Уравнение эйлера в физике

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Уравнение Эйлера в физике

Рисунок

3.1 Варианты относительного покоя

Первый вариант соответствует абсолютному покою или равномерному движению сосуда с жидкостью. Такой вариант рассматривался при выводе основного уравнения гидростатики.

Второй вариант – вращение сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью ω вокруг центральной оси.

Несмотря на то, что вся масса жидкости вращается вместе с сосудом, частицы жидкости друг относительно друга не перемещаются, следовательно, весь объём жидкости, как и в первом случае, представляет собой как бы твёрдое тело.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула хлора в химии

Оценим за полчаса!

Давление в каждой точке жидкости не меняется во времени и зависит только от координат. По этим причинам жидкость подпадает под определение покоящейся.

Третий вариант аналогичен второму, только вращение осуществляется вокруг произвольно расположенной вертикальной оси. Во втором и третьем случае свободная поверхность жидкости принимает новую форму, соответствующую новому равновесному положению жидкости.

В четвёртом варианте сосуд с жидкостью движется прямолинейно и равноускоренно. Такой случай проявляется, например, в процессе разгона или остановки автоцистерны с жидкостью.

В этом случае жидкость занимает новое равновесное положение, свободная поверхность приобретает наклонное положение, которое сохраняется до изменения ускорения.

Частицы жидкости друг относительно друга находятся в покое, и давление зависит только от координат.

Во всех перечисленных случаях на жидкость действуют, силы веса, силы инерции, силы давления.

Уравнение Эйлера в физике

Рисунок

3.2 Вывод дифференциальных уравнений

Рассмотрим в произвольной системе координат X,Y,Z произвольную точку A. Вблизи этой точки выделим элементарный объём  в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям.

  • Отметим следующее:
  • — давление является функцией координат (при этом в любой точке по всем направлениям оно одинаково),
  • — при переходе к точкам Ax( Ay, Az) меняется только одна координата на бесконечно малую величину dx( dy, dz), поэтому функция получает приращение только по одной координате,
  • — это приращение равно частному дифференциалу по соответствующей координате

Уравнение Эйлера в физике

Разность давлений, действующих на противоположные грани параллелепипеда (внутрь рассматриваемого объёма), перпендикулярные соответствующим осям, будет иметь вид:

Уравнение Эйлера в физике

Исходя из этого, определим разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат

Уравнение Эйлера в физике

Кроме сил давления на параллелепипед будут действовать инерционные силы  в общем случае определяемые массой и ускорениями X, Y, Z на соответствующие оси

Уравнение Эйлера в физике

Учитывая, что параллелепипед находится в покое, сумма сил, действующих на него, равна 0:

Уравнение Эйлера в физике

Разделив систему уравнений сил на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

Уравнение Эйлера в физике

На практике, чтобы избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для этого первое уравнение умножают на dx, второе на dy, третье на dz и складывают их:

Уравнение Эйлера в физике
Уравнение Эйлера в физике

  1. В этой формуле сумма в скобках является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается равным
  2. Полученное уравнение показывает, как изменяется давление при изменении координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя. Это уравнение впервые получил Леонард Эйлер в 1755

Источник: https://students-library.com/library/read/5543-differencialnoe-uravnenie-ravnovesia-zidkosti-uravnenie-ejlera

"Двигатель" №2 (50) 2007 г. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА

Юрий Михайлович Кочетков, д.т.н.

15 апреля 2007 г. исполнилось 300 лет со дня рождения замечательного русского ученого, члена петербургской Академии наук Леонарда Эйлера.

Великий математик и физик Леонард Эйлер оставил после себя бесценную сокровищницу трудов по вариационному исчислению, математическому анализу, обыкновенным дифференциальным уравнениям, степенным рядам, дифференциальной геометрии, теории чисел, функций комплексных переменных, теории приближенных вычислений.

Леонард Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Он является автором более 800 трудов, среди которых работы по небесной механике, оптике, баллистике, кораблестроению, прочности и даже теории музыки, оказавших значительное влияние на развитие науки.

Наиболее значимыми были достижения в области гидрогазодинамики и механики сплошных сред. Великий французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж говорил: «Эйлер заложил основы гидрогазодинамики». В своем трактате «Общие принципы движения жидкостей» (1755 г.

