Уравнения электромагнитной волны в физике

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА.

          Распространяющееся
электромагнитное поле, в котором напряженности электрического и магнитного
полей изменяются по какому-нибудь периодическому закону, называют электромагнитной
волной.

Очевидно, источником электромагнитной волны может быть любой
электрический колебательный контур или даже любой проводник, по которому течет
переменный ток.

Скорость распространения электромагнитных волн постоянна для данной
(однородной и изотопной) среды и равна скорости света (в вакууме с = 3 × 108 м/сек).

          Электромагнитное
поле графически изображается совокупностью электрических и магнитных силовых
линий.

          Составим
уравнение для наиболее простого случая — плоской электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, в которой векторы
напряженностей электрического Е и магнитного Н поля сохраняют
постоянные направления в пространстве (такая волна называется плоскополяризованной).
Направим эти векторы вдоль координатных осей: Е вдоль ОZ ; Н
вдоль ОУ.

 

Предположим,
что в начальный момент времени (t = 0) в исходной точке пространства (х
= 0) создано переменное электрическое поле Е, которое индуктирует
магнитное поле Н.

Через промежуток времени dt в соседней точке на
расстоянии dx напряженности полей будут Е+dE и H+dH
соответственно.

При этом приращение электрического поля dE обусловлено
скоростью изменения магнитного поля, а приращение магнитного поля dH —
скоростью изменения электрического поля (эти скорости зависят от свойств среды,
что в СИ учитывается с помощью абсолютных проницаемостей  и ).

          Опуская
подробности, такая связь между скоростями изменения напряженностей Е и Н
по времени и расстоянию может быть выражена, путем приравнивания частных
производных от напряженностей Е и Н по расстоянию  х  и
времени  t:

Эти
уравнения называются уравнениями Максвелла для плоской электромагнитной
волны. Решение этих уравнений и составит искомое уравнение волны. Мы с
вами рассматривали аналогичные уравнения в курсе механики. Поэтому подробное
решение приводить не будем. Получим:

 или    

Решениями
этих уравнений являются гармонические (синусоидальные) функции.

где
Е  и  Н — мгновенные, а  Еm  и  Hm  — максимальные значения напряжен-ностей, w — круговая частота колебаний векторов Е и Н, V —
скорость распространения  волны в направлении ОХ:

где 
 = 3 × 10 м/сек —
скорость электромагнитной волны в вакууме.

          Из
уравнений следует, что в электромагнитной волне (в вакууме и изотопной среде)
векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны (то есть электромагнитная
волна — поперечная), колебания этих векторов происходят в фазе и их величины
связаны соотношением:

• Привести 
  графики.
•              
  Объемная плотность энергии электромагнитного поля.
•           Энергия
  электромагнитного поля складывается их энергии электрического поля и энергии
  магнитного поля. Мгновенное значение объемной плотности энергии
  электромагнитного поля равно
• wЭМ = wЕ + wН =
• Учитывая,
  что  , 
  получим
•                 
  wЭМ
• В
  системе СГС
• wЭМ
  =
• где
  Е и Н — мгновенные значения напряженностей полей.
•           Плотность
  потока энергии волны  I  можно получить, умножим объемную плотность
  энергии поля на скорость волны :
•                        
  I = wЭМ u =
• В
  системе СГС   

          Плотность
потока энергии — это вектор, совпадающий с направлением распространения волны.
В данном случае он называется вектором Умова-Пойнтинга. 

1.                             
    Шкала электромагнитных волн.
2.           По
   современным представлениям, свет имеет двойственные корпускулярно-волновые
   свойства.

          Волновые
свойства света проявляются преимущественно в явлениях, связанных с его
распространением (интерференция, дифракция, отражение, преломление и др.).
Поэтому при изучении этих явлений используется главным образом волновая теория,
хотя она и не учитывает прерывности световой волны.

          Корпускулярные
свойства проявляются преимущественно при взаимодействии света с веществом
(фотоэффект и др.), которое и рассматривается главным образом с точки зрения
фотонной теории.

Основной
характеристикой световых волн является частота колебаний n (частота
колебаний векторов напряженности Е и Н электромагнитного поля). В
волновой теории чаще используется связанная с ней длина волны в вакууме:   , где
 с  — скорость света в вакууме.

Частота колебаний (длина волны в
вакууме) влияет на свойства излучения и в определенных интервалах частот
излучение приобретает особые качества.

Например, электромагнитное излучение в
определенном диапазоне частот действует на глаз, а в другом диапазоне
(рентгеновские лучи) проникает в глубь веществ, непроницаемых для остального
электромагнитного излучения и т.п.

          В
соответствии с условиями возбуждения и свойствами излучения электромагнитные
волны делятся по частоте (или длине волны) на 6 диапазонов: радиоволны
(длинные, средние, короткие), инфракрасные, видимые, ультрафиолетовые,
рентгеновские волны и  g — лучи, шкала приведена по мере возрастания частот,
то есть убывания длин волн.

          Излучение
радиоволн обусловлено переменным токами в проводниках и электронными потоками
(макроизлучатели). Излучение инфракрасных, видимых и ультрафиолетовых волн
исходит из атомов, молекул и быстро заряженных частиц (микроизлучатели).
Рентгеновское излучение возникает при внутриатомных процессах,  g  -лучи имеют ядерное происхождение.

