Общий интеграл дифференциального уравнения

Расчётное задание

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Общий интеграл дифференциального уравнения

Решение

Общий интеграл дифференциального уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения

Посчитаем интегралы отдельно:

Общий интеграл дифференциального уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения

Тогда: Общий интеграл дифференциального уравнения или Общий интеграл дифференциального уравнения

Общий интеграл дифференциального уравнения

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Рубидий и его характеристики

Оценим за полчаса!

Общий интеграл дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

  • Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид Общий интеграл дифференциального уравнения
  • Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

  1. или
  2. Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
  3. Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

  • Интегрируя, находим
  • Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
  • Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
  • Возвращаясь к функции у, получим
  • Ответ:

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

  1. Решение
  2. — уравнение Бернулли.
  3. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
  4. или
  5. Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
  6. Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

  • Интегрируя, находим
  • Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда
  • Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
  • Возвращаясь к функции У, получим
  • Ответ:

Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.

  1. Решение
  2. Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
  3. Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
  4. Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
  5. или
  6. Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
  7. Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

  • Интегрируя, находим
  • Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
  • Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
  • Возвращаясь к функции у, получим
  • Ответ:

Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.

  1. , ,
  2. Решение
  3. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
  4. Получим уравнение первого порядка относительно :
  5. Разделим переменные и проинтегрируем ,
  6. Тогда или
  7. Выполним обратную подстановку;
  8. Используем условия , тогда .
  9. Тогда уравнение запишется в виде
  10. Разделим переменные и проинтегрируем , ,
  11. Получим
  12. Используем условие , тогда .
  13. Окончательно получим:
  14. Ответ:

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.

  • Решение
  • Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
  • Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
  • Корни характеристического уравнения:
  • Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .
  • Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
  • , тогда
  • , .
  • Подставим в исходное
  • Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:
  • Тогда частное решение
  • Общее решение неоднородного примет вид:
  • Ответ:

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

  1. Решение
  2. Решим соответствующее однородное уравнение
  3. Составим характеристическое уравнение Его корни
  4. Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
  5. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
  6. , тогда
  7. , .
  8. Подставим в исходное
  9. ,
  10. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
  11. Тогда частное решение
  12. Общее решение неоднородного примет вид:
  13. Ответ:

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

  • Решение
  • Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
  • Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
  • Корни характеристического уравнения: r1 = — i, r2 = i
  • Общее решение однородного уравнения имеет вид:
  • Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
  • Тогда окончательно
  • Ответ:

Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Решение
  2. Метод исключения неизвестных.
  3. Продифференцируем по t первое уравнение
  4. Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим
  5. , ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Ответ:

Источник: http://matica.org.ua/primery/primery/raschetnoe-zadanie-10-differentcialnykh-uravnenii

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

  • Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
  • P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
  • где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
  • Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
  • Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Общий интеграл дифференциального уравнения

Решая два последних равенства, можем записать

Общий интеграл дифференциального уравнения

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

Общий интеграл дифференциального уравнения

  1. Так как
  2. ,
  3. получим
  4. ,
  5. что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение Общий интеграл дифференциального уравнения было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Читайте также:  Косинус двойного угла, формулы и примеры

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Общий интеграл дифференциального уравнения

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  • Общий интеграл дифференциального уравнения, где — пока неизвестная функция от y.
  • Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:
  • Общий интеграл дифференциального уравнения, где — пока неизвестная функция от х.
  • Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

Общий интеграл дифференциального уравнения

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

Общий интеграл дифференциального уравнения

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Общий интеграл дифференциального уравнения

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  1. где — пока неизвестная функция от y.
  2. Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
  3. .
  4. Из полученного уравнения определяем : .
  5. Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  • где — пока неизвестная функция от х.
  • Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х и приравняем к первому уравнению системы:
  • .
  • Из полученного уравнения определяем : .

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  1. где — пока неизвестная функция от y.
  2. Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
  3. .
  4. Из полученного уравнения определяем : .
  5. Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  • где — пока неизвестная функция от y.
  • Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
  • .
  • Из полученного уравнения определяем : .
  • Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  1. где — пока неизвестная функция от х.
  2. Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х и приравняем к первому уравнению системы:
  3. .
  4. Из полученного уравнения определяем : .