) Эйлер впервые вывел основную систему уравнений движения идеальной жидкости, положив этим начало аналитической механике сплошной среды.

Гидродинамика обязана Эйлеру тем, что он расширил понятие давления на случай движущейся жидкости, а понятие скорости течения впервые начал рассматривать как отношение пройденного пути к времени. Ведь до него считалось невозможным вводить подобные величины.

Уравнение Эйлера в физике

Велика заслуга Эйлера в разъяснении вопроса о природе сопротивления жидкостей движущимся в них телам. Эйлер разъяснил сущность парадокса Даламбера, показав, что причина сопротивления лежит в несоответствии модели безотрывного обтекания тел идеальной жидкостью процессам, протекающим в реальной жидкости.

Читайте также:  Объем дипломной работы по госту 2020, страниц

Гидрогазодинамическим наследием Леонарда Эйлера пользуются ученые всего мира. Общепризнана роль Эйлера как основоположника теоретической гидрогазодинамики, предопределившего своими исследованиями ее развитие на столетия.

Уравнение Эйлера в физике

Турбулентное движение в отличие от ламинарного послойного, на первый взгляд неупорядоченное случайное движение, является сложным упорядоченным пространственным течением, имеющим волновую природу. На самом деле турбулентное течение строго детерминировано.

Как говорил великий французский физик Пьер Симон Лаплас о законах природы, они «подразумевают полную предсказуемость и строгий детерминизм, а случайность — порождение несовершенства наблюдений». А раз так, то структуру турбулентности человек в конце концов выразит в виде изящных уравнений математической физики, а также в виде их конечных решений.

Волновая теория базируется на уравнениях Эйлера и Навье-Стокса и предполагает, что любое пространственное течение (суть турбулентное течение) можно представить в виде разложения его на четыре независимых вида: поступательное, волновое, вихревое и закрученное.

Другими словами, любую комбинацию из этих течений, или даже каждое в отдельности (кроме поступательного послойного) уже можно считать турбулентными, а так называемые пульсационность и мелкомасштабность являются лишь частными свойствами таких течений.

Записывая в общем виде векторное уравнение движения, справедливое для турбулентного течения несжимаемой жидкости

мы учитываем все виды пространственного течения в их совокупности. При этом каждый член записанного уравнения определяет тот или иной его вид.

Уравнение Эйлера в физике

Уравнение Эйлера в физикеВолновое движение можно иллюстрировать специальным классом течений с постоянной энтропией. Это течение со скоростью, равной скорости распространения малых возмущений, например, малых сжатий, или, что все равно, со скоростью звука (а0).

В данном случае уравнение Эйлера совместно с уравнением неразрывности может быть преобразовано до волнового уравнения гиперболического типа. При этом малые возмущения скорости (u) находятся в прямой зависимости от акустической скорости газового потока.

Из уравнения Эйлера, записанного в форме Ламба-Громеки, также явно выделяется третья составляющая турбулентного течения, это — вихревое движение. Это уравнение описывает чисто вихревое течение.

На основании этого уравнения доказывается очень важная для теоретической газовой динамики теорема Гельмгольца: «В движущейся под действием консервативного поля объемных сил идеальной несжимаемой жидкости вихревые линии сохраняются».

Самое сложное движение газа — кручение связывается с последним членом уравнения движения. Этот член появился в процессе вывода векторного уравнения Навье и Стоксом. Одновременно при выводе этого уравнения произошло уточнение уравнения Эйлера — его скорректировали на величину вязкого трения.

Были проанализированы силы касательных напряжений, напряжений сдвига и в итоге напряжений кручения. Величина «вязкостного» члена во многих случаях является решающей в развитии структуры турбулентности, а соответственно кручение является самым высокодифференцированным элементом движения среди всех рассмотренных выше.

К сожалению, исследования этого вида движения находится в самом начале. Оно требует специального изложения и поэтому, возвращаясь к теме данной статьи, рассмотрим случаи турбулентных течений, когда последний член уравнения Навье-Стокса не является существенным, а процесс турбулентного течения может с успехом быть описан векторным уравнением Леонарда Эйлера.

Очевидно, что существуют три возможности, при которых можно пренебречь силами вязкого трения и членом .