Источник: https://vunivere.ru/work5377

1.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Электромагнитная природа света. Свойства электромагнитных волн

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине . Ее числовое значение почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г., 3,15× 108 м/с.

Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Юнг 1817г.).

Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

• Волновое уравнение
• Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (J = 0) и зарядов (R = 0) имеют следующий вид
• ,

Где E0 и M0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнение показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем.

Уравнение представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение постулирует отсутствие магнитных зарядов.

Применяя к обеим частям уравнения операцию Rot, получаем

,

Где учтены соотношения и принято во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, запишем

Здесь D – оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде

Поскольку в рассмотренном случае то из соотношения с учетом уравнения получаем уравнение для вектора : , где – скорость света в вакууме. Аналогично, применяя операцию rot к обеим частям равенства, получим уравнение для вектора : .

Уравнения, линейны по полю.

Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений такого же вида, в каждое из которых входит только одна декартова компонента напряженности электрического или магнитного полей и (A = X, Y, Z).

Уравнения, , называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Вα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например Z, и времени, т. е. Ф = Ф(Z,T).

Тогда уравнение упростится и примет вид . Уравнению удовлетворяет функция вида: , где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула выражает общее решение уравнения. Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси Z. Скорости обеих волн одинаковы и равны С.

Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени T1 в точке Z1, в момент T2 приходит в точку Z2, определяемую соотношением T1 – Z1/C = T2 – Z2/C.

Отсюда при T2 > T1 имеем Z2 > Z1, и скорость распространения волнового возмущения равна υ = (Z2 – Z1)/(T2 – T1) = C.

Функции Ф1 = Ф1(Z, T) и Ф2 = Ф2(Z, T) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.

Плоская гармоническая волна

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим, например, декартову компоненту поля E(Z, T). Пусть при Z = 0 E(0, T) = E0cos(WT), т. е.

напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. Тогда в соответствии с (1.11) в области с Z≥ 0 будет распространяться плоская гармоническая волна .

В этом выражении Е0 – амплитуда волны, W – круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний N = 1/Т соотношениями .

Параметры K и , определяемые как , есть соответственно волновое число и длина волны. Величина J = WT – Kz называется полной фазой волны и зависит от T и Z.

Фазу J(Z) = Kz, связанную с изменением пути, пройденного волной, называют набегом фазы или фазовым сдвигом.

Геометрическое место точек с одинаковым значением фазы называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне волновой фронт представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором . Поверхности постоянных фаз имеют вид плоскостей, перпендикулярных вектору (рис. 1. 1). Введем волновой вектор .

Вектор указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу K = W/C. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении через X, и проведем вектор из начала координат в произвольную точку волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 1.1, .

При гармоническом изменении во времени напряженностей электрического и магнитного полей частота остается постоянной. В оптике часто говорят не о гармонической, а о Монохроматической волне. Монохроматический означает “одноцветный”. Термин этот возник потому, что в видимом диапазоне глаз реагирует на изменение частоты излучения как на изменение цвета.

1. В дальнейшем для зависимости напряженности поля в волне от координат и времени вместо удобно использовать комплексную запись, принимая во внимание формулу Эйлера
2. .
3. Величина Е0 в может быть как действительной, так и комплексной. Учитывая, что в общем случае: и tg J = Im(E0)/Re(E0), запишем выражение в виде ,

Где |E0| – амплитуда плоской волны, J – начальная фаза колебаний в точке  = 0. Знак “Re” и знак модуля при записи будем опускать, не забывая, однако, о том, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений. .

Комплексная запись особенно удобна потому, что при ее использовании дифференцирование напряженности поля по времени ¶/¶T сводится, как видно из, просто к умножению на IW.

Скалярное произведение можно записать в виде (Kx·X + Ky·Y + Kz·Z), поэтому дифференцирование , например, по координате X сводится к умножению на (Ikx).

Сферическая волна

Нетрудно убедиться, что уравнениям удовлетворяют и волны вида

, в которых напряженности полей зависят только от одной пространственной переменной – модуля радиус-вектора. Такие волны называют сферическими. Рассмотрим скалярное волновое уравнение

И будем искать его решение вида Ф = Ф(T,R). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом

Введем вспомогательную функцию F = RФ. Тогда последнее уравнение преобразуется к виду, аналогичному (1.10)

И, следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях

Возвращаясь к искомой функции Ф, получим

Выражение описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т. е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется Расходящейся.

Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным.

• Сферическая гармоническая волна
• Если на сфере радиуса R0 задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы, то возбуждаемая таким источником расходящаяся волна при R > R0 может быть представлена в виде:
• Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазовый и амплитудный фронты представляют собой сферы.
• В комплексном представлении расходящаяся сферическая волна запишется так:

Наряду с плоской, сферическая гармоническая волна является эталонной волной, имеющей большое значение для оптики. Поэтому и сделан особый акцент на описание этих волновых процессов.

Хотя сами по себе эти волны являются в значительной степени математической абстракцией, их роль в описании оптических явлений трудно переоценить. Во многих случаях реальный световой пучок можно разложить в спектр по плоским гармоническим волнам.

