Уравнение лапласа в физике

Если имеется или конфигурация зарядов, или заряженное тело, то напряженность поля и потенциал поля могут быть найдены с помощью нормировки из формул (6.12) и (6.14).

Но имеется еще один путь, когда выводится дифференциальное уравнение для потенциала, решается это уравнение, находится , а затем с помощью (6.7) можно найти и этот путь чаще гораздо проще. Будем исходить из (6.

7) и дифференциальной формулировки закона Кулона (5.11). Чтобы его получить подставим в Выражение .

• Тогда ; а поскольку , окончательно получим:
• (7.1)
• Получили уравнение Пуассона. В тех областях пространства, где заряды отсутствуют Q=0, оно превращается в уравнение:
• , (7.2)
• Называемое уравнением Лапласа.

Таким образом, при заданном распределении зарядов (Задано) можно решить (7.1), найти , а затем из (6.7) найти . При решении задачи используются граничные условия и решение при корректной постановке единственно. При этом отпадает необходимость в нормировке потенциала, т. к. граничные условия заменяют эту процедуру.

Бесконечный равномерно заряженный круглый цилиндр.

Найдем с помощью уравнения Пуассона потенциал, создаваемый бесконечным цилиндром радиусом aС объемной плотностью Const.

Направим ось Z по оси цилиндра. Вследствие аксиальной симметрии распределения заряда потенциал также аксиально симметричен, т. е. . Поэтому удобно использовать цилиндрическую систему координат, аксиальный угол которой обозначим .

В цилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет вид:

1. Для решения введем две области:
2. 1.
3. 2.
4. При этом зададим граничное условие в виде: .
5. Тогда

Общие решения легко находятся интегрированием:

Где — постоянные интегрирования. Поскольку потенциал всюду должен быть конечен, а при , поэтому в последнем решении необходимо положить . Если учесть граничное условие ,то . Таким образом,

,

Поскольку поверхностные заряды отсутствуют, напряженность электрического поля на поверхности цилиндра непрерывна, т. е. непрерывна производная от потенциала. Условие непрерывности потенциала и его производной при R=A имеет вид:

• ,
• Откуда следует система алгебраических уравнений для A2 и B2:
• ,
• ,
• .
• Подставим это соотношение в , получим
• (7.3)
• (7.4)

Как и следовало ожидать, при R=A решения совпадают, т. е. .

Чтобы найти напряженность электрического поля, воспользуемся (6.7), которое запишем в виде . Тогда

(7.5)

. (7.6)

В принципе, для нахождения E можно было воспользоваться электростатической теоремой Гаусса. Выделяя мысленно цилиндр с радиусом r

Источник: https://www.webpoliteh.ru/7-uravneniya-laplasa-i-puassona/

Лапласа уравнение

численные методы решения — методы, заменяющие исходную краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное число N неизвестных, нахождение к-рых с соответствующей точностью позволяет определить решение исходной задачи с заданной точностью зависит от и стремится к при

и является однородным уравнением Пуассона. Краевые задачи для уравнения Лапласа являются частными случаями краевых задач для уравнения Пуассона и более общих уравнений эллиптич. типа (см. [1]), а численные методы решения краевых задач для уравнений эллиптич. типа (см.

[2]) содержат в себе многие численные методы для уравнения Лапласа. Специфика Л. у.

позволяет конструировать и использовать методы, обладающие существенно лучшими характеристиками, чем методы для более общих уравнений, хотя на практике часто этим возможностям предпочитают простоту реализации метода на ЭВМ.

Основными численными методами для уравнений эллиптич. типа являются: вариационно-разностные методы (проекционно-разностные, методы конечных элементов) и разностные методы (методы сеток).

Оба класса методов связаны с аппроксимацией исходной области нек-рой сеточной областью содержащей Nузлов сетки, и построением системы алгебраич. уравнений

где — пространство Соболева, а функции заданы и отражают асимптотич. поведение и(х).

вблизи особых точек (угловых точек границы, точек перемены типа граничного условия), для многих типов областей и смешанных краевых задач эти методы позволяют, напр., найти решение u(х).

