Свойства равнобедренной трапеции

Содержание

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 31
г. Мурманска
Конспект и методическое сопровождение
урока геометрии в 9 классе
«Интересные свойства равнобедренной трапеции»
разработан
Сидоровой Анной Викторовной
учителем математики
первой квалификационной категории
г. Мурманск
2009 г.
Интересные свойства равнобедренной трапеции
Урок в 9 классе

Урок геометрии в 9 классе по теме «Интересные свойства равнобедренной трапеции» является уроком изучения нового материала. Этот урок можно провести при изучении темы: «Средняя линия трапеции» или при повторении всего курса планиметрии. Он будет очень полезным учащимся 11 классов при подготовке к ЕГЭ

Образовательные цели соответствуют требованиям к уровню подготовки выпускников, а так же месту урока в системе уроков по изучаемой теме и направлены на изучение новых свойств равнобедренной трапеции, усвоение и закрепление навыка решения задач с использованием этих свойств, а также отработке имеющихся навыков по этой теме, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме.
Цели данного урока были спланированы как ожидаемые результаты, которые предполагается получить в процессе совместной деятельности с учащимися при их обучении, воспитании и развитии.
Развивающие цели данного урока направлены как на общее развитие ученика, так и на развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях, развитие умений самостоятельной работы.

Воспитательные цели данного урока направлены на формирование положительной мотивации учения, созданию «ситуации успеха» на данном уроке. Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала отобраны методы и приёмы обучения.

1. Методы проблемного обучения:
эвристический метод (постановка проблемы и организация совместной поисковой деятельности по её разрешению.
2. Методы организации учебно-познавательной деятельности:

практические (закрепление практических умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий), словесные. Выбранные методы оптимальны для данного урока и позволяют решить задачу личностно-ориентированного подхода в обучении на этом уроке.

Соответственно содержанию урока и особенностям класса выбраны формы обучения: общеклассная (на этапе изучения нового материала ведётся работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса), индивидуальная (учащиеся работают самостоятельно)

Цели и задачи урока:

Повторить свойства равнобедренной трапеции; формулы площади трапеции; доказать новые свойства равнобедренной трапеции; рассмотреть задачи с их применением.
Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.
Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, печатные рабочие листы для работы учащихся на уроке.
Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point.
Ход урока:
Постановка целей урока.

Учитель: — Сегодня на уроке мы не только повторим известные вам свойства равнобедренной трапеции, но и рассмотрим новые интересные свойства равнобедренной трапеции, позволяющие более рационально решать задачи по этой теме. Может быть, в дальнейшем это поможет вам сэкономить время при сдаче ЕГЭ в 11 классе, когда будет дорога каждая минута.

Итак, трапеция. В “началах” Евклида этим термином назывались все четырехугольники кроме квадрата, ромба и прямоугольника, а также и усеченная пирамида. Слово  по-гречески означает “столик”. В современном смысле термин впервые встречается у древнегреческого математика Посидония.

Мы повторим известные нам свойства трапеции, изученные ранее.
Актуализация опорных знаний.
— Повторим основные свойства трапеции, заполнив пропуски в предложениях (на экране появляются слайды):
1) Трапецией называется четырёхугольник, у которого ______________________.
2) Трапеция называется равнобедренной (равнобокой), если __________________.
3) В равнобедренной трапеции углы __________________________________.
4) В равнобедренной трапеции диагонали ___________.
5) Средней линией трапеции называется отрезок, ______________________________.
6) Высотой трапеции называют отрезок прямой, ________________________.
7) Площадь трапеции равна произведению ____________________________________.
8) Трапеция называется описанной около окружности, если ______________________.
9) В трапецию можно вписать окружность, если ______________________________.
10) Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения _______________.
11) Если трапеция равнобедренная, то точки касания с окружностью делят основания ___.
12) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, _____________.
Задача 1
Найдите радиус окружности, если основания описанной около неё равнобедренной трапеции равны 4 см и 16 см.
Дано: окр.(О;r) вписана в трапецию ABCD, AD || BC, AD = 16 cм, ВС = 4 см
Найти: r
Решение:

По свойству трапеции, описанной около окружности (вернуться к слайду

с данным свойством с помощью управляющей кнопки ),

АВ +CD = BC + AD, AB = CD (по условию), 2AB = BC + AD,

Опустим высоты BH и CL.
Рассмотрим треугольник АВН: , АН = ,

AB = 10 см, по т. Пифагора:,

4. r =
Ответ: r = 4 cм.
Изучение нового материала.
Эту задачу можно решить другим способом, если бы вы знали
свойство1:
Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований: .

(Доказательство проводим устно, т.к. в печатной основе оно есть и в целях экономии времени).

Дано: окр.(О ; r) вписана в трапецию ABCD, AD || BС

B = CD, BC = a, AD = b, h – высота трапеции
Доказать:
Доказательство:
1) По свойству трапеции, описанной
около окружности: АВ + CD = AD + BC,
AB = CD, 2AB = AD + BC,
2)Опустим высоты ВН и СР.
3) Рассмотрим ΔАВН : ,АН =, ВН = h,
По т. Пифагора: ,

.
В ходе доказательства этого свойства мы доказали ещё одно
свойство2:
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии трапеции.
Вернёмся к задаче 1 и решим её с применением этого свойства.
Другое решение задачи 1
, ,
Ответ: r = 4 см.