Турбулентность при . Это случай, когда пространственные течения жидкости, газа и плазмы, при которых величина динамической вязкости весьма мала по сравнению с типичными течениями газа, например, в соплах ЖРД, РДТТ или при обтекании летающих объектов воздухом.

Самая низкая вязкость в классе простых газов — вязкость газообразного водорода. По сравнению с другими газами она в 2…3 раза ниже и при нормальных условиях составляет = 8,94·10-6 Па·с.

Эта величина на два порядка ниже вязкости некоторых сжиженных газов и также на порядок ниже, чем вязкость плазмы воздуха при атмосферном давлении и температуре 15000 К.

Вязкость газа очень сильно увеличивается с увеличением температуры и в определенном, достаточно большом, диапазоне температур может быть описана степенной зависимостью ~ Тm, где показатель степени m для воздуха составляет 0,76.

Уравнение Эйлера в физике Уравнение Эйлера в физике

Анализ решений следует провести специально. В данном случае ограничимся конкретной зависимостью, показывающей сложность общего решения. Физическая интерпретация тензора V на сегодняшний день недостаточна и требует дальнейшего изучения. Условие |gradP| >> | |.

Другими словами, при очень больших числах Рейнольдса уравнение Навье-Стокса можно заменить уравнением Эйлера. На практике критерий Рейнольдса не может быть равен бесконечности.

Он стремится к своему предельному значению , а течение при этом достигает предельной турбулентности, то есть вновь становится ламинарным (журнал «Двигатель», № 4 (46) — 2006). Это нетрадиционное утверждение на первый взгляд может показаться шокирующим.

Ведь, казалось бы, что поток, турбулизируемый всякими механизмами и преградами, градиентами и вязкостями, только запутывается, перемешивается и закручивается, а он в итоге становится высокоупорядоченным. Да, это так.

Поток стремится к хаотическому, то есть тепловому движению, такому изотропному движению, когда его свойства аналогичны свойствам ламинарного течения. На практике эти свойства проявляются при течениях с малыми скоростями до момента образования волновых течений и при сверхзвуковых течениях.

Суммируя результаты сделанного анализа, точно можно сказать, что применение уравнений Леонарда Эйлера для описания турбулентных течений возможно при ламинарных и сверхзвуковых режимах.

При низких значениях динамической вязкости этот диапазон расширяется.

В дальнейшем, следует внимательно изучить физическую сущность тензора V — это откроет дополнительные возможности использования векторного уравнения Леонарда Эйлера, а математическая интерпретация этого факта ( V = 0) определит его точные границы.

Источник: http://engine.aviaport.ru/issues/50/page28.html

Уравнение Эйлера об изменении количества движения

  • Основные уравнения движения газа в двигателях и их элементах (продолжение)
  • Обобщенное уравнение Бернулли
  • Если из уравнения сохранения энергии вычесть уравнение 1 закона термодинамики, то получим уравнение
  • = Уравнение Эйлера в физике L r ,

которое и называется обобщенным уравнением Бернулли. Оно, как уже отмечалось при изучении термодинамики газовых потоков, отличается от известного в гидродинамики уравнения Бернулли учетом наличия внешней работы и гидравлических сопротивлений.

При этом интеграл называется работой сжатия газа в потоке, причем слова ²в потоке² обычно опускаются. Таким образом, согласно обобщенному уравнению Бернулли внешняя работа, подведенная к газу в потоке, расходуется на работу сжатия газа, на изменение (увеличение) его кинетической энергии и на работу по преодолению гидравлических потерь.

  1. Уравнение Эйлера об изменении количества движения.
  2. При проектировании газотурбинных двигателей, анализе их рабочего процесса и расчете эксплуатационных характеристик возникает необходимость определения сил взаимодействия газа с элементами двигателя, находящимися в потоке.
  3. Например, при определении усилий, действующих на ло­патки компрессора и турбины, силы тяги, создава­емой двигателем, и в других случаях.
  4. Рассмотрим аэродинамический профиль, обтекаемый потоком.

Уравнение Эйлера в физике

Вектор аэродинамической силы , действующей на этот профиль, можно определить, интегрируя силы давления и трения [Н/м2], с которыми газ действует на поверхность f этого профиля. Тогда

Очевидно, что профиль воздействует на газ с силой , равной по величине, но противоположно направленной, т.е. = –

Однако определение силы интегрированием сил давления и трения газа в инженерной практике затруднительно, т.к. значения этих сил по поверхности обтекаемого тела очень сложно рассчитать.

