Статистическое определение вероятности, с примерами

Лекция 1. Основные понятия теории вероятности. (ТВ)- СС-1

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

ТВ – это раздел математики изучающий закономерности случайных явлений. «ТВ объединяет точность математических доказательств с неопределённостью случая и примеряет эти противоречивые элементы».

Испытание — модель реального действия, реализация определённого комплекса условий, который может быть воспроизведён сколько угодно раз. Задать испытание в т/в это значит задать множество его элементарных (неделимых на более мелкие) исходов W. W= Статистическое определение вероятности, с примерами .

Случайное событие — событие которое может наступить или не наступить в результате испытания. Для любого события “А” множество W элементарных событий разделяется на два подмножества W : А+ и А– .

  • А+ — подмножество благоприятных исходов вместе с каждым из которых наступает событие А+.
  • А– — подмножество неблагоприятных исходов, при реализации которых событие А не происходит.
  • Задать событие– это значит задать подмножество А+ благоприятных исходов на множестве W.

Невозможное событие — событие которое никогда ни происходит в результате испытания. Достоверное событие — событие которое всегда происходит при испытании.

  1. Два события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.
  2. События совместны, если они могут произойти одновременно.
  3. Вероятность случайного события— это количественная мера степени уверенности в его наступлении.
  4. Классическое определение вероятности: Для испытания с конечным числом равновозможных исходов вероятность случайного события “A” обозначается Р(А) и определяется как отношение числа благоприятных исходов m к общему числу n элементарных исходов испытания:
  5. Р(А) = m/n.
  6. Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1. 0 Р(А) 1

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула нитрата аммония в химии

Оценим за полчаса!

Формула полной вероятности.

Пусть появление некоторого события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий Вi, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятности каждой из этих гипотез Вi на соответствующую условную вероятность появления события А.

Статистическое определение вероятности, с примерами

  • Формулы Байеса.
  • Пусть появление в некотором испытании события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий Вi, образующих полную группу и называемых гипотезами.
  • Тогда, зная вероятности гипотез Р(Вi) до проведения испытания, мы можем переоценить их после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

Статистическое определение вероятности, с примерами Статистическое определение вероятности, с примерами

Р(Вi) – вероятности гипотез, известные до испытания (априорные вероятности гипотез),

— вероятность наступления события А при истинности гипотезы Вi.

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, принимая во внимание как ранее известную информацию (априорные данные), так и данные новых наблюдений (апостериорные данные).

Вычисление вероятностей событий в серии независимых испытаний.

Схема Бернулли — последовательность независимых испытаний (т.е. таких испытаний, вероятность исходов которых не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предшествующих испытаний) с двумя возможными исходами.

Вероятность первого исхода — А, называемого успехом, в каждом испытаний равна р, тогда вероятность второго исхода – неуспеха, равна разности единицы и р : Р(А)=р Р( )=1-р=q.

  1. Формула Бернулли
  2. Вероятность, что в серии из n испытаний по схеме Бернулли ,событие А, произойдёт ровно k раз:
  3. Статистическое определение вероятности, с примерами , где число сочетаний из “n” элементов по “k” элементов в каждом.
  4. р – вероятность наступления события А в одном испытании, –вероятность не наступления события А в одном испытании, n – общее число испытаний, k – число успехов в серии из n испытаний.
  5. Теорема Лапласа: применяется при больших значениях n, когда формулу Бернулли использовать сложно.
  • Пусть Р(А)=р – вероятность проявления события А в одном испытании,
  • тогда вероятность, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдёт точно k раз приблизительно вычисляется по формуле Лапласа:
  • , где ; где , .

Интегральная теорема Лапласа. – позволяет определить вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдёт не менее и не более раз.

  1. ,где , ;
  2. Значения функций и приводятся в таблицах (см тб. 1 и 2)
  3. Закон Пуассона распределения вероятностей массовых и редких событий.
  4. -вероятность того, что в серии из n испытаний «успех» произойдёт ровно k раз.
  5. где , n – общее число независимых испытаний, р – вероятность «успеха» в одном испытании.
  6. Формула Пуассона применяется, когда n – очень велико, а р – достаточно мало.

