Геометрические вероятности, формулы и примеры

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №37. Геометрическая вероятность.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Геометрическая вероятность
• Задачи на геометрическую вероятность

• Глоссарий по теме
• Испытанием называется осуществление определенных действий.
• Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
• Любой результат испытания называется исходом.
• Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
• Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
• Геометрической вероятностью некоторого события называется отношение P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов
• Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250

Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9. сс.253-259.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна P(A) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.

Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу P(A) = s(d)/S(D).

Рисунок 1 — иллюстрация геометрической вероятностей

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l равна P(A) = |l|/|L|.

Пусть пространственная фигура d составляет часть фигуры D. В фигуру D наудачу ставится точка. Вероятность попадания точки в фигуру d равна P(A) = V(d)/V(D).

Пример использования геометрического определения вероятности при решении задачи.

Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти

1. наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
2. Решение:
3. х — момент прихода первого друга
4. y — момент прихода второго друга
5. 0≤х≤60, 0≤у≤60
6. ⎮х-у⎮≤20.
7. Сделаем рисунок

• S=602–2·1/2·402=2000
• P(A) = 2000/602 = 5/9.
• Ответ: вероятность встречи 5/9.
• Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Метровый шнур случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение:

Общему числу исходов соответствует длина шнура 1 м. Чтобы длина обрезка составила не менее 0,8 м, можно отрезать не более 0,2 м. Такие отрезы можно выполнить с любой стороны шнура, их суммарная длина равна 0,2+0,2=0,4 м. По геометрическому определению:

P(A)=l/L=0,4/1=0,4

Ответ: 0,4

Пример 2. В шар брошена случайная точка.

1. 2а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?
2. Решение:
3. Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0
4. Ответ: 0
5. 2б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?
6. Решение:

Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.

• Ответ: 1.
• 2в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?
• Решение:

При решении этой задачи используем отношение объемов фигур. Пусть весь объём шара равен V. Все точки шара — трёхмерная фигура Ω. Искомая вероятность равна отношению объёма полушария V(A) к объёму шара V:

Ответ: 0,5

Пример 3. В круг радиуса см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых.

Решение:

1. Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен . Площадь такого треугольника будет равна (можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника
2. Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:
3. 
4. Ответ: 1/3

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6121/conspect/

Высшая математика и экономика

Геометрической вероятностью, характеризующей вероятность появления случайной точки внутри некоторой области, называется отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка ,
где Рd — вероятность попадания случайной точки в область Sd;

S — общая область, где может появляться случайная точка.

Задача1

В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга.

Решение:

Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности.

Мерой пространства элементарных событий  является площадь квадрата. Площадь круга — мера события А. . Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле

Задача2

На окружности радиуса R наудачу проводится хорда, параллельная данному направлению. Какова вероятность того, что длина хорды не превысит R?

Решение:

Пусть длина хорды AB, параллельной заданной прямой a, равна l. Вероятность события F – «Длина хорды l £ R», согласно определению геометрической вероятности, равна P(F) = ,
где m(W) – мера полного пространства (множества) всех возможных равновероятных исходов;  m(F) – мера пространства всех возможных исходов, благоприятствующих событию F.

Поскольку имеется выделенное направление на плоскости, заданное прямой a, задачу удобно решать координатным методом.

Начало системы координат выберем в центре окружности O, ось Oy направим параллельно, а ось Ox – перпендикулярно прямой a. Пусть хорда AB, параллельная оси Oy, пересекает ось Ox в точке С (x; 0).

Координату x точки C выберем в качестве непрерывной линейной случайной величины (н.с.в.).

Очевидно, н.с.в. x лежит в диапазоне –R ≤ x ≤ R и с равной вероятностью может принять любое значение из этого промежутка. Т.о.

, вероятностное пространство всех возможных исходов W представляет собой отрезок W = [–R; R], его мера m(W) = R – (–R) = 2R. Множество значений с.в.

x, благоприятствующих событию F, найдем из геометрических соображений. Видно, что по теореме Пифагора длина хорды l = 2. По условию,

• 2 ≤ R,
• x^2 ≥ R^2,
• |x| ≥ R.