Излучение реальной среды, состоящей из возбужденных атомов и молекул, часто можно представить как суперпозицию сферических волн.

1. Свойства плоской гармонической электромагнитной волны
2. Для анализа структуры плоской электромагнитной волны удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью векторного дифференциального оператора “набла”.
3. ,
4. Где – единичные векторы, направленные вдоль осей X, Y, Z декартовой системы координат.
5. Принимая во внимание, что для произвольного векторного поля

уравнения Максвелла (1.1) – (1.4) можно записать так:

• Будем искать решение этих уравнений в виде плоских гармонических волн
• , где и  – постоянные векторы, не зависящие от времени, но компоненты которых могут быть комплексными. Подставляя выражения и в уравнение  –  и учитывая, что
• Получаем следующие соотношения: , , .

Из соотношений и следует, что векторы и плоской волны перпендикулярны вектору , т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является Поперечной.

Соотношения  –  показывают, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Таким образом, для плоской гармонической световой волны, распространяющейся в вакууме в произвольном направлении , векторы , и образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 1.2).

Р и с. 1.2

Взяв от обеих частей  –  модули и учитывая взаимную ориентацию всех векторов, а также, что , , , находим следующие соотношения между значениями напряженности электрического и магнитного полей, а также между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме: , .

На рис. 1.2 видно также, что в бегущей плоской волне и изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений.

1. Плотность потока энергии
2. Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется вектором Умова — Пойнтинга
3. ,
4. Который указывает направление и количество энергии, переносимой световой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Модуль вектора в случае плоской волны может быть представлен в виде:,
5. Где учтено одно из соотношений.

Учитывая, что значение вектора электромагнитной волны оптического диапазона изменяется с частотами порядка 1015 Гц, то следить за изменением этой величины во времени невозможно. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения, как величины Е2, так и величины S, по очень большому числу периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необходимо перейти к средним.

Учитывая, что для гармонических волн E = Е0 coswT, где Е0 – амплитуда напряженности электрического поля волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии, которую называют обычно Интенсивностью света:

Обычно в эксперименте используют пучки света конечного сечения, по которому плотность потока распределена неравномерно. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение плотности энергии по которому аксиально симметричное и гауссово.

По обычной договоренности об обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен R0. Гауссовы волны могут служить математической моделью излучения оптических квантовых генераторов (лазеров).

Источник: https://www.webpoliteh.ru/1-1-osnovnye-svojstva-elektromagnitnyx-voln/

Эмв и их свойства. уравнение эмв. длина волны, волновой вектор

Известно, что электрические заряды создают в пространстве электрические поля. Если заряды находятся в движении, то эти поля меняются во времени; кроме того, движущиеся заряды создают магнитные поля.

Если движения зарядов являются колебательными, то и создаваемые зарядами поля также колеблются во времени и в пространстве, причем эти возмущения полей распространяются с конечной скоростью (скоростью света), то есть происходит распространение электромагнитных волн.

Колебания зарядов в природе в большинстве случаев являются гармоническими, то есть синусоидальными, или близкими к синусоидальным.

Мы знаем, что синусоидальные колебания возникают, когда смещение чего-либо от положения равновесия пропорционально возвращающей силе; при малых возмущениях эта линейная связь работает почти всегда. Наш электрический мир не является статичным, большинство зарядов в квазинейтральных системах постоянно колеблется вблизи равновесного положения.

        Если есть волна, то значит, что-то её создало. Волны, возникнув, существуют уже независимо от своего источника; даже если он исчезнет, созданная им волна продолжит свой путь в пространстве. Поэтому волновое уравнение описывает только волну, но никак не её источник.

        Также с электромагнитными волнами. Нас будут интересовать сами волны, а не источники, которые их когда-то создали и, может, давно уже исчезли. Напишем основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла для области пространства, занятой волнами, где нет накаких источников — зарядов и токов.

•         Иными словами, уберём из этих уравнений все заряды и токи. Для однородной и изотропной среды, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами (такая среда называется линейной, поскольку выполняется линейная связь между напряженностью и индукцией электрического и магнитного полей соответственно), получим:
• 
•         Путём чисто математических преобразований, без каких-либо дополнительных предположений эти уравнения приводятся к виду:
•    
•    

        А это есть ни что иное, как волновые уравнения для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Коэффициент в правой части уравнений есть обратный квадрат фазовой скорости волны; отсюда сразу находим эту скорость:

        В вакууме e = m = 1, откуда получаем результат, весьма озадачивший современников Максвелла: скорость распространения электромагнитных волн в вакууме есть константа, не зависящая от системы отсчета (уравнения Максвелла, как известно, не инвариантны к преобразованиям Галилея):

Как известно, отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе называется показателем преломления. Из теории Максвелла получаем, что показатель преломления определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями среды:

.

В случае немагнитных сред .

        Общее решение волнового уравнения нам известно. Частный случай этого решения — синусоидальные волны. Особенность электромагнитных волн в том, что решения для E и H дают одну волну с двумя составляющими; кроме того, колеблющиеся величины — векторные.
Найдем решения волнового уравнения. Предположим для простоты, что электрическое поле зависит только от одной координаты, например z, и времени. В этом случае оператор Лапласа сводится к и волновое уравнение принимает вид
. 

