Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y'+Pleft(x
ight)cdot y=0$, где $Pleft(x
ight)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным.

Название «линейное» объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y'$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y'=-Pleft(x
ight)cdot y$, где $f_{1} left(x
ight)=-Pleft(x
ight)$ и $f_{2} left(y
ight)=y$.

• Вычислим интеграл $I_{1} =int f_{1} left(x
  ight)cdot dx =-int Pleft(x
  ight)cdot dx $.
• Вычислим интеграл $I_{2} =int frac{dy}{f_{2} left(y
  ight)} =int frac{dy}{y} =ln left|y
  ight|$.
• Запишем общее решение в виде $ln left|y
  ight|+int Pleft(x
  ight)cdot dx =ln left|C_{1}
  ight|$, где $ln left|C_{1}
  ight|$ — произвольная постоянная, взятая в удобном для дальнейших преобразований виде.
• Выполним преобразования:

[ln left|y
ight|-ln left|C_{1}
ight|=-int Pleft(x
ight)cdot dx ; ln frac{left|y
ight|}{left|C_{1}
ight|} =-int Pleft(x
ight)cdot dx .]

Используя определение логарифма, получим: $left|y
ight|=left|C_{1}
ight|cdot e^{-int Pleft(x
ight)cdot dx } $. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=pm C_{1} cdot e^{-int Pleft(x
ight)cdot dx } $.

Заменив произвольную постоянную $C=pm C_{1} $, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=Ccdot e^{-int Pleft(x
ight)cdot dx } $.

Решив уравнение $f_{2} left(y
ight)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

1. Однако это же решение можно получить из общего решения $y=Ccdot e^{-int Pleft(x
   ight)cdot dx } $, положив в нём $C=0$.
2. Таким образом, окончательный результат: $y=Ccdot e^{-int Pleft(x
   ight)cdot dx } $.
3. Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y'+Pleft(x
   ight)cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I=int Pleft(x
   ight)cdot dx $.
3. Записываем общее решение в виде $y=Ccdot e^{-I} $ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Задача 1

• Найти общее решение дифференциального уравнения $y'+3cdot x^{2} cdot y=0$.
• Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $Pleft(x
  ight)=3cdot x^{2} $.
• Вычисляем интеграл $I=int 3cdot x^{2} cdot dx =x^{3} $.
• Общее решение имеет вид: $y=Ccdot e^{-x^{3} } $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y'+Pleft(x
ight)cdot y=Qleft(x
ight)$, где $Pleft(x
ight)$ и $Qleft(x
ight)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название «неоднородное» объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=ucdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $frac{dy}{dx} =frac{du}{dx} cdot v+ucdot frac{dv}{dx} $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $frac{du}{dx} cdot v+ucdot frac{dv}{dx} +Pleft(x
ight)cdot ucdot v=Qleft(x
ight)$ или $frac{du}{dx} cdot v+ucdot left[frac{dv}{dx} +Pleft(x
ight)cdot v
ight]=Qleft(x
ight)$.

Отметим, что если принято $y=ucdot v$, то в составе произведения $ucdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль.

Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $frac{dv}{dx} +Pleft(x
ight)cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=vleft(x
ight)$, отличное от нуля.

Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=vleft(x
ight)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $frac{du}{dx} cdot vleft(x
ight)=Qleft(x
ight)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $frac{du}{dx} =frac{Qleft(x
ight)}{vleft(x
ight)} $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=uleft(x,; C
ight)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y'+Pleft(x
   ight)cdot y=Qleft(x
   ight)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
2. Вычисляем интеграл $I_{1} =int Pleft(x
   ight)cdot dx $, записываем частное решение в виде $vleft(x
   ight)=e^{-I_{1} } $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $vleft(x
   ight)$ простейший ненулевой вариант.
3. Вычисляем интеграл $I_{2} =int frac{Qleft(x
   ight)}{vleft(x
   ight)} cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $uleft(x,C
   ight)=I_{2} +C$.
4. Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=uleft(x,C
   ight)cdot vleft(x
   ight)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Задача 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения $y'-frac{y}{x} =3cdot x$.
2. Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $Pleft(x
   ight)=-frac{1}{x} $ и $Qleft(x
   ight)=3cdot x$.
3. Вычисляем интеграл $I_{1} =int Pleft(x
   ight)cdot dx =-int frac{1}{x} cdot dx=-ln left|x
   ight| $.

Записываем частное решение в виде $vleft(x
ight)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $vleft(x
ight)=e^{ln left|x
ight|} $; $ln vleft(x
ight)=ln left|x
ight|$; $vleft(x
ight)=left|x
ight|$. Вибираем для $vleft(x
ight)$ простейший ненулевой вариант: $vleft(x
ight)=x$.

