Виды случайных событий, с примерами

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Презентация по математике на тему «Случайные события,их виды,действия над случайными событиями»

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

События, их виды, действия над случайными событиями. Мурашова В.И.

2 слайд Описание слайда:

Определение Теория вероятностей – раздел математики — наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.

3 слайд Описание слайда:

Достоверные Невозможные Противоположные Несовместные Совместные Случайные События.

4 слайд Описание слайда:

Случайное событие. Это событие, которое в результате опыта может либо произойти, либо не произойти. Пример: Опыт – подбрасывание игральной кости. Случайные события: А-выпадение «6» В- выпадение чётного числа очков.

5 слайд Описание слайда:

Назовите случайные события в предложенных опытах. 1.Опыт — бросание монеты 2. Опыт — бросание трех монет 3. Опыт- передача группы из n сигналов 4. Опыт — выстрел по мишени 5. Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды

6 слайд Описание слайда:

Примеры случайных событий. 1. Опыт — бросание монеты; событие A — появление герба. 2. Опыт — бросание трех монет; событие B — появление трех гербов. 3.

Опыт передача группы из n сигналов; событие C — искажение хотя бы одного из них. 4. Опыт — выстрел по мишени; событие D — попадание. 5. Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е — появление туза. 6.

Тот же опыт, что в примере 5; событие F — появление карты червонной масти.

7 слайд Описание слайда:

Достоверные и невозможные события. Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно произойдёт. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно заведомо не произойдёт.

Примеры невозможных событий -выпадение7 очков при подбрасывании одного игрального кубика -вынимание из урны с красными шарами шара белого цвета.

8 слайд Описание слайда:

Противоположное событие.

9 слайд Описание слайда:

Задание. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события. а) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня; б) явка на выборы была от 40% до 47%; в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два; г) на контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

10 слайд Описание слайда:

Задание. Назовите событие, для которого противоположным является данное событие: а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки; б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели; в) в нашем классе все умные и красивые; г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

11 слайд Описание слайда:

Полная группа событий. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) Появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени.

12 слайд Описание слайда:

Несовместные и совместные события.

Два события называются несовместными, если появление одного из них ,в результате опыта , исключает появление другого.

В противном случае ( когда появление одного события в результате опыта не исключает появления другого), события называются совместными.

Иначе: несколько событий в данном опыте называются несовместимыми если никакие два из них не могут появиться вместе.

13 слайд Описание слайда:

Несовместные и совместные события.

Опыт: Однократное подбрасывание игральной кости. События « На верхней грани оказалось 6 очков» и «На верхней грани оказалось чётное число очков» 2.Опыт: Вынимание из колоды карты. События « Вынутая карта- дама» и « Вынута карта масти пик».

14 слайд Описание слайда:

Задание: Совместны ли следующие события? а) А – «У квадратного уравнения, составленного случайным образом, есть действительные корни; В – «Дискриминант квадратного уравнения отрицателен» б) А – «У квадратного уравнения, составленного случайным образом нет действительных корней; В – «Дискриминант квадратного уравнения отрицательный».

15 слайд Описание слайда:

Задание Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события: а) вынута карта красной масти и вынут валет; б) вынут король и вынут туз.

16 слайд Описание слайда:

Задание: Укажите, какие из описанных пар событий являются совместными, а какие несовместными. Из набора домино вынута одна костяшка, на ней: а) одно число очков больше 3, другое число 5; б) одно число не меньше 6, другое число не больше 6; в) одно число 2, сумма обоих чисел равно 9; г) оба числа больше 3, сумма чисел равна 7

17 слайд Описание слайда:

Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным, чем другое.

Заметим, что равновозможные события не могут проявляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможными.

Примеры равновозможных событий: 1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симметричной, «правильной монеты»; 2) Появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» или «пиковой» масти при вынимании карты из колоды.

18 слайд Описание слайда:

Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе.

Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что может наступить А или В, тогда + заменяется словом «или».

19 слайд Описание слайда:

Примеры 1.В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможные события: А – «вынут красный шар», В – «вынут белый шар», С – « вынут черный шар».

Тогда А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», В+С – «вынут не красный шар». 2. Событие А — идет дождь, а событие В — идет снег, тогда (А + В) — либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; 3.

Событие А — пошли на дискотеку, событие В — пошли в библиотеку, событие А + В — пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку.

20 слайд Описание слайда:

Изображение суммы событий на диаграмме Эйлера-Венна. Сумма двух несовместных событий Сумма трёх совместных событий А В А С В

21 слайд Описание слайда:

Произведение событий. Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящие в одновременном появлении всех этих событий в результате испытания . Обозначается А*В

22 слайд Описание слайда:

Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда АВС – «выпало 4 очка». Пример3. пусть А — из урны вынут белый шар, В — из урны вынут белый шар, то АВ — из урны вынуты два белых шара; Пример 4.

