Свойства углов треугольника, с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку.

Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник и т.д. выделены в отдельные темы – читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.

1. Сумма углов треугольника. Внешний угол

Сумма внутренних углов любого треугольника равна  .

Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

У треугольника ещё бывают внешние углы. И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна  , касается как раз внешнего треугольника.

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем  ) продолжаем.

Видишь, получился новый угол,  ? Этот угол образован одной стороной ( ) треугольника и продолжением другой стороны ( ). Вот он и называется внешним углом треугольника   при вершине  .

Конечно, мы бы могли оставить сторону  , а продолжить сторону  . Вот так:

Тогда   тоже будет внешним углом при вершине  , да и к тому же он будет равен углу  .

Смотри: углы   и   – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине  .

А вот про угол   такого сказать ни в коем случае нельзя!

Он образован пересечением двух продолжений сторон! Угол   вообще равен внутреннему   треугольника  .

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

• Смотри, на нашем рисунке это означает, что  .
• Как же это связано с суммой углов треугольника?
• Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна  
•  ,
• но   — потому, что   и   – смежные.
• Ну вот и получается:  .

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна  , а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

2. Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

1. Это означает, что
2.   и
3.   и
4. Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?
5. Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного   м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея   метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж   м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Так не может быть!

Почему? Да потому что если от Коли до Пети   м, а от Пети до Сергея   м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше   ( ) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой ( ) должен быть короче, чем путь с заходом в точку  . ( ). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт.

Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами  ?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем:  , значит, треугольника со сторонами   и   не бывает! А вот со сторонами   – бывает, потому что

  и

  и

3. Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много — много – много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» — тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять.

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
3. Третий признак – по трём сторонам.

ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия.

,  ,   — внутренние углы  . Внешний угол треугольника — угол, смежный внутреннему углу треугольника, т.е.   и   — внешние углы   при вершине  .

Основные свойства:

1. Сумма внутренних углов любого треугольника равна  , т.е.  
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е.   или  
3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е.  
4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е. если  , то  , и наоборот, если  , то  .

Признаки равенства треугольников.

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними.

2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак – по трём сторонам.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

• Стать учеником YouClever,
• Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
• А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/treugolnik-1

Треугольник. Свойства углов треугольника

• «Треугольник. Свойства углов треугольника»
• «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю»
• Китайская мудрость
• Цель:

• Определить виды треугольников;
• Повторить правила нахождения периметра;
• Вывести свойства углов треугольника;
• Сформировать умение использовать эти свойства при решении задач.

1. Ход урока
2. I. Организационный момент …
3. II. Актуализация знаний
4. Эмоциональное включение учащихся в урок

Издавна людям известно место в Атлантическом океане, по форме напоминающее геометрическую фигуру, о которой мы сегодня будем говорить.

Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико, полуостровом Флорида и называется “бермудским треугольником”. А ещё его называют “дьявольский треугольник”, “треугольник проклятых”.

Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа “бермудского треугольника” остаётся тайной и по сей день.

Ещё один общеизвестный треугольник – это «невозможный треугольник». Который увековечен в виде скульптуры в д. Опховен, Бельгия. И треугольник Пенроуза в городе Перт, Австралия.

• 
• Треугольник Пенроуза в городе Перт, Австралия.
• 
• Так же есть бесконечные числовые таблицы в форме треугольника: треугольник Паскаля, треугольник Фибоначчи.

Почему я заговорила сегодня с вами об этих необычных фигурах? Как вы думаете, какова тема сегодняшнего урока?

Но мы с Вами поговорим о ВОЗМОЖНЫХ треугольниках. Вспомним виды треугольников

Ты на него, ты на меня,На всех нас посмотри.У нас всего, у нас всего, У нас всего по три.Три стороны и три углаИ столько же вершин.И трижды-трудные дела

1. Мы трижды совершим.
2. Часто знает и дошкольник,
3. Что такое треугольник.
4. А уж вам- то, как не знать …
5. Но совсем другое дело –
6. Очень быстро и умело
7. Величины все улов
8. в треугольнике узнать.
9. — А что такое треугольник?
10. — Назовите треугольники, изображенные на доске.
11. — Назовите углы в треугольниках АВС, ДЕF, МNК. (отметить дугами)

— Какие элементы треугольника мы можем измерить? Чем?

— Как называется сумма длин всех сторон треугольника?

— А можно ли найти сумму углов треугольника? Как?