• Вычисляем интеграл $I_{2} =int frac{Qleft(x
  ight)}{vleft(x
  ight)} cdot dx =int frac{3cdot x}{x} cdot dx=3cdot x $.
• Записываем выражение $uleft(x,C
  ight)=I_{2} +C=3cdot x+C$.
• Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=uleft(x,C
  ight)cdot vleft(x
  ight)$, то есть $y=left(3cdot x+C
  ight)cdot x$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/lineynye_uravneniya_pervogo_poryadka/

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». 2000.

1. Линейные уравнения первого порядка

Уравнение $$y'+P(x)y=Q(x)qquad (1)$$ называется линейным. Чтобы его решить, надо сделать замену переменных $y=u(x)v(x),$ где $u(x) — $ решение однородного уравнения $u'+P(x)u=0.$ Это уравнение решается методом разделения переменных.

Далее, делаем обратную замену. $y'=(uv)'=u'v+uv'.$ Следовательно,

$$u'v+v'u+P(x)uv=Q(x)$$

$$v(u'+P(x)u)+v'u=Q(x).$$

Заметим, что $u'+P(x)u=0.$ Следовательно, получили уравнения с разделяющимися переменными $$v'u=Q(x)\ v'=frac{Q(x)}{u(x)}Rightarrow v(x)=intfrac{Q(x)}{u(x)}dx+C.$$

2. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную. Например, уравнение $y=(2x+y^3)y',$ в котором $y$ является функцией от $x, -$ нелинейное. Запишем его в дифференциалах: $$ydx-(2x+y^3)dy=0.

$$ Так как в это уравнение  $x$ и $dx$ входят линейно, то уравнение будет линейным, если $x$ считать искомой функцией, а $y -$ независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде $$frac{dx}{dy}-frac{2}{y}x=y^2$$ и решается аналогично уравнению (1).

 

3. Уравнение Бернулли

Чтобы решить уравнение Бернулли, то есть уравнение $$y'+a(x)y=b(y)y^n, qquad (n
eq 1),$$ надо обе его части разделить на $y^n$ и сделать замену $frac{1}{y^{n-1}}=z.$ После замены получается линейное уравнение, которое можно решить вышеизложенным способом.

4. Уравнение Рикатти

Уравнение Рикатти, то есть уравнение $$y'+a(x)y+b(x)y^2=c(x),$$ в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение  $y_1(x),$ то заменой $y=y_1(x)+z$ уравнение Рикатти сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах.

Иногда частное решение удобно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего $y$). Например, для уравнения $y'+y^2=x^2-2x$ в левой части будут члены, подобные членам в правой части, если взять $y=ax+b.

$ Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, найдем $a$ и $b$ (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает). Другой пример: для уравнения $y'+2y^2=frac{6}{x^2}$ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде  $y=frac{a}{x}.

$ Подставляя $y=frac{a}{x}$ в уравнение, найдем постоянную $a.$     

Источник: http://mathportal.net/index.php/differentsialnye-uravneniya/linejnye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: метод вариации постоянных, примеры

В данной теме поговорим о способах решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида y'=P(x)·y=Q(x).

Начнем с метода вариации произвольной постоянной и покажем способ применения этого метода для решения задачи Коши.

На тот случай, если применяемые при разборе темы термины и понятия окажутся незнакомыми для вас, мы рекомендуем заглядывать в раздел «Основные термины и определения теории дифференциальных уравнений».

Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка

Для краткости будет обозначать линейное неоднородное дифференциальное уравнение аббревиатурой ЛНДУ, а линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).

ЛНДУ вида y'=P(x)·y=Q(x) соответствует ЛОДУ вида y'=P(x)·y=0, при Q(x) = 0. Если посмотреть на дифференциальное уравнение y'=P(x)·y=0, становится понятно, что мы имеем дело с уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем его проинтегрировать: y'=P(x)·y=0⇔dyy=-P(x)dx, y≠0∫dyy=-∫P(x)dx⇔lny+C1=-∫P(x)dx⇔lny=lnC-∫P(x)dx, lnC=-C1, C≠0⇔elny=elnC-∫P(x)dx⇔y=C·e-∫P(x)dx

Мы можем утверждать, что значение переменной y=0 тоже является решением, так как при этом значении переменной уравнение y'=P(x)·y=0 обращается в тождество. Этому случаю соответствует решение y=C·e-∫P(x)dx при значении C=0.

Получается, что y=C·e-∫P(x)dx — общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

y=C·e-∫P(x)dx — это решение ЛОДУ y'=P(x)·y=0.

Для того, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения y'=P(x)·y=Q(x), будем считать С не константой, а функцией аргумента х. Фактически, мы примем y=C(x)·e-∫P(x)dx общим решением ЛНДУ.