А — идет дождь, В — идет снег, то АВ — дождь со снегом; Пример 5. А — число четное, В — число кратное 3, то АВ — число кратное 6.

23 слайд Описание слайда:

На диаграмме Эйлера-Венна пересечение (произведение) изображают так:   А В А*В

24 слайд Описание слайда:

Домашнее задание. 1.Подготовить теоретический материал по теме занятия.п.15.5.стр.456.А.А.Дадаян. Математика. 2.Подобрать примеры по каждому из видов событий.

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-na-temu-sluchaynie-sobitiyaih-vidideystviya-nad-sluchaynimi-sobitiyami-2360975.html

Случайные события и их вероятности. Свойства вероятностей. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки «Страхование», Теория вероятностей

Событие – это то, что наступает или не наступает в результате эксперимента.

Предположим, что мы проведём некоторый эксперимент, например мы бросили 2 кубика. В результате этого эксперимента может наступить некоторое событие: сумма очков кубиков равна 7. А можем получить и результат, когда сумма не будет равна 7.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Например, при бросании кубика мы получим меньше 10 очков. Это событие достоверное.

Событие называется невозможным, если оно точно не произойдет в условиях данного опыта.

Например, при бросании двух кубиков мы получим в сумме больше 20 очков. Это событие невозможное.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

Например, при бросании кубика выпадет 5 очков. Это событие может произойти, а может и не произойти, если выпадет другое число очков.

• Пусть у нас есть эксперимент, а у него есть  несовместимых равновероятных исходов, из которых  – число благоприятных исходов.
• Для достоверного события вероятность наступления равна 1.
• Для невозможного события вероятность наступления равна 0.
• Пример 1
• Какова вероятность того, что из колоды карт (36 карт в колоде) мы достанем даму?
• Всего 36 карт,
• Количество дам в колоде – 4,

Пример 2

В классе из 30 человек 12 девочек и 18 мальчиков. Необходимо выбрать одного дежурного. Какова вероятность, что дежурным будет девочка?

Общее число исходов – 30,

Благоприятных исходов – 12,

Эксперименты называют независиммыми, когда исход одного эксперимента не зависит от исхода другого.

Предположим, что у нас произошли 2 независимых эксперимента. Рассмотрим, какова вероятность того, что произойдут одновременно 2 события.

1. Предположим, что у первого эксперимента  исходов и из них  благоприятных, у второго эксперимента  исходов и из них  благоприятных.
2.  – вероятность первого события
3.  – вероятность второго события

Рассмотрим два эксперимента как один большой эксперимент. По правилу произведения получим  всех исходов и  благоприятных исходов.

• Вероятность того, что наступят сразу два события, равна произведению вероятностей каждого из них.
• Пример 3
• Подсчитайте вероятность того, что при двух подбросах монеты выпадет два орла.

Пример 4

Вероятность того, что ученик получит двойку по математике, равна 0,2. Какова вероятность того, что он получит положительную отметку?

Пример 5

Какова вероятность того, что сумма двух бросков кубиков будет не больше 11?

Найдём вероятность противоположного события (что сумма будет больше 11). Чтобы сумма на двух кубиках была больше одиннадцати, нам необходимо, чтобы выпало 6+6 число очков, это возможно только в одном случае.

Ответ:

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение. 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Найти вероятность того, что из ящика с 5 карандашами и 7 ручками вы наугад вытянете ручку.
2. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/elementy-matematicheskoy-statistiki-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnosti/sluchaynye-sobytiya-i-ih-veroyatnosti

Виды случайных событий, с примерами

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Случайные события бывают: составные и простые, совместные и несовместные, зависимыми и независимыми, противоположными.

Составные и простые случайные события

Например. Во время подбрасывания двух кубиков выпало 11 очков. Это составное событие потому, что оно состоит с разных возможностей для двух простых событий: 1) на первом кубике выпадет 5, а на втором 6; 2) на первом кубике выпадет 6, а на втором 5.

Совместные и несовместные случайные события

Например. На трех станках изготавливают одинаковые детали. Обозначим события: A — бракованная деталь изготовлена на первом станке, B — бракованная деталь изготовлена на втором станке, C — бракованная деталь изготовлена на третьем станке. События A, B и C — совместные события.

Попарно несовместными событиями в данном испытании называют такие случайные события, которые не могут происходить одновременно.