Лекция 4. Случайные величины. СВ-1.

Случайная величина это функция, определённая на множестве случайных событий. Случайная величина в результате эксперимента принимает те или иные числовые значения, зависящие от случайных причин. Примеры: кубик, 2 монеты, рост, вес, количество успехов и т.д. .

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина это случайная величина, все возможные значения которой изолированы друг от друга. Множество значений ДСВ – конечное или счётное множество.

Непрерывная случайная величина – это СВ, возможные значения которой заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Множество её значений имеет мощность континуума.

  • Дискретные СВ.
  • Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между всеми возможными значениями данной случайной величины и их вероятностями.
  • Способы задания: графический, аналитический ( ) и табличный.

Значения СВ , , … соответствуют полной группе событий и, ,

=1. (при n , этот ряд сходится к единице)

Функция распределения случайной величины – равна вероятности, что случайная величина примет значение меньше, чем данное. График – ступенчатая возрастающая функция.

  1. ,
  2. Свойства дисперсии.
  3. 1) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
  4. 2) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
  5. 2) , если , то эта случайная величина равна константе почти наверняка (с вероятностью 1)
  6. Дисперсия постоянной величины равна 0.
  7. Доказательство: Д(С) = М((С۰М(С))2) = М(С – С)2 = М(02) = М(0) = 0
  8. 3) Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин:
  9. D( )=D( )+D( )+ 2M( -M( ))( -M( ))
  10. Ковариация двух случайных величин: M(( -M( ))( -M( )))
Если независимы 0
if 0 не коррелируют
  • Коэффициент корреляции — = —безразмерная величина, показатель «тесноты» зависимости между случайными величинами.
  • Ковариация и корреляция с : M( -M )( -M )=D( );
  • =
  • Лекция 6а. Примеры дискретных распределений: СВ2
  • 1) Равномерное дискретное распределение на множестве натуральных чисел
  • ; ; М( )=
  • 2) Геометрическое распределение с параметром р (0

Источник: https://infopedia.su/15×14905.html

Статистическое определение вероятности

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m— частота наступления события А, а величина называется относительной частотой события А.

Для разных n ,  могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , то  к некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота , при неограниченном увеличении числа испытаний.

               Статистическое определение вероятности, с примерами    Статистическое определение вероятности, с примерами

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков. Статистическое определение вероятности, с примерами , тем не менее, известно, что

Статистическое определение вероятности, с примерами

Теоремы сложения вероятностей.

Суммой двух событий А+В называется событие, которое состоит в том, что произойдёт или событие А или событие В или оба они одновременно.

Суммой нескольких событий (А₁+А₂+А₃+…..+Аn) называется событие, которое состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из этих событий.

  • Теорема 1:  Вероятность двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:     
  • Теорема 2: Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
  • Следствие 1:Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна 1:
  • Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
  1. Теорема 3: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного их появления:
  2. Пример: Бросаем 2 кубика:  А – выпадет чётное число на первом кубике
  3.                                                       В — выпадет чётное число на втором кубике
  4. (А+В) – выпадет чётное число на первом или втором кубике или на первом и втором одновременно:
  5. Теоремы умножения вероятностей.
  6. События бывают зависимыми и независимыми.
  7. Событие В не зависит от события А, если Р(В) не изменяется от того, что произошло событие А.
  8. Событие В зависит от события А, если Р(В) изменяется от того, что произошло событие А.  
  9. Р(В/А) – вероятность события В, при условии, что произошло событие А – это условнаявероятность события В.
  10. Произведением двух событий А·В   , называется событие, которое состоит в том, что произойдёт и событие А и событие В.
  11. Произведением нескольких событий А·В·С·D·… называется событие, которое состоит в том, что произойдут все эти события.

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух зависимых событий (В зависит от А) равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В.