• Подставим y=C(x)·e-∫P(x)dx в дифференциальное уравнение y'=P(x)·y=Q(x). Оно при этом обращается в тождество:
• y'=P(x)·y=Q(x)Cx·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)
• Теперь обратимся к правилу дифференцирования произведения. Получаем:
• C'(x)·e-∫P(x)dx+C(x)·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)
• Производная сложной функции e-∫P(x)dx' равна e-∫P(x)dx·-∫P(x)dx'.
• Теперь вспомним свойства неопределенного интеграла. Получаем:
• e-∫P(x)dx·-∫P(x)dx'=-e-∫P(x)dx·P(x)
• Теперь выполним переход:  
• C'(x)·e-∫P(x)dx+C(x)·e-∫P(x)dx'+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)C'(x)·e-∫P(x)dx-P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)C'(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)

Так мы пришли к простейшему дифференциальному уравнению первого порядка. В ходе решения этого уравнения мы определим функцию C(x). Это позволит нам записать решение исходного ЛНДУ первого порядка следующим образом:

y=C(x)·e-∫P(x)dx

Подведем итог

Метод вариации произвольной постоянной при решении ЛНДУ предполагает проведение трех этапов:

• нахождение общего решения соответствующего ЛОДУ y'+P(x)·y=0 в виде y=C·e-∫P(x)dx;
• варьирование произвольной постоянной С, что заключается в замене ее функцией С(x);
• подстановка функции y=C(x)·e-∫P(x)dx в исходное дифференциальное уравнение, откуда мы можем вычислить C(x) и записать ответ.

Теперь применим этот алгоритм к решению задачи.

Пример 1

1. Найдите решение задачи Коши y'-2xy1+x2=1+x2, y(1) = 3.
2. Решение
3. Нам нужно отыскать частное решение ЛНДУ y'-2xy1+x2=1+x2 при начальном условии y(1) = 3.

В нашем примере P(x)=-2×1+x2 и Q(x) = x2 + 1. Начнем с того, что найдем общее решение ЛОДУ. После этого применим метод вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ. Это позволит нам найти искомое частное решение.

• Общим решением соответствующего ЛОДУ y'-2xy1+x2=0 будет семейство функций y=C·(x2+1), где С – произвольная постоянная.
• Варьируем произвольную постоянную y=C(x)·(x2+1) и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
  y'-2xy1+x2=1+x2Cx·(x2+1'-2x·C(x)·(x2+1)1+x2=1+x2C'(x)·(x2+1)+C(x)·2x-2x·C(x)=1+x2C'(x)=1, 
• откуда C(x)=∫dx=x+C1, где C1 – произвольная постоянная.
• Это значит, что y=C(x)·(x2+1)=(x+C1)·(x2+1) — общее решение неоднородного уравнения.
• Теперь приступим к отысканию частного решения, которое будет удовлетворять начальному условию y(1) = 3.

Так как y=(x+C1)·(x2+1), то y(1)=(1+C1)·(12+1)=2·(1+C1). Обратившись к начальному условию, получаем уравнение 2·(1+C1)=3, откуда C1=12. Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид  y=x+12·(x2+1)

Теперь рассмотрим еще один метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений y'+P(x)·y=Q(x).

Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка

1. Мы можем представить неизвестную функцию как произведение y=u⋅v, где u и v – функции аргумента x.
2. Мы можем подставить эту функцию в ЛНДУ первого порядка.

   Имеем:

3. y'+P(x)·y=Q(x)(u·v)'+P(x)·u·v=Q(x)u'·v+u·v'+P(x)·u·v=Q(x)u'·v+u·(v'+P(x)·v)=Q(x)
4. Если найти такое v, чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения v'+P(x)·v=0, то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными u'·v=Q(x).

Рассмотрим этот алгоритм решения на предыдущем примере. Это позволит нам сосредоточиться на главном, не отвлекаясь на второстепенные детали.

Пример 2

• Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y'-2xy1+x2=1+x2.
• Решение
• Пусть y=u⋅v, тогда
  y'-2xyx2+1=x2+1⇔(u·v)-2x·u·vx2+1=x2+1u'·v+u·v'-2x·u·vx2+1=x2+1u'·v+u·v'-2x·vx2+1=x2+1

Находим такое v, отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения v'-2x·vx2+1=0.
v'-2x·vx2+1=0⇔dvdx=2x·vx2+1⇒dvv=2xdxx2+1⇔dvv=d(x2+1)x2+1∫dvv=∫d(x2+1)x2+1lnv+C1=ln(x2+1)+C2

1. Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.
2. Для этого частного решения имеем
   u'·v+u·v'-2x·vx2+1=x2+1⇔u'·(x2+1)+u·0=x2+1⇔u'=1⇔u=x+C
3. Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть y=u·v=(x+C)·(x2+1)

Ответы в обоих случаях совпадают. Это значит, что оба метода решения, которые мы привели в статье, равнозначны. Выбирать, какой из них применить для решения задачи, вам.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/lndu-pervogo-porjadka/

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение.
Линейным уравнением первого порядка
называется уравнение, линейное
относительно искомой функции и ее
производной. Общий вид линейного д.у.1:

png» width=»275″>непрерывные функции или постоянные.
Если,
то уравнение

png» width=»98″>решается как дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными.

