Общий интеграл дифференциального уравнения

Содержание

Расчётное задание

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
— уравнение Бернулли.
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:

Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:

Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.

, ,
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Тогда или
Выполним обратную подстановку;
Используем условия , тогда .
Тогда уравнение запишется в виде
Разделим переменные и проинтегрируем , ,
Получим
Используем условие , тогда .
Окончательно получим:
Ответ:

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Корни характеристического уравнения:
Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = — i, r2 = i
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Ответ:

Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим
, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Ответ:

Источник: http://matica.org.ua/primery/primery/raschetnoe-zadanie-10-differentcialnykh-uravnenii

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Решая два последних равенства, можем записать

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

Так как
,
получим
,
что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

, где — пока неизвестная функция от y.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:
, где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при условии .

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения Бернулли Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential_equations5.html

Основные определения дифференциальных уравнений и их решений

Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

Содержание

Определение дифференциальных уравнений (ДУ) ⇓Решение дифференциальных уравнений ⇓

См. также:

Типы обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение , где – независимые переменные, y – функция и – частные производные. Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, . Дифференциальное уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и «в частных производных» могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка: Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы: В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y.

В первом случае y является функцией от x. Во втором случае x является функцией от y. Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′. Разделив это уравнение на dx, мы получим: .

Поскольку и , то отсюда следует, что .

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

явную зависимость функции от переменной; Решение дифференциального уравнения – это функция y = u(x), которая определена, n раз дифференцируема, и .
неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений; Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них; Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C1, C2, C3, … Cn. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида , зависящее от n произвольных постоянных. Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид . Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, … , Cn. Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, … , Cn.

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/

Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Определение 1

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

1) y'+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y',y'',…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y',y'',…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y'=x.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y'=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y'=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Определение 4

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y'=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Определение 5

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y'=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y'=x33+23'=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f''(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами

Определение 6

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/teorija-differentsialnyh-uravnenij/

4. Дифференциальные уравнения — Виктор Цекунов

Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.Высшая математика и физика для студентов.
Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам.

Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)
= 20 $.
Тел: +375(29) 127 61 86.__________________________________________________________________________4.1.Дифференциальные уравнения
первого порядка.

4.2.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

4.3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

4.4. Системы
дифференциальных уравнений.

4.5. Дифференциальные уравнения с частными производными.

4.1. Дифференциальные уравнения
первого порядка.

4.1-1. Решить дифференциальное
уравнение (2x+5)dx — (2y-1)dy=0 и найти его частное решение, удовлетворяющее
условиям: при x = 1 y = 2.

Решение:

Разделяем
переменные
(2x + 5)dx = (2y — 1)dyx + 5)dx = ∫(2y — 1)dy,
2∫xdx + 5∫dx = 2∫ydy — ∫dy,
2x²/2 + 5x = 2y²/2 — y + c,
x² + 5x = y² — y + c –
общее решение.
Найдем константу с. При х = 1 и y = 2 из общего решения имеем
1+5=4-2+c,
отсюда с = 4. Тогда
частное решение:
x² + 5x = y² — y + 4 – частное решение.

Ответ: x² + 5x = y² — y + c –
общее решение, x² + 5x = y² — y + 4 – частное решение.

4.1-2.
y' = 2xy.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:
Разделяем
переменные
dy/y = 2xdxdy/y = 2∫xdx,
lny — lnc = 2·x²/2, (c –
постоянная)
ln(y/c) = x²,
y/c = exp(x²),
y = c·exp(x²) – общее решение.
Ответ: y = c·exp(x²).

4.1-3.
6xdx — 6ydy = 3x²ydy — 2xy²dx.
Определить тип уравнения, указать метод решения, найти общее решение
дифференциального уравнения.