Какой способ вам больше понравился и почему? Этот способ короче, значит он более рациональный.

Закрепление полученных знаний.
Решим задачу 2 с применением новых двух свойств, доказанных на уроке.
Задача 2

Равнобедренная трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 18 и 32. Найдите площадь трапеции.

Дано: окр.(О ; r) вписана в трапецию ABCD, AD||BC, AB = CD
М АВ,AM = 32, MB = 18
Найти: SABCD
Решение:S = mh, где m– средняя линия, h – высота трапеции,
(анализ задачи сопровождается слайдами с помощью управляющих
кнопок)

1) т.к. боковая сторона равна средней линии, то

m = 18 + 32 = 50
2) По свойству отрезков касательных, проведённых
из одной точки, и свойству равнобедренной трапеции,
получаем: AD = 32 ∙ 2 = 64, BC = 18 ∙ 2 = 36.
3) Используя свойство: , получим
a = BC = 36, b = AD = 64
h2 = 36 ∙ 64,
4) S = 50 ∙ 48 = 2400
Ответ: S = 2400
А теперь повторим, свойства равнобедренной трапеции, доказанные сегодня на уроке.
(На экране появляются рассмотренные за урок свойства)
Самостоятельная работа
Проверим, как вы усвоили эти свойства в ходе выполнения самостоятельной работы.
I вариант

В равнобедренную трапецию, основания которой 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга.

II вариант

Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найдите длину средней линии трапеции.

Закончим наш урок высказыванием великого учёного:
«Геометрия является самым могущественным средством
для изощрения наших умственных способностей и дает нам
возможность правильно мыслить и рассуждать»
(_________________________)
Для того чтобы узнать фамилию этого учёного, мы зачеркнем из таблицы полученные в ходе самостоятельной работы ответы:
2

12	5	9	2400	2,5	20	4	40	8	16
М	Г	А	Л	О	И	Л	П	Е	Д	Й

Ответ: Галилей.

Подведение итогов. Постановка домашнего задания.

тоги урока подводятся с опорой на конспект урока. Затем оценивается работа учащихся, выставляются оценки за урок. Предлагается домашнее задание.

Мне бы хотелось познакомить вас ещё с некоторыми свойствами равнобедренной трапеции, которые я предлагаю вам доказать самостоятельно:

Свойство 3:

В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее

основание равна средней линии трапеции.
Свойство 4:

1. Е
2. сли в равнобедренной трапеции диагонали

взаимно перпендикулярны, то её высота равна средней линии.
Свойство 5:

Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты, т.е..

Я предлагаю вам решить дома задачи с применением этих свойств:

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен . (ЕГЭ- 2007, В11)

В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 и 26.

Большое спасибо за урок!
(Показывается заключительный слайд)
Используемая литература:

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред.шк./-3-е изд.-М.: Просвещение, 2008.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Курс геометрии 8-го класса в задачах (для классов с углублённым изучением математики, специализированных классов естественно-технического профиля).Львов .Журнал «Квантор» 1991
Ковалева Г.И., Бузулина Т.И., Безрукова О.Л., Розка Ю.А. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и другим формам выпускного и вступительного экзаменов. Волгоград: Учитель, 2007
Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др.Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение, 1991.

Источник: https://globuss24.ru/doc/interesnie-svoystva-ravnobedrennoy-trapetsii-9-klass

Что такое трапеция: свойства четырёхугольника, теоремы и формулы

1001student.ru > Математика > Что такое трапеция: свойства четырёхугольника, теоремы и формулы

В курсе геометрии за 8-й класс подразумевается изучение свойств и признаков выпуклых четырёхугольников. К ним относятся параллелограммы, частными случаями которых являются квадраты, прямоугольники и ромбы, и трапеции. И если решение задач на различные вариации параллелограмма чаще всего не вызывает сильных затруднений, то разобраться, какой четырёхугольник называется трапецией, несколько сложнее.

Определение и виды

В отличие от других четырёхугольников, изучаемых в школьной программе, трапецией принято называть такую фигуру, две противоположные стороны которой параллельны друг другу, а две другие — нет. Существует и другое определение: это четырёхугольник с парой сторон, которые не равны между собой и параллельны.

Различные виды указаны на рисунке ниже.

На изображении под номером 1 изображена произвольная трапеция. Номером 2 обозначен частный случай — прямоугольная трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна её основаниям. Последняя фигура — тоже особый случай: это равнобедренная (равнобокая) трапеция, т. е. четырёхугольник с равными боковыми сторонами.

Важнейшие свойства и формулы

Для описания свойств четырёхугольника принято выделять определённые элементы. В качестве примера можно рассмотреть произвольную трапецию ABCD.