Рассмотрим
уравнения:

2) Это
уравнение не является линейным, т. к.
функцияy в уравнении имеет не первую степень,
а выше

Уравнение является
линейным по определению. Но проще
рассматривать его как однородное д.у.1: где– однородная функция нулевого измерения.

4) Запишем уравнение в виде.
Это линейное д.у.1.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение
ищется в виде гденекоторые функции.

Пусть .
Можнопредставить в виде различных пар
множителей:

Указанная подстановка приводит линейное д.у.1 к решению двух
д.у. с разделяющимися переменными.
Покажем это в общем виде. В линейное
уравнениеподставимПолучим

или

Выберем функцию u  
такой, чтобы

Уравнение (5) – дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:

Интегрируя, найдем
функцию без

учета произвольной
постоянной. Подставим найденную функцию в уравнение (4) и получимдифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (3). Его общее решение
позволит получить второй множитель

Тогда общее решение линейного д. у. 1.

Пример 1.
Найти общее решение уравнения

Решаем подстановкой

Пример 2. Найти
частное решение дифференциального
уравнения

• Таким образом,
  общее решение данного уравнения будет
  иметь вид

Следовательно,
искомое частное решение такое:

Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)

Уравнение вида называется
уравнением Бернулли.
Здесь n
– действительное число, причем при n
= 0 получим линейное уравнение; при

png» width=»39″>получим уравнение с разделяющимися
переменными. Приуравнение Бернулли приводится к
линейному, поэтому решается подстановкой

png» width=»63″>

Пример. Найти
общее решение уравнения

Разделив левую и
правую части уравнения на
х, представим
его в виде

Для получения
общего интеграла найдем

или

Замечание.
Неопределенный интеграл найден с применением

формулы интегрирования
по частям:

1. Производим подстановку
2. ;.
3. Тогда

Источник: https://studfile.net/preview/2690333/page:4/

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение .26. Дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

При этом уравнение (1.89) называется однородным, если у(х) = 0, и неоднородным в противном случае.

Предполагается, что, а(х), Дл) и у(х) — непрерывные на промежутке (а, Ь) функции (причем, а и b могут соответственно равняться -оо и +оо).

Если a(.v)*0, то уравнение (1.89) можно преобразовать следующим образом:

Замечание 1.28. Линейное уравнение (1.90) сохраняет свой вид (то есть остаётся в классе линейных уравнений) при следующих преобразованиях.

1) Линейное преобразование (линейная замена) неизвестной функции

где я(л)(*0) и Ь(х) — произвольные дифференцируемые функции. Действительно, дифференцируя соотношения (1.91), на основании (1.90), находим

Отсюда получаем линейное дифференциальное уравнение

Таким образом, Y(t) является решением следующего линейного дифференциального уравнения:

Линейное однородное дифференциальное уравнение

Остановимся первоначально на свойствах линейного однородного уравнения

которое представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Очевидно, что у = 0 является решением уравнения (1.92). Это решение будем называть тривиальным. При у Ф 0 имеем

Интегрируя это уравнение, получим

где Р(х) = j p(x)dx, а С — отличная от нуля постоянная. Из последнего уравнения находим общее решение уравнения (1.92):

Здесь С — уже произвольная постоянная, так как решение у = 0 входит в (1.93) при С = 0.

Замечание 1.29. Из соотношений (1.93) следует:

Если решение линейного однородного уравнения у(х) равно нулю хотя бы в одной точке, то у(т) = 0. Если у(х) — решение уравнения (1.

92), то для любого действительного числа С функция Су(х), также является решением этого уравнения. Сумма двух решений уравнения (1.92) тоже является решением.

Другими словами, множество всех решений линейного однородного уравнения образует линейное пространство.

Любое решение уравнения (1.92) может быть получено из некоторого нетривиального решения путем умножения на постоянную. С геометрической точки зрения это означает, что интегральные кривые нетривиальных решений при растяжениях вдоль оси Оу переходят друг в друга, и вес эти кривые могут быть получены из одной из них при помощи таких растяжений.

Источник: https://bstudy.net/718722/ekonomika/lineynye_differentsialnye_uravneniya_pervogo_poryadka