Поэтому тема сегодняшнего урока «Треугольники. Сумма углов треугольника».

Сначала вспомним виды углов, как они называются и как измеряются углы. Итак:

Дело 1. Самостоятельная работа «Измерение углов»

1. Напомнить об алгоритме измерения углов.

2. На экран проецируются различные углы

3. Определить вид каждого угла

4. Определить градусную меру угла (задание по вариантам, работа в парах, карточки с углами раздать по вариантам)

III. Этап объяснения нового материала (работа в парах):

Дело 2. Чему равна сумма углов треугольника?

(работа в парах, фронтальное обсуждение полученных результатов)

1. На каждую парту раскладываются модели различных треугольников с опросными листами.

2. Выполнить задания:

   1. Измерить стороны треугольника

   2. Найти периметр треугольника

   3. Измерить углы треугольника

   4. Найти сумму углов треугольника

• Обозначить данный треугольник.
• Измерить стороны данного треугольника.
• Найти периметр треугольника.
• Измерить углы данного треугольника.
• Найти сумму углов треугольника.

• Обозначить данный треугольник.
• Измерить стороны данного треугольника.
• Найти периметр треугольника.
• Измерить углы данного треугольника.
• Найти сумму углов треугольника.

• Обозначить данный треугольник.
• Измерить стороны данного треугольника.
• Найти периметр треугольника.
• Измерить углы данного треугольника.
• Найти сумму углов треугольника.

• Обозначить данный треугольник.
• Измерить стороны данного треугольника.
• Найти периметр треугольника.
• Измерить углы данного треугольника.
• Найти сумму углов треугольника.

• Обозначить данный треугольник.
• Измерить стороны данного треугольника.
• Найти периметр треугольника.
• Измерить углы данного треугольника.
• Найти сумму углов треугольника.

• Чему равна сумма углов треугольника?
• Доказательство: Оторвем углы треугольника и сложим их вместе, получим развернутый угол. Измеряя, мы получили приближенные значения, а в любом треугольнике сума углов равна точно 180
• IV. Закрепление нового материала:
• Устная работа.

— Вернёмся к треугольникам, изображённым на доске. Назовите виды этих треугольников.

— Перед вами чертёжные треугольники. Что в них общего? Чем отличаются? Вид?

• Чему равна сумма острых углов треугольника?
• Могут ли в треугольнике быть два тупых угла?
• Чему равен угол равностороннего треугольника?
• Чему равны углы при основании равнобедренного треугольника?
• Может ли треугольник, в котором два угла 40 и 60, быть тупоугольным?
• Может ли треугольник с градусными мерами углов 10 и 20 быть остроугольным?
• Является ли треугольник прямоугольным, если градусные меры двух углов 35 и 55?

1. Дело 3. Сообразим-вообразим
2. (фронтальная работа, обсуждение, на доске образец записи в тетрадях)
3. Заполнить таблицу (Рассмотреть, обсудить, выдать готовую таблицу)
4. Тупоугольный
5. Остроугольный
6. Прямоугольный
7. Разносторонний
8. Равнобедренный
9. Равносторонний
10. Домашнее задание:

1. Учебник п. 31, 32

2. Что такое ФЛЕКСАГОН? Как он строится? Построить его.

3. № 585, 586

При остатке времени: № 590, 592, 596

V. Подведение итогов.

Карточка для рефлексии

• Понравился ли тебе урок?______________________________________________
• Поставь отметку учителю по пятибальной системе ______________________
• Оцени свою деятельность по пятибальной системе_______________________
• Всё ли у тебя получилось? ( если нет, то что не получилось?)_______________

VI. Источники материалов.

Источник: https://infourok.ru/treugolnik._svoystva_uglov_treugolnika-427605.htm

Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм. 

Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.

Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников

• Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий. 
• Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:

 

1. Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.
2. Общие признаки:

• 3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;
• сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.

Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:

1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.

2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр. 3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).

Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.

Равносторонний треугольник

«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.

Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.

 

Разносторонний треугольник

 

Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.

Уникальных отличий не имеет, только общие:

• все параметры имеют разные значения;
• совпадений между вспомогательными линиями нет.

Равнобедренный остроугольный треугольник

Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.

Особенности:

• проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;
• вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

• Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.
• Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.

Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.

