Уравнения с параметром, формулы и примеры

Библиографическая ссылка на статью:
Поставничий Ю.С. Методы решения иррациональных уравнений с параметром // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 10 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/10/58207 (дата обращения: 02.02.2020).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Самым первым иррациональным уравнение, с которым сталкиваются школьники, является уравнение вида:

Решая данное уравнение, ученики знакомятся с иррациональными уравнениями с параметром. Рассматривают самое простейшее решение и исследуют множество случаев, где возникают спорные ситуации, в которых могут появиться посторонние корни или наоборот произойдет потеря корней.

  • Покажем решение данного уравнения:
  • Рассматривая разные значения параметра, мы замечаем, что могут возникнуть три случая:
  • a) если , то уравнение корней не имеет;
  • b) если , то ;
  • c) если , то .
  • Если классифицировать иррациональные уравнения с параметром, то мы можем получить два основных уравнения общего вида (:

Уравнения с параметром, формулы и примеры
Уравнения с параметром, формулы и примеры

Многие уравнения сводятся именно к решению этих двух или являются частным случаем данных уравнений. При выполнении действий с корнями мы получаем уравнения, более высокого уровня (:

Уравнения с параметром, формулы и примеры
Уравнения с параметром, формулы и примеры

Рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений с параметром на частных примерах, а также подберем систему заданий на отработку того или иного метода.

Замечание: Некоторые уравнения могут быть решены несколькими способами. Способ решения выбирается исходя из удобства применения.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Строение атома меди (cu), схема и примеры

Оценим за полчаса!

Переход к смешанной системе, путем возведения обеих частей уравнения в необходимую одинаковую степень

При решении уравнений этим методом необходимо помнить, что в результате возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. область определения расширяется, а значит, возможно появление «посторонних корней», которые должны быть устранены проверкой. Именно поэтому мы используем следующую эквивалентность (при ):

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Замечание: При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример. Иррациональное уравнение вида Уравнения с параметром, формулы и примеры

  1. Рассмотрим решение уравнений вида:
  2. Решение. Используя переход к эквивалентной системе и решив полученную систему, найдем решение исходного уравнения:

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Ответ: Если  то уравнение решений не имеет;если  то решение принимает вид: 

  • Метод замены
  • Данные метод заключается в замене данной переменной на новую и сведения исходного уравнения к более простому.
  • Пример. Иррациональное уравнение вида Уравнения с параметром, формулы и примеры
  • Для каждого значения параметра a решить уравнение

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Решение. Обозначим , где . Учитывая исходное уравнение, получим систему вида:

Вычитая из первого уравнения второе, получим новое уравнение:

Уравнения с параметром, формулы и примеры

  1. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
  2. Произведем обратную замену:
  3. Оба уравнения совокупности соответствуют уравнению вида
  4. и решаются методом перехода к смешанной системе. Исходя из этого, решим уравнения, начиная с первого:
  5. Решим квадратное уравнение относительно переменной x, с помощью формул корней квадратного уравнения:
  6. Проверим условие :
  7. и получим, что  является корнем уравнения при .
  8. Условие , выполняется для любого .
  9. Аналогично решим второе уравнение совокупности  и получим
  10. Проверим условие  для :
  11. Получили, что  является корнем уравнения  при  Также проверяется условие  для 
  12. Решением данного неравенства является пустое множество (), так как отрицательное число всегда меньше выражения с радикалом.
  13. Объединяя полученные решения, запишем ответ.

