Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

  • Логарифм имеет следующий вид:
  • где a – это основание логарифма,
  • b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

  1. Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
  2. Приведем пример:

Логарифмы в математике, основные понятия и определенияЛогарифмы в математике, основные понятия и определения

Еще примеры:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула напряжения электрического поля

Оценим за полчаса!

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

  • Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
  • И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

  1. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
  2. loga a = 1 – это логарифмическая единица.
  3. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
  4. loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Логарифмы в математике, основные понятия и определенияВернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Логарифмы в математике, основные понятия и определенияТеперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Читайте также:  Формула нитрата калия в химии

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

  • Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
  • Разберем на примере.
  • Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
  • Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8.

Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя.

Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Источник: http://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.

  • Теория
  • Конспект урока
  • На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.
  • Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение  не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции  должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как  – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для Логарифмы в математике, основные понятия и определения. То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

  1. Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:
  2. 1) , так как .
  3. 2) , так как .
  4. 3) , так как .
  5. 4), так как .
  6. Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: .

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием  (напомним, что ). Он обозначается следующим образом: .

Исходя из определения логарифма Логарифмы в математике, основные понятия и определения, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: .

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов (Логарифмы в математике, основные понятия и определения).

1)      (т.к. ),  

2)     Логарифмы в математике, основные понятия и определения Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Логарифмы в математике, основные понятия и определения Логарифмы в математике, основные понятия и определения

5)    Формула перехода к новому основанию: Логарифмы в математике, основные понятия и определения Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

7)    (т.к. )

  • На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.
  • В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.
  • Полезные ссылки:
  • 1)      Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма» 
  • 2)      Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма. Простейшие задачи»
  • 3)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного» 
  • 4)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм степени» 
  • 5)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Решение более трудных задач» 
  • 6)      Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма» 
  • 7)      Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма. Решение задач» 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-3-logarifm-svoystva-logarifmov-vyrazheniya-s-logarifmami-teoriya

Что такое Логарифмы? Узнайте их свойства и формулы

  • Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.
  • Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.
  • Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:
  • Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • “a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).
  • “b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).
  • “x” = логарифм.

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

Например :

, потому что

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

  • Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • Если основание «а» возведено в степень логарифма с основанием «а» числа «b», то он равен «b» ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ; Логарифмы в математике, основные понятия и определения
  • Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате) Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Формулы перехода к новому основанию:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Пример 2

ОДЗ логарифма

  1. Как определить Область Допустимых Значений логарифма:
  2. Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

  • Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):
  • Свойства логарифмической функции :
  • E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
  • область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
  • её график всегда проходит через точку (1;0);
  • она не считается ни чётной, ни нечётной;
  • у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  • она не ограничена ни сверху, ни снизу;
  • если 01 => функция возрастает.

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

История логарифма

  1. Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.
  2. Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.
  3. Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».
  4. Смотрите также значение Корреляции.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/logarifm/

История логарифмов. Различные подходы к определению логарифма

Жукова Н. Д. История логарифмов. Различные подходы к определению логарифма // Молодой ученый. — 2019. — №18. — С. 78-81. — URL https://moluch.ru/archive/256/58642/ (дата обращения: 01.04.2020).



Своё начало история логарифмов берёт ещё с античных времён. Источник, ставший идейным толчком применения логарифмов, — давно известный факт, что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: .

В VIII веке индийский математик Вирасена при исследовании степенных зависимостей, опубликовал таблицу целочисленных показателей для оснований 2, 3, 4. Эта работа в дальнейшем послужила первоисточником для создания таблицы логарифмов.

Главные работы и открытия в области изучения логарифмов были сделаны в средневековой Европе. В тот период времени быстро возросла потребность в сложных расчётах. В XVI веке большая часть трудностей в вычислениях была связана с умножением и делением многозначных чисел, возведением в степень, а также извлечением корней.

Идея упрощения вычислений появилась в конце века. Её суть состояла в замене трудоёмкого умножения на простое сложение. Идея основывалась на сопоставлении геометрической и арифметической прогрессий с помощью специальных таблиц, причём геометрическая прогрессия являлась исходной. Соответственно, и деление заменилось на более простое вычитание.