Примеры решения задач

Противоположным событием для некоторого события A называется такое событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Пример. В коробке лежит 15 шаров: 10 белых и 5 красных. С коробки наугад достают один шар и не возвращают его.

Если вытянут белый шар (событие A), то вероятность вытянуть белый шар при втором испытании (событие B) равна . Если первый раз был вытянут красный шар, то вероятность .

Таким образом, вероятность события B зависит от того, произошло событие A или нет. События A и B — зависимы.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/teoriya-veroyatnostej/vidy-sluchajnyx-sobytij/

Теория вероятности. Часть 2

Продолжение статьи «Теория вероятности. Классическое определение».

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Итак, теория.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 

• Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
• Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5,  – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Источник: https://egemaximum.ru/teoriya-veroyatnosti-chast-2/

Понятие события, операции над событиями

Понятие события

Событие является первоначальным понятием в Т.В. Под событием понимается результат некоторого эксперимента. Т.В. интересуется только тем, произошло событие или нет.

События можно разделить на три класса.

1. Достоверное событие — всегда происходит в эксперименте — $Omega $.
2. Невозможное событие — $emptyset $- никогда не происходит.
3. Случайное событие — в одних и тех же условиях может происходить, а может не происходить, обозначается: $A=left{ { расшифровка }
   ight} $

• Например: эксперимент: подбрасываем монеты, результат эксперимента — случайное событие
• $A=$ { монета упала гербом } ,
• $B=$ { монета упала решкой } ,
• $C=$ { монета упала ребром } .

В Т.В. событие и эксперимент не разделяют.

Опр Совокупность всех событий для данного эксперимента называется пространством элементарных событий. { Оно может быть конечным или бесконечным } .

Операции над событиями

1. Опр Произведением событий $A$ и $B$ называется событие С которое происходит тогда когда происходит и $A$ и $B$, обозначается: $C=Acap B$.
2. Опр Произведением группы из n — событий — $A_1 ,,,A_2 ldots A_n $ есть событие $A$, обозначается $A=A_1 cap A_2 cap A_3 ldots A_n $.
3. Опр Суммой событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$, обозначается $C=Acup B$.
4. Опр Суммой группы событий $A_1 ldots A_n $ называется событие $C=A_1 cup A_2 cup ldots cup A_n $.
5. Опр Разностью событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит тогда когда $A$ происходит, а $B$ не происходит: $C=A / { vphantom { A B } } B$.
6. Опр Событие $overline A $ называется противоположным событию $A$, если оно происходит тогда, когда $A$ не происходит.
7. Опр Говорят, что событие $A$ влечет событие $B$, если при наступлении события $A$ обязательно происходит событие $B$, обозначается: $Asubset B$.

Опр События $A$ и $B$ называются равносильными или тождественными, если $Asubset B$ и $Bsubset A$ т.е. при наступлении одного, второе обязательно происходит.

• Опр События $A$ и $B$ называются несовместными, если они одновременно происходить не могут $Acap B=emptyset $.
• Опр Группа событий называется полной, если хотя бы одно из событий происходит обязательно $A_1 cup A_2 cup A_3 cup ldots cup A_n =Omega $
• Опр Полная группа событий называется полной группой попарно-несовместных событий, если любые два события этой группы одновременно произойти не могут.

Геометрическая интерпретация операций над событиями

Пусть событие $A$ — { выбрали случайные точки, они попали в круг } , $B$ — { точки попали в квадрат }

Свойства операций над событиями

1. $Acap A=A$
2. $Acap overline A =emptyset $
3. $Acap Omega =A$
4. $Acap emptyset =emptyset $
5. $Acap B=Bcap A$
6. $Acap ( { Bcap C } )=( { Acap B } )cap C$
7. $Acup A=A$
8. $Acup overline A =Omega $
9. $Acup Omega =Omega $
10. $Acup emptyset =A$
11. $Acup B=Bcup A$
12. $Acup ( { Bcup C } )=( { Acup B } )cup C$
13. $Acap ( { Bcup C } )=( { Acap B } )cup ( { Acap C } )$
14. $Acup ( { Bcap C } )=( { Acup B } )cap ( { Acup C } )$

Формулы Де Моргана.

1. $overline { Acup B } =overline A cap overline B $
2. $overline { Acap B } =overline A cup overline B $

Далее:

Класс Te . Теорема о замкнутости Te

Соленоидальное векторное поле

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Частные случаи векторных полей

Дифференциальные характеристики векторного поля

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Свойства тройного интеграла

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Поток векторного поля через поверхность

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Нахождение потенциала

Огравление $Rightarrow $

Источник: https://3dstroyproekt.ru/teorija-verojatnosti/ponjatie-sobytija-operacii-nad-sobytijami

События, виды событий —

Теория

Опыт, эксперимент, наблюдение явления или некоторого процесса называется испытанием.