Одним из возможных решений этого уравнения является плоская монохроматическая волна:

.

Как известно, величина E0 называется амплитудой, а все выражение, стоящее под знаком косинуса, – фазой волны. Величина  задает начальную фазу.

Распределение поля в монохроматической плоской волне показано на рис. (4.1). Пусть в момент времени t0 точка волны с фазойнаходится на координате z0. В следующий момент t0 + Dt точка с этой фазой сместится на расстояние Dz = v×Dt. Очевидно, что Dz > 0, т. е. волна распространяется в положительном направлении оси Z. Для того, чтобы получить уравнение волны, распространяющейся в отрицательном направлении, достаточно поменять знак в фазе: .

Таким образом, параметр v, более точно называемый не просто скоростью, а фазовой скоростью, определяет скорость перемещения волнового фронта, т. е. поверхности, на которой колебания происходят с одинаковой фазой. В данном случае волновые фронты являются плоскостями, перпендикулярными оси Z: z = const, чем и объясняется название волны – “плоская”.

Поле волны может быть записано и по-другому, например, в виде

. (4.15)

Здесь введено обозначение . Параметр k называется волновым числом. Используя справедливое для волн любых типов соотношение l×n = v, находим, что . 

Учитывая, что по формулам Эйлера , будем использовать также символическую запись поля в комплексном виде:

. 

При этом надо помнить, что реальное физическое поле определяется как вещественная часть выражения

Часто бывает необходимо рассмотреть волну, которая распространяется не вдоль оси Z, а в каком-то произвольном направлении. Пусть это направление задается единичным вектором нормали к волновому фронту n (рис. 4.2). Тогда уравнение поверхности постоянной фазы можно записать в виде , где r – радиус-вектор к некоторой точке волнового фронта. Следовательно, в уравнении плоской волны вместо z следует записать скалярное произведение nr:

, (4.17)

где k = kn – волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направление указывает направление перемещения волнового фронта.

Вторым важным типом волн являются сферические волны, волновые фронты которых представляют собой концентрические сферы. Анализ этих волн удобно вести в сферической системе координат (r, q, j), см. рис. 4.3. Сферические волны представляют собой такие решения волнового уравнения (4.10), которые зависят только от расстояния r и не зависят от угловых координат q и j.

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть записана как

. 

Следовательно, волновое уравнение принимает вид:

. (4.19)

 Его решение можно записать в виде

. (4.20)

Решение (4.20) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника, находящегося в начале координат. Отметим, что, в отличие от плоской волны, амплитуда сферической волны убывает с увеличением ее радиуса.

Испускать сферическую волну может любой источник, размеры которого малы по сравнению с длиной волны.

При этом источник может содержать еще очень большое количество элементарных излучателей – атомов (так называемый физический точечный источник).

 Свойства электромагнитных волн, непосредственно следующих из решения векторных волновых уравнений. Электромагнитные волны — поперечные, то есть вектора E и H

колеблются поперек

поперёк направлению распространения волны.

Векторы Е и H взаимно перпендикулярны, так, что вектора v, E, H

образуют правую тройку

образуют правую тройку векторов.

1. Векторы Е и Н колеблются в одной фазе.
2. Модули векторов Е и Н связаны соотношением:
3.         Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде, как известно из электродинамики, даётся выражением (мы учли здесь также связь между векторами Е и Н в электромагнитной волне):
4.         Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (то, что в теории упругих волн называется вектором Умова) называется вектором Умова-Пойнтинга, или чаще просто вектором Пойнтинга Р:
5. Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны: 
6.         В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:
7. для интенсивности получается:

        Следует обратить внимание, что интенсивность электромагнитной волны зависит от амплитуды (либо электрического, либо магнитного поля; они связаны), но не зависит от частоты волны — в отличие отинтенсивности упругих механических волн.

Источник: http://mini-fizik.blogspot.com/2016/06/blog-post_31.html

Электромагнитные волны

Электромагнитные волны

Представим, что в некоторой точке внутри безграничной непроводящей среды создано каким-либо способом электрическое поле . Если нет зарядов, поддерживающих это поле, то оно будет исчезать. Но убывающее поле , согласно уравнений Максвелла, вызывает возникновение магнитного поля:

Поскольку поле убывает, то плотность тока смещения направлена противоположно и силовые линии магнитного поля направлены по часовой стрелке.

Поскольку нет постоянных токов, поддерживающих , то последнее будет в свою очередь исчезать, и вызовет вихревое электрическое поле:

Силовые линии будут направлены против часовой стрелки. Поле уничтожит первоначальное поле в начальной точке, но зато проявится в соседней точке 1. Исчезая в точке 1, электрическое поле приведет к появлению магнитного поля , которое будет иметь такое же направление, как и поле . Поле уничтожит поле и обнаружится в более удаленной точке. Таким образом, вместо первоначального поля получим электрическое и магнитное поля, взаимно связанные друг с другом и распространяющиеся в пространстве, то есть электромагнитную волну.

• Для вакуума основные уравнения Максвелла принимают вид:
• ; ;
• причем ,

Описываемые этими уравнениями поля не связаны ни с зарядами, ни с токами проводимости и являются самостоятельно существующей реальностью. Это одна из форм существования материи – электромагнитное поле. В дифференциальной форме:

Видно, что векторы напряженностей и индукций поля имеют вихревой характер, то есть линии всех полей замкнуты на себя. Общее решение уравнений затруднительно.