В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/ostrougolnyy-treugolnik.html

Урок математики по теме «Треугольник. Свойства углов треугольника» (5 класс)

• Урок математики по теме «Треугольник. Свойства углов треугольника»
• 5 класс
• Цели урока:
• Обучающие: познакомить учащихся с новыми понятиями: треугольник, виды треугольников, доказать свойство углов треугольника; закрепить понятия с помощью выполнения заданий.
• Развивающие: развивать пространственное воображение; развивать умение правильно излагать мысли; развивать умения анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.
• Воспитательные: воспитывать внимание, аккуратность, дисциплинированность; воспитывать уважительное отношение к одноклассникам; формирование интереса к предмету математики путём использования формы урока беседа-лекция, использования ИКТ; способствовать формированию представления о математике, как о части общечеловеческой культуры.

Тип урока. Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Ход урока.

1 этап. Организационный момент.

Приветствие учащихся.

2 этап. Актуализация знаний учащихся.

1. С помощью какого инструмента можно измерить углы треугольника?

2. А у любого ли треугольника можно измерит углы?

3. Приведите примеры различных треугольников.

3 этап. Эмоциональное включение учащихся в урок.

В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру, о которой мы сегодня будем говорить.

Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико, полуостровом Флорида и называется “бермудским треугольником”. А ещё его называют “дьявольский треугольник”, “треугольник проклятых”.

Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа “бермудского треугольника” остаётся тайной и по сей день.

Ещё один общеизвестный треугольник – это «невозможный треугольник», который увековечен в виде скульптуры в д.Опховен в Бельгия. И треугольник Пенроуза в городе Перт в Австралии.

1. 
2. Треугольник Пенроуза в городе Перт, Австралия.
3. Но мы с Вами поговорим о ВОЗМОЖНЫХ треугольниках.
4. Тема сегодняшнего урока «Сумма углов треугольника».

Скажите мне, пожалуйста, что такое треугольник? (Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащих на данной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

Треугольники различают (называют, то есть классифицируют) по сторонам и по углам. Какие вы знаете треугольники?

Вспомним о том, как измеряются углы. Итак:

4 этап. Самостоятельная работа по теме «Измерение углов».

Работа с раздаточным материалом.

1. Напомнить об алгоритме измерения углов.

2. Определить вид каждого угла

3. Определить градусную меру угла (задание по вариантам, работа в парах)

Взаимопроверка (ответы высвечиваются на смарт-доске).

5 этап. Объяснение нового материала (работа в парах).

Чему равна сумма углов треугольника?

1. На каждую парту раскладываются модели различных треугольников с опросными листами.

2. Выполнить задания:

	Обозначить данный треугольник. Измерить стороны данного треугольника. Найти периметр треугольника. Измерить углы данного треугольника. Найти сумму углов треугольника.
	Обозначить данный треугольник. Измерить стороны данного треугольника. Найти периметр треугольника. Измерить углы данного треугольника. Найти сумму углов треугольника.
Обозначить данный треугольник. Измерить стороны данного треугольника. Найти периметр треугольника. Измерить углы данного треугольника. Найти сумму углов треугольника.
Обозначить данный треугольник. Измерить стороны данного треугольника. Найти периметр треугольника. Измерить углы данного треугольника. Найти сумму углов треугольника.
Обозначить данный треугольник. Измерить стороны данного треугольника. Найти периметр треугольника. Измерить углы данного треугольника. Найти сумму углов треугольника.

Чему равна сумма углов треугольника?

Оторвем углы треугольника и сложим их вместе, получим развернутый угол. Измеряя мы получили приближенные значения, а в любом треугольнике сума углов равна точно 180.

• Чему равна сумма острых углов треугольника?
• Могут ли в треугольнике быть два тупых угла?
• Чему равен угол равностороннего треугольника?
• Какими свойствами обладают углы при основании равнобедренного треугольника?
• Может ли треугольник, в котором два угла 40 и 60, быть тупоугольным?
• Может ли треугольник с градусными мерами углов 10 и 20 быть остроугольным?
• Является ли треугольник прямоугольным, если градусные меры двух углов 35 и 55?

6 этап. Закрепление изученного.

• Найти неизвестный угол.
• Заполнить таблицу

Тупоугольный	Остроугольный	Прямоугольный
Разносторонний
Равнобедренный
Равносторонний

7 этап. Подведение итогов.

Итак, какая фигура называется треугольником? Какие виды треугольников вы знаете? Чему равна сумма углов треугольника?

8 этап. Домашнее задание.

Учебник п. 31, 32. №559, 586

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-matematiki-po-teme-treugolnik-svoystva-uglov-treugolnika-klass-2398.html