Свойства сложения, с примерами

Свойства сложения, с примерами

Сложение — это действие, в результате которого из двух и более чисел получается новое, содержащее столько единиц, сколько было в складываемых числах вместе. Сложение обозначается знаком «+» (плюс).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Если к числу ПРИВАРИТЬ ноль, то оно не изменится.

Записать сложение в буквенном виде можно следующим образом:
а + b = С,

где а и b — слагаемые, а С — сумма.

Свойства сложения, с примерами

Это интересно, читайте также:

Примеры на Сложение
Вычитание Целых Чисел

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула углеводорода в химии

Оценим за полчаса!

Умножение Целых Чисел

Теперь разберем в примерах:

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

1 + 3 = 4

Свойства сложения, с примерами

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Свойства сложения, с примерами

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то  нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

  • Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
  • Значение данного выражения равно 2
  • −2 + 4 = 2

Свойства сложения, с примерами

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

  1. Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
  2. Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
  3. Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
  4. Значение данного выражения равно −4
  5. −1 − 3 = −4

Свойства сложения, с примерами

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

  • Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
  • Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
  • Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
  • Значение данного выражения равно 0
  • −2 + 2 = 0

Свойства сложения, с примерами

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Свойства сложения

В математике, как и в любой другой науке, есть свои правила — свойства. Два таких свойства имеют непосредственное отношение к сложению.
Первое из них — переместительное. Уже по названию ты можешь догадаться, о чем идет речь. Правильно! О перемещении слагаемых. Давай рассмотрим такой пример:

10 + 8 = 18 и 8 + 10 = 18.

В обоих случаях сумма осталась прежней, т.е. она не изменилась от перестановки слагаемых.

Второе свойство — сочетательное. Работает
оно в том случае, если тебе нужно сложить три и более чисел. По лучить их сумму можно двумя способами:
1. Сложить два первых числа, а потом прибавить к ним третье, например:
7 + 3 + 6 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16.
2. Получить сумму второго и третьего чисел, а потом прибавить к ним первое:

7 + 3 + 6 = 7 + (3 + 6) = 7 + 9 = 16.

Свойства сложения, с примерами

ЗАПОМНИ: от перестановки СЛАГАЕМЫХ СУММА НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ, Т.Е. А + В = В+А.

В буквенном выражении сочетательное свойство можно записать так:
(а + в) + с = а + {в + с).

Знание этих свойств может значительно облегчить любые вычисления. Давай рассмотрим это на конкретных примерах.

Свойства сложения, с примерами

Источник: https://mentalar.ru/slozhenie-celyx-chisel/

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится.

Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

  • Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:
  • 5 + 2 = 2 + 5
  • 7 = 7
  • Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:
  • a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b

Свойства сложения, с примерами

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

  1. Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:
  2. 2 + 3 + 5
  3. Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
  4. 2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
  5. Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2
  6. 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
  7. Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
  8. Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
  9. (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
  10. 10 = 10
  11. Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:
  12. (a + b) + c = a + (b + c)

Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

  • 5 × 2 = 10
  • 2 × 5 = 10
  • В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
  • 5 × 2 = 2 × 5
  • 10 = 10
  • Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:
  • a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x

Сочетательный закон умножения

  1. Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
  2. Рассмотрим следующее выражение:
  3. 2 × 3 × 4
  4. Данное выражение можно вычислять в любом порядке.

    Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Свойства сложения, с примерами

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Свойства сложения, с примерами

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Свойства сложения, с примерами

  • Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:
  • a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)
  • Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
  • Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

Свойства сложения, с примерами

Распределительный закон умножения

  1. Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.
  2. Рассмотрим следующее выражение:
  3. (3 + 5) × 2
  4. Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках.

    Выполняем:

  5. (3 + 5) = 8
  6. В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:
  7. 8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения.

Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Свойства сложения, с примерами

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

  • (3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
  • Или ещё короче:
  • (3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
  • Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:
  • (a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Свойства сложения, с примерами

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

  1. c × (a + b) = c × a + c × b
  2. Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)
  3. Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
  4. 5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
  5. Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)
  6. Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
  7. 6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

  • Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)
  • Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
  • 5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20
  • Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)
  • Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
  • 7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

Задания для самостоятельного решения

Источник: http://spacemath.xyz/zakoni_matematiki/

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Чтобы сложить числа 5 и 2, можно к числу 5 прибавить 1 и к полученному числу 6 еще раз прибавить 1. Имеем: 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 6 + 1 = 7. Но так вы складывали числа, когда учились в начальной школе. Сейчас, вы не задумываясь, по памяти пишите: 2 + 7 = 9, 6 + 3 = 9, 2 + 8 = 10, 8 + 7 = 15 и т.д., т.е. знаете наизусть таблицу сложения однозначных чисел.