  • Формула полной вероятности.
  • Иногда событие А может произойти только совместно с одним из нескольких других событий, их принято называть гипотезами и обозначать  Тогда полная вероятность события А вычисляется по формуле:
  • Пример:             Н₃                                                    
  1.                     Н         Н                                                  СобытиеА:попадёмв домик.                                
  2. Формулы Байеса.
  3. До проведения опыта мы имели вероятности гипотез
  4. (В примере ).
  5. После проведенияопыта:

Пусть событие А произошло (т.е. попали в домик), вероятности гипотез  изменились. Для того, чтобы вычислить вероятности гипотез, при условии, что произошло событие А используют формулы Байеса:

  • Пример
  • Случайная величина.
  • Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств.
  • .Дискретная случайнаявеличина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)
  • Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала( масса тела, рост студентов).
  • Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их возможные значения прописными буквами:
  • Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины.
  • Закон распределения случайной величины можно задавать в виде:
  • 1).Таблицы
  • 2). Графика
  • 3) Функции распределения.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 185;

Источник: https://studopedia.net/3_48981_statisticheskoe-opredelenie-veroyatnosti.html

1.3. Частость и вероятность. Классическое определение вероятности

  • Чтобы подойти к определению вероятности как меры объективной возможности появления случайного события, обратимся к рассмотрению результатов проведения серии одинаковых испытаний.
  • Условимся при этом называть число М появлений некоторого события при N испытаниях Частотой (абсолютной), а отношение — Частостью (относительной частотой).
  • Результаты наблюдений обычно таковы, что если при сериях небольшого количества испытаний частость случайного события подвергается значительным колебаниям, то при переходе к сериям более многочисленных испытаний эти колебания постепенно сглаживаются, все реже и реже нарушая тенденцию к затуханию, и ИНтересующая нас частость, при очень большом числе наблюдений принимает почти устойчивые значения.

Показательны в этом отношении результаты наблюдения за рождаемостью мальчиков. Данные за короткие перИОды не показывают никакой закономерности, так как имеют место самые резкие колебания частости, которая принимает даже такие значения, как 0 (ни одного родившегося мальчика) или 1 (все родившиеся—мальчики). Но данные за длительные периоды дают четкую закономерность.

Известны сведения, полученные Чубером за период с 1866 по 1905 гг., о рождаемости мальчиков в Австрии. За все эти 40 лет частость рождения мальчиков оказалась равной 0,515, а по отдельным годам частость 0,515 повторялась 11 раз, частость 0,514 — 17 раз, частость 0,516 — 9 раз, частость 0,513 — 2 раза и частость 0,517 — всего лишь один раз.

Таким образом, найденная за весь период частость 0,515 и по отдельным годам оказывается весьма устойчивой, поскольку отклонения от 0,515 дают колебания в границах 0,1 — 0,2%.

Характерная для частости в многочисленных наблюдениях устойчивость проявляется и в тех случаях, когда исходы испытания симметричны (например, когда подбрасываемая монета по своей Форме Правильна или у игральной кости все грани одинаково отточены и совпадают по размерам и форме площади), и в тех случаях, когда нарушается симметрия возможных исходов (например, когда у подбрасываемой монеты имеется некоторый изгиб или у игральной кости не все грани абсолютно одинаковы).

В связи с такой устойчивостью значений частости появления события в серии многочисленных одинаковых испытаний За вероятность появления события принимается постоянная величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости. ЭТО определение вероятности называют Статистическим.

  1. Раскрывая в этом общем виде количественное определение вероятности как меры объективной возможности, следует предупредить учащегося, что с таким именно смыслом исходного значения вероятности придется встречаться в ряде рассматриваемых примеров и задач.
  2. В применении к примерам предыдущего параграфа установленная связь между частостью и вероятностью может быть продемонстрирована на задаче следующего содержания.
  3. Путем выполнения серии извлечений одного шара из урны, содержащей 10 шаров при неизвестном, но одном и том же числе белых шаров, определить вероятность появления белого шара (имеется в виду возврат вынутого шара обратно в урну).
Читайте также:  Центр окружности вписанной в треугольник

Решение этой задачи возможно путем фиксирования нарастающих данных о числе N всех извлечений шара и среди них о числе М Появлений белого шара. При достаточно большом числе испытаний принимаем .