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

  • Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
  • и частное решение при условии .

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по x другого слагаемого . Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

  1. где — пока неизвестная функция от y.
  2. Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y и приравняем ко второму уравнению системы:
  3. .
  4. Из полученного уравнения определяем : .
  5. Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .

Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения Бернулли Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential_equations5.html

Основные определения дифференциальных уравнений и их решений

Общий интеграл дифференциального уравнения

Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

Содержание

Определение дифференциальных уравнений (ДУ) ⇓Решение дифференциальных уравнений ⇓

См. также:

 

Типы обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение , где   – независимые переменные, y – функция и     – частные производные. Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную,   . Дифференциальное уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и «в частных производных» могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка: Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы: В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y.

В первом случае y является функцией от x. Во втором случае x является функцией от y. Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′. Разделив это уравнение на dx, мы получим: .

Поскольку     и   , то отсюда следует, что .

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

  • явную зависимость функции от переменной; Решение дифференциального уравнения – это функция y = u(x), которая определена, n раз дифференцируема, и .
  • неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений; Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
  • зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них; Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
  • решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C1, C2, C3, … Cn. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида , зависящее от n произвольных постоянных. Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид . Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, … , Cn. Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, … , Cn.

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/

Теория дифференциальных уравнений: определения и понятия

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Определение 1

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Читайте также:  Свойства параллелограмма, с примерами

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Пример 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и 5-го порядков:

1) y'+1=0;2) d2ydx2+y=x·sinx;3)y(5)+y(3)=a·y, α∈R

Пример 2

Уравнения в частных производных 2-го порядка:

1) ∂2u∂t2=v2·∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2, u=u(x,y,z,t), v∈R;2) ∂2u∂x2-∂2u∂y2=0, u=u(x,y)

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида F(x,y,y',y'',…,y(n))=0 или Fx,y,dydx,d2ydx2,…,dnydxn=0, в которых Ф(x, y) = 0  — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f(x).

Интегрирование дифференциального уравнения

Определение 2

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y',y'',…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Определение 3

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y'=x.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y'=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y'=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Определение 4

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y'=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Определение 5

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y'=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y'=x33+23'=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

  • задачи Коши;
  • задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
  • краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f''(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами

Определение 6

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/teorija-differentsialnyh-uravnenij/

4. Дифференциальные уравнения — Виктор Цекунов

Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.Высшая математика и физика для студентов.
Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам.

Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)
= 20 $.
Тел: +375(29) 127 61 86.__________________________________________________________________________4.1.Дифференциальные уравнения
первого порядка.

4.2.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

    
4.3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

     4.4. Системы
дифференциальных уравнений.

    4.5. Дифференциальные уравнения с частными производными.

     4.1. Дифференциальные уравнения
первого порядка.

4.1-1. Решить дифференциальное
уравнение (2x+5)dx — (2y-1)dy=0 и найти его частное решение, удовлетворяющее
условиям: при x = 1 y = 2.

Решение:

Разделяем
переменные
(2x + 5)dx = (2y — 1)dyx + 5)dx = ∫(2y — 1)dy,
2∫xdx + 5∫dx = 2∫ydy — ∫dy,
2x²/2 + 5x = 2y²/2 — y + c,
x² + 5x = y² — y + c –
общее решение.
Найдем константу с. При х = 1 и y = 2 из общего решения имеем
1+5=4-2+c,
отсюда с = 4. Тогда
частное решение:
x² + 5x = y² — y + 4 – частное решение.

Ответ: x² + 5x = y² — y + c –
общее решение,   x² + 5x = y² — y + 4 – частное решение.

4.1-2.
y' = 2xy.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

  • Решение:
  • Разделяем
    переменные
    dy/y = 2xdxdy/y = 2∫xdx,
    lny — lnc = 2·x²/2,   (c –
    постоянная)
    ln(y/c) = x²,
    y/c = exp(x²),
    y = c·exp(x²) – общее решение.
  • Ответ:  y = c·exp(x²).

4.1-3.
6xdx — 6ydy = 3x²ydy — 2xy²dx.
Определить тип уравнения, указать метод решения, найти общее решение
дифференциального уравнения.