Поэтому рассмотрим одномерный случай: оба поля будут изменяться только вдоль одной оси (например ) и времени (плоское поле). Фронтом волны называют поверхность, во всех точках которой колебания имеют одинаковую фазу.

Рассматриваемая одномерная задача соответствует плоским электромагнитным волнам. Производные и обращаются в ноль. Уравнения Максвелла примут вид:

1. ;
2. ;
3. ;

Из 2-х последних уравнений: , . Эти уравнения описывают не зависящие от времени постоянные поля. Они нас не интересуют. Можно положить .Рассмотрим два уравнения:

• ; ;
• ;
• Следовательно:
• Исключая можно получить:
• Величина – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Тогда:
• Полученные уравнения называют волновыми уравнениями. Простейшим решением рассматриваемых волновых уравнений являются функции:
• , ,
• , ,
• где – частота волны, – волновое число, и – начальные фазы. После подстановки в уравнения:
• получаем:
• =
• Необходимо:
• ; ;
• Перемножив:
• ;
• = 377 Ом – волновое сопротивление вакуума.
• Умножив: , получим уравнение плоской электромагнитной волны в векторном виде:
• , ,
• – длина волны.
• Векторы и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.
• Плоскость, проходящая через электрический вектор и, в данном случае, ось OZ называется плоскостью поляризации линейно поляризованной волны.
• Энергия электромагнитных волн
• Электромагнитные волны переносят определенную энергию. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в вакууме:
• Поскольку , то
• ,
• где – скорость электромагнитных волн в вакууме.
• Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова-Пойнтинга (иногда вектором Пойнтинга):
• Вычислим энергию , переносимую электромагнитной волной через площадку за время :
• – объем параллелепипеда
• Следовательно, энергия, проходящая через площадку S в единицу времени:
• или
• В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OZ, напряженность поля
• .
• Соответственно:
• .
• Значение в каждой точке периодически колеблется. Среднее за период значение пропорционально квадрату амплитуды:
• .
• Излучение электромагнитных волн

Для образования электромагнитных волн необходимо создать в пространстве быстро изменяющееся электрическое поле (ток смещения) и соответственно быстро изменяющееся магнитное поле. Для этого используется открытый колебательный контур.

Свободные электромагнитные волны были впервые получены на опыте Генрихом Герцем в 1888 году. Использовался открытый вибратор, состоящий из двух одинаковых металлических стержней, разделенных искровым промежутком.

При пробойном значении напряжения в пробойнике проскакивает искра, замыкавшая обе половины вибратора, и в нем возникали затухающие электрические колебания высокой частоты. Для обнаружения электромагнитных волн Герц применял вибраторы различной формы: Т – миниатюрная газоразрядная трубка.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Электрический колебательный контур

В цепи, содержащей индуктивность L (катушку) и емкость C (конденсатор), могут возникать электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Поэтому такая цепь называется колебательным контуром.

Колебания в контуре можно вызвать либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Рассмотрим первый способ.

1 2 3 4 5

Пусть отключенный от индуктивности конденсатор присоединен к источнику напряжения. Это приводит к возникновению на обмотках разноименных зарядов +q и – q. Между обкладками возникает электрическое поле, максимальная энергия которого равна . После отключения от источника напряжения конденсатор емкость начнет разряжаться и в контуре потечет Электрический ток.

Энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато будет увеличиваться энергия возникающего магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Максимальное значение этой энергии .

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, то полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной.

Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит и ток достигают наибольшего значения. В дальнейшие моменты времени магнитное поле будет исчезать, поскольку нет токов, его поддерживающих.

Исчезающее поле вызовет ток самоиндукции, который в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен так же, как и последний. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле противоположного, по сравнению с начальным, направления.

Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система переходит в исходное состояние. После чего весь цикл повторяется снова. В ходе процесса периодически изменяются (колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. Воспроизведем сказанное на рисунке, сопоставив рассматриваемому процессу процесс колебания пружинного маятника.

Индуктивность аналогична массе ; величина, обратная емкости аналогична жесткости пружины .

Заряду соответствует изменение координаты центра колеблющегося груза от положения равновесия , а силе тока – проекция скорости центра груза .

Собственные колебания

Гармонические колебания

Электрические колебания, происходящие под действием процессов, развивающихся в самом колебательном контуре, получили название собственных электрических колебаний. Рассмотренные выше колебания являются, очевидно, собственными.

Рассмотрим количественно собственные колебания в контуре. Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. То есть мгновенное значение силы тока i одно и тоже в любом месте контура.

Поэтому мгновенные значения силы переменного тока должны удовлетворять всем законам, установленным для постоянного тока.