В её состав входят:

основания BC и AD — две стороны, параллельные по отношению друг к другу;
боковые стороны AB и CD — два непараллельных элемента;
диагонали AC и BD — отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры;
высота трапеции CH — перпендикулярный основаниям отрезок;
средняя линия EF — линия, соединяющая середины боковых сторон.

Основные свойства элементов

Чтобы решить задачи по геометрии или доказать какие-либо утверждения, наиболее часто используют свойства, которые связывают различные элементы четырёхугольника. Они формулируются следующим образом:

Средняя линия всегда проходит параллельно обоим основаниям фигуры и численно равна их полусумме: EF = (BC + AD)/2.
Точка пересечения диагоналей фигуры разделяет их с таким же соотношением длины, с каким относятся основания трапеции: AD : BC = AO : CO = DO : BO.
Основание можно вычислить, зная длину второго основания и средней линии: BC = 2 · EF — AD, AD = 2 · EF — BC.
Боковые стороны вычисляются, если известна высота фигуры и синус угла при основании: AB = CH / sinA, CD = CH / sinD.
Для расчёта высоты необходимо знать, чему равна боковая сторона и прилегающий угол: CH = AB · sinA = CD · sinD.

Кроме того, часто полезно знать и применять следующие утверждения:

Биссектриса, проведённая из произвольного угла, отделяет на основании отрезок, длина которого равна боковой стороне фигуры.
При проведении диагоналей образуются 4 треугольника; из них 2 треугольника, образованных основаниями и отрезками диагоналей, обладают подобием, а оставшаяся пара имеет одинаковую площадь.
Через точку пересечения диагоналей O, середины оснований, а также точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон, можно провести прямую.

Вычисление периметра и площади

Периметр рассчитывается как сумма длин всех четырёх сторон (аналогично любой другой геометрической фигуре):

P = AD + BC + AB + CD.

Есть несколько способов, как можно рассчитать площадь трапеции по формуле. Следует выбрать из них наиболее подходящий вариант, опираясь на то, какие данные известны по условию задачи.

Вписанная и описанная окружность

Окружность возможно описать около трапеции только в том случае, когда боковые стороны четырёхугольника равны.

Чтобы вычислить радиус описанной окружности, необходимо знать длины диагонали, боковой стороны и большего основания. Величина p, используемая в формуле, рассчитывается как полусумма всех вышеперечисленных элементов: p = (a + c + d)/2.

Для вписанной окружности условие будет следующим: сумма оснований должна совпадать с суммой боковых сторон фигуры. Радиус её можно найти через высоту, и он будет равен r = h/2.

Частные случаи

Рассмотрим часто встречаемый случай — равнобокую (равностороннюю) трапецию. Её признаки — равенство боковых сторон или равенство противолежащих углов. К ней применимы все утверждения, которые характерны для произвольной трапеции. Другие свойства равнобедренной трапеции:

Прямая, которая проходит через середины оснований фигуры, пересекает их под углом 90 градусов.
Углы, лежащие при любых основаниях, попарно равны.
Длины диагоналей совпадают.
Высота будет равна средней линии, если диагонали проходят перпендикулярно друг к другу.
Высота, опущенная из вершины к основанию, делит его на 2 отрезка, длина большего вычисляется как половина суммы оснований, а длина меньшего — как половина разности.

Прямоугольная трапеция встречается в задачах не так часто. Её признаки — наличие двух смежных углов, равных 90 градусов, и наличие боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Высота в таком четырёхугольнике одновременно является одной из его сторон.

Все рассмотренные свойства и формулы обычно используются для решения планиметрических задач. Однако также их приходится применять в некоторых задачах из курса стереометрии, например, при определении площади поверхности усечённой пирамиды, внешне напоминающей объёмную трапецию.

Источник: https://1001student.ru/matematika/chto-takoe-trapetsiya-svojstva-chetyryohugolnika-teoremy-i-formuly.html

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны. На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Рис.1

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий: 1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

SABCD = h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h2 = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF ┴ BC ┴ AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований: 10. Также смотрите свойства трапеции 1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

c =	h	=	a — b
sin α	2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d12 — c2	b =	d12 — c2	c = √d12 — ab
b	a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу: 4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе: 5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе: 1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c2 — h2 = b + √c2 — h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону: 1. Формула высоты через стороны: 2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a — b	tg β	= c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d1 = d2

1. Формула длины диагонали через стороны:

d1 = √с2 + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d1 = √a2 + c2 — 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 — 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основания: 1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√4c2 — (a — b)2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r 2	=	4 r 2
sin α	sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной: 5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d12	· sin γ	=	d12	· sin δ
2	2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d1
4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где a — большее основание

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium_isosceles/

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

ТРАПЕЦИЯ — (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка
Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
трапеция — четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 • перекладина (21) • … Словарь синонимов
ТРАПЕЦИЯ — (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия
ТРАПЕЦИЯ — (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ — ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ — ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова
ТРАПЕЦИЯ — ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова
ТРАПЕЦИЯ — жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
ТРАПЕЦИЯ — (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/6738