Также упростилась работа со степенью и извлечением корня.

Такой метод вычислений впервые был опубликован в 1544 году в книге «Arithmetica integra» Михаэлем Штифелем. К сожалению, ему не удалось найти практической реализации своей идее, т. к.

математика в те времена была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Да и сам Штифель не приложил серьёзных усилий для этого.

Главная заслуга математика — переход от целых показателей степени к произвольным рациональным.

В 1614 году шотландским математиком Джоном Непером было опубликовано сочинение на латинском языке под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов».

В своей работе ему удалось раскрыть идею логарифма числа как показателя степени, в которую нужно возвести данное основание, чтобы получить это число.

Он перенес знакомые свойства прогрессии с общим членом на любые действительные показатели. Это дало непрерывную логарифмическую функцию.

В сочинении Непера было дано краткое описание логарифмов и их свойств и опубликованы 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'.

Термин логарифм, который был предложен Непером, утвердился в науке. В другой книге Непера «Построение удивительной таблицы логарифмов», более подробно описана теория логарифмов.

Книга была издана в 1619 году его сыном Робертом уже после смерти учёного.

Анализ документов, изучение сочинений говорят о том, что техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году. В связи с развитием изучения небесных тел, появилась необходимость в облегчении сложных астрономических расчётов. Именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Читайте также:  Курсовая работа по госту 2020, образец, пример

В то время понятия функции ещё не существовало, и Непер кинематически определил логарифм, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. К примеру, логарифм синуса был определен так:

«Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать» [1].

В истории математики зародилось такое понятие как «Логарифм Непера» (обозначается LogNap). Основное его свойство звучит так: «Если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую». Но правила логарифмирования отличались от современных.

Одновременно с Непером изучением логарифмов занимался английский математик Генри Бригс. В 1617 году он опубликовал первый свой труд — таблицу, в которой содержались 14-значные десятичные логарифмы от 1 до 1000.

— «Первую тысячу логарифмов» в год смерти Непера. Здесь даны были десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками.

Позднее, Бригсом была выпущена «Логарифмическая арифметика», в которой содержались 14-значные таблицы логарифмов целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

В 1703 году были изданы первые таблицы на русском языке при участии русского математика Леонтия Филипповича Магницкого. Активно теорию логарифмов развивал петербургский академик Леонард Эйлер. Именно он впервые стал рассматривать логарифмирование как действие, которое обратно возведению в степень. Также им введены в употребление в термины «основание логарифма» и «мантисса».

В истории математики описывается и другой подход к определению логарифма. Учёные-математики рассматривали его как площадь криволинейной трапеции. Данный подход основывается на рассмотрении связи натурального логарифма с гиперболой.

Григорий Сен Венсан во второй трети 17 века показал, что если абсциссы любых двух точек А и В на гиперболе соответственно пропорциональны абсциссам точек А1 и В2 на той же кривой, то площади криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками гиперболы АВ и А1В1, равны [4].

Такое предложение определило развитие следующего равенства: , где . По этой формуле вычислялась площадь под данной гиперболой, и она равнялась , чему соответствует рисунок 1.

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Рис. 1. Связь гиперболы и площади криволинейной трапеции

Такую связь выразил в форме бесконечного ряда и опубликовал около 1657г. в статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел» Уильям Броункер. Ряд таких чисел выглядел следующим образом:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Ранее данное разложение опубликовал итальянский математик Пьетро Менголи. В «Новых арифметических квадратурах или о сложении дробей» учёным были просуммированы некоторые числовые ряды:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Им же была доказана расходимость гармонического ряда путём применения неравенства:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Эту работу он применил к изучению логарифмов [2, c. 160]. Но труды Менголи не привлекли должного внимания большинства современников. Отчасти, работы не получили широкого применения из-за трудности изложения материала.