с точностью e в при затрате арифметич. действий (см. [3]), а в ряде более частных случаев оценки вычислительной работы уменьшаются до

В разностных методах обычно используется в той или иной форме аппроксимация производных разностями, и в системе (*) вектор состоит из компонент, апплоксимирующих значения решения в узлах сетки Наиболее изучены характеристики упомянутых методов для краевых задач в ограниченных областях W на плоскости. Напр.

, для условия Дирихле где Г — граница W и j(s) — достаточно гладкие, можно на основе улучшения дифференциальных свойств решения Л. у.

по мере удаления от Г так построить систему (*), что число Nпо порядку равно числу N Г точек на Г, используемых для задания j(s) с точностью e, а uN может быть найдено с точностьюe при затрате арифметич.

действий и дает возможность найти решение исходной задачи с точностью e в любой фиксированной точке из строго внутренней подобласти при затрате конечного числа действий (см. [4]). Методы такого типа являются асимптотически оптимальными; в случае же использования, напр.

, более простых методов с прямоугольной сеткой, обладающих точностью затраты на нахождение и N с точностью e составляют (см. [4]). Наиболее детально изучены оценки погрешности метода сеток для Л. у. (см. [4], [5]); при наличии особых точек на Г целесообразно использовать специальную структуру сеток вблизи этих точек (см. [6]). Часто используются и разностные методы, основанные на аппроксимации нек-рых интегральных характеристик для Л. у. (см. [7] — [9]).

Специальный класс численных методов решения краевых зад-ач для Л. у. основан на сведении этих задач к сингулярным интегральным уравнениям (см. [1]) и последующему решению полученных интегральных уравнений численными методами (см. [10], [11]).

Лит.:[1] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [2] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [3] Дьяконов Е. Г., в сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосиб., 1978, с. 149-64; [4] Б а х в а л о в Н. С., в сб.

: Международный конгресс математиков в Ницце. 1970, М., 1972, с. 27-33; [5] Волков Е. А., «Ж. вычислит. матем. и матем. физики», 1969, т. 9, № 3, с. 573-84; [6] е г о же «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1979, т. 150, с. 67-98; [7] Л ю с т е р н и к Л. А..»Успехи матем. наук», 1954, т. 9, в. 2, с. 3-66; [8] Самарский А. А.

, Ф р я з и н о в И. В., «Успехи матем. наук», 1976, т. 31, в. 6, с. 167-97; [9] Волков Е. А., «Докл. АН СССР», 1978, т. 238, Л» 5, с. 1036-39; [10] Партон В. 3., П е р л и н Б. И., Интегральные уравнения теории упругости, М., 1977; [11] Иванов В. В., в сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М., 1972, с.

209-19. Е. Г. Дьяконов.

Источник: https://slovar.wikireading.ru/112784

Фундаментальное решение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа в сферических координатах в случае сферически симметричной задачи сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

Интегрируя это уравнение, находим

где С1и С2 – произвольные постоянные. С точностью до констант С1и С2 эта функция совпадает с полем точечного заряда е, помещенного в начале координат, т.е. . Функцию иногда называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве1). Строго говоря, поскольку к указанному решению можно всегда добавить произвольную гармоническую функцию φ(r), фундаментальным решением уравнения Лапласа можно назвать2) и функцию

(45) Аналогичным образом для задач, обладающих цилиндрической или круговой симметрией можно получить и фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости

• Гармонические функции.
• Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, обладают целым рядом общих (примечательных) свойств, благодаря чему их выделяют в отдельный класс и называют гармоническими функциями при выполнении нескольких условий. Говорят, что в точке x функция u(x) является гармонической (или гармонична), если в этой точке она
• 1) имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению Лапласа. Говорят, что функция u(x) является гармонической (или гармонична), в замкнутой области D, если она непрерывна в этой области;
• 2) гармонична во всех внутренних точках;
• 3) когда область бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки x к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области. непрерывна в этой области;
• 4) гармонична во всех внутренних точках;
• 5) когда область бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки x к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области. непрерывна в этой области;
• 6) гармонична во всех внутренних точках;
• 7) когда область бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки x к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области.
• В силу этого определения регулярные решения граничных задач для уравнения Лапласа являются функции, гармоничными в рассматриваемой области.
• Для гармонических функций двух переменных оказывается целесообразным введение понятия сопряженных функций. Гармонические функции двух переменных u(x,y) и v(x,y) называются сопряженными, если они связаны между собой условиями Коши Римана, а именно

1)Тихонов и Самарский, с. 282

2) Кошляков и др., с. 268

Выполнение этих условий приводит к выводу, что функция комплексного переменного , составленная как представляет собой аналитическую функцию.