Решение:

6xdx — 6ydy = 3x²ydy — 2xy²dx,
(6x + 2xy²)dx = (6y + 3x²y)dy,
2x(3 + y²)dx = 3y(2 + x²)dy – это
нелинейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные, т.е. делим обе части уравнения на (3 + y²)(2 + x²)
2xdx/(2 + x²) = 3ydy/(3 + yxdx/(2 + x²) =
3∫ydy/(3 + y²),
∫d(2 + x²)/(2 + x²) =
(3/2)∫d(3 + y²)/(3 + y²),
Ln(2 + x²) =
(3/2)Ln(3 + y²) + C

₁ ,
Умножим обе части уравнения на 2/3

(2/3)

Ln(2 + x²) = Ln(3 + y²) + (2/3)C₁. (C₁ –
постоянная)
Обозначим (2/3)C₁ = — LnC
(2/3)Ln(2 + x²) = Ln(3 + y²) — LnC. (C –
постоянная)
Ln ³√(2 + x²)² = Ln(3 + y²) — LnC.
( Здесь ³√()
– корень кубический из выражения в скобках )
³√(2 + x²)² =
(3 + y²)/C,
3 + y² = C·³√(2 + x²)², отсюдаОтвет:
y² = C·³√(2 + x²)² —
3.

4.1-4. Решить
дифференциальное уравнение: xy'+y = sinx.

Решение:

xy΄ + y = sinx. (1)
Положим y = uv,
тогда y΄ = u΄v + uv΄. Уравнение
(1) перепишем в виде
x(u΄v+ uv΄) + uv = sinx или
xu΄v+(xv΄+v)u = sinx. (*)
Выберем v так,
чтобы выражение в скобках обратилось в нуль
xv΄+v = 0, (Axu΄v = sinx.

(B)
Из (А) найдём v
xdv/dx+v = 0; xdv/dx = -v; dv/v = -dx/x; Интегрируем
∫dv/v = -∫dx/x; Lnv = — Lnx;
Lnv = Ln(1/x);
v = 1/x.
Уравнение (B) при v = 1/x
запишем так:
xu΄/x = sinx или u΄ = sinx; du/dx = sinx; du = sinxdx; ∫du =∫sinxdx;
u = -cosx+C.
Следовательно, y = uv = (-cosx+C)/x.

Ответ:
y = (-cosx+C)/x –
общее решение.

4.1-5. Решить уравнение:
(2y — 3)dx + (2x — 3y²)dy = 0. (1)

Решение:

Уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, т. к. удовлетворяет условию:

∂Q/∂x = ∂P/∂y.

Действительно,
P(x,y) = 2y-3, Q(x,y) = 2x-3y²; ∂Q/∂x = 2;
∂P/∂y = 2,
т.е. ∂Q/∂x = ∂P/∂y

. Общий интеграл уравнения (1) U(x,y) = C , (*)

dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Из соотношения ∂U/∂x = P(x,y) = 2y-3 находим
∂U/∂x = 2y-3,
отсюда, интегрируем, U(x,y) = ∫ (2y-3)dx + ϕ(y) или
U(x,y) = (2y-3)x + ϕ(y). (2)

Далее, ∂U/∂y = Q(x,y) = 2x-3y², а
из (2) следует ∂U/∂y = 2x + ϕʼ(y), т.е. 2x-3y² = 2x + ϕʼ(y). Отсюда
ϕʼ(y) = -3y² или dϕ/dy = -3y²,
отсюда, интегрируем, ϕ(y) = ∫ (-3y²)dy = -3y³/3 + C₁ = — y³ + C₁ и подставим в (2)
U(x,y) = (2y-3)x -y³ + C₁ = 2xy — 3x — y³ + C₁ .
Тогда по (*)
2xy — 3x — y³ + C₁ = С
или, обозначив С₀ = С — C₁ , получим
2xy — 3x — y³ = С₀
− общий интеграл уравнения (1).
Ответ:
2xy — 3x — y³ = С − общий интеграл.

4.1-6. Найти
решение задачи Коши: xy' + y = -x²y², y(1)=1.