Возникновение аналитического аппарата бесконечно малых в конце 17в. определило следующий подход к изучению логарифма. Путём представления логарифмической функции в форме бесконечного степенного ряда было получено её аналитическое представление:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

В 1711 году Исаак Ньютон в сочинении «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» применил методы неопределенных коэффициентов и последовательных приближений. Именно ему удалось получить аналитическое выражение показательной функции:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

и дать трактовку показательной функции как обратной к логарифмической.

Важный шаг в исследовании логарифмической функции сделал Николай Кауфман (более известный как Меркатор). Он представил логарифмическую функцию в форме бесконечного степенного ряда.

Почти одновременно с появлением статьи Броункера был опубликован труд Меркатора в «Логарифмотехнике», посвященный изучению логарифмов.

Перейдя от равносторонней гиперболы , он применил к дроби деление по правилам алгебры, которое, в данном случае, продолжается без конца

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

и путём почленного интегрирования он нашёл связь натурального логарифма с данной дробью:

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Меркатор не первый пришел к разложению логарифмической функции в степенной ряд. К такому же результату пришли Гудде в 1656г. и Ньютон в 1665г., но каждый из них хранил свой труд, не опубликовав его. Именно поэтому значение публикации «Логарифмотехника» оказалось очень велико.

История изучения логарифмов и логарифмической функции подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики — алгебры, геометрии, математического анализа. Логарифм стал великим открытием, значимым для математики и дал толчок развитию математического образования.

Литература:

  1. История логарифмов [Электронный ресурс]/ Википедия — интернет-энциклопедия. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org — свободный. Дата обращения: 27.03.2019г.
  2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ Под ред. А. П. Юшкевича М.: Наука, 1972. Т.II. 300 с.; Т. III. 495 с.
  3. Прокина-Игнатушина И. В. Об истории возникновения понятия логарифмической функции// Научные труды молодых ученых ОГПУ. Оренбург: ОГПУ, 2000. С. 43–49.
  4. Различные подходы к определению логарифма и логарифмической функции [Электронный ресурс]/ Инфоурок — образовательный портал. Режим доступа: https://infourok.ru — свободный. Дата обращения: 25.03.2019г.

Основные термины (генерируются автоматически): логарифмическая функция, логарифм, VIII, натуральный логарифм, криволинейная трапеция, геометрическая прогрессия, бесконечный степенный ряд, бесконечный ряд, изучение логарифмов, показательная функция.

Источник: https://moluch.ru/archive/256/58642/

Понятие логарифма и его свойства

Тип урока  — закрепление пройденного материала. Включает в себя тест на самопроверку, задания на отработку навыков применения свойств логарифмов.

Открытый урок по теме «Свойства логарифмов» в 11 классе

Е.В. Конышева, учитель математики МАОУ гимназия 83

Цели урока:

  • закрепить и обобщить определение логарифма, свойств логарифма;
  • исследовать влияние преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений.

I Устная работа.

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b. Вычислить: Логарифмы в математике, основные понятия и определения

  1. Свойства логарифмов для положительных чисел и положительного основания, причем еще, основание не равно единице.

Логарифмы в математике, основные понятия и определения Задание: Закончить предложение.

  • На доске:
  • 11 ) свойство перехода к новому основанию
  • II Тест с самопроверкой.
  • Задание: Вычислите и укажите номер свойства логарифмов, которым вы воспользовались в ходе решения.
Фамилия, имя.
Пример Решение. Ответ Номер свойства
1 1 Логарифмы в математике, основные понятия и определения [7]
2 2 Логарифмы в математике, основные понятия и определения [4]
33 [8]
84 1 [1]
55 0 [2]
66 Логарифмы в математике, основные понятия и определения 1 [10]
77 Логарифмы в математике, основные понятия и определения [3]
88 [6]
99 [9]
110 Логарифмы в математике, основные понятия и определения [4,12]

Источник: https://kopilkaurokov.ru/algebra/uroki/poniatie_logarifma_i_ego_svoistva

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.

По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Логарифмы в математике, основные понятия и определения
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

  • Например:
  •   так как  
  • , так как 
  •   так как  ;
  • , так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

  1. Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
  2. Основные формулы
  3. По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
  4. Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
    Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
  5. logaax=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac. (2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/logarifmy/

Ссылка на основную публикацию