откуда или Т.о., событию F благоприятствует множество возможных значений x ∈ ∪. Мера этого множества равна m(F) = 2R = R (2 – ).

Искомая вероятность события F равна: P(F) =  = 1 –  ≈ 0,134. Ответ: P(F) = 1 –  ≈ 0,134.

Источник: http://www.matem96.ru/primer/primer_terver10.shtml

План-конспект урока по математике. Тема: «Геометрическая вероятность»

«Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в основной школе» (36 часов) вариативный модуль.

Итоговая работа выполнена Ковалевой Галиной Александровной, учителем математики МОУ «СОШ №14 с УИОП», г. Сергиев Посад, гр. 199

• ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
• Тема урока: «Геометрическая вероятность»
• Цель урока:ввести определение геометрической вероятности
• Задачи: рассмотреть определение геометрической вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости, при выборе точки из отрезка, из дуги окружности, при выборе точки из числового отрезка; добиться качественного понимания этого определения; научиться применять его при решении задач.
• Тип урока: лекционно-семинарский
• Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная
• Ход урока:

1. Организационный момент формулирование темы урока

1. Постановка задачи (этап – “интрига”)

Учитель просит учеников дать классическое определение вероятности и предлагает задачу.

Задача о монете.

На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет

а) две линии б) три линии?

Ученики должны рассмотреть все возможные элементарные события в этом опыте и убедиться, что монета пересекает 2 или 3 линии. Важно подвести учеников к мысли, что исходы опыта можно связать с расстоянием от центра монеты до ближайшей линейки.

Результатом работы с этой моделью должно быть, что количество возможных исходов (элементарных событий) в этом опыте бесконечно много! Это числа из отрезка [0; 4]. Благоприятствующих элементарных событий, соответствующих а) и б) тоже бесконечно много…

КАК ПОСЧИТАТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ?

1. Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости

Ученикам предлагается рассмотреть следующую задачу (фронтальная работа с обсуждением, причем учителю следует вводить определение после попыток учеников самостоятельно ответить на вопрос задачи).

Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G, которая содержится в фигуре F?

Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F, то есть

1. A={точка попадет в область G}
2. Такое определение вероятности называется геометрическим.
3. Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому P (A)≤1.
4. Имеет смысл после введения определения поработать над качественным пониманием его, предложив следующий пример:
5. Выберем на географической карте мира случайную точку (зажмурили глаза и показали указкой).
6. — Какова вероятность что эта точка окажется в России? (Для ответа на вопрос нужно знать какую часть всей карты занимает Россия)
7. — Какова вероятность попасть в Гринвичский меридиан (Как ни странно, придется положить ее равной 0, так как площадь меридиана равна 0 – попасть указкой точно в меридиан невозможно)
8. 4. Решение задач

• Решение этой задачи провести при фронтальном обсуждении его. У доски может работать ученик или учитель (зависит от подготовленности аудитории)
• Решение
• SF=1 (площадь исходного квадрата)
• Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G.
• SG= SF– SABCD= 1 — =
• Если A = {расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем }, то
• P(A) = : 1 =
• Ответ:
• Ученикам предлагается самостоятельно по вариантам решить следующие задачи:
• I Вариант

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

II Вариант

В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

1. После решения эти задачи необходимо проверить и обсудить решения (слайд презентации, или подготовленная запись решения на откидной доске)
2. Решения
3. I Вариант
4. Пусть сторона квадрата равна a, тогда r = a
5. Sкв = a2 ;
6. Sкр = πr2 = πa2
7. SA– площадь заштрихованной области квадрата
8. SA = Sкв — Sкр = a2 — πa2 = a2
9. P (A) = = Ответ:
10. II Вариант
11. Пусть радиус круга равен a.
12. Тогда Sкр = πa2
13. AB = a
14. Sкв = 2a2 A = {точка принадлежит квадрату}, тогда
15. P (A) = =
16. Ответ:
17. Если темп урока позволяет, имеет смысл задать дополнительные вопросы по этим задачам (вероятности попадания в другие, указанные учителем, области)

1. Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка

5.1 Случайный выбор точки X из отрезка MN можно понимать так, будто точку X случайным образом «бросают» на отрезок MN. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка. Рассмотрим пример:

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие A, состоящее в том, что выбранная точка X принадлежит отрезку CD.