Решение:xy' + y = -x²y

².                                                (1) Приведём уравнение (1) к виду y' + y/x = -xy².
(1*)
Уравнение (1*) это уравнение Бернулли вида y' + p(x)y = q(x)yᵐ (где m=2),
которое сводится к линейному уравнению подстановкой u = y¹⁻ᵐ.
Так как m=2, то
подстановка u = y¹⁻² = y⁻¹ =
1/y.
Тогда u(x) = 1/y,
отсюда y = 1/u(x) и
дифференцируем по x:
y' =
(1/u(x))' =
— u'(x)/u² и
подставим в (1).
— xu'/u² + 1/u = x²/u² или
u' — u/x = x.                                                                    (2)
Уравнение (2) это линейное уравнение вида y' + p(x)y = r(x). Решение (2) ищем в виде u = q(x)v(x).
Тогда u' = q'v + qv'.
Тогда (2) примет вид: q'v + qv' — qv/x = x или
q(v' — v/x) + q'v = x.    (A)
Выберем v так,
чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда v' — v/x = 0
или dv/dx = v/x,
разделяем переменные dv/v = dx/x , интегрируем ∫ dv/v = ∫ dx/x, lnv = lnx,
отсюда
v = x.
Уравнение (А) при v = x запишем так:
q'x = x или q' = 1
или dq/dx = 1
или dq = dx,
интегрируем ∫ dq = ∫ dx,
отсюда
q = x + C.
Следовательно, u = qv = (x + C)x или u = x² + Cx.
Тогда y = 1/u = 1/(x² + Cx).
Итак, получили общее решение уравнения (1):
y = 1/(x² + Cx).    (3)

Найдём постоянную С из начальных условий. Так как при х=1, y=1,
тогда из (3) имеем
1 = 1/(1 + C),
отсюда С = 0 и (3) примет вид
y = 1/x² −
частное решение уравнения (1).Ответ: y = 1/x².

4.1-7. Решить уравнение в полных дифференциалах: (sinx + y)dy + (ycosx — x²)dx = 0.

Решение:

(ycosx — x²)dx + (sinx + y)dy = 0.
      (1) Имеем
P(x,y) = ycosx — x², Q(x,y) = sinx + y; ∂Q/∂x = cosx; ∂P/∂y = cosx, т.е. выполняется∂Q/∂x
= ∂P/∂y.                                           (*)                      Уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, так как выполняется (*).Общий
интеграл уравнения (1)
U(x,y) = C ,        (**)
dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Из соотношения ∂U/∂x = P(x,y) = ycosx — x² находим
∂U/∂x = ycosx — x²,
отсюда, интегрируем, U(x,y) = ∫ (ycosx — x²)dx + ϕ(y) или
U(x,y) = y∫cosxdx — ∫x²dx + ϕ(y) или
U(x,y) = ysinx — x³/3 + ϕ(y). (2)
Далее, ∂U/∂y = Q(x,y) = sinx + y, а из
(2) следует ∂U/∂y = sinx + ϕʼ(y),
т.е. sinx + y = sinx + ϕʼ(yϕʼ(y) = y или dϕ/dy = y,
отсюда, интегрируем, ϕ(y) = ∫ ydy = y²/2 + C₁ и подставим в (2) U(x,y) = ysinx — x³/3 + y²/2 + C₁ .
Тогда по (**)
ysinx — x³/3 + y²/2 + C₁ = С
или, обозначив С₀ = С — C₁ , получим
ysinx — x³/3 + y²/2 =
С₀ − общий интеграл уравнения (1).
Ответ:
ysinx — x³/3 + y²/2 = С − общий интеграл.

4.1-8.
Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(4; 3), если подкасательная
любой её точки есть среднее арифметическое координат точки касания.
(Подкасательная − это длина отрезка между точкой пересечения касательной с осью
ОХ и проекцией точки касания на ось ОХ.)

Источник: https://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/matematika/4-differencialnye-uravnenia