Почему удобно складывать многозначные числа в столбик? Сложим, например, числа 3 853 164 и 2 700 503.

Свойства сложения, с примерами

 При таом поразрядном сложении вычисления приходится проводить только с однозначными числами, что не вызывает затруднений.

Напомним, что в равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число с и запись a + b − суммой. Здесь буквами обозначены числа.

  • Вам хорошо известно переместительное свойство сложения.
  • От перестановки слагаемых сумма не меняется.
  • В буквенном виде это свойство записывают так:
  • a + b = b + a
  • Как удобнее вычислить сумму (64 + 23) + 77?
  • Скорее всего вы поступите так:
  • (64 + 23) + 77 = 64 + (23 + 77) = 64 + 100 = 164.
  • Здесь мы воспользовались сочетательным свойством сложения.
  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
  • В буквенном виде это свойство записываю так:
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • Из свойств сложения следует, что при сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и заключать их в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
  • Например, верны равенства:
  • a + b + c = c + b + a,
  • 2 + 3 + 7 + 8 = (2 + 8) + (7 + 3).
  • При сложении число 0 обладает особым свойством: если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому:
  • a + 0 = a,
  • 0 + a = a.

Пример 1. Упростите выражение 136 + (a + 214).

  1. Решение.
  2. Используя переместительно и сочетательное свойства сложения, получаем:
  3.  136 + (a + 214) = 136 + (214 + a) = (136 + 214) + a = 350 + a.

Пример 2. Найдите сумму 7 мин 44 с + 5 мин 38 с.

  • Решение.
  • Учитывая, что 1 мин = 60 с, имеем:
  • 7 мин 44 с + 5 мин 38 с = 7 мин + 44 с + 5 мин + 38 с = (7 мин + 5 мин) + (44 с + 38 с) = 12 мин + 82 с = 12 мин + 60 с + 22 с = 12 мин + 1 мин + 22 с = 13 мин 22 с.

Источник: https://reshalka.com/glossaries/25

Сочетательное свойство сложения – примеры — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

Свойства сложения – это первый шаг к ускорению счета. Ученик, владеющий всеми приемами быстрого сложения, имеет больше времени для сложных задач и проверки своего решения. Поэтому имеет смысл рассмотреть свойства сложения еще раз, чтобы правильно применять их на практике

Содержание

  • Что такое сложение?
  • Свойства сложения
  • Пример
  • Что мы узнали?

Что такое сложение?

Для начала вспомним, что такое вообще сложение? Сложение это одна из первых операций, которые изучают в школе, а иногда даже в детском саду. Как правило, сложение объясняют на примере фруктов.

Если взять 3 груши и 2 яблока, сложить их в корзину, то груши это первое слагаемое, яблоки второе, а общее количество фруктов в корзине – сумма. Это определение нельзя назвать неправильным, но ученики растут, как растут и используемые числа. Сложно представить себе сложение сотен тысяч фруктов.

Поэтому в математике используют другое определение, которое гласит, что сложение это перемещение точки на числовой прямой в право.

Многие знания усложняются со временем. Так, если в начальной школе ученикам говорят, что отрицательный результат сложения это ошибка, то в 5 классе все уже знают, что такой ответ возможен. Так и с определением свойств сложения. Обычных фруктов просто не хватит для того, чтобы представить себе большие числа. Поэтому в старших классах уходят к теоретическим определениям.

Свойства сложения

Выделяют переместительное и сочетательное свойство. Переместительное свойство говорит нам о том, что от перемены мест слагаемых сумма не поменяется.

Сочетательное свойство утверждает, что в примерах, где два и более множителя, сложение может производиться в любом порядке.

Главное в этом случае правильно сгруппировать слагаемые, чтобы ускорить вычисления, а не затруднить его еще сильнее. Самый простой вариант это смотреть на количество единиц в числе.

В первую очередь нужно складывать те числа, сумма единиц в которых равняется 10, например 29 и 31 в сумме дадут 60.

После этого складывают целые десятки и только потом все остальное. Это наиболее простой и быстрый путь решение примеров на сложение.

