  • Интегралы тригонометрических функций, все формулы ; Интегралы тригонометрических функций, все формулы ; Интегралы тригонометрических функций, все формулы , (16)

Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Интегралы вида:

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

  1. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
  2. = ; .
  3. На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
  • если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=cosx; dt= -sinxdx; , .

  • если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=sinx; dt=cos x dx; .

  • если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
  • t=tgx; ;
  • , .
  • Интегралы вида:
  • , (18)
  • 1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
  • отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
  • 2. где k, n — чётные положительные
  • применить формулы понижения степени:
  • ; ; ;
  • 3. где k, n — нечётные положительные
  • отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
  • 4. где n — целое положительное число
  • применить подстановку t=sinx;
  • 5. где k — целое положительное нечётное число
  • применить подстановку t=cosx;
  • 6. где n+k — чётное отрицательное целое число
  • применить подстановку t=tgx;
  • 7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
  • применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
  • Интегралы вида:
  • , , (19)
  • если n=1, то
  • ;
  • ,
  • если n>1, воспользоваться формулами:
  • ; ,
  • позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
  • №6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
  • 6) .
  • ►1) = =
  • = = ;
  • 2) = = =
  • = =
  • = =
  • = ;
  • 3) = =
  • = = =
  • = = =
  • = ;
  • 4) = = =
  • = = = ;
  • 5) = = =
  • = = = =
  • = = = =
  • = +С;
  • 6) = = = =
  • = = , ( .◄
  • Аудиторное занятие
  • Найти интегралы:

№248. . Ответ: .

№249. . Ответ: .

№250. . Ответ: .

№251. . Ответ: .

№252. . Ответ: .

№253. . Ответ: .

№254. . Ответ: .

№255. . Ответ: .

№256. . Ответ: .

№257. . Ответ: .

№258. . Ответ: .

№259. . Ответ: .

№260. .

Указание. Замена сosx=t.

Ответ: .

№261. .

Указание. Замена sinx=t.

  1. Ответ: .
  2. Домашнее задание
  3. Найти интегралы:

№262. . Ответ: .

№263. . Ответ: .

№264. . Ответ: .

№265. . Ответ: .

№266. . Ответ: .

№267. . Ответ: tg xx.

№268. . Ответ: .

№269. . Ответ: .

№270. . Ответ: .

№271. . Ответ: .

№272. . Ответ: .

№273. . Ответ: .

№274. . Ответ: .

№275. . Ответ: .

№276. . Ответ: .

№277. . Ответ: .

№278. . Ответ: .

№279. . Ответ: .

№280. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№281. . Ответ: .

№282. . Ответ: .

№283. . Ответ: .

№284. .

Ответ: .

№285. . Ответ: .

№286. .

Ответ: .

№287. .

Ответ: .

№288. . Ответ: .

№289. .

Указание. Замена t=ctg x. Ответ: .

№290. . Ответ: .

№291. . Ответ: .

№292. . Ответ: , где t=tg x.

№293. . Ответ: ln|tg x|.

№294. . Ответ: .

№295. .

Указание. Замена ctgx=t.

Ответ: .

№296. . Ответ: ln|sinx|-sinx.

№297. .

  • Ответ: .
  • Примерный вариан решения
  • индивидуального домашнего задания
  • Найти интегралы:

№18. .

  1. ► = =
  2. = =
  3. = =
  4. = .◄

№19. .

  • ► = =
  • = = =
  • = .◄

№20. .

= =

= = .◄

№38. .

  1. = =
  2. = = = =
  3. = .◄

№39. .

  • = =
  • = = = =
  • = .◄
  • №40.
  • = =
  • = = = =
  • = = =
  • = .◄
  • Занятие 7
  • Интегрирование некоторых иррациональностей
  • Цели
  • Знать:
  • v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
  • Уметь:
  • v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
  • v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
  • v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
  • Интегралы вида:
  • (20)
  • называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.

Постановка задачи. Найти интеграл .

План решения.

Для нахождения интеграла следует:

1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду .

2. Если числитель не зависит от х, т.е. М=0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул

  1. [11]
  2. или
  3. [12].

3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку , при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.