  • Полученный результат позволяет, не вскрывая урны, определить число находящихся в ней белых шаров
  • Где Т — Целое число.

Исходя из определения вероятности как устойчивой частости, можно на практике с пользой применять показатели правильно поставленного статистического наблюдения. Приведем пример.

Выбор сорта семян некоторой культуры для посева естественно связывается с вопросом о проценте всхожести семян разных сортов.

Для этого следует располагать статистическими данными за ряд лет о всходах посевов по отдельным сортам на различных участках.

Осредненные покаЗАтели всхожести по всем участкам для каждого сорта семян могут быть учтены при выборе наиболее урожайного сорта семян в данных климатических условиях.

Итак, понятие вероятности в общем случае строится на результатах наблюдений как устойчивое значение частости в большом числе повторных испытаний.

Вместе с тем стоящая перед нами в этом разделе курса задача изучения закономерностей, которым подчиняются однородные массовые явления, может быть разрешена при условии построения правил операций с вероятностями для целых систем случайных событий. В связи с этим понятие вероятности должно быть определено на основании непосредственных подсчетов по условиям испытания.

Этим требованиям удовлетворяет Классическое определение вероятности, которое строится на данных, характеризующих условия проводимого испытания.

Классическое определение вероятности является новым определением и не зависит от вышеприведенного статистического определения. Классическое определение применимо не во всех случаях, но более удобно для доказательства теорем о свойствах вероятностей.

Выполнение всякого испытания влечет за собой некоторую совокупность исходов. Назовем ее Системой исходов испытания (или Событий).

В каждом из трех примеров предыдущего параграфа такую систему представляют 10 шаров, каждый из которых может быть извлечен из урны.

Проводимое испытание имеет своим исходом появление одного события только из данной системы. Поэтому все исходы испытания являются Единственно возможными.

В применении к примерам с урнами это значит, что исходом опыта может быть только извлечение одного шара.

Условия проведения испытания должны быть такими, чтобы не было оснований приписывать какому-либо одному исходу преимущества по сравнению с другими. Поэтому все исходы испытания являются еще и Равновозможными.

В примерах с урнами этот термин связан с приведенным нами замечанием о том, что шары совпадают по всем признакам, кроме возможного различия в цвете.

Результат испытания заключается в появлении одного из всех событий системы, т. Е. возможные исходы испытания являются Несовместимыми. При этом из числа всех (единственно возможных и Равновозможных) исходов выделяют те, которые приводят к интересующему нас событию. Это—исходы, благоприятствующие данному событию.

  1. Так, в примере 1 событИЮ А благоприятствуют 5 исходов из числа 10 возможных; в примере 2 событию В благоприятствуют 8 исходов из числа 10 возможных.
  2. Эти данные позволяют оценить вероятности появления каждого из трех рассмотренных событий:
  3. 1. Вероятность появления события А равна
  4. 2. Вероятность появления события В равна
  5. 3. Вероятность появления события С равна
  6. Краткие записи этих результатов таковы:

Статистическое определение вероятности, с примерами

Или

Статистическое определение вероятности, с примерами

  • Теперь можно сформулировать общее правило вычисления вероятности.
  • Пусть из системы П исходов испытания Статистическое определение вероятности, с примерами, несовместимых, единственно возможных и равновозможных, Т исходов благоприятствуют интересующему нас событию А.
  • Под вероятностью Р(А) наступления события будем понимать отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех исходов (несовместимых, единственно возможных и равновозможных) испытания.
  • Соответствующая запись:
  • или

Это и есть классическое определение вероятности. Для случайного события Т

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/posobie-po-teorii-veroiatnosti/1-3-chastost-i-veroiatnost-klassicheskoe-opredelenie-veroiatnosti

ВЕРОЯТНОСТЬ

  • ID: 10952
  • Название работы: Статистическое определение вероятности
  • Категория: Лекция
  • Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: ВЕРОЯТНОСТЬ Испытанием называется эксперимент который можно хотя бы принципиально провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какойто исход и тольк

  1. Язык: Русский
  2. Дата добавления: 2013-04-03
  3. Размер файла: 92.14 KB
  4. Работу скачали: 132 чел.