На самом деле даже не каждый профессор сможет отличить применение сочетательного свойства от переместительного. Они крайне похожи, некоторые математики считают даже, что сочетательное свойство является продолжением переместительного. По той же причине учителя редко просят отличить применение в задаче одного свойства от другого. Нужно просто уметь пользоваться обоими.

Пример

Примеры сочетательного свойства сложения найти не трудно. Практически в каждом примере используется это свойство.

15*3+5-13-17-2-16-2 – для начала выполним умножение.

45+5-13-17-2-16-2 – теперь сгруппируем члены так, чтобы вычислить результат как можно быстрее. Для этого нужно вспомнить, что разность можно представить, как сумму отрицательных чисел. В нашем случае просто вынесем минус за знак скобок.

45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) – теперь выполним вычисления в скобках и найдем окончательный результат

45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0

Вот такой ответ получился у достаточно большого примера. Не стоит пугаться простых ответов вроде 0 или 1. Иногда составители примеров таким образом путают учеников.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сложении, выделили сочетательное и переместительное свойства сложения. Поговорили о различиях этих свойств, а также о правильном применении сочетательного свойства сложения. Решили небольшой пример, чтобы показать применение сочетательного свойства на практике.

ПредыдущаяСледующая

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/matematika-uroki/15478-sochetatelnoe-svoistvo-slojeniia-primery.html

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Умножение, сложение, вычитание и деление — основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ. Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

  • Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.
  • От перемены мест слагаемых сумма не меняется
  • a+b=b+a
  1.  Согласно этому свойству, справедливо равенство:
  2. 35+251=251+35
  3. Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.
  4. -528+3700=3700+-528

Ассоциативное свойство сложения

  • Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон. 
  • Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
  • a+b+c=a+b+c
  • Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.
  1. Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:
  2. 64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);
  3. (128+(-75))+96=128+((-75)+96).

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль — нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=a

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·a

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.

Сочетательное свойство умножения

  • Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:
  • a·(b·c)=(a·b)·c
  • a, b, c — произвольные целые числа.
  • Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.
  1. В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:
  2. -12·3·8=-12·3·8;
  3. 119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

a·0=0

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a·b=0 если a=0 или b=0.

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

a·1=a

Распределительное свойство умножения относительно суммы.

Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.

a·(b+c)=a·b+a·c

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание — действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b — это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания

  1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=b. a-b≠b-a.
  2. Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
  3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
  4. Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
  5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление — операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.

Основные свойства деления

  1. Деление на нуль невозможно.
  2. Деление нуля на число: 0a=0.
  3. Деление равных чисел: aa=1.
  4. Деление на единицу: a1=a.
  5. Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠ba.
  6. Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
  7. Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на c; a·bc=a·bс, если b делится на c; a·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
  8. Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/umnozhenie-slozhenie-vychitanie-i-delenie-tselyh/

Свойства арифметических действий

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Переместительный закон сложения

  • Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .
  • Пример:
    3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
  • В общем случае:
  • a+b=b+a
  • a+b+c=c+a+b
    Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.

Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим

  1. Пример:
    5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
  2. В общем случае:
  3. a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

Свойство вычитания суммы из числа

  • Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
  • Например:
    20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
    В общем случае:
  • а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

  1. Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
  2. Пример:
    8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
    В общем случае:
  3. а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

  • Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
  • Например:
    18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
    Вообще:
  • а — (Ь — с) = а + с — b.

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:

a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

  1. Так:
    3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
    Вообще:
    a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
    Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
  2. из сомножителей, оставив другие без изменения.
  3. Так:
    3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
    Вообще:

(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:

(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

  • В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
    сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
  • Так:
    5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
    Вообще:
  • r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
  • Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

  1. Распределительный закон можно применять и к разности.
  2. Так:
    (8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
  3. 7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
  4. Вообще:
    (а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т.

е.

чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить

отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Деление суммы на число

  • Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
  • Например:
  • (30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
    Вообще:
  • (a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

  1. Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
    и из первого результата вычесть второй:
  2. (20-8)/5= 20/5 — 8/5
  3. Вообще:
  4. (a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

  • Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
    Поясним это свойство на следующих двух примерах:
    1)8:3 = 8/3|,
    умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
    новое частное: (8*5)/(3*5)
  • которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
  • Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
    (am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
  • am/bm= a/b
  • Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Источник: http://df-dt.com/svojstva-arifmeticheskix-dejstvij.html

Урок математики по теме "Свойства сложения"

Технологическая карта урока математики во 2 классе

Учитель: Рябова Н.М.