1. Согласно закону Ома для участка цепи 1LR2 имеем:
2. ;
3. где – мгновенные значения силы тока в цепи, потенциалы на обкладках конденсатора и алгебраические суммы ЭДС, приложенных на рассматриваемом участке цепи. Но на участке цепи приложена только ЭДС самоиндукции
4. .
5. Поэтому записанное уравнение примет вид:
6. .
7. Если обозначить заряд первой обкладки конденсатора , то сила тока в цепи равна:
8. и
9. Знак минус введен, потому что положительному направлению тока i, принятому при составлении уравнения, выражающему закон Ома, соответствует убывание положительного заряда первой обкладки конденсатора .
10. Напряжение: .
11. После подстановки получим:
12. , или .
13. Если сопротивление R = 0 (что соответствует рассматриваемому контуру), то:
14. ; или , где .
15. Полученное дифференциальное уравнение описывает колебательное движение. Решением этого уравнения является функция:

Следовательно: заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону. Частота называется собственной частотой контура. Для периода колебаний (период связан с частотой соотношением ) получаем: так называемая.

• – формула Томсона.
• Разность потенциалов обкладок конденсатора также изменяется по гармоническому закону:
• , где

Видно, что сила тока отстает от колебаний напряжения на обкладках конденсатора по фазе на . Сопоставление формул для q, U, i показывает, что когда модуль силы тока достигает наибольшего значения, модули заряда и напряжения обращаются в нуль и наоборот. Это соотношение между зарядом и током установлены ранее, основываясь на энергетических соображений. Из формул:

1. ,
2. Следует: ;
3. – волновое сопротивление колебательного контура.

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/elektromagnitnye-volny

Уравнение электромагнитной волны

Известно, что электрические заряды создают в пространстве электрические поля. Если заряды находятся в движении, то эти поля меняются во времени; кроме того, движущиеся заряды создают магнитные поля.

Если движения зарядов являются колебательными, то и создаваемые зарядами поля также колеблются во времени и в пространстве, причем эти возмущения полей распространяются с конечной скоростью (скоростью света), то есть происходит распространение электромагнитных волн.

Колебания зарядов в природе в большинстве случаев являются гармоническими, то есть синусоидальными, или близкими к синусоидальным.

Мы знаем, что синусоидальные колебания возникают, когда смещение чего-либо от положения равновесия пропорционально возвращающей силе; при малых возмущениях эта линейная связь работает почти всегда. Наш электрический мир не является статичным, большинство зарядов в квазинейтральных системах постоянно колеблется вблизи равновесного положения.

Когда мы писали волновое уравнение для упругих сред, мы нигде не использовали для его составления источник волн, молчаливо полагая, если есть волна, то значит, что-то её создало.

Волны, возникнув, существуют уже независимо от своего источника; даже если он исчезнет, созданная им волна продолжит свой путь в пространстве.

Поэтому волновое уравнение описывает только волну, но никак не её источник.

Поступим также с электромагнитными волнами. Нас будут интересовать сами волны, а не источники, которые их когда-то создали и, может, давно уже исчезли. Напишем основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла для области пространства, занятой волнами, где нет накаких источников — зарядов и токов.

Иными словами, уберём из этих уравнений все заряды и токи. Для однородной и изотропной среды, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами (такая среда называется линейной, поскольку выполняется линейная связь между напряженностью и индукцией электрического и магнитного полей соответственно), получим:

Путём чисто математических преобразований, без каких-либо дополнительных предположений эти уравнения приводятся к виду:

А это есть ни что иное, как волновые уравнения для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Мы знаем, что коэффициент в правой части уравнений есть обратный квадрат фазовой скорости волны; отсюда сразу находим эту скорость:

В вакууме e = m = 1, откуда получаем результат, весьма озадачивший современников Максвелла: скорость распространения электромагнитных волн в вакууме есть константа, не зависящая от системы отсчета (уравнения Максвелла, как известно, не инвариантны к преобразованиям Галилея):

Общее решение волнового уравнения нам известно. Частный случай этого решения — синусоидальные волны. Особенность электромагнитных волн в том, что решения для E и H дают одну волну с двумя составляющими; кроме того, колеблющиеся величины — векторные. Далее дадим краткую сводку свойств электромагнитных волн, непосредственно следующих из решения векторных волновых уравнений.

Источник: https://cyberpedia.su/17×17195.html

Электромагнитные волны в природе и технике. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла по своему значению для современной физики сопоставимы с законами Ньютона. Они описывают одно из четырех фундаментальных взаимодействий физического мира — электромагнитное взаимодействие.

Море электромагнитных волн

Что такое электромагнитные волны, и какая нам от них польза? Сначала о пользе.

Если бы ученые не научились «укрощать» разные виды электромагнитных волн, у нас не было бы сотовой связи и микроволновых печей, рентгеновских аппаратов и гамма-телескопов, радио и телевидения.

Всё это работает благодаря разным видам электромагнитных волн, среди которых радиоволны, микроволновое и инфракрасное излучение, рентгеновские и гамма-лучи и т. д.

Виды излучения различаются длиной волны, частотой колебаний и источниками, от которых они исходят. Например, источником радиоволн могут быть как атмосферные явления, так и радиосвязь, созданная человеком. Тепловое излучение исходит от всех живых организмов, ультрафиолетовое — от Солнца, гамма-излучение можно наблюдать в космосе.

Итак, электромагнитные волны — это колебания электрического и магнитного полей, которые распространяются от источника.

Почему же волны называются сложным словом «электромагнитные»? Дело в том, что как только из-за колебания электронов происходят волнообразные изменения в электрическом поле, сразу же вслед за этим появляется магнитная волна. Это единое явление, и разделить эту пару волн невозможно.