Ответ: Если , то решений нет;если , то ;если , то ;

если , то 

  • Метод введения вспомогательного неизвестного (метод подстановки)
  • Данный метод состоит во введении вспомогательных неизвестных, с помощью которых уравнение сводится к системе рациональных уравнений относительно новых переменных. Например:
  • Пример 8. Иррациональное уравнение вида
  • Для каждого значения параметра a решить уравнение

Решение. Прежде чем приступить к решению уравнения нам необходимо найти ОДЗ. Найдем ее:

  1. Найденная область допустимых значений: . Введем вспомогательные неизвестные:
  2. и получим следующую систему:
  3. Заметим, что при  система решений не имеет. Так как
  4. то при  получаем
  5. Учитывая, что , находим
  6. Значения параметра a, при которых выполнены оба условия  и , найдем, решив систему неравенств

Первое неравенство справедливо при , второе неравенство справедливо при . Следовательно, оба неравенства справедливы, а значит и оба условия выполняются одновременно при . При данных значениях параметра получаем уравнение, которое можем решить.

Ответ: Если , то ;если , то решений нет.

Графический метод

Стандартный способ решения уравнений в отдельных случаях приводит к сложным преобразованиям. Процесс решения может быть упрощен, если применить графический прием. Использование графического метода сводится к построению и анализу графиков функций, с помощью которых составлено уравнение.

Можно выделить две разновидности рассматриваемого метода:

1. изображение на плоскости , где  – неизвестное;  – параметр;2. на плоскости  рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра .

Первый способ используется в задачах, которые содержат лишь неизвестную и параметр, или сводящихся к таким. Второй способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром.

Пример. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.

Решение. Применяя графический метод решения, найдем все значения параметра, при которых прямая  имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции . Заметим, что для прямой  параметр а является угловым коэффициентом (при изменении параметра одна прямая будет переходить в другую с помощью поворота около точки (-1;0), так как для любого .

По графику (рис. 2) видим, что искомыми являются прямые, лежащие внутри заштрихованной пары вертикальных углов, включая границы. Им соответствуют значения  отвечает моменту касания прямой  графика функции . (Заметим, что ).

  1. Значение  находим из условия, что уравнение  имеет ровно один корень. После преобразований получим квадратное уравнение
  2. Так как , то искомое значение 

Ответ: 

Метод функционального исследования

Иррациональные уравнения с параметром можно решать, основываясь на знаниях о свойствах функций, составляющих данное уравнение. При решении уравнения мы можем ссылаться как на одно свойство, так и на совокупность нескольких свойств.

Метод функционального исследования зачастую используют для решения уравнений повышенного уровня.

Мы рассмотрим основные свойства, используемые при решении иррациональных уравнений с параметром, и приведем примеры использования данных свойств.

  • Монотонность
  • Знание свойств монотонных функций очень часто помогает при решении систем уравнений. Напомним некоторые свойства монотонных функций:
  • 1) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству , то функция  возрастающая (убывающая);
  • 2) Если функции  и  возрастающие (убывающие), причем пересечение областей определения данных функций не равно пустому множеству  и  при всех допустимых значениях x, то функция  возрастающая (убывающая).
  • 3) Если функция  монотонная, то уравнение  имеет не более одного корня; другими словами, монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз.
  • Пример. Решите систему уравнений

Решение. В данной системе вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию  Используя свойство суммы возрастающих функций, делаем вывод что функция  возрастающая. Заметим, что . Следовательно . Отсюда

  1. Очевидно что:

Ответ: Если , то если, то система решений не имеет.

  • Метод итерации
  • Вообще говоря метод итерации можно включить в метод исследования монотонности, но рассмотрим его отдельно, потому что очень часто задачи с итерациями дают на вступительных экзаменах по математике в ведущих ВУЗах России.
  • Рассмотрим уравнение

n-разОчевидно, что все корни уравнения  являются корнями уравнения (1), но эти уравнения, вообще говоря, не эквивалентны. Однако, если функция строго монотонна на некотором промежутке, то эти уравнения равносильны всюду на этом промежутке.

Рассмотрим практическое применение метода итерации при решении уравнения.

Пример. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет два различных корня.
Решение. Приведем данное уравнение к виду

где  возрастает на промежутке . Значит исходное уравнение равносильно уравнению .

Путем рассуждений и используя свойство монотонной функции мы пришли к более простому иррациональному уравнению с параметром, которое можем решить приведением к смешанной системе (см. Пример 3).