Если n,s – прямоугольная система координат, получающаяся из системы координат x, y путем поворота и переноса начала координат, то условия (46) запишутся в виде

1. Из этих равенств следует, что если на некотором замкнутом контуре С для функции v известна производная по нормали , то для функции u будет известна производная по касательной .
2. Это свойство сопряженных гармонических функций двух переменных позволяет вторую краевую задачу для области D
3. , (47)
4. где ζ – точка на контуре С, свести к решению первой краевой задачи для сопряженной функции u в той же области
5. где ζ – точка на контуре С, свести к решению первой краевой задачи для сопряженной функции u в той же области
6. (48)

Важной особенностью гармонических функций является их свойство принимать максимальное и минимальное значения только на границе области. Это свойство устанавливает теорема о максимуме и минимуме, которая формулируется следующим образом.

Т е о р е м а . Если функция u(x)гармонична в области D, то она не имеет внутри этой области ни максимумов, ни минимумов, достигая своих наибольшего и наименьшего значений на её границе.

Доказательство проведем от обратного. Предположим, что функция u в некоторой внутренней точке x имеет максимум. Опишем из точки x, как из центра, сферу σ, лежащую целиком внутри области D. Радиус поверхности σ можно выбрать сколь угодно малым, лишь бы выполнялось неравенство

• , (49)
• где uн – наибольшее значение u на поверхности сферы σ, а ε > 0. Далее, можно найти такое достаточно малое число η > 0, чтобы для любой точки ξ, лежащей на или внутри поверхности σ, было
• , (50)
• где – расстояние между точками x и ξ. Тогда в силу неравенства (49), функция
• (51)

в точке будет превосходить свое наибольшее значение на поверхности σ. Это означает, что её максимум должен достигаться внутри поверхности σ. Однако в точке максимума вторые производные по координатам точки ξ не могут быть больше нуля. Между тем

. (52)

Противоречие доказывает невозможность неравенства (49), откуда следует, что функция u внутри области D не может иметь максимума. Аналогичным образом можно показать, что функция u не может иметь и минимума внутри области D.

В то же время, будучи непрерывной функцией, она должна (по теореме Вейерштрасса)достигать своего наибольшего и наименьшего значений в области D.

Так как это невозможно внутри области, то эти значения достигаются функцией u на границе области.

1. Доказанная теорема имеет весьма полезное следствие.
2. С л е д с т в и е . Если функции u и v гармоничны в области D, то выполнение на границе области одного из неравенств
3. или (53)
4. влечет за собой выполнение этого же неравенства и внутри области.

В самом деле, если функция (u — v), гармоническая в области D , неположительна на границе области, т.е. u – v ≤ 0, то она неположительна и всюду в области, так как внутри области она не может превзойти свое значение на границе.

Отсюда следует исходное утверждение в отношении неравенства . Что касается неравенства , то оно эквивалентно двум неравенствам: и . Согласно уже доказанному, выполнение каждого из них на границе влечет за собой их выполнение и внутри области.

Отсюда следует доказанность сформулированного следствия полностью.

Формулы Грина

Важной формулой для изучения гармонических функций является так называемая основная формула Грина, которая вытекает, как мы сейчас убедимся, последовательно из первой и второй формул Грина. Сами формулы Грина являются прямым следствием формулы Остроградского при некоторых дополнительных условиях.

• Как известно, формула Остроградского записывается следующим образом
• (54)
• где T – некоторый объем, ограниченный достаточно гладкой поверхностью S,
• P, Q, R – произвольные, непрерывно дифференцируемые функции,
• α, β, γ – углы внешней нормали n к поверхности S с координатными осями.
• Если теперь рассматривать функции P, Q, R как компоненты некоторого вектора , то мы получим формулу Гаусса-Остроградского
• (55)
• Далее перейдем к выводу формул Грина.
• Пусть функции и непрерывны вместе со своими первыми производными внутри и имеют непрерывные вторые производные внутри Т.
• Положим

т.е. . Подставляя теперь выражения для P, Q и R в формулу (55), получим

1. (56)
2. Учитывая, что
3. ,
4. и перенося второй интеграл в правую часть, мы можем переписать формулу (56) в виде
5. (57)
6. Эта формула и носит название первой формулы Грина.
7. Меняя местами u и v, будем иметь
8. (58)
9. Вычитая равенство (58) из равенства (57), пучаем вторую формулу Грина
10. (59)

Полученные формулы Грина применимы и в том случае, когда область Т ограничена несколькими поверхностями. Это пригодится нам при выполнении следующего шага и, кроме того, важно при решении практических задач.