Решение:

6xdx — 6ydy = 3x²ydy — 2xy²dx,
(6x + 2xy²)dx = (6y + 3x²y)dy,
2x(3 + y²)dx = 3y(2 + x²)dy – это
нелинейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные, т.е. делим обе части уравнения на (3 + y²)(2 + x²)
2xdx/(2 + x²) = 3ydy/(3 + yxdx/(2 + x²) =
3∫ydy/(3 + y²),
∫d(2 + x²)/(2 + x²) =
(3/2)∫d(3 + y²)/(3 + y²),
Ln(2 + x²) =
(3/2)Ln(3 + y²) + C

₁ ,
Умножим обе части уравнения на 2/3

(2/3)

Ln(2 + x²) = Ln(3 + y²) + (2/3)C₁.           (C₁ –
постоянная)
Обозначим (2/3)C₁ = — LnC
(2/3)Ln(2 + x²) = Ln(3 + y²) — LnC.                 (C –
постоянная)
Ln ³√(2 + x²)² = Ln(3 + y²) — LnC.        
( Здесь   ³√()
– корень кубический из выражения в скобках )
³√(2 + x²)² =
(3 + y²)/C,
3 + y² = C·³√(2 + x²)²,  отсюдаОтвет:
y² = C·³√(2 + x²)² —
3.

4.1-4. Решить
дифференциальное уравнение:  xy'+y = sinx.

Решение:

xy΄ + y = sinx.                                (1)
Положим y = uv,
тогда y΄ = u΄v + uv΄. Уравнение
(1) перепишем в виде
x(u΄v+ uv΄) + uv = sinx  или
xu΄v+(xv΄+v)u = sinx.                     (*)
Выберем v так,
чтобы выражение в скобках обратилось в нуль  
xv΄+v = 0,                                       (Axu΄v = sinx.

                                   (B)
Из (А) найдём v
xdv/dx+v = 0;  xdv/dx = -v;   dv/v = -dx/x;  Интегрируем
 ∫dv/v = -∫dx/x;  Lnv = — Lnx;
Lnv = Ln(1/x);
v = 1/x.
Уравнение (B) при  v = 1/x
запишем так:
xu΄/x = sinx  или  u΄ = sinx; du/dx = sinx;  du = sinxdx;  ∫du =∫sinxdx;
u = -cosx+C.
Следовательно, y = uv = (-cosx+C)/x.

Ответ:
y = (-cosx+C)/x –
общее решение.

4.1-5. Решить уравнение:
(2y — 3)dx + (2x — 3y²)dy = 0.                                     (1)

Решение:

Уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, т. к. удовлетворяет условию:

∂Q/∂x = ∂P/∂y.

Действительно,
P(x,y) = 2y-3,   Q(x,y) = 2x-3y²;   ∂Q/∂x = 2;   
∂P/∂y = 2,  
т.е. ∂Q/∂x = ∂P/∂y

. Общий интеграл уравнения (1) U(x,y) = C ,                                                                (*)

dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Из соотношения ∂U/∂x = P(x,y) = 2y-3 находим
∂U/∂x = 2y-3,
отсюда, интегрируем, U(x,y) = ∫ (2y-3)dx + ϕ(y) или
U(x,y) = (2y-3)x + ϕ(y).                                              (2)

Далее, ∂U/∂y = Q(x,y) = 2x-3y², а
из (2) следует ∂U/∂y = 2x + ϕʼ(y), т.е. 2x-3y² = 2x + ϕʼ(y). Отсюда
ϕʼ(y) = -3y² или dϕ/dy = -3y²,
отсюда, интегрируем, ϕ(y) = ∫ (-3y²)dy = -3y³/3 + C₁ = — y³ + C₁ и подставим в (2)
U(x,y) = (2y-3)x -y³ + C₁ = 2xy — 3x — y³ + C₁ .
Тогда по (*)
2xy — 3x — y³ + C₁ = С
или, обозначив С₀ = С — C₁ , получим
2xy — 3x — y³ = С₀
− общий интеграл уравнения (1).
Ответ:
2xy — 3x — y³ = С − общий интеграл.