Решим уравнение системы, как квадратное относительно переменной .

  1. Проверим условие  Для этого подставим вместо  полученное нами значение и решим неравенство относительно параметра:
  2. Данное неравенство будет верным для любого значения параметра
  3. так как область значений функции  равна интервалу  при , а значит  корнем исходного уравнения является при любом .
  4. Аналогично проверим условие 
  5. Получили, что  является корнем исходного уравнения при . Объединяя все результаты рассуждений и решений, делаем вывод, что исходное уравнение имеет два различных корня при 

Ответ: 

Наибольшее (наименьшее) значение функции и дифференцируемость функции

Для определения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используют несколько теорем:Теорема ВейерштрассаФункция, непрерывная на отрезке  имеет наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Теорема о наибольшем и наименьшем значениях на незамкнутом промежуткеЕсли функция, непрерывная на интервале , имеет в этом интервале только одну точку экстремума , и если  – точка максимума, то  – наибольшее значение функции  на интервале ; если  – точка минимума, то  – наименьшее значение функции  на интервале .

  • Частные методы решения иррациональных уравнений с параметром
  • В данном разделе рассмотрим задания, которые решаются с помощью использования нескольких стандартных методов или без их использования, а также задания повышенного уровня сложности.
  • Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение
  • Решение. При  данное уравнение равносильно совокупности
  • Отсюда  при любом ,  при .

Ответ: Если , то ;если , то .

  1. Замечание. При решении уравнения вида
  2. следует учитывать, что оно равносильно уравнению
  3. Рассмотрим далее решение примера, в котором используется прием решения уравнения относительно параметра.
  4. Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение
  5. Решение. Избавимся от иррациональности в данном уравнении путем перехода к смешанной системе
  6. Раскрывая скобки и группируя члены в уравнении последней системы, получим  Выражение в левой части – это квадратный трехчлен относительно а, который можно разложить на множители:
  7. Следовательно,
  8. Первая система полученной совокупности не имеет решений, так как при условии  получаем, что  Вторая система равносильна системе
  9. Заметим, что при  корни  совпадают и равны .

Ответ: Если , то решений нет;если , то  и ;если  и , то .

Очень часто параметр стоит либо в под знаком корня, либо отдельно от него; но бывает так, что в качестве параметра рассматривается показателя корня. Рассмотрим такой пример.

Пример. В зависимости от значений параметра  решить уравнение

Решение. Подстановкой убеждаемся, что  не является корнем исходного уравнения. Поэтому после деления обеих частей уравнения на получим равносильное уравнение

  • Заменим , и придем к квадратному уравнению относительно новой переменной
  • Так как показатель  может принимать четные значения, то  в данном случае нужно отбросить, так как .
  • Таким образом, при четном показателе  имеем
  • При нечетном показателе  уравнение  имеет два корня:

Ответ: Если  – четное, то если  – нечетное, то 

  1. Рассмотрим уравнение, в котором сочетаются несколько видов функций.
  2. Пример. При каких а уравнение
  3. имеет ровно 8 корней.
  4. Решение. Решим уравнение, как обыкновенное тригонометрическое:

При каждом  количество корней уравнения будет равно двум. Значит, условие нашей задачи будет выполнятся при . Мы не рассматриваем отрицательные значения , так как  стоит во второй степени, следовательно . Выпишем предполагаемые корни:

  • Для того чтобы наши предполагаемые корни являлись искомыми, необходимо чтобы выполнялись следующие условия:

Ответ: 
Количество просмотров публикации: Please wait

Источник: http://web.snauka.ru/issues/2015/10/58207

Основы решения уравнений с параметром

Рассмотрим уравнение:

F(х, у, …, z; α,β,…, γ) = 0 (F) с неизвестными х, у, …, z и с параметрами α,β, …, γ; при всякой допустимой системе значений параметров α0,β0, …, γ0 уравнение (F) обращается в уравнение (х, у, …, z; α0,β0, …, γ0) =0 (F0) с неизвестными х, у,…, z, не содержащее параметров.