В том случае, когда u и v являются функциями двух переменных, функции Грина имеют аналогичный вид. При этом интеграл по объему заменяется за интеграл по площади области S, на которой заданы u и v, а интеграл по поверхности на интеграл по контуру С, ограничивающему эту область:

.

Пусть теперь , где М0 – некоторая внутренняя точка области.

Однако, если выделить область Kε , ограниченную сферой Sε радиуса ε с центром в точке М0 , то в области Т – Kε функция v будет непрерывна и можно воспользоваться формулой (59) и записать

• (60)
• Поскольку в области Т – Kε функция 1/R удовлетворяет уравнению Лапласа, то под интегралом в левой части останется только второе слагаемое
• В правой части этого равенства только два последних интеграла зависят от ε. Вычисляя производную по внешней нормали к области Т – Kε на поверхности Sε , получим
• ,
• откуда
• Пользуясь для вычисления интеграла в правой части теоремой о среднем, получим
• где uср – среднее значение функции u (M) на поверхности Sε .
• Аналогичным образом преобразуем третий интеграл
• Устремим теперь радиус ε к нулю, тогда получим
• во-первых, , так как u (M) – непрерывная функция, uср – её среднее значение по сфере радиуса ε с центром в точке М0 ;
• во-вторых, , так как из непрерывности первых производных функции u(M) внутри Т вытекает ограниченность её производной по нормали в окрестности точки М0 ;
• в-третьих, по определению несобственного интеграла в левой части получим
• Подставляя полученные выражения в формулу (60), можем окончательно переписать её и прийти к основной интегральной формуле Грина
• , (61)
• где Р – точка, лежащая на поверхности S.
• Если же функция u является гармонической, то формула (61) примет вид
• (62)
• Таким образом, значение гармонической функции в любой внутренней точке области выражается через значение этой функции и её нормальной производной на поверхности области.
• Отметим, что каждый из интегралов
• и (63)

где μ и ν – непрерывные функции, является гармонической функцией вне поверхности S. В самом деле, так как все подынтегральные функции и их производные непрерывны вне поверхности S, то производные от интегралов (63) можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

Отсюда вытекает важное следствие: всякая гармоническая функция внутри области гармоничности дифференцируема бесчисленное множество раз.

Источник: https://cyberpedia.su/9x14e52.html

Уравнение Лапласа

• Определение и формула уравнения Лапласа
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ
• Уравнение с частными производными вида:

называемое уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Это частный случай уравнения Гельмгольца. Его можно рассматривать в трехмерных (1), двумерных (2), одномерных и n-мерных пространствах:

Решение уравнения Лапласа

Решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа может быть записано не только в декартовых координатах.

1. В полярных координатах система координат уравнения:
2. В цилиндрических координатах уравнение имеет вид:

Многие проблемы физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки, приводят к уравнению Лапласа. Таким образом, уравнение Лапласа описывает потенциал сил в области, которая не содержит массы, потенциал электростатического поля — в области, которая не содержит зарядов, температуры во время стационарных процессов и т. Д.

стационарная фильтрация подземных вод, возникновение поля вокруг электромагнита, а также стационарное электрическое поле вблизи фарфорового изолятора или электрического кабеля, встроенного в землю. Я имею переменное поперечное сечение, сводящееся к решению трехмерного Лапласа или уравнения Пуассона. Оператор Лапласа играет большую роль в квантовой механике.

• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задача

1. Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r1 и r2, разность потенциалов между которыми равна
2. рис 1.

Решение.

• Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии:
• Он имеет решение . Выберем нулевой потенциал на внешнем цилиндре, найдем, получим:
• поэтому
• , получим:
• В результате мы имеем:

Ответ

1. Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией.
2. ПРИМЕР 2

Задача

Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).