4.1-6. Найти
решение задачи Коши:  xy' + y = -x²y²,       y(1)=1.

Решение:xy' + y = -x²y

².                                                              (1) Приведём уравнение (1) к виду y' + y/x = -xy².                                                            
(1*)
Уравнение (1*) это уравнение Бернулли вида y' + p(x)y = q(x)yᵐ (где m=2),
которое сводится к линейному уравнению подстановкой u = y¹⁻ᵐ.
Так как m=2, то
подстановка u = y¹⁻² = y⁻¹ =
1/y.
Тогда u(x) = 1/y,
отсюда y = 1/u(x) и
дифференцируем по x:
y' =
(1/u(x))' =
— u'(x)/u² и
подставим в (1).
— xu'/u² + 1/u = x²/u² или
u' — u/x = x.                                                                    (2)
Уравнение (2) это линейное уравнение вида y' + p(x)y = r(x). Решение (2) ищем в виде u = q(x)v(x).
Тогда u' = q'v + qv'.
Тогда (2) примет вид: q'v + qv' — qv/x = x или
q(v' — v/x) + q'v = x.                                                        (A)
Выберем v так,
чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда v' — v/x = 0
или dv/dx = v/x,
разделяем переменные dv/v = dx/x , интегрируем ∫ dv/v = ∫ dx/x, lnv = lnx,
отсюда
v = x.
Уравнение (А) при v = x запишем так:
q'x = x или q' = 1
или dq/dx = 1
или dq = dx,
интегрируем ∫ dq = ∫ dx,
отсюда
q = x + C.
Следовательно, u = qv = (x + C)x или u = x² + Cx.
Тогда y = 1/u = 1/(x² + Cx).
Итак, получили общее решение уравнения (1):
y = 1/(x² + Cx).                                                                (3)

Найдём постоянную С из начальных условий. Так как при х=1, y=1,
тогда из (3) имеем
1 = 1/(1 + C),
отсюда С = 0 и (3) примет вид
y = 1/x² −
частное решение уравнения (1).Ответ: y = 1/x².

4.1-7. Решить уравнение в полных дифференциалах:  (sinx + y)dy + (ycosx — x²)dx = 0.

Решение:

(ycosx — x²)dx + (sinx + y)dy = 0.    
                        (1) Имеем
 P(x,y) = ycosx — x²,   Q(x,y) = sinx + y;   ∂Q/∂x = cosx;   ∂P/∂y = cosx, т.е. выполняется∂Q/∂x
= ∂P/∂y.                                                       (*)                      Уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, так как выполняется (*).Общий
интеграл уравнения (1)
U(x,y) = C ,                                                              (**)
dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Из соотношения ∂U/∂x = P(x,y) = ycosx — x² находим
∂U/∂x = ycosx — x²,
отсюда, интегрируем, U(x,y) = ∫ (ycosx — x²)dx + ϕ(y) или
U(x,y) = y∫cosxdx — ∫x²dx + ϕ(y) или
U(x,y) = ysinx — x³/3 + ϕ(y).                                       (2)
Далее, ∂U/∂y = Q(x,y) = sinx + y, а из
(2) следует ∂U/∂y = sinx + ϕʼ(y),
т.е. sinx + y = sinx + ϕʼ(yϕʼ(y) = y или dϕ/dy = y,
отсюда, интегрируем, ϕ(y) = ∫ ydy = y²/2 + C₁ и подставим в (2) U(x,y) = ysinx — x³/3 + y²/2 + C₁ . 
Тогда по (**)
ysinx — x³/3 + y²/2 + C₁ = С
или, обозначив С₀ = С — C₁ , получим
ysinx — x³/3 + y²/2 =
С₀ − общий интеграл уравнения (1).
Ответ:
ysinx — x³/3 + y²/2 = С − общий интеграл.

4.1-8.
Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(4; 3), если подкасательная
любой её точки есть среднее арифметическое координат точки касания.
(Подкасательная − это длина отрезка между точкой пересечения касательной с осью
ОХ и проекцией точки касания на ось ОХ.)

Источник: https://www.sites.google.com/site/viktortsekunov/services/matematika/4-differencialnye-uravnenia

Ссылка на основную публикацию