Примеры испытаний: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесённой на каждую из шести граней цифры от одного до шести), реализация некоторого физического, механического или технологического процесса и т.д.

При бросании монеты исходами (событиями) являются выпадение герба или выпадение цифры, а при бросании игральной кости — выпадение какой либо цифры на верхней грани кости. Испытания сопровождаются их исходами (событиями).

Событие — это качественный и (или) количественный результат испытания (исход), осуществляемого при определённой совокупности условий. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Различают следующие типы событий: случайные события, совместные или несовместные события, достоверные или невозможные события, зависимые или независимые события, равновозможные события, элементарные (простые, неразложимые) события, событие или совокупность событий (исходов), благоприятствующих какому-либо другому событию.

Случайное событие – это результат испытания (или величина), который нельзя заранее спрогнозировать, т.е. нельзя сказать, произойдёт это событие или не произойдёт, или, если событие произойдёт, то неизвестно, какое значение примет результат этого события.

Случайные события – первичные, неопределяемые (в строгом смысле) понятия в теории вероятностей, аналогичные понятиям точки и прямой – в геометрии.

Например, пусть игральная кость с пронумерованными гранями от 1 до 6 подбрасывается два раза. В этом опыте можно рассматривать следующие события: событие А – оба раза выпадет число 1; событие В – хотя бы один раз выпадет число 3; событие С – сумма выпавших чисел равна 8 и т.д.

Событие, которое обязательно наступит (никогда не произойдёт) в данном опыте, называется достоверным (невозможным).

Достоверное событие обозначают символом Ω, а невозможное – Æ.

Два случайных события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. (Таким образом, несовместные события не могут наступать одновременно). В противном случае, т.е.

если наступление одного события не исключает наступление другого события в одном и том же испытании, то эти события называются совместными.

Например, если событие А – появление числа 2 при одном бросании кости, а событие В – появление чётного числа в этом же бросании, то события А иВ совместные, а событие С – появление числа 2 при одном бросании кости и событие D – появление числа 3 в этом бросании – события несовместные.

• События А1, А2, … , Аn называются попарно несовместными, если любые два из них являются несовместными.
• События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным по сравнению с другими событиями.
• События называются независимыми (зависимыми), если числовая характеристика возможности наступления одного события не зависит (зависит) от числовых характеристик наступления других событий (указанные числовые характеристики некоторых событий А, В, С, … называются вероятностями этих событий).

Определение. Совокупность попарно несовместных событий образуют полную группу событий для данного испытания, если в результате каждого испытания происходит одно и только одно из них.

Примеры полных групп событий: а) выпадение герба {Г} и выпадение цифры {Ц} при одном бросании монеты; б) попадание в цель и промах при одном выстреле по мишени; в) выпадение цифр «1», «2», «3», «4», «5», «6» при одном бросании кости.

Определение. События ω1, ω2, … , ωn, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Элементарными событиями являются выпадение цифр «1», … ,«6» при бросании кости. Эти события несовместны, равновозможны и образуют полную группу (предполагается, что кость является однородной и центрированной).

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω. Например, в результате бросания кости выпадение цифры i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 образует пространство Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Элементарные события, составляющие пространство Ω, обозначаются ω1, ω2, …, ω6.

Замечание. Кроме случайных событий в теории вероятностей вводятся в рассмотрение случайные величины. Случайная величина – это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможных значений. Случайные величины в данном пособии рассматриваются более подробно в главе 3.

Источник: https://einsteins.ru/subjects/terver/theory-terver/sobytiya-vidy-sobytij

События. Виды случайных событий

События. Виды случайных событий.

Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.

д.

Случайным событием А называют произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω, состоящее из точек , представляющих те элементарные события ω, при которых происходит А.

Если событие А не содержит ни одного элементарного события, оно называется невозможным и обозначается Ø; Ø – естественно является пустым подмножеством Ω.

Событие, противоположное невозможному событию Ø, называется достоверным событием; оно обозначается Ω и происходит всякий раз (при определенных условиях).

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе, т.е.

Ø. События образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит; события равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

Пространство элементарных событий.

Пусть в эксперименте со случайным исходом указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие следующему требованию: в результате эксперимента непременно происходит один и только один из этих исходов. Каждый такой исход называется элементарным событием и обозначается буквой ω.

Пространство элементарных событий Ω в зависимости от числа элементарных событий в нем может быть конечным или бесконечным; в последнем случае – счетным или несчетным.

Операции над событиями. Алгебра событий.