«Основная философская ценность физики в том, что она дает мозгу нечто определенное, на что можно положиться.» Джеймс Клерк Максвелл

Магнит и электричество — между ними что-то есть!

Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) — британский физик, один из основоположников классической электродинамики

Четыре уравнения, созданные английским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом, дают точное математическое описание электромагнитных волн и законов их распространения. Уникальность этих уравнений в том, что с их помощью Максвелл предсказал существование электромагнитного излучения в то время, когда физика еще была не в состоянии «увидеть» его.

Максвелл сделал свои открытия не на пустом месте.

Еще в 1820 году датский физик Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что ток, пропускаемый через провод, воздействует на компас, заставляя отклоняться его стрелку.

Чуть позже было сформулировано соотношение между электрическим током и магнитным полем. Теперь ученые могли рассчитать величину магнитного поля, создаваемого электрическим током определенной величины.

Через десять лет после этого физик экспериментатор Майкл Фарадей выявил, что существует обратное влияние магнита на ток: во время опыта, при котором возле проводника перемещали магнит, обнаружилось возникновение в проводнике электрического тока. Тогда у Фарадея впервые появилась догадка о существовании некоего поля, порождаемого электрическими зарядами и силами тока.

Максвелл не только развил теории Фарадея, но и привнес в них множество новых идей. Кроме того, он предсказал существование целого спектра электромагнитных волн, неизвестных науке того времени: радиоволн, микроволн, инфракрасных лучей и т. д. Все они были открыты уже после смерти Максвелла и полностью соответствовали его предсказаниям.

Уверенность ученого в том, что существуют электромагнитные волны, не воспринимаемые человеческим глазом, подтвердилась.

Максвелл сравнивал человека, неспособного воспринимать электромагнитные волны, кроме видимого света, со слушателем симфонического концерта, который, в силу ограничений своего слуха, слышит только скрипку и не подозревает, что на сцене исполняется прекрасная многоголосная музыка. В природе тоже звучит симфония электромагнитных волн, к сожалению, нами не воспринимаемая.

Главный труд Максвелла, в котором изложены основные теории и доказательства, называется «Трактат по электричеству и магнетизму». Работа над ним заняла у ученого целых 19 лет

Поделиться ссылкой

Источник: https://SiteKid.ru/fizika/elektromagnitnye_volny_v_prirode_i_tehnike_uravneniya_maksvella.html

Электромагнитные волны

Основные свойства электромагнитной волны: скорость, поперенность, связь между ? и я

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. Взаимосвязанные колебания (изменения) электрического и магнитного полей, составляющих единое электромагнитное поле, называются электромагнитными колебаниями.

Электромагнитные волны — это электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.

где ?0 и ц0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ? и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Используя уравнения Максвелла, можно показать, что волновые уравнения для векторов Е п Н имеют вид

• — 2 д2 д2 д2
• где V = Д = —у+—т + тт — оператор Лапласа. дх ду dz
• Перечислим основные свойства электромагнитных волн, распространяющихся в изотропной нейтральной непроводящей неферромагнитной среде.

1. Скоростью распространения и электромагнитной волны в среде называется фазовая скорость (скорость распространения фазы колебаний). По закону Максвелла

где с = /^?0|i0 — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Поскольку ?р > 1, то v < с.

Рис. 20.1. Распределение электрического и магнитного полей в распространяющейся волне

• 2. Векторы напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей волны и вектор скорости распространения волны v взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 20.1). Это свойство электромагнитной волны не зависит от выбора координатной системы.
• 3. В распространяющейся электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей происходят в фазе. На рис. 20.1 показано изменение векторов Е и Н в пространстве в фиксированный

момент времени, причем между мгновенными значениями Е и Н (Е и В) в любой точке существует определенная связь, а именно:

Это значит, что Е и И (или В) одновременно в одних и тех же точках достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т.д.

Волновые уравнения (20.2) описывают, в частности, распространение наиболее простых электромагнитных волн строго определенной частоты — плоских гармонических (монохроматических) электромагнитных волн.

Амплитуда колебаний векторов Е и Н плоской гармонической электромагнитной волны в любой точке наблюдения постоянна.

Можно показать, что уравнения плоской гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси декартовой системы координат, имеют вид

где Ет и Нт — амплитуды колебаний электрического и магнитного полей волны; о) = 2лу — круговая (циклическая) частота этих колебаний;

к — (.o/v — волновое число; а — начальная фаза колебаний волны при / = О их = 0. Знак «минус» в скобках уравнений (20.5) и (20.5а) означает, что волна распространяется в положительном направлении оси X. Отметим, что амплитуды электрического и магнитного полей Ет и Нт связаны соотношением (20.4).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в среде за время одного периода колебаний Т, называется длиной волны и определяется как

Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой v колебаний в вакууме выражается так:

Волновые уравнения плоской гармонической электромагнитной волны,

распространяющейся вдоль оси X, записываются как

Источник: https://studref.com/504909/matematika_himiya_fizik/elektromagnitnye_volny

Уравнения максвелла и волновое уравнение для электромагнитной волны в вакууме

Используем формулу Стокса, согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Тогда:

Пусть S — произвольная неизменная во времени поверхность, ограниченная контуром L. Тогда система уравнений (1.2.7) перепишется так:

Поскольку контур интегрирования в полученных интегралах произволен, равенство нулю интегралов возможно только при равенстве нулю подынтегральных выражений. Тогда:

Уравнения (1.3.2) и есть уравнения Максвелла.