Аналогично определению геометрической вероятности данному выше имеем

P (A) =

Учителю стоит обратить внимание учеников на аналогию рассматриваемого примера с приведенным выше. Отличие состоит только в мерности объектов.

И опять следует подчеркнуть, что P (A) – число неотрицательное и не превосходящее 1, как и полагается для вероятности случайного события. Далее предлагается пример для фронтальной работы с ним. Пример предлагается ученикам как задача.

Цель работы с ним – качественное понимание данного определения. Не стоит давать рисунок вместе с текстом, так как в нем содержится подсказка.

Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M.

Решение

Пусть O – середина отрезка MN. Обозначим указанное событие через A. Это событие наступит только тогда, когда точка X лежит внутри отрезка ON. То есть P (A) = =

1. 1. Ничего не меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку X на окружности.

Пример: в окружность вписан квадрат ABCD. На окружности случайным образом выбирается точка M. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на:

а) меньшей дуге AB

б) большей дуге AB

Учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу. Проверка с помощью слайда или рисунка, заранее подготовленного на откидной доске.

• Решение
• A – указанное событие
• а) P (A) =
• б) P (A) =

5.3 Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число x, удовлетворяющее условию

m ≤ x ≤ n. Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка [m; n] на числовой прямой выбирается точка с координатой x.

1. Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой x выбирается из отрезка
2. [a; b], содержащегося в отрезке [m; n].

Это событие обозначим (a ≤ x ≤ b). Его вероятность равна отношению длин отрезков [a; b] и [m; n].

• P (a ≤ x ≤ b) =
• Пример:
• Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку []
• Решение: P ( ≤ x ≤ ) = =
• Учитель подводит итог на этом этапе урока, задавая ученикам следующие вопросы:
• — с какой вероятностью познакомились на этом уроке?
• — для каких случаев была рассмотрена эта вероятность?
• Учитель еще раз обращает внимание учеников на аналогичность определения геометрической вероятности во всех случаях и возвращает к началу урока, к задаче о монете, предлагая ученикам теперь ее решить.

Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x, то множество всех исходов соответствует 0 ≤ x 4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.

1. Событие A = {монета пересекла две линии} соответствует 2 < x ≤ 4;
2. Событие B = {монета пересекла три линии} соответствует 0 ≤ x ≤ 2.
3. По формуле геометрической вероятности получим
4. P (A) = =
5. P (B) = = .
6. Ответ:
7. Вероятности событий A и B получились одинаковыми. Стоит ученикам задать вопросы:
8. — можно ли это было предполагать с самого начала (нет)
9. — от чего эти результаты зависели (расстояние между линейками, размерами монеты).
10. Если темп работы аудитории позволяет, то хорошо бы успеть рассмотреть последним заданием урока задачу о встрече, как классический пример задачи, решение которой наглядно демонстрирует необходимость владения геометрическим определением вероятности.

Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?

• Решение
• Обозначим время прихода Ильи через X, а Жени — через Y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 17 часов). Тогдо точка с координатами (x, y) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy, изображенном на рисунке:

Каждая точка этого квадрата – это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие |x-y|

Источник: https://infourok.ru/plankonspekt-uroka-po-matematike-tema-geometricheskaya-veroyatnost-450302.html

Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайное событие — это событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, выпадение двух гербов или герба и решки при бросании двух монет — это случайные события.

Сначала введем некоторые определения, касающиеся случайных событий: достоверные, невозможные, несовместные события.