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Статистическое определение вероятности

Если событие может привести к n различным равновозможным исходам и если в m случаях появится признак А, то относительная частота (частость) события А обозначается r(A) и равна отношению m к n, то есть

. (2.1)

Это так называемое частотное (комбинаторное) определение вероятности. Событие А, для которого относительная частота r(A) при достаточно больших n мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число Р(А), около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

. (2.2)

Вероятности обладают свойствами, аналогичные свойствам частости:

  1.  Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

  1.  Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

.

  1.  Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

ПРИМЕР 1: При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 1/2. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор n m(А) rn(А)
Ж.Л.Л. Бюррон 4040 2048 0,5069
К. Пирсон 12000 6019 0,5016
К. Пирсон 24000 12012 0,5005

ПРИМЕР 2:  Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

РЕШЕНИЕ: Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная вероятность) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что r(A) = m / n. Отсюда n = m / r(A). В нашем случае m = 1, тогда n = 36.

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, т.е. предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: .

Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной .

Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал “герб”, выпала “цифра”.

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси.

Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу.

После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

  • По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, “бросание” шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, все эти исходы равновероятны.
  • В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события А может быть вычислена по следующей формуле:
  • , (2.3)
  • где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов, n(A) – число тех из них, которые приводят к наступлению события A.

ПРИМЕР 3: Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

РЕШЕНИЕ: Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле: . В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2: .

ПРИМЕР 4: Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры «играющему» приходится учитывать возможность образования у одного из «вистующих» — противников комбинации из трех оставшихся «червей». Какова вероятность этого события?

РЕШЕНИЕ: У двух вистующих 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна . Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7, т.е. . Т.о.

.

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих, очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 5: В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

РЕШЕНИЕ: Введем следующие обозначения:  общее число машинок,  число бездефектных машинок,  число отобранных в партию (подмножество) машинок,  число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по  машинок равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из  элементов по , т.е. .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из  элементов по  т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) .

Согласно (2.3), окончательно получим:

.      (2.4)

Подставим в формулу (2.4) численные значения:

Примечание: Выражение (2.4) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий .

Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события.

Множество таких событий образует поле событий  На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

  1. Аксиома 1.  Каждому случайному событию  из поля событий  поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью, такое, что
  2. Аксиома 2.  Вероятность достоверного события  равна единице:
  3. Аксиома 2.  Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
  4. Примечания:
  1.  Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть – пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда () = и не имеет общих элементов с . Следовательно:

    (5)

  1.  Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, т.ч. в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет рассмотрено ниже.

Геометрическое определение вероятности

  • Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности.
  • Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.
  • Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 6: Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим . Какова вероятность того, что она отклонится не дальше, чем на расстояние l, от середины указанного отрезка (см. рис.)?

РЕШЕНИЕ: Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длины L. Кроме того, условия опыта таковы, что с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке х этого отрезка.

Событие А – точка находится от середины отрезка на расстоянии не больше l, наступает в результате попадания в любую точку х, отстающую от середины не далее, чем на величину l. «Доля» таких точек х на всем отрезке может быть определена как отношение L(A) /L, где L – длина всего рассматриваемого отрезка.

L(A) = 2l – длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность Р(А) есть

    (6)

ПРИМЕР 7: Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

РЕШЕНИЕ: Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат.

Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.).

Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой у = -х (см. рис.).

  1. Таким образом, интересующая нас вероятность равна:
  2. Р(А) = 1 / 4.
  3. ПРИМЕР 8: Из промежутка [0;2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:
  4. . (I)

РЕШЕНИЕ: Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0;2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:

Статистическое определение вероятности, с примерами

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

.