  • Интегралы вида
  • , (21)
  • где R — рациональная функция; p,q,…,s,t — целые числа, находятся с помощью постановки
  • ,
  • где m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t.
  • Частные случаи:
  • 1) если в интеграле (21) с=0, то он будет иметь вид
  • , (22)
  • где ;
  • 2) если b=c=0, a=d=1, то интеграл (21) примет вид
  • . (23)
  • Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
  • или .
  • К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
  • (24)
  • подстановкой
  • x=a sint; dx=a cost dt
  • или
  • x=a cost; dx=-a sint dt
  • (25)
  • подстановкой
  • x=a tgt;
  • или
  • x=a ctgt;
  • (26)
  • подстановкой
  • ;
  • или
  • Интегралы вида:
  • (27)
  • Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
  • , , .
  • Интеграл от дифференциального бинома
  • (28),
  • где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или — является целым.
  • Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
  • 1) когда р — целое число,
  • подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
  • 2) когда — целое число,
  • подстановкой , где s — знаменатель дроби p;
  • 3) когда — целое число,
  • подстановкой , где s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

  1. Интеграл вида:
  2. (29)
  3. можно найти подстановкой .
  4. № 7. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
  5. 3) ; 4) ; 5) ;
  6. 6) ; 7) ; 8) .
  7. ►1) = =
  8. = = = =
  9. = = ;
  10. 2) = = = =
  11. = = ;
  12. 3) = = =
  13. = = =
  14. = ;
  15. 4) = = =
  16. = = = ;
  17. 5) = = =
  18. = = = =
  19. = .
  20. Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и , следовательно
  21. = ;
  22. 6) Это интеграл от дифференциального бинома.
  23. = =
  24. = =
  25. = =
  26. = = = = =
  27. = ;
  28. 7) = = =
  29. = = .
  30. Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1

Источник: https://cyberpedia.su/10×10815.html

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции 17-18 Классы интегрируемых функций

Содержание лекции: Интегрирование основных классов функций: рациональных функций , тригонометрических функций.

Интегрирование иррациональных функций. «не берущиеся» интегралы.

Интегрирование рациональных функций

В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.

Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции.

Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности.

Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. ( А, а – константы)
  • II. , ( k ³ 2 целое число)
  • III. ( М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
  • IV. Интегралы тригонометрических функций, все формулы ( k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)
  • Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,

Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых — табличный:

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:

.

Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.

  1. Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.
  2. Пример 1.
  3. Найти : а) ; б) ; в) ; г)
  4. Решение.
  5. а) ;
  6. б)
  7. ;
  8. в)
  9. = ;
  10. г)
  11. .
  12. Пример 2.
  13. Найти

Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:

  • ,
  • тогда = х – 1 + .
  • Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:
  1. =
  2. .
  3. Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим
  4. х2 А + В = 0
  5. х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1 , С

св.чл. А + С = 5.

  • Значит, = . Тогда, искомый интеграл равен
  • =
  • =
  • = .
  • Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

  1. при , ,
  2. х = 2arctgt , ,
  3. то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

  • Функцию R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции и(х), если R(–u, v) = –R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции v(х), если R(u, –v) = –R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x))– четная относительно и(х), если R(–u, v) = R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x)) –четная относительно v(х), если R(u, –v) = R(u, v);
  • если R(–u, –v) = R(u, v), то функция R(u(x),v(x)) четная относительно обеих функций u и v.
  • А) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно sinx, то ее можно представить в виде R1(cosx)sinx, тогда используется подстановка cosx = t:
  • = .
  • Б) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно cosx, то ее можно представить в виде R1(sinx)cosx, тогда используется подстановка sinx = t:
  • = .
  • В) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – четная относительно sinx и cosx, то она может быть преобразована к виду R1(tgx) или R2(сtgx), поэтому используется подстановка tgx = t или ctgx = t соответственно:
  1. = = .
  2. Рассмотрим примеры.
  3. Пример1.
  4. 1) Найти . Используем универсальную подстановку:
Читайте также:  Свойства диагоналей квадрата, с примерами

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sinx. Действительно,

  • R(–sinx, cosx) = = – R(sinx, cosx),
  • поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t= cosx:
  • .
  • 3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sinx и cosx:
  • ,
  • поэтому удобно сделать подстановку t = tgx. Получим
  • .
  • Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные , то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:
  • В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.
  • Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул
  • Рассмотрим примеры.
  • Пример2.
  • 1)
  • 2) .
  • 3) .
  • Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s10854t8.html

Интегрирование тригонометрических функций

Хорошо известно, что, например, решение тригонометрических уравнении можно получить многими способами: один — простой, но рутинный, а другой — трудный, но оригинальный. Т.е.

для того, чтобы 'увидеть' оригинальный способ решения, нужно хорошо ориентироваться во всем множестве формул тригонометрии и знать специальные методы решения. Также обстоит дело и в интегрировании тригонометрических выражений, т.е.

необходимо помнить много формул и свойств тригонометрии.

 При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения  к  и к соответственно, для эффективной замены переменных.

Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.

 Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

Для избавления от произведения используются следующие формулы:

Интегралы тригонометрических функций, все формулы Интегралы тригонометрических функций, все формулы

 Также нужно помнить формулы двойных углов:

Интегралы тригонометрических функций, все формулы

  • Интегрирование иррациональных выражений
  •  Найдём неопределённый интеграл от иррационального выражения
  •  Избавимся в первую очередь от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на x − 1:
  • Первый интеграл является табличным, и найти его можно с помощью подстановки Чебышева:
  1. I₁ = ∫dx/√(x² − 1) = ln|x + √(x² − 1)| + C
  2.  Во втором интеграле домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на x:
  3.  Применим теперь подстановку t² = x² − 1. Тогда x² = 1 + t²; x·dx = t·dt
  4. I₂ = ∫dt/(1 + t²) = arctgt = arctg√(x² − 1)
  5. Окончательно:
  6. I = ln|x + √(x² − 1)| − arctg√(x² − 1) + C
  7. 13. –
  8. Интегрирование дифференциального бинома
  9. Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
  10. где   – рациональные числа.

План решения. Выражение  называется дифференциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементарных функциях получены П.Л. Чебышевым. Интеграл

  • выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:
  • 1)  – целое число; в этом случае данный интеграл вычисляется простым разложением;
  • 2)  – целое число; в этом случае подстановка , где   – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции.
  • 3) – целое число; в этом случае подстановка , где  – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции.

Задача 13. Найти неопределенные интегралы.

  1. Интегрирование иррациональных функций
  2.  Для интегрирования иррациональной функции, содержащей  используется подстановка .
  3.  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

 Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .

  •  Интегрирование иррациональных функций, содержащих  и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки
  • Пример 1
  • Найти интеграл .
  •  Решение.
  •  Сделаем подстановку:
  • Вычислим интеграл
  • (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

16.Постановка задачи— точная формулировка условий задачи с описанием входной и выходной информации.

Входная информация по задаче — данные, поступающие на вход задачи и используемые для её решения.

Выходная информация может быть представлена в виде документов, кадров на экране монитора, информации в базе данных, выходного сигнала устройству управления.

Постановка задачи разрабатывается организацией, разработчиком программной продукции, на основании технического задания совместно с заказчиком. Главный исполнитель — это разработчик.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница относится к математическому анализу и является основной формулой интегрального исчисления!

 Ранее, когда мы рассматривали Формулу бинома Ньютона, мы сказали что Исааку Ньютону принадлежит роль «Отца современной математики». Ньютон вместе с Лейбницем, Огюстеном Коши, Кантором, Леонардом Эйлером и другими заложили основы современного дифференциального и интегрального исчисления, хотя строгое и стройное построение математического анализа возникло несколько позже.

  1.  Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:
  2. Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь F(x) — первообразная для функции f(x)! Таким образом, чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, надо вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования B, при нижнем пределе интегрирования — A, а затем взять их разность F(b)-F(a). Вначале мы рассмотрим доказательство данной формулы, а затем приведем Примеры решения интегралов по основной формуле интегрального и дифференциального исчисления.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 116;

Источник: https://studopedia.net/5_40123_integrirovanie-trigonometricheskih-funktsiy.html

прикладная математика

     Интегрирование тригонометрических функций. Примеры решения задач.

     Пример 1.

$$int frac{dx}{sin x}$$ и $$int frac{dx}{cos x}$$

     Полагая (u=tgfrac{x}{2}), получим $$int frac{dx}{sin x}=int frac{1+u^{2}}{2u}frac{2du}{1+u^{2}}=int frac{du}{u}=ln left|u
ight|+C=ln left|tgfrac{x}{2}
ight|+C,$$ $$int frac{dx}{cos x}=int frac{dx}{sin (frac{pi }{2}+x)}=ln left|tg(frac{x}{2}+frac{pi }{4})
ight|+C.$$

     Пример 2.

$$int frac{dx}{3+5cos x}.$$
     Полагаем (u=tgfrac{x}{2}). Тогда $$int frac{dx}{3+5cos x}=int frac{2du}{(1+u^{2})(3+5frac{1-u^{2}}{1+u^{2}})}=int frac{du}{4-u^{2}}=frac{1}{4}ln left|frac{2+u}{2-u}
ight|+C=frac{1}{4}ln left|frac{2+tgfrac{x}{2}}{2-tgfrac{x}{2}}
ight|+C.$$

     Пример 3. $$int frac{dx}{sin ^{2}x-3cos ^{2}x}=int frac{du}{(1+u^{2})(frac{u^{2}}{1+u^{2}}-frac{3}{1+u^{2}})}=frac{1}{2sqrt{3}}ln left|frac{u-sqrt{3}}{u+sqrt{3}}
ight|+C=frac{1}{2sqrt{3}}ln left|frac{tgx-sqrt{3}}{tgx+sqrt{3}}
ight|+C.$$