Достоверное событие — то, которое в результате испытания обязательно происходит. Например, «выпадет или орел, или решка при бросании одной монеты». Невозможное событие то, которое в результате испытания произойти не может.

Например, «вытащен красный шар из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шара». Несовместные случайные события — такие, что никакие два из них не могут появиться вместе в данном испытании.

Случайные события образуют полную группу событий, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Таким образом, эти события покрывают все возможные исходы испытания.

Перейдем к определению классической вероятности. Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Пример. В мешке находится 10 пронумерованных бочонков (на каждом бочонке поставлено по одной цифре от 1 до 10). Бочонки с цифрами 1, 2, 3 и 4 — красные, остальные – черные.

Появление бочонка с цифрой 1 (или цифрой 2, или цифрой 3, или цифрой 4) есть событие, благоприятствующее появлению красного бочонка.

Появление бочонка с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8, 9, 10) есть событие, благоприятствующее появлению черного бочонка.

Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу исходов: . Это классическое определение вероятности.

Перечислим свойства вероятности: 1. Вероятность достоверного события равна единице 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Приведем несколько решений примеров на классическое определение вероятности.

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 2?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого бочонка не превосходит 2). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу бочонков с номерами не более 2 (то есть 1 и 2), поэтому m=2. Общее число исходов n=10. Следовательно, .

Пример. На входной двери имеется замок c 10 цифрами на кнопках. Для того, чтобы открыть замок, необходимо нажать три кнопки так, чтобы цифры на них составили определенное число. Найти вероятность того, что замок откроют с первой попытки.

Решение. Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов. — число различных кодовых комбинаций (первая цифра любая от 0 до 9, вторая цифра любая от 0 до 9 и третья цифра любая от 0 до 9). — только одна комбинация (число) верная. Тогда вероятность открыть замок равна: .

Не всегда бывает удобно для непосредственного подсчета вероятности использоватьклассическое определение вероятности

(например, когда число исходов некоторого опыта бесконечно, как при выборе точки из отрезка и т.п.). Зачастую при этом используется другой метод — геометрический подход к определению вероятности.

Предположим, что случайное испытание можно представить как бросание произвольной точки наудачу в некоторую геометрическую область D (на прямой, плоскости или пространстве, в зависимости от задачи).

Элементарные исходы – это отдельные точки области D, любое событие – это некоторое подмножество этой области (фактически — пространства элементарных исходов).

Можно считать, что все точки D «равноправны», и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество этой области пропорциональна мере (длине, площади, объему) подмножества и не зависит от его расположения внутри области и формы. Таким образом приходим к геометрическому определению вероятности.

Геометрическая вероятность некоторого события А определяется формулой: Здесь – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и множества исходов, благоприятствующих осуществлению события А.

Пример. Мишень для выстрелов в тире представляет собой круг радиуса R. Стрелок выбивает 10 очков, если попадает в малый круг в центре с радиусом r, Какова вероятность выбить 10 очков при одном выстреле?

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Множество всех элементарных исходов — мишень, круг радиуса R, его площадь равна . Множество элементарных исходов, соответствующих событию «Выбито 10 очков» — это круг радиуса rего площадь равна .

По геометрическому определению вероятности получаем, что искомая вероятность есть отношение площади малого круга, куда пуля должна попасть, к площади всей мишени — большого круга, то есть: .

Пример. На плоскость, расчерченную параллельными полосками шириной в 2d (расстояние между осевыми линиями равно 2D), наудачу брошен круг радиуса r Найти вероятность того, что данный круг пересечет некоторую полоску (линию).

Решение. Положим, что элементарный исход испытания — это расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полоски. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полоской произойдет только в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

По геометрическому определению вероятности получаем ответ: .

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/5x7fbb.html

Геометрическая вероятность

4 июля 2011

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий Ai, которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P(Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат — непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность — что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

1. Вероятность попадания в фигуру равна P(Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура — это и есть пространство элементарных событий Ω;
2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять — без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
2. Сумма равна некоторому положительному числу — этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
3. Сумма равна бесконечности — бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

Источник: https://www.berdov.com/works/teorver/geometric_probability/

Теория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность

В высшей математике существует раздел, изучающий статистику. По сути, это теоретическая база.