Источник: http://5fan.ru/wievjob.php?id=10952

Лекция 8. Выборочный метод математической статистики — Теория вероятности

 План:

1.      Задачи математической статистики.

2.      Виды выборок.

3.      Способы отбора.

4.      Статистическое распределение выборки.

5.      Эмпирическая функция распределения.

6.      Полигон и гистограмма.

7.      Числовые характеристики вариационного ряда.

8.      Статистические оценки параметров
распределения.

9.      Интервальные оценки параметров распределения.

1.     
Задачи и методы математической статистики

Математическая статистика— это раздел математики, посвященный методам
сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для
научных и практических целей.

Пусть требуется
изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного
или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если
имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали,
а количественным- контролируемый размер детали.

Читайте также:  Галлий и его характеристики

Иногда проводят
сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного
признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если
совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное
обследование физически невозможно.

Если обследование объекта связано с его
уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное
обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей
совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают
их изучению.

Основная задача
математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по
выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение
вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых
характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях
неопределенности.

2.     
Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка)– это совокупность случайно отобранных
объектов.

Объем совокупности
это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности
обозначается N,
выборочной – n.

Пример:

Если из 1000
деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной
совокупности N =
1000, а объем выборки n =
100.

При  составлении выборки можно поступить двумя
способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он
может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки
делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой
отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную
совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный
объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно
пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по
данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке
генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его
представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной
совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать,
что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Если объем
генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь
незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и
бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается
бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это
различие исчезает.

Пример:

В американском журнале
«Литературное обозрение» с помощью статистических  методов было проведено исследование прогнозов
относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году.
Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон.

В качестве
источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты
справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4
миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой
высказать свое отношение к кандидатам на пост президента.

Обработав результаты
опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих
выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал
Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки.

Дело в
том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная
часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

3.     
Способы отбора

На практике
применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует
расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный
бесповторный
; б) простой случайный повторный).

2. Отбор, при
котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор;
б) механический отбор; в) серийный отбор).

Простым случайным
называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей
генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор, при котором объекты
отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной»
части.

Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор
производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из
продукции каждого станка в отдельности.

Таким отбором пользуются тогда, когда
обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях
генеральной совокупности.

Механическим называют отбор, при котором
генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов
должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Например, если
нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую
деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д.

Иногда такой
отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый
20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена
резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор, при котором объекты
отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые
подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются
большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию
продукцию только нескольких станков.

На практике часто
применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4.     
Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1–наблюдалось
 раз,
x2-n2 
раз,…  xk — nk
раз. n =
n1+n2+…+nk– объем
выборки.

Наблюдаемые значения
 называются вариантами, а
последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным
рядом
.

Числа наблюдений  
 называются
частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки  
относительными частотами или статистическими вероятностями.

Источник: https://www.sites.google.com/site/teoriaveroyatnosti/teoria/vyborocnyj-metod-matematiceskoj-statistiki

Статистическое определение вероятности. Решение задач. — презентация

1 Статистическое определение вероятности. Решение задач.

2 Диктант. 1.Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. 2.Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели.

Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. 3.Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? 4.Чему равна частота достоверного события? 5.

Чему равна частота невозможного события?

3 Решение задач. Задача 1. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? Решение. w = 5/100 = 0,05 w = 5/100 = 0,05 Ответ: w = 0,05.

4 Решение задач. Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение. Ответ: 102 попадания.

5 Вероятностная шкала. Что вероятнее?

6 Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события: А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье}; В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз}; С={при бросании кубика выпадет шестерка};С={при бросании кубика выпадет шестерка}; D={пpu бросании кубика выпадет четное число очков};D={пpu бросании кубика выпадет четное число очков}; Е={в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};Е={в следующем году снег в Москве вообще не выпадет}; F={пpu бросании кубика выпадет семерка};F={пpu бросании кубика выпадет семерка}; G={в следующем году в Москве выпадет снег};G={в следующем году в Москве выпадет снег}; Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

7 Вероятностная шкала Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов — тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов — тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

Вероятность: 0 0,5 1 События: Невозможные Достоверные Случайные

8 Пример 1. Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее: Маша: Это будет король.Маша: Это будет король.