Если использовать теорему Эйлера об изменении импульса газового потока при обтекании тела, то аэродинамическую силу, действующую на тело, можно определить без знания и во всех точках обтекаемой поверхности. И это намного проще, чем интегрирование.

Как известно из курса физики, импульсом тела называется произведение его массы на его скорость. В теории авиационных двигателей для аналогичной величины применительно к потоку газа используется термин ²количество движения². Это термин мы и будем использовать в дальнейшем.

Для вывода уравнения Эйлера используем известный из механики 2-й закон Ньютона. Согласно ему равнодействующая всех внешних сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

Примем, что движение газа установившимся. Выделим произвольной поверхностью F некоторый объем газа, окружающий обтекаемое тело, например, профиль. (Такую поверхность обычно называют ²контрольной поверхностью²)

Выберем в этом объеме произвольную трубку тока 1-2 и разобьем ее на элементарные частицы с массами dm = ρΔFds, где ρ – плотность газа, ΔF – площадь поперечного сечения трубки тока, s – криволинейная координата вдоль трубки тока, отсчитываемая от ее начала (сечения 1), а ds – элемент этой координаты. Массовыми силами, действующими на газ, будем пренеб­регать, так как они (например, сила тяжести) несоизмеримо малы по сравнению с аэродинамическими силами, действующими на воздух или продукты сгорания в двигателе.

Согласно 2 закона Ньютона, для каждой такой элементарной частицы можно записать

(1.1)

где — равнодействующая внешних сил, действующих на элементарную частицу газа с массой dm, — ускорение этой частицы. Тогда ее сила инерции.

  • Так как при установившемся движении скорость в каждом сечении трубки тока не зависит от времени, то производная скорости по времени может быть представлена как
  • Подставив значение dm и в равенство (1.1) и проинтегрировав его вдоль трубки тока, получим

(1.2)

Но в равенстве (1.2) – расход газа через трубку тока, одинаковый в каждом ее сечении, а – дифференциал вектора скорости. И тогда

что после постановки в (1.2) дает

. (1.3)

Формула (1.3) и представляет собой выражение теоремы Эйлера для трубки тока.

Согласно этой формулепри установив­шемся течении газа и отсутствии массовых сил равнодействую­щая всех газодинамических сил (сил дав­ления и трения), приложенных к поверхности отрезка трубки тока 1–2, включая ее торцы, равнаежесекундному изменению импульса (ко­личества движения) протекающего через данную трубку тока газа.

Распространим далее полученный результат на всю массу газа, выделенную контрольной поверхностью F. Разобьем мысленно занимаемый ею объем на множество трубок тока, включая и прилегающие к обтекаемой поверхности профиля, и просуммируем выражения (1.3), записанные для каждой из них.

При таком суммировании гидродинамические силы, действующие на струйки тока внутри контрольной поверхности, взаимно компенсируются, так как силы, действующие на каждый элемент поверхности соседних струек одинаковы по величине и противоположны по направлению.

Неуравновешенными при суммировании останутся силы давления и трения, действующие снаружи на массу газа, выделенную контрольной поверхностью F (обозначим их сумму, полагая площадь сечения каждой трубки тока бесконечно малой, как ) и сила , действующая на газ со стороны профиля, находящегося в выделенном контрольной поверхность объеме газа.

Количества движения и каждой трубки тока просуммируются при этом по всей контрольной поверхности F. Тогда получим

Таким образом, при установившемся течении газа сумма всех гидро­динамических сил (сил давления и трения), действующих на выделенную произвольной контрольной поверхностью F массу газа со стороны контрольной поверхности и обтекаемых тел, равна разности количеств движения вытекающей из этой поверхности и втекающей в неё в единицу времени масс газа. (Это и есть теорема Эйлера о количества движения установившегося потока газа).

Аналогичным образом доказывается теорема Эйлера о моменте количества движения установившегося газового потока. Рассмотрим схему течения.