Направление изучает закономерности и случайные явления, систематизирует данные для обоснования принятых решений.

Основой науки является теория вероятности, чьи формулы используются для предположения о свершении того или иного события. Существует и алгоритм, с помощью которого решаются все задачи.

Развитие науки

Изучение вероятности наступления того или иного события берёт своё начало со Средних веков. Первоначально наблюдаемые закономерности не имели математического описания и основывались на различных эмпирических фактах. Ранние работы были непосредственно связаны с азартными играми. Французские учёные Паскаль и Ферма пытались выявить и рассчитать закономерности при бросании костей.

Независимо от них этим вопросом занимался и голландский физик Гюйгенс. В своей работе он оперировал такими понятиями, как величина шанса, математическое ожидание, цена случайности. Он первый, кто попробовал применить теоремы сложения и умножения в описание вероятности.

Фундаментальное значение для развития науки имели труды Бернулли, Байеса, Лапласа и Пуассона. Их стараниями были сформулированы и доказаны предельные теоремы, предложены первые формулы и примеры. В теории вероятности начали использовать анализ ошибочного наблюдения. Но лишь Карл Гаусс детально смог разобраться в нормальном распределении случайной величины.

Предложил её академик СССР Андрей Колмогоров. Руководствуясь идеями теории множеств, меры и интегрирования, он смог систематизировать аксиомы и с их помощью описать классическую теорию вероятности.

На основании его работ была создана новая теория — случайных процессов.

В его систему входит:

• алгебра событий — состоит из множества подмножеств, называемых событиями и их пространства;
• существование возможности появления событий — каждому случаю приписывается в соответствие вещественная вероятность наступления;
• нормировка — состояние, при котором вещественное число имеет вероятность свершения равное единице;
• аддитивность — если 2 события не пересекаются, их вероятность находится суммированием.

Объекты, удовлетворяющие системе, были названы полем вероятности (вероятностным пространством). Было принято, что аксиомы не могут противоречить друг другу. Аксиоматизация позволила привести все предположения к строгому математическому виду и стала восприниматься как один из разделов математического вычисления.

Предметом изучения науки являются закономерности, появляющиеся в случайных событиях, результат которых нельзя установить заранее. Но не все эксперименты можно изучать с помощью теории, а лишь те, что повторяются при одних и тех же условиях.

Существует понятие «статистической устойчивости».

Если существует некоторое событие «А», которое может наступить в результате события или не произойти, то часть экспериментов должна стабилизироваться.

При этом с увеличением числа экспериментов вероятность повторения стремится к определённому числу Р(А). Оно и является характеристикой, определяющей степень возможности наступления события «А».

Объяснить основы теории вероятности для чайников можно с помощью классических понятий:

Вероятность, что событие «А» сможет произойти описывается выражением: Р (А) = m/n, где: n — общее количество исходов эксперимента, имеющих равные возможности; m — число исходов, соответствующих событию «А».

Для геометрического определения вместо чисел используется мера. В числитель формулы подставляется показатель, выражающий количество благоприятных исходов наступления рассматриваемого события, а в знаменатель – геометрическая мера. Например, ширина, плотность, объём.

При расчётах принимается, что полная группа событий образует вероятность равную единице: P (A1) + P (A2) + + P (An) = 1, при этом сумма противоположных событий также будет равна одному.

Шанс, что одно из двух несовместимых событий обязательно случится, определяется сложением этих вероятностей. Это формулировка справедлива и к любому количеству ожидаемых исходов: P (C +B +A) = Р(С) + Р (B) +P (A).

Исход, что любое из двух событий сбудется, равен вероятности суммы без учёта возможного их совместного появления: P (А+В) = Р (А) + Р (B) — P (АВ).

Основополагающими формулами являются выражения Байеса и Бернулли.