Решение

Поместите начало координат в положение равновесия частицы. В этом случае мы можем предположить, что потенциал представлен как:

где все производные берутся в точке равновесия.

Для устойчивости положительного заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала в любом из направлений, т. Е. Вторые производные от по координатам были больше .Но это противоречит уравнению Лапласа . Если ( следует учитывать следующие члены разложения .

Можно показать, что в этом случае устойчивое равновесие невозможно.

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/uravnenie-laplasa/

Применение преобразования Лапласа к решениюлинейных дифференциальных уравнений и систем

• Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:
• 1) , если ;
• 2) функция интегрируема на любом конечном интервале оси ;

3) с возрастанием модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа и такие, что для всех имеем

(1)

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

(2)

при . Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).

Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу его изображение , называется преобразованием Лапласа. При этом пишут .

Свойства преобразования Лапласа

Всюду в дальнейшем считаем, что

(3)

I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и

(4)

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

(5)

III. Дифференцирование оригинала. Если есть оригинал, то

(6)

Обобщение: если раз непрерывно дифференцируема на и если есть оригинал, то

(7)

IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на «минус аргумент», т.е.

(8)

Обобщение:

(9)

V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на

(10)

VI. Интегрирование изображения равносильно делению на оригинала:

(11)

(предполагаем, что интеграл сходится).

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

(12)

VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа

(13)

IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений и также является изображением, причем

(14)

Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций и и обозначается символом

Теорема XI утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов, т.е.

(15)

Отыскание оригиналов дробно-рациональных изображений

1. Для нахождения оригинала по известному изображению , где есть правильная рациональная дробь, применяют следующие приемы.
2. 1) Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и находят для каждой из них оригинал, пользуясь свойствами I–IX преобразования Лапласа.
3. 2) Находят полюсы этой дроби и их кратности . Тогда оригиналом для будет функция

(16)

где сумма берется по всем полюсам функции .

В случае, если все полюсы функции простые, т.е. , последняя формула упрощается и принимает вид

(17)

Пример 1. Найти оригинал функции , если

Решение. Первый способ. Представим в виде суммы простейших дробей

и найдем неопределенные коэффициенты . Имеем

Полагая в последнем равенстве последовательно , получаем

откуда ; значит,

Находя оригиналы для каждой из простейших дробей и пользуясь свойствам линейности, получаем

Второй способ. Найдем полюсы функции . Они совпадают с нулями знаменателя . Таким образом, изображение имеет четыре простых полюса . Пользуясь формулой (17), получаем оригинал

Решение. Данная дробь имеет полюс кратности и полюс кратности . Пользуясь формулой (16), получаем оригинал

2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(18)

удовлетворяющее начальным условиям

(19)

Будем считать, что функция и решение вместе с его производньь ми до второго порядка включительно являются функциями-оригиналами. Пусть . По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (2) имеем

Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойством линейности преобразования, получаем операторное уравнение

(20)

Решая уравнение (20), найдем операторное решение

• Находя оригинал для , получаем решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (19).
• Аналогично можно решить любое уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и с начальными условиями при .
• Пример 3. Решить дифференциальное уравнение операторным методом

(21)

(22)

Решение. Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем

Известно, что поэтому, переходя отданной задачи (21)–(22) к операторному уравнению, будем иметь

откуда следовательно,

Легко видеть, что функция удовлетворяет данному уравнению и начальному условию задачи.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

Отсюда находим операторное решение

Разлагаем правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Так как и по условию , то операторное уравнение будет иметь вид

и, следовательно, операторное решение

Разложим правую часть на элементарные дроби:

Переходя к оригиналам, получим решение поставленной задачи

3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение системы двух уравнений с постоянными коэффициентами

(23)

удовлетворяющее начальным условиям

(24)

Будем предполагать, что функции , а также и являются функциями-оригиналами.

Пусть

По правилу дифференцирования оригиналов с учетом (24) имеем

Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (23) преобразование Лапласа, получим операторную систему

Эта система является линейной алгебраической системой двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая ее, мы найдем и , а затем, переходя к оригиналам, получим решение системы (23), удовлетворяющее начальным условиям (24). Аналогично решаются линейные системы вида

Пример 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений операторным методом

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Так как и , то операторная система будет иметь вид

Решая систему, получаем

Разлагаем дроби, стоящие в правых частях, на элементарные:

Переходя к оригиналам, получим искомое решение

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=reshenie-du-i-sistem-operatornym-metodom

Уравнение лапласа

Функции,
удовлетворяющие уравнению Лапласа,
называются гармоничес-кими.