При установившемся течении газа сумма моментов всех гидро­динамических сил, действующих на выделенную контрольной поверхностью F массу газа со стороны этой поверхности, относительно произвольной оси и момента сил относительно этой же оси, действующих на эту массу со стороны обтекаемых тел, равна разности моментов количеств движения вытекающей и втекающей в единицу времени масс газа относительно той же оси.

Дата добавления: 2018-05-10; просмотров: 975;

Источник: https://poznayka.org/s107306t1.html

Дифференциальное уравнение Эйлера

Напомним, что необходимым условием существования у дифференцируемой функции экстремума в некоторой точке является равенство нулю производной в этой точке: , или, что то же самое, равенство нулю дифференциала функции .

Читайте также:  Строение алканов и их особенности (cnh2n+2), схема

Нашей ближайшей целью будет найти аналог этого условия в вариационном исчислении и выяснить, какому необходимому требованию должна удовлетворять функция, дающая экстремум функционалу.

Мы покажем, что такая функция должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению. Форма уравнения будет зависеть от вида рассматриваемого функционала. Изложение мы начнем с так называемого простейшего интеграла вариационного исчисления, под которым подразумевают функционал, имеющий следующее интегральное представление:

Функция , стоящая под знаком интеграла, зависит от трех аргументов . Будем считать ее определенной и дважды непрерывно дифференцируемой по аргументу для всех значений, по аргументам же и — в некоторой области плоскости . Ниже предполагается, что мы всегда будем находиться внутри этой области.

Под понимается некоторая функция от

непрерывно дифференцируемая на отрезке , и есть производная от нее.

Геометрически функцию можно изобразить в плоскости некоторой линией , лежащей над отрезком (рис. 3).

Интеграл (9) является обобщением интегралов (3) и (6), с которыми мы встретились в задачах о линии наискорейшего ската и поверхности вращения наименьшей площади. Значение его зависит от выбора функции или от линии , и задача о его минимуме имеет следующий смысл.

Дано некоторое множество функций (10) (линий ). Среди них нужно найти ту функцию (линию ), для которой интеграл имеет наименьшее значение.

Мы должны прежде всего точно определить множество функций, для которых мы будем рассматривать значение интеграла (9). Функции этого множества в вариационном исчислении обычно называют допустимыми к сравнению. Рассмотрим задачу с закрепленными граничными значениями. Множество допустимых функций определяется здесь двумя следующими требованиями:

1) функция непрерывно дифференцируема на отрезке ;

2) на концах отрезка функция принимает заданные наперед значения

В остальном функция может быть совершенно произвольной. Если говорить языком геометрии, мы рассматриваем всевозможные гладкие линии, лежащие над промежутком , которые проходят через две точки и и могут быть заданы уравнением (10). Функцию, доставляющую минимум интегралу, будем считать существующей и назовем ее .

Следующие простые и остроумные соображения, часто применяемые в вариационном исчислении, дают возможность весьма просто выяснить необходимое условие, которому должна удовлетворять . По сути дела они позволяют задачу о минимуме интеграла (9) привести к задаче о минимуме функции.

Рассмотрим семейство функций, зависящее от численного параметра

Чтобы функция при любом была допустимой функцией, мы должны считать непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка

Интеграл (9), вычисленный для , будет некоторой функцией параметра

Разность называют вариацией (изменением) функции и обозначают , а разность — полной вариацией интеграла (9). Отсюда и произошло название вариационного исчисления.

Так как функция дает минимальное значение интегралу, то функция должна иметь минимум при , и производная от нее в этой точке обязана обращаться в нуль

Последнее равенство должно выполняться при всякой непрерывно дифференцируемой функции , обращающейся в нуль на концах отрезка . Для получения вытекающего отсюда следствия удобнее второй член в условии (14) преобразовать интегрированием по частям

и придать условию (14) другую форму

  • Может быть доказана следующая простая лемма.
  • Пусть выполняются условия:
  • 1) функция непрерывна на отрезке ;
  • 2) функция непрерывно дифференцируема на отрезке и на концах отрезка обращается в нуль.
  • Если при любой такой функции интеграл равен нулю, то отсюда следует, что .
  • Действительно, допустим, что в некоторой точке с функция отлична от нуля, и покажем, что тогда заведомо существует такая функция , для которой , вопреки условию леммы.
  • Так как и непрерывна, наверное существует около точки такой промежуток , в котором будет всюду отличной от нуля и, стало быть, сохранять знак.