урок открытия нового знания

  • Технология построения урока
  • проблемно-диалогическая, системно – деятельностный подход в обучении
  • Тема
  • Свойства сложения
  • Цель
  • Познакомить с переместительным и сочетательным свойствами сложения, научить применять их при нахождении значений числовых выражений, записывать изученные свойства, используя буквенные обозначения.
  • Основные термины, понятия
  • Слагаемое, сумма, сложение, переместительное свойство, сочетательное свойство, свойство сложения с нулем

Предметные умения

  1. — иметь представление о понятиях «переместительное свойство», «сочетательное свойство»;
  2. — уметь использовать изученные свойства при вычислениях;
  3. — уметь записывать изученные законы и свойства, используя буквенные обозначения;
  4. ЛичностныеУУД:
  5. — устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом;
  6. — определять общие для всех правила поведения ;
  7. — определять правила работы в паре;
  8. оценивать усваиваемое содержание (исходя личностных ценностей);
  9. — устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом; -формировать личностные качества: любознательность, трудолюбие, целеустремлённость и настойчивость в достижении цели; — обосновывать свою позицию, высказывать свое мнение; — проявлять самостоятельность, личную ответственность.
  10. Метапредметные критерии сформированности УУД:
  11. Регулятивные УУД:
  12. — определять и формулировать цель деятельности на уроке;
  13. — высказывать свое предположение на основе учебного материала;
  14. — отличать верно выполненное задание от неверного;
  15. — осуществлять самоконтроль;
  16. — совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке.
  17. Познавательные УУД:
  18. — ориентироваться в учебнике, тетради;
  19. — ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
  20. — проводить анализ учебного материала;
  21. — проводить классификацию, указывая на основание классификации;
  22. Коммуникативные УУД:
  23. — слушать и понимать речь других;
  24. уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли ;
  25. -владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
  26. Фронтальная
  27. Работа в парах
  28. Индивидуальная
  29. Книгопечатная продукция

М.И.Моро. Математика. 2 класс. Часть 1.

  • Технические средства обучения
  • Компьютер
  • Медиапроектор
  • Технология изучения
  • I. Мотивация
  • к учебной деятельности
  • Цель:
  • — создание условий для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность;
  • Эмоциональный настрой на урок.
  • -Долгожданный дан звонок.
  • Начинается урок.
  • -Улыбнулись друг другу-(слайд)
  • Давайте приступим к работе .
  • И пусть интересным будет урок.
  • А девиз нашего урока: «Будьте внимательны и у вас все получится» (слайд)
  • Нас на уроке ждут великие дела.(слайд)
  • Проговаривание правил сотрудничества
  • Определять и проявлять правила поведения при сотрудничестве.
  • (Л /УУД).
  • Правильно формулировать собственное мнение.
  • (Р/УУД).
  • II. Актуализация знаний
  • Цель:
  • — обеспечение готовности учащихся к включению в продуктивную обучающую деятельность, повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания».
  • Организация живого диалога

— Какое сейчас время года ? (осень). -Кто любит осень?

-Какое сегодня число? (19)

— Что вы можете сказать о числе 19?  

( двузначное, состоит из 1 дес. и 9 ед.).

-Почему число 19-двузначное? (в его записи использовано 2 цифры).

  1. -Представьте число 19 в виде суммы разрядных слагаемых. (19=10+9)
  2. распределите числа на 2группы(слайд)
  3. 4, 27, 83, 9, 16, 5, 72, 31, 94.
  4. -по какому признаку вы это сделали?
  5. -Какие числа мы называем однозначными?
  6. -Почему числа называем двузначными?
  7. — Укажите состав чисел.
  8. -Прочитайте числа в порядке возрастания, (убывания).
  9. -Прочитайте правильно числовые выражения и найдите их значения:

60+8=, 68-60=, 68-8= 30+(5+2)=, 90-(6+4). (слайд) -Правило: Действия, записанные в скобках, выполняются первыми. -Найдите периметр треугольника со сторонами 4см, 5см, 6см — Что такое периметр?(слайд)

  • Периметр-это сумма длин сторон многоугольника.
  • Ведение живого диалога: свободно говорят, высказывают свою точку зрения
  • Выделение и осознание того, что уже пройдено (Р/УУД).
  • Смыслообразовани (Л/УУД).
  • Слушать и понимать речь других (К /УУД)

III. Постановка целей, задач урока, мотивационная деятельность учащихся.

  1. Цель:
  2. — обсуждение затруднений, проговаривание цели урока, темы.
  3. — Прочитайте слова: слагаемое, уменьшаемое, разность, слагаемое, вычитаемое, сумма. (слайд)
  4.      — Кто мне поможет разделить эти слова на группы?   (I – компоненты действия сложения, II – компоненты действия вычитания) (слайд)

— Назовите их.(Компоненты при сложении называются: слагаемое, слагаемое, сумма.