Суммой событий А и В называется событие С, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий А или В; обозначают сумму или А+В (для несовместных случайных событий).Разностью событий АВ называется случайное событие, которое происходит, если происходит событие А и не происходит В. Событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходят события А и В, называется произведением и обозначается АВ или .

• Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:
• а)для любой пары событий А, имеет место включение ;
• б)для любого события имеет место включение .
• Отсюда, а также из принципа двойственности, следует, что и .
• Класс F случайных событий, удовлетворяющих условиям 1 и 2, называется алгеброй событий.
• Классическое определение вероятности.
• Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
• Р (A) = m / n,

С в -в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в — в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в — в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

1. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1
2. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 0) – некоторые константы.
3. 3. Случайная величина с показательным законом распределения
4. Случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:
5. f = где – параметр показательного распределения.
6. Простейший поток событий.

Пусть некоторое случайное событие А (называемое в дальнейшем “успехом”) может происходить случайным образом в течение времени t. Свяжем с этим потоком событий случайную величину X(t), являющуюся числом наступления “успехов” в течение времени t. Пусть этот поток событий обладает следующими свойствами.

1. Отсутствие последействия. Для любых непересекающихся интервалов времени длиной t1, t2, …, tk случайные величины X(t1), X(t2), …,X(tk) являются независимыми.

2. Стационарность. Случайная величина X(t) зависит лишь от величины t интервала и не зависит от его начала, поэтому интервал может быть взят с началом в точке t = 0.

3. Ординарность. Для любых малых промежутков времени Δt имеет место равенство

1. P(X(Δt) = 1) = λΔt + o(Δt), λ>0,
2. где λ – интенсивность потока случайных событий.
3. Свойство ординарности означает, что для малых промежутков времени Δt “успех” может наступить лишь один раз (или не наступить вообще), а вероятность наступления “успеха” большее число раз является бесконечно малой величиной большего порядка чем Δt.
4. Поток случайных событий, обладающий свойствами отсутствия последействия, стационарности и ординарности, называется пуассоновским (простейшим) потоком случайных событий.
5. Примеры наиболее важных систем двух случайных величин.
6. 1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y)
7. Система двух случайных величин (X, Y) называется равномерно распределенной в области D, если совместная плотность f(x,y) случайных величин X и Y имеет вид .

Постоянная С может быть определена: , откуда . Здесь S(D) – площадь области D. Поэтому .

2. Нормальное распределение вектора (X, Y.)

Случайный вектор (X, Y) называется распределенным по нормальному закону (закону Гаусса), если

.

Это распределение имеет пять параметров: . Можно показать, что , , r – коэффициент корреляции, выражающий связь между компонентами X и Y случайного вектора (X, Y).

Неравенства Чебышева.

Пусть в неравенстве (1) вместо случайной величины X взято . Тогда по лемме Чебышева имеем , т.е. .

Неравенство называется 1-м неравенством Чебышева, оно дает оценку сверху вероятности того, что случайное событие отличается от по модулю не меньше чем на . Так как события и взаимно противоположны, то

, тогда .

Неравенство называется 2-м неравенством Чебышева. Оно дает оценку снизу вероятности того, что случайная величина отличается от своего математического ожидания по модулю меньше чем на любое положительное число .

Теорема Бернулли.

Теорема Я.Бернулли является исторически первой формой закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой некоторого события (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли и его вероятностью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство было дано П.Л.Чебышевым как прямое следствие его теоремы.

Теорема Бернулли. Пусть имеем схему независимых испытаний Бернулли и р-вероятность успеха в каждом испытании. Тогда частота успехов в испытаниях стремится по вероятности к р при , т.е. при .

Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием практического определения вероятностей с помощью относительной частоты .

Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для любого ε>0 и для фиксированного достаточно большого очень правдоподобно, что частота будет отклоняться от вероятности по модулю меньше, чем на .

Отсюда, однако, не следует, что останется малой для всех достаточно больших п. Теорема Бернулли гарантирует лишь, что эти отклонения могут появляться весьма редко.

События. Виды случайных событий.

Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.

д.

Случайным событием А называют произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω, состоящее из точек , представляющих те элементарные события ω, при которых происходит А.

Из и следует А=В. Событие называют событием, противоположным событию А; оно происходит, если не происходит А.

Если событие А не содержит ни одного элементарного события, оно называется невозможным и обозначается Ø; Ø – естественно является пустым подмножеством Ω.

Событие, противоположное невозможному событию Ø, называется достоверным событием; оно обозначается Ω и происходит всякий раз (при определенных условиях).

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе, т.е.

Ø. События образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит; события равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/7x3e0c.html