Всегда можно построить функцию , непрерывно дифференцируемую на , положительную на и равную нулю всюду вне (рис. 4).

Такой будет, например, , определенная равенствами

Но для такой функции

Последний же интеграл не может быть равен нулю, так как произведение внутри промежутка интегрирования отлично от нуля и сохраняет знак.

Ввиду того, что равенство (15) должно выполняться для всякой , непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка , мы можем, согласно лемме, утверждать, что это может быть только в том случае, когда

или после вычисления производной по переменной

Равенство это является дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно функции . Оно называется уравнением Эйлера.

Мы можем сделать следующее заключение.

Если функция доставляет интегралу минимум, то она должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера (17). Последнее в вариационном исчислении имеет значение, вполне сходное со значением необходимого условия в теории экстремумов функций.

Оно позволяет сразу отбросить все допустимые функции, которые этому условию не удовлетворяют, так как на них интеграл заведомо не может достигать минимума. Этим очень сильно сужается круг допустимых функций, подлежащих изучению.

Свое внимание мы можем сосредоточить только на решениях уравнения (17).

Сами решения уравнения (17) обладают тем свойством, что производная

для них обращается в нуль при любых , и они аналогичны по своему значению стационарным точкам функции. Поэтому часто говорят, что на решениях (17) интеграл имеет стационарное значение.

В нашей задаче с закрепленными граничными значениями нужно найти далеко не все решения эйлерова уравнения, а только те из них, которые принимают предписанные значения в точках .

Обратим внимание на то, что уравнение Эйлера (17) имеет 2-й порядок. Общее его решение будет содержать две произвольные постоянные

Их нужно определить так, чтобы интегральная кривая проходила через точки и , что доставляет два уравнения для нахождения постоянных и

  1. Во многих случаях эта система имеет только одно решение, и тогда будет существовать только одна интегральная линия, проходящая через точки и .
  2. Разыскание функций, подозрительных на минимум интеграла, мы привели к решению следующей граничной задачи дифференциальных уравнений: на отрезке нужно найти те решения уравнения (17), которые на концах этого отрезка принимают заданные значения .
  3. Часто эту последнюю задачу удается решить при помощи методов, известных в теории дифференциальных уравнений.

Еще раз указываем на то, что каждое решение такой граничной задачи может только подозреваться на минимум и в дальнейшем еще надлежит проверить, будет ли оно или не будет доставлять минимальное значение интегралу. Но в частных случаях, особенно часто встречающихся в приложениях, уравнение Эйлера вполне решает задачу о нахождении минимума интеграла.

Пусть нам заранее будет известно, что функция, доставляющая минимум интегралу, существует, и мы допустим, кроме того, что уравнение Эйлера (17) имеет только одно решение, удовлетворяющее граничным условиям (11), и, стало быть, только одна допустимая линия может быть заподозрена на минимум.

При этих условиях можно быть уверенным в том, что найденное решение уравнения (17) действительно дает минимум интегралу.

Пример. Ранее было установлено, что [url]задача о линии наискорейшего ската[/url] может быть приведена к нахождению минимума интеграла

на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям .

В этой задаче

Уравнение Эйлера имеет форму

После некоторых упрощений оно приводится к виду

Умножая обе части равенства на и интегрируя, получим

или

Полагая теперь

найдем после подстановки и упрощения откуда, интегрируя, получаем: . Так как кривая должна проходить через начало координат, следует положить .

Мы видим, таким образом, что брахистохрона есть циклоида

Постоянная должна быть найдена из того условия, чтобы эта кривая прошла через точку .