  • Компоненты при вычитании называются: уменьшаемое, вычитаемое, разность)
  • -Как вы думаете, к какой группе можно отнести слово «свойство…» ? (к I группе)
  • — Кто догадался, какая у нас сегодня тема урока? (свойства сложения) (слайд)
  • — Чему мы будем учиться на уроке?
  • (познакомимся со свойствами сложения и будем их применять при нахождении значений числовых выражений).
  • -С каким свойством сложения вы уже знакомы? ( с переместительным)
  • -сравни: 30+8*8+30, 7+10*10+7 (слайд)
  • — Как читается переместительный закон сложения? (От перестановки слагаемых сумма не изменяется)
  • -Не вычисляя, составьте верные числовые равенства. ( 50 + 8 = * + 50,
  • 5 + 40 = 40 + * (слайд)
  • * + 8= 8 + 2)

— Зачем нужно знать это свойство при вычислениях? ( Легче к большему числу прибавить меньшее).

Запись с помощью букв: а+в=в+а (слайд)

-Работа по учебнику с.44, №1. (взаимопроверка)

  1. — А найдите значение этого числового выражения:
  2. 6 + 7 + 8 + 9 + 3 + 4 + 1 + 2 = (слайд)
  3. -У кого это задание вызвало затруднение?

-Проблема. ( Не достаточно знаний, чтобы легко и быстро справиться с заданием.)

  • Вспоминают названия компонентов при сложении.
  • Анализируют слова, деля их на группы.
  • Формулируют цель урока.
  • Определять и формулировать цель деятельности на уроке (Р/УУД).
  • Высказывать свое предположение на основе учебного материала (Р/УУД).
  • Проводить классификацию, указывая на основание классификации (П /УУД)
  • Ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания) (П /УУД)
  • Уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли (К /УУД)
  • IV. Первичное усвоение новых знаний
  • Цель:

— обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы. Организация исследовательской деятельности, выведение алгоритма.

  1. Давайте вместе добудем эти знания!
  2. (рассмотреть с помощью кружков разного цвета еще одно свойство сложения) (слайд)
  3. (5+3)+2=5+(3+2)
  4. 10 = 10

Вывод: Результат сложения не изменится, если два соседних слагаемых заменить их суммой. Это сочетательный закон сложения. (на доске).

  • — (а+в)+с=а+(в+с)
  • Эти два закона работать могут вместе.
  • Давайте вернемся к нашему числовому выражению и решим его.
  • — Какие у вас будут предложения?
  • (Можно применить переместительное свойство сложения, а затем сочетательное свойство сложения).
  • (6+4)+(7+3)+(8+2)+(9+1)=40 (слайд)
  • Вывод: Используя оба свойства сложения, можно складывать числа в любом порядке.
  • -С какими свойствами сложения мы с вами познакомились? (ответы детей)
  • Решают проблему, обсуждая и выдвигая гипотезы в совместной деятельности, сравнивают, анализируют, осуществляют поиск необходимой информации
  • Выполняют задание, проговаривая свойства сложения.
  • Составляют буквенную запись свойств сложения.
  • Работают с учебником в парах. Выполняют задания
  • Проводить анализ учебного материала (П /УУД)
  • Ориентироваться в учебнике, тетради (П /УУД)
  • Определять правила работы в паре (Л /УУД)
  • Слушать и понимать речь других (К /УУД)
  • Отличать верно выполненное задание от неверного (Р/УУД).
  • V.Первичное закрепление
  • Цель:

обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации. Выполнение заданий с проговаривание в громкой речи. Запись с помощью буквенных выражений.