Согласно первому, если существует гипотеза «Вн», а событие уже наступило, вероятность её правдивости определяется как Pа (Вн) = Р (Вн) * Рв (А) / Р (А). Это выражение ещё называют формулой полной вероятности. Равенство же Бернулли помогает оценить вероятность, что конкретное событие «А» случится n количество раз при m вариантах: P = C n * p n * qn — m.

Алгоритм решения

Теория вероятностей используется, когда необходимо сделать прогноз на выпадение того или иного шанса в эксперименте. Случайность является основным понятием предмета.

Она обозначает явление, для которого невозможно точно вычислить периодичность наступления, поэтому в задачах находят именно число возможностей.

По своей сути вероятность — функция, способная принимать 3 значения:

• ноль — ожидание никогда не выполнится;
• единица — событие произойдёт при любых условиях;
• паритет — существует равная возможность выполнения или невыполнения ожидания.

Чтобы высчитать случайность, рекомендуется придерживаться разработанного алгоритма. Следует внимательно изучить задание и определить, вероятность чего необходимо вычислить, а также события, от которых случайность будет изменяться.

Определив схему задачи, подобрать формулу и, подставив в неё все имеющиеся данные, рассчитать шанс.

Чтобы правильно определиться с нужной схемой, необходимо знать о количестве экспериментов, существовании между ними зависимости, возможности применения нескольких гипотез.

Случайность доставания цветного шара обозначают как событие «А». Согласно определению вероятность «А» определяется отношением благоприятствующих шансов к общему числу исходов.

Существует 6 различных возможностей вытянуть шар, из них 5 относятся к благоприятным, поэтому эксперимент покажет, что вероятность достать из ящика цветной шар будет составлять P = 5 / 6 = 0,83(3).

Это и есть показатель оценки степени случайности.

Таким способом можно узнать различную вероятность любого исхода, не прибегая к собиранию статистики и её анализу, то есть решить задачу математически, как, например, следующую.

В таксопарке используется 2 синих, 9 красных и 4 чёрных машины. Нужно определить, какая существует возможность приезда по вызову красного автомобиля. Решение простое.

Так как всего имеется 15 машин, вероятность приезда именно красной составит Р = 9/15 или 0,6.

Теорема Муавра — Лапласа

Это предельное определение, предложенное Лапласом в 1812 году. В основе теоремы используется формула Бернулли, но применяется она к довольно большому количеству экспериментов.

Суть её в следующем: если при независимых экспериментах n существует вероятность свершения случайного события N равная нулю или единице, при этом число испытаний равняется m, искомое значение близко к интегральной функции Лапласа.

Стандартные значения, соответствующие нормальному распределению, сведены в статистические таблицы. Взять их можно в решебниках задач по теории. Под приведёнными значениями понимается площадь кривой от нуля до числа x. Например, если придумать какую-либо величину площади между числами 0 и 2,34, согласно таблице она составит 0,49036.

Уравнение требует сложных и громоздких расчётов, поэтому, чтобы найти вероятность, в математике из формулы используют асимптотическое распределение.

Но возможно это только при условии, что Р(m) неизменное, а число экспериментов будет стремиться к бесконечности.

Реальная формула, описывающая теорему сложна, поэтому используется приближённая:

Р(m) = 1 / ((2p*n*p*q)1/2) exp (-X2m/2).

Использовать её рекомендуют только при значениях событий больше 20, а экспериментов 100. Например, брак выпускаемых изделий составляет 15%. Поступает товар в упаковках по 100 штук. Нужно найти вероятность, что случайно взятая коробка будет укомплектована 13 бракованными изделиями. При этом число товара низкого качества в упаковке не превысит 20.

За испытание необходимо принять изготовление. Вероятность появления события, которое необходимо искать составит p = 0,15. Далее, находится случайность: n * p = 15 и n * p * q = 12,75. Исходные данные подставляют в формулу Лапласа:

Таким образом, примерно 9,5% упаковок от общего количества содержат 13 товаров плохого качества, а в 92% случаях число изделий с браком не превышает 20.