Для которых принята комплексная форма записи:

Где — комплексная амплитуда. При комплексной форме записи гармонических полей производная по времени заменяется умножением на .

Тогда уравнения Максвелла (1.3.2) для полей, изменяющихся по гармоническому закону, принимают вид:

Найдем решение уравнений Масквелла для простейшего случая распространения электромагнитной волны в вакууме.

В вакууме , . Поэтому для вакуума уравнения Максвелла (1.3.4) принимают вид:

(1.3.5)

Исключим Из (1.3.5). Для этого применим операцию Rot К обеим частям первого уравнения: . Теперь подставим значение из второго уравнения. В результате получим:

(1.3.6)

Используем известное соотношение векторной алгебры

(1.3.7)

Вспомним, что в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского

(1.3.8)

И учтем, что в вакууме свободных зарядов нет (т. е. ). Подставим (1.3.8) и (1.3.7) в (1.3.6). В результате получаем:

(1.3.9)

Полученное уравнение носит название Волновое уравнение. Аналогичным образом можно получить волновое уравнение относительно вектора магнитного поля .

Наиболее наглядным решением волнового уравнения является сферическая волна, распространяющаяся вокруг точечного излучателя. Чтобы получить решение для сферической волны, нужно представить оператор Лапласа в уравнении (1.3.

С целью упрощения математических процедур мы рассмотрим решение волнового уравнения для плоской волны, являющейся функцией одной координаты.

Рис.1.3.1. показана схема расположения силовых линий сферической электромагнитной волны.

Рисунок иллюстрирует тот факт, что на больших расстояниях от излучателя электромагнитное поле можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления, перпендикулярного плоскости постоянной фазы, причем характеристики волны зависят только от одной координаты вдоль направления распространения. Несмотря на то, что в общем случае волна имеет сферическую симметрию, в ограниченной области, обозначенной квадратом, можно говорить о плоской волне, характеристики которой зависят только от одной координаты.

Примем во внимание, что одномерный оператор Лапласа имеет следующий вид:

(1.3.10)

И получим одномерное волновое уравнение для плоской волны:

(1.3.11)

Рис.1.3.1. Схема силовых линий напряженности электрического и магнитного полей сферической электромагнитной волны.

Любое дифференциальное уравнение приобретает физический смысл, если заданы граничные условия для его решения. Решение уравнения (1.3.11) получается в виде двух волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направлений оси z.

Примем в качестве граничных условий утверждение, что в рассматриваемой среде плоская волна может распространяться только в одном направлении. Итак, мы имеем решение уравнения (1.3.

11) для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси z:

(1.3.12)

Фаза волны:

, (1.3.13)

Где K — волновое число (в общем случае волновой вектор).

Фиксированная ориентация вектора напряженности поля вдоль заданной координатной оси носит название Поляризации волны. Соотношение (1.3.12) задает поляризацию напряженности электрического поля вдоль оси Х.

Рис.1.3.2. Движение плоскости постоянной фазы.

Для плоскости постоянной фазы (φ = const), которая движется вдоль оси z, ее производная по времени равна нулю:

;

В соответствии с (1.1.26) получаем:

Так что

, (1.3.14)

Где — скорость движения поверхности неизменной фазы или Фазовая скорость.

Подставив (1.3.12) в (1.3.11) получим

, (1.3.15)

И, сократив , получим Дисперсионное уравнение для плоской волны в свободном пространстве:

, или (1.3.16)

Разные знаки в выражении для K соответствуют волнам, распространяющимся вдоль оси Z в разных направлениях. В соответствии с (1.3.14):

(1.3.17)

В свободном пространстве , где C — скорость света.

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что скорость света в свободном пространстве определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума:

м/с (1.3.18)

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума – это характеристики пространства, связанные со статическими полями. Первая из них характеризует только диэлектрические свойства среды. А вторая – только магнитные свойства. Результат решения уравнений Масквелла, представленный формулой (1.3.18), связывает воедино электростатику, магнитостатику и динамический процесс распространения света.

• Действительно, диэлектрическую проницаемость можно получить экспериментально путем измерения силы взаимодействия двух известных зарядов Q1 и Q2 расположенных на расстоянии R друг от друга:
• (закон Кулона).
• Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .
• Магнитную проницаемость можно получить, измерив силу взаимодействия двух проводников длиной и с током и соответственно, расположенных на расстоянии R друг от друга:
• (закон Био-Савара-Лапласа)
• Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .
• Следовательно, уравнения Максвелла позволяют выразить скорость света через характеристики, полученные с помощью статических измерений.

Уравнения Максвелла связывают воедино электрическое поле, магнитное поле и электромагнитные волны (свет). Создание концепции электромагнитного поля и формулировка уравнений, его описывающих, послужили одной из важнейших отправных точек физики XX века.

Записи по теме

Источник: https://naparah.com/elektrodinamika/1010191.html