  1. (Работа в паре) Дополните формулировку свойств пропущенными словами.
  2. От _________ слагаемых сумма ___________.
  3. Результат _______________не изменится, если соседние _____________заменить их суммой.
  4. Чтобы к сумме двух чисел прибавить ___________, можно к первому числу прибавить сумму __________ и третьего числа.
  5. Игра «Помоги героям вспомнить свойства»
  6. — В каком из примеров использовано сочетательное свойство? (переместительное)
  7. 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1
  8. 21 – 17 = 17 – 21
  9. 15 + 18 = 18 + 15
  10. 4 + 9 = 13
  11. 46 + 0 = 46
  12. А для чего нам нужно знать свойства сложения? (для быстрого, рационального вычисления выражений) —

Работа по учебнику: с.44, правило. с.45, № 3. (устно)

  • Найти значения числовых выражений:
  • ( с проговариванием в громкой речи )
  • 6+9+4+1=
  • 17+8+3+2=
  • Участвуют в диалоге.
  • Выполняют задания в парах, ведут обсуждение, учатся принимать на себя ответственность за результат учебного труда.
  • Определять правила работы в паре (Л /УУД)
  • Владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. (К /УУД)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой.

  1. Цель:
  2. — умение применять правило в самостоятельной деятельности.
  3. — Самостоятельно найдите рациональный способ вычисления суммы, пользуясь свойствами сложения.
  4. -Какими свойствами вы будете пользоваться?
  5. 1)Работа по карточке(дифференцированные задания).
  6. Карточка №1 15+6+7+5+4+3= 40+7+20+3= 82+6+8+4= 26+13+4+7 Карточка №2 7+9+5+1+3+5= 50+6+40+4= 32+7+8+3= Карточка № 3 7+8+3+2= 15+9+5+1=

САМОПРОВЕРКА. (слайд) №1. 40,70,100,50 №2. 30,100,50. №3. 20,30. –Кто выполнил без ошибок? -Кто допустил ошибки?

  • 2)Найдите значения числовых выражений (на время): (слайд)
  • 7+9+3+1=(7+3)+(9+1)=20
  • 15 + 8 + 2= 15 + (8 + 2) = 25
  • 1 + 39 + 20 = (1 + 39) + 20 = 60
  • 63 + 14 + 6 = 63 + (14 + 6) = 83
  • 12 + 8 + 10 = (12 + 8) + 10 = 30
  • 6+5+4=(6+4)+5=15
  • ПРОВЕРКА: САМОПРОВЕРКА.
  • — Кто допустил ошибки при вычислении?
  • — У кого  ошибок нет?
  • — Оцените свою работу.(смайлик на полях)
  • 2) Применение нового знания при решении задач.

1)Построить ломаную из трех звеньев: 6см, 2см, 4см.Найти ее длину?

2)Учебник.С.45, № 5. Задача.

  1. ( Решение: 30+30+20+20=
  2. (30+20)+(30+20)=100(мм)-периметр четырехугольника.
  3. 100мм=10см
  4. Ответ:10см .
  5. Самостоятельное решение в тетради.
  6. Осуществляют самоконтроль и самооценку своей работы.
  7. Отличать верно выполненное задание от неверного (Р/УУД).
  8. Осуществлять самоконтроль (Р/УУД).
  9. Оценивать усваиваемое содержание (Л /УУД)

VII. Подведение итогов учебного занятия. Рефлексия деятельности

  • Цель:
  • — анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями.
  • ВОПРОСЫ:
  • -Ребята, какова была тема урока?
  • -Какую цель вы ставили перед собой?
  • -Достигли ли поставленной цели?
  • — В чём ценность нового знания?
  • -Оцените свою работу на уроке.(смайлики)
  • Весело звенит звонок.
  • Вот и закончился наш урок.
  • Благодарю за внимание.
  • Осознание результатов своей учебной деятельности;
  • Самооценка результатов своей работы и работы всего класса.
  • Устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом (Л /УУД)
  • Совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке (Р/УУД).
  • VIII Домашнеезадание.
  • Комментировать.

С. 44,правило, с.45, № 4, с. 46, №1.-применить изученные свойства сложения при нахождении значения числовых выражений.

Резерв урока.

  1. Найти значение числовых выражений: 30+40+7 = 30+4+6= 20+70+2= 40+6+3 60+30+8= 60+5+4=

  2. Сравни: 2дм1см*12см 38мин.*1ч.

  3. Реши задачу и составь обратные:

В гараже было 11машин. Утром 6 машин уехало. Сколько машин осталось в гараже?

Источник: https://infourok.ru/urok-matematiki-po-teme-svoystva-slozheniya-2216513.html

Ссылка на основную публикацию