     Пример 4. $$int frac{dx}{1+2tgx}=int frac{du}{(1+u^{2})(1+2u)}.$$
     Находя интеграл от рациональной дроби и возвращаясь к старой переменной, получим $$int frac{dx}{1+2tg x}=frac{1}{5}[x+2ln left|cos x+2sin x
ight|]+C.$$

     Пример 5. $$int frac{sin ^{5}x}{cos ^{2}x}dx=int frac{sin ^{4}x}{cos ^{2}x}sin x dx=-int frac{(1-u^{2})^{2}}{u^{2}}du,$$

     где (u=cos x). Разбивая интеграл на сумму интегралов, интегрируя и возвращаясь к переменной (x), получим $$int frac{sin ^{5}x}{cos ^{2}x}dx=frac{1}{cos x}+2cos x-frac{cos ^{3}x}{3}+C.$$

     Пример 6. $$int sin ^{2}xcos ^{4}xdx=int (frac{1-cos 2x}{2})(frac{1+cos 2x}{2})^{2}dx=frac{1}{8}int sin ^{2}2x(1+cos 2x)dx=frac{1}{8}int frac{1-cos 4x}{2}dx+frac{1}{16}int sin ^{2}2xcos 2xd(2x)=$$
$$=frac{1}{16}x-frac{1}{64}sin 4x+frac{1}{48}sin ^{3}2x+C.$$

     Пример 7. $$int frac{dx}{sin ^{3}xcos x}=int frac{du}{(1+u^{2})frac{u^{3}}{(1+u^{2})^{frac{3}{2}}}frac{1}{(1+u^{2})^{frac{1}{2}}}}=int frac{1+u^{2}}{u^{3}}du=-frac{1}{2u^{2}}+ln left|u
ight|+C=-frac{1}{2tg^{2}x}+ln left|tgx
ight|+C.$$
     Пример 8. $$int frac{dx}{sin ^{6}x}=int frac{(sin ^{2}x+cos ^{2}x)^{2}}{sin ^{6}x}dx=int frac{dx}{sin ^{2}x}+2int frac{ctg^{2}x}{sin ^{2}x}dx+int frac{ctg^{4}x}{sin ^{2}x}dx=-ctg x-frac{2}{3}ctg^{3}x-frac{1}{5}ctg^{5}x+C.$$
     Пример 9. $$int frac{dx}{sin ^{3}x}=int frac{2du}{(1+u^{2})(frac{2u}{1+u^{2}})^{3}}=-frac{1}{8u^{2}}+frac{1}{2}ln left|u
ight|+frac{u^{2}}{8}+C=-frac{1}{8tg^{2}frac{x}{2}}+frac{1}{2}ln left|tgfrac{x}{2}
ight|+frac{tg^{2}frac{x}{2}}{8}+C.$$
     Пример 10. $$I_{n}=int cos ^{n}x dx.$$
     Положим

$$dv=cos x dx,$$ $$u=cos ^{n-1}x.$$

     При этом

$$v=sin x,$$ $$du=-(n-1)cos ^{n-2}xsin x dx$$

     и $$I_{n}=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)int cos ^{n-2}xsin ^{2}xdx=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)int cos ^{n-2}xdx-(n-1)int cos ^{n}xdx,$$
     откуда $$nI_{n}=sin xcos ^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}$$

  •      и, следовательно, $$I_{n}=frac{1}{n}sin xcos ^{n-1}x+frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$
  • Нравится | +10

  • 2012-11-04 • Просмотров [ 4912 ]

Источник: http://primat.org/publ/spravochnye_materialy/primery_integrirovanija_trigonometricheskikh_funkcij/37-1-0-703

Список интегралов от тригонометрических функций — это… Что такое Список интегралов от тригонометрических функций?

  • Список интегралов элементарных функций — Интегрирование  это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… …   Википедия
  • Список интегралов — Смотрите следующие страницы для списка интегралов: Список интегралов элементарных функций Список интегралов от рациональных функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Список интегралов от… …   Википедия
  • Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус …   Википедия
  • Интегрирование тригонометрических выражений — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и список интегралов. Константа c не равняется нулю. Содержание 1 Интегралы, содержащие только… …   Википедия
  • Тригонометрические функции — Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия
  • Tan — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции  вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… …   Википедия
  • Tg — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции  вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… …   Википедия
  • Косинус — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции  вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… …   Википедия
  • Котангенс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции  вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… …   Википедия
  • Секанс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции  вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… …   Википедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/48325

Ссылка на основную публикацию