Сочетание взаимных событий

При рассмотрении задач может возникнуть вопрос, как различные события могут зависеть друг от друга. Для характеристики их взаимосвязи вводится понятие условная вероятность. Например, имеются 2 случайных исхода одного эксперимента «А» и «В». Тогда условной вероятностью первого события «А» при условии, что второе произошло, называется отношение P (AB) / P (B).

Необходимо определить, с какой вероятностью в семье с ребёнком-девочкой родится мальчик. За вероятность появления в семье двух мальчиков нужно взять «А», а за ребёнка противоположного пола событие «В».

Существует 4 возможных исхода, поэтому справедливо будет записать: P (AB) = 1/4, P(B) = 3/4. Подставив эти значения в формулу можно рассчитать вероятность: P (A/B) = (1/4) / (3/4) = 0,3.

Если же события взаимны, они влияют друг на друга. В этом случае используется их перемножение: P(AB) = P(A) *PB (А). Например, в пачке 26 лотерей, из которых 3 призовых. Нужно определить шанс, что первый билет будет призовой и вероятность, что второй билет также будет с выигрышем, но при условии, что первый билет уже убрали.

Для решения задачи вначале нужно найти шанс, что первый билет будет с выигрышем: P (A) = 3/26 = 0,115. Затем рассчитать вероятность двух выигрышей подряд: P(AB) = P(A) * P(B) = (3/26) * (2/25) = 0,009.

Это довольно простые задачи, но существуют задания, для решения которых понадобится применять несколько формул. Такой расчёт вероятности наступления того или иного события может быть трудным, требующим повышенного внимания.

Для облегчения вычислений существуют специальные интернет-порталы. Они предлагают рассчитать исход события даже тем, кто и вовсе не разбирается в теории. Например, allcalc.ru, kontrolnaya-rabota.ru, matburo.ru, math.semestr.ru.

На этих сайтах от пользователей требуется лишь заполнить предлагаемые формы исходными данными и нажать кнопку «Рассчитать». Все калькуляторы совмещают в себе быстроту нахождения ответа и ознакомление с подробным описанием решения.

ПредыдущаяСледующая

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/algebra/77862-teoriia-veroiatnosti-formyla-i-primery-dlia-chainikov-zadachi-s-resheniiami-kak-naiti-klassicheskyu-veroiatnost-v-matematike-kak-oboznachaetsia-i-v-chem-vyrajaetsia-veroiatnost.html

Геометрическая вероятность

• Международная научно-практическая конференция
• «Первые шаги в науку»
• Геометрическая вероятность
• математика
• Скворцова Дарья Андреевна, 10 класс
• Научный руководитель:
• Дударь Галина Аркадьевна
• МБОУ «Брянский городской лицей №2  

им. М.В.Ломоносова»

1. Брянск 2012
2.  Оглавление
3. Введение        
4. Основная часть        
5. 1.Сведения из истории        
6. 2.Основные теоретические сведения        
7. 3.Задачи на нахождение геометрической вероятности        
8. 4.Проблемная задача        
9. Заключение        
10. Литература        
11. Приложение        
12. Введение

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками.

Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров.

На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен.

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

• Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?
• Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.
• Задачи:
• —  познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;
• —   изучить теорию по данной теме;
• —   рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;
• —   применить полученные знания на практике.
• Методы решения:
• —     изучение литературы по данной теме;
• —     анализ материала;
• —     выбор задач различных типов и уровней сложности;
• — ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;
• —    применение навыков для решения практических задач;
• —    синтез полученных данных.
• Основная часть
• 1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма.

Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и  составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль.

Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он  доказал закон больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря Андрею Николаевичу Колмогорову и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

1. В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
2. 2.Основные теоретические сведения
3. Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
4. Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.
5. Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3. найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о  геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве — это отношение мер данных объектов.

 Задача 1: найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение:  пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/10/19/geometriseskaya-veroyatnost