Саша: Это будет пиковая дама.Саша: Это будет пиковая дама. Гриша: Эта карта будет красной масти.Гриша: Эта карта будет красной масти. Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

9 Решение : Как сравнить между собой шансы предсказателей?Как сравнить между собой шансы предсказателей? Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами:Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами: А={Вова достанет короля};А={Вова достанет короля}; В={Вова достанет пиковую даму};В={Вова достанет пиковую даму}; С={Вова достанет карту красной масти};С={Вова достанет карту красной масти}; D={Вова достанет карту пиковой масти}.D={Вова достанет карту пиковой масти}. Всего в колоде:Всего в колоде: королей — 4; Р(А)=4/36королей — 4; Р(А)=4/36 пиковая дама — 1; Р(В)=1/36пиковая дама — 1; Р(В)=1/36 карт красных мастей-18; Р(С)=18/36карт красных мастей-18; Р(С)=18/36 пик- 9; Р(D)=9|36пик- 9; Р(D)=9|36 B A D C

10 Пример 2. Что вероятнее: А={получить шестерку при подбрасывании кубика} или В={вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}? Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий.Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий.

На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки.На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки. Стало быть, событие. В более вероятно?Стало быть, событие. В более вероятно? Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы.

Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы. Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».

В примере 1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36».В примере 1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36».

А вот в этом примере ситуация сложнее: А вот в этом примере ситуация сложнее: шестерок на кубике -1, а всего граней у куба — 6;шестерок на кубике -1, а всего граней у куба — 6; шестерок в колоде — 4, а всего карт в колоде шестерок в колоде — 4, а всего карт в колоде — 36.

11 Решение : Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4шанса из 36», ведь 1/6 больше 4/36.Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4шанса из 36», ведь 1/6 больше 4/36. Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в числителе — сколько шансов за осуществление данного события, а в знаменателе — сколько всего возможно исходов.

Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 1).Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в числителе — сколько шансов за осуществление данного события, а в знаменателе — сколько всего возможно исходов.

Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 1).

12 Пример 3.

Попробуем на основе нашего опыта общения по телефону сравнить между собой степень вероятности следующих событий: А ={вам никто не позвонит с 5 до 6 утра};А ={вам никто не позвонит с 5 до 6 утра}; В ={вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра};В ={вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра}; С ={вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21};С ={вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21}; D ={вам никто не позвонит с 18 до 21}.D ={вам никто не позвонит с 18 до 21}.

13 Решение : Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А — очень вероятное, почти достоверное, а В — маловероятное, почти невозможное.Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А — очень вероятное, почти достоверное, а В — маловероятное, почти невозможное.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятные, чем D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятные, чем D.

Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.

14 Задача 3. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди деталей? По результатам контроля можно оценить вероятностьПо результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}.

Приближенно она будет равна его частоте: события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте: Р(А) = 5/1000=0,005. Р(А) = 5/1000=0,005. Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди деталей окажется около ,005 = 125 бракованных.

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди деталей окажется около ,005 = 125 бракованных. Решение задач.

15 Задача 4. Население города Калуги составляет около жителей. Сколько калужан родились 29 февраля? Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из жителей не обязана совпадать с вероятностью.

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью29 февраля бывает только в високосном году один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью Это значит, что среди жителей Калуги следует ожидать околоЭто значит, что среди жителей Калуги следует ожидать около человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года. человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года. Решение задач.

16 Задача 5. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере? Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно.

Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно. В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N.В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N. Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/N.

Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/N. С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте: 86/N=6/78.С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте: 86/N=6/78. Отсюда N = / 6 = 1118.

Отсюда N = / 6 = Решение задач.

17 В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте. Домашнее задание:

Источник: http://www.myshared.ru/slide/131998/

Ссылка на основную публикацию