В каждой
конкретной задаче, приводящей к уравнению
Лапласа, искомое решение выделяется из
множества всех гармонических функций
определенным дополнительным условием,
которое называетсякраевымилиграничным.

В отличие от волнового
уравнения и уравнения теплопроводности
задачи для эллиптических уравнений
характеризуются отсутствием начальных
условий. Краевые (граничные) условия
задаются на границеГ области, в
которой ищется решение дифференциального
уравнения.

• Задача
  здесь формулируется следующим образом.
  Требуется найти функцию , удовлетворяющую в некоторой области
  уравнению Лапласа, а на границе областиГ граничному условию, которое
  может быть взято в одном из следующих
  видов:
• — наГ (задача Дирихле);
• — наГ (задача Неймана).
• Здесь ,- заданные функции,
  — производная по внешней нормали

к
границе Г. Если решение ищется в
области внутренней (внешней) по отношению
к границеГ, то соответствующая
задача называетсявнутренней(внешней) краевой задачей.

3.1. Стационарное температурное поле

1. При
   изучении уравнения теплопроводности
   было установлено, что температура
   нестационарного теплового поля
   удовлетворяет уравнению
2. .
3. Если
   процесс стационарен, то и, таким образом, устанавливается
   распределение температуры, удовлетворяющее уравнению Лапласа.
4. Если
   требуется получить распределение
   температуры в некоторой области,
   ограниченной поверхностью Г, то к
   этому уравнению следует присоединить
   граничные условия:
5. — наГ (заданное распределение
   температуры на границе);
6. —

   d6Pq/img-zORFkJ.png» width=»133″>наГ (заданный тепловой поток через
   границу).

3.2. Потенциальное течение жидкости

Рассмотрим
движение идеальной жидкости,
характеризующееся скоростью.

Выделим в жидкости некоторую неподвижную
замкнутую поверхностьпроизвольной формы (рис.

5) и рассмотрим
массу жидкости, вытекающей за единицу
времени из замкнутой поверхности.

Эта
масса выражается поверхностным интегралом , где- плотность жидкости,-
нормальная составляющая скорости.

Истечение жидкости из замкнутой
поверхностиповлечет за собой уменьшение плотности
в точках внутриза единицу времени на величину

png» width=»55″>и соответствующее изменение массы
жидкости внутри поверхности, равное,
где- пространство, ограниченное поверхностью

png» width=»18″>.

• Рис.
  5
• Поскольку
  масса сохраняется, то
• =,
• преобразуя
  поверхностный интеграл по формуле
  Остроградского, получим

1. Теперь
3. или

Вследствие
произвольности объема приходим к
уравнению

которое
называется уравнением неразрывности.

Если
жидкость несжимаема () и движение стационарно, то уравнение неразрывности принимает
вид

Предположим,
что движение жидкости потенциальное.
Это значит, что скорость является
градиентом некоторой функции

называемой
потенциаломскорости. Равенство 45) равносильно следующим трем,

png» width=»68″>,.
Таким образом, приходим к уравнению
Лапласа.

Если
жидкость обтекает границу Г, представляющую собой твердую непроницаемую
стенку, то нормальная составляющая
скорости равна нулю, что приводит к
граничному условиюнаГ.

К
уравнению Лапласа сводятся также
многочисленные задачи теории упругости,
электростатики, магнитостатики и др.

Источник: https://studfile.net/preview/6331253/page:8/

Что такое оператор Лапласа по-русски? ?

Мммм…. это будет посложнее, чем окрестность точки, но я все-таки попробую. Оператор Лапласа — это последовательное применение к функции нескольких переменных операторов градиента и дивергенции. Или, что то же самое, сумма вторых производных этой функции по всем координатам. Объяснить, что это значит в общем случае, я не берусь, но приведу конкретный пример.

Предположим, у нас есть нагретое тело и нам надо определить, как оно будет менять свою температуру (остывать) со временем. То есть, найти dT/dt («скорость остывания») для этого тела (для каждой его точки с координатами (x, y, z)), где Т — температура, t — время.