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=differentsialnoe-uravnenie-eilera

ПОИСК

    Для идеальной жидкости решения уравнения Эйлера (уравнения [c.15]

    Интеграл уравнений движения Эйлера — уравнение Бернулли. [c.96]

    Интеграл уравнений движения Эйлера— уравнение Бернулли. Для установившегося режима движения жидкости при условии, что компоненты скорости изменяются только в направлении соответствующих осей, уравнения (2—23) примут вид  [c.122]

    Формула Эйлера. Уравнение (П.24) не освещает механизма передачи жидкости, протекающей через рабочее колесо, мощности от вала машины. Более наглядное представление об этом может быть получено на основе теоремы количества движения (теоремы импульсов). [c.25]

    Из четырех условий (IV.47) — (IV.50) независимым является только одно. Так, условие (1У.49) можно получить из (Г/.41), выражая производные Э7/ЭЛ 1 и 9 1/3 через производные Эт/ЭЛ з, Эдз/ЭЛ 2. Эт/ЭЛ с помощью теоремы Эйлера (уравнений (IV.38)) и выражения (IV.24). [c.42]

    В основу расчета струйных аппаратов обычно кладется классическое уравнение Эйлера (уравнение импульсов), которое в применении к двум параллельным потокам имеет вид [c.232]

    Бернулли уравнение Одно из практически важн. уравнений гидромеханики. Устанавливает зав-ть между скоростью ж-ти, ее плотн, давл. в ней. Представляется в разных вариантах, в зав-ти от типа сжимаемости ж-ти, и является следствием Эйлера уравнений гидромеханики. Bernoulli equation) [c.31]

    Теорема 5. В случае несжимаемого течения к уравнениям движения Эйлера, уравнению неразрывности и незавихренности и к краевым условиям Эйлера на твердых стенках применим принцип инерциального моделирования. [c.141]

    Поскольку в действительности пластические деформации от растяжения возникают на выпуклой стороне стержня, то < Р . Аналогично из (5.

175) следует, что при отсутствии пластических деформаций максимальная нагрузка совпадает с нагрузкой Эйлера. Уравнения (5.175)—(5.

176) при ЬР = О, Ьк фО допускают также решения = го = г, = О и Zp = О соответственно, что дает собственное значение нагрузки [c.208]

    Здесь вместо метода Эйлера [уравнения (175) и (176)] используется следующий вариант процедуры Рунге — [c.233]

    Уравнение Эйлера —- уравнение момента количества движения в применении к осесимметричному течению жидкости это уравнение при правильном выборе и осреднении углов потока всегда верно. [c.39]

    Уравнение Эйлера. Уравнение Эйлера для вентилятора устанавливает связь между величиной мощности, подведенной к валу вентилятора, и изменением параметров потока при прохождении его через рабочее колесо.

Уравнение это непосредственно вытекает из теоремы о моменте количества движения.

Согласно этой теореме изменение момента количества движения выделенной секундной массы воздуха равно сумме моментов всех внешних сил, приложенных к этой массе. [c.40]

    Система состоит из уравнения движения (1.1) в форме Эйлера, уравнения неразрывности (1.2) и состояния (1.3), которое запишем в виде уравнения адиабаты Пуассона р = Лр, где [c.10]

    В настоящее время при исследовании многофазных турбулентных потоков наряду с континуальным подходом получают развитие модели, построенные в рамках эйлерово-лагранжевого способа описания движения смеси [2, 3, 14, 19-24]. В этих моделях движение несущей среды моделируется в координатах Эйлера уравнениями Навье — Стокса с источниковыми членами, учитывающими межфазное взаимодействие, а перемещение частиц дисперсной фазы определяется в координатах Лагранжа с применением методов Монте-Карло, моделирующих турбулентные пу и>сации сплошной среды. В результате расчетов получается набор траекторий движения отдельных частиц, которые соответствующим образом усредняются для получения тех или иных характеристик потока. [c.203]

    В связи с этим некоторые разделы книги пришлось дополнить изложением основных диференциалъных уравнений, что в предыдущих трех иэда ниях гае вызывалось необходимостью. Это относитоя к диферен-циальным уравнениям равновесия и движения Эйлера, уравнениям дви-Навье-Стокса, уравнению теплопроводности и др. [c.3]

    Математическая модель, на основе которой создана настоящая программа, основана на численном решении методом Эйлера уравнений первого закона термодинамики, баланса массы и уравнения состояния в отдельных элементах газовоздушного трак а, цилиндрах двигателя, форкажрах компрессорных полостях и промещуточннх холодильниках, странство цилнцдра двигателя (рис.2) в общем случае представляет собой открытую термодинамическую систеку с изменяющимся объемом, внутренним источником теплоты и тремя источниками массы. Утечками рабочего тела через неплотности пренебрегают. [c.59]

Источник: https://www.chem21.info/info/32630/

Ссылка на основную публикацию