Тогда в соответствии с уравнением теплопроводности, если нет источников тепла, то dT/dt = C*A(T) (ссылка на википедию, где эти уравнения даны в нормальном виде: wikipedia.

org ), где С — это некий коэффициент температуропроводности, а А — это как раз оператор Лапласа, примененный к температуре, как функции трех пространственных координат, т.е. сумма вторых производных температуры по x, y, z.

Получается эта штука таким образом: мы берем температуру тела как функцию от пространственных координат Т(x, y, z). То есть температуру тела в момент времени 0 в каждой его точке. Далее мы прикладываем оператор градиента к этой функции. А что такое градиент функции? Это вектор из частных производных первого порядка этой функции по всем координатам.

Но в чем его смысл в данном случае? Что показывают первые производные по координатам? Они показывают, насколько в данной точке температура отличается от «соседней» точки. То есть в данном случае градиент фактически показывает, из какой точки «быстрее потечет» температура. Там где градиент большой, там остывать будет сильнее, а где маленький — медленнее.

Теперь мы прикладываем к полученному полю векторов первых производных температуры (у нас же много точек, значит будет не один вектор, а векторное поле) оператор дивергенции. А он что делает? Он берет еще одну производную по всем координатам, но переводит вектор обратно в скаляр путем суммирования всех полученных производных.

Которые уже будут вторыми, поскольку после градиента получились первые производные. Вот и получилась сумма вторых производных. Но что значит применение оператора дивергенции к градиенту? Мы уже поняли, что векторное поле градиентов показывает нам, где будет остывать быстрее, а где медленнее.

Так вот сумма первых производных координат вектора градиента (то есть вторых производных температуры) дает нам фактически «плотность стоков температуры» в объеме. Как бы «скорость появления следующего градиента» в объеме, но поскольку координаты у нас пространственные, а не временные, то не скорость, а скорее плотность.

То есть большая дивергенция в большом количестве точек будет означать, что «плотность градиентов» высокая, они понатыканы часто, а малая/нулевая дивергенция в большом количестве точек — низкая/нулевая «плотность градиентов», то есть температура не «течет» отсюда.

Нужно помнить, что как и градиент функции, так и дивергенция функции — это не число, а функция, то есть это не некое среднее, удельное «количество стоков» в теле, как некоторый параметр вроде плотности вещества, а «плотность» в данной точке (x, y, z), как функция этих самых (x, y, z), то есть она будет разной в каждой точке.

Вот как-то так. Это частный пример для теплопроводности, аналогичные можно привести из электродинамики или физики сплошных сред, но они будут интуйтивно еще менее понятны. В общем же случае оператор Лапласа — это достаточно абстрактный математический инструмент, который не имеет интуйтивно ясного смысла.

По-русски, я полагаю будет — опѣраторъ Лапласа, Лапласианъ ?

Вопрос зачем он вам? Судя по другим вашим вопросам, вы находитесь в самом начале математического анализа. Вам стоит начать с теории пределов, производных и интегралов.

Чтобы понять, что такое оператор Лапласа, для начала стоит узнать, что такое скалярные и векторные поля и с чем их едят. Градиент, дивергенция, ротор — эти операторы тоже пригодятся. Если интересно, можете начать, например, отсюда kemsu.ru

Сам по себе оператор Лапласа — дифференциальный оператор второго порядка (второй «уровень» дифференцирования). Любая попытка объяснить «на пальцах» приведёт к объяснению чего угодно, только не оператора Лапласа.

Где нужен этот оператор? Там, где есть скалярные и векторные поля — электродинамика, гидроаэродинамика, квантовая механика, механика сплошных сред и другие.

Научно-популярные объяснения — это именно те, что грубо объясняют принцип, минуя всякие операторы Лапласа, Гамильтонианы, дивергенции и римановы пространства.

Если вы добрались до Общей теории относительности или уравнения Шрёдингера, то вам придётся либо поверить на слово научно-популярным материалам, либо окунуться в весь этот рай математики и пройти очень долгий путь. Удачи.

Почитайте фейнмановские лекции, там об этом написано. Если охота будет, можно здесь написать что вы поняли и с большим количеством примеров, чтобы это было понятно всем (кто поймет о чем речь).

Источник: https://TheQuestion.ru/questions/36685/chto_takoe_operator_laplasa_po_russki_2558c6e6