Уравнение (F0) имеет некоторое вполне определенное множество (быть может, пустое) решений. Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащиt параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащие параметры, устанавливается следующим образом:

Определение. Два уравнения:

F(х, у, …, z; α,β, …, γ) =0 (F)

Ф (х, у, …, z; α,β, …, γ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у,…, z и с параметрами α,β, …, γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Читайте также:  Статистическое определение вероятности, с примерами

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравненииF(x, у,z; α,β, …, γ)=0 (F)задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х(α,β, …, γ); у = у(α,β, …, γ);….

z=z (α,β, …, γ). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,…, z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(α,β, …, γ), y(α,β, …, γ),…,z (α,β, …, γ) ≡ 0.При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α0,β=β0, …, γ=γ0, соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения:

F(х, у, …, z; α0,β0, …, γ0) =0

  • ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
  • Для решения иррациональных уравнений с параметром существует несколько способов. А теперь, давайте разберем некоторые примеры иррациональных уравнений, содержащих параметр:
  • Пример 1.

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Решение:

Перепишем уравнение в следующем виде:

D = 4a – 3

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда 1 — ≥ 0, то есть при a ≤ 1. Решив уравнения (2) и (3), получим при  ≤ a ≤ 1:

Уравнения с параметром, формулы и примеры  , Уравнения с параметром, формулы и примеры

при а , уравнение имеет один корень: ;

  1. приa<  решений нет.
  2. Ответ: при  ≤ a ≤ 1 уравнение имеет два корня: ; при а , уравнение имеет один корень: ; при a<  решений нет. [1]
  3. Пример 2.
  4. Решение:
  5. f(x) = a, x ≥ -2
  6. Построим графики этих функций:
  7. Из графика видно, что при x=-2 уравнение имеет единственное решение.
  8. а≥ -2
  9. Ответ: уравнение имеет единственное решение -2.
  10. Пример 3.
  11. Решение:
  12.  + a = x (1)
  13. f(x) =
  14. D(f) =
  15. f(f(x) ) = x⸳  = x

Рассмотрим функцию. Т. к. эта функция возрастает на всей области определения, а уравнение (1) имеет вид, то оно равносильно уравнению:

  • y = a
  • Построим графики функций и определим те значения параметра a, при которых функции имеют две общие точки.
  • y = x —
  • a
  • Ответ: уравнение имеет два корня: 0 и
  • Пример 4.
  • Решение:
  • Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
  •  = 2 + x

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0). График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этойфункции при а = 0.

При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответствующее значение влево (при положительных а) или вправо (приотрицательных а).

Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

  1. Ответ: при a = -2 уравнение имеет единственное решение.
  2. Пример 4.
  3. Решение:
  4. Построим график функции  .
  5. Пусть x ≥ 0,  тогдаy = x² — 2x + 1 – 1 + y² = 0 1 –окружность с центром в точке ( 1; 0 ) и радиусом, равным 1.
  6. Пусть x< 0,  тогда y = x² + 2x + 1 – 1 + y² = 0 1 –окружность с центром в точке ( -1; 0 ) и радиусом, равным 1.
  7. y = ↔
  8. Рассмотрим функцию a=y
  9. Это прямая параллельна оси Оx.

Построим следующие случаи этой прямой 1.

Источник: https://studopedia.net/6_90639_osnovi-resheniya-uravneniy-s-parametrom.html

Решу егэ

Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке Решение.

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке хотя бы одно решение, не равное

  • Преобразуем уравнение:

Функция в левой части уравнения на отрезке монотонно убывает от 9k до 6k. Функция в правой части монотонно возрастает от 0 до 2. Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если и то есть при

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку . В этом случае получим:

  1. откуда получаем ответ.
  2. Приведём другое решение.
  3. Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:
  • Найдём множество значений левой части. Пусть тогда
  1. Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,
  2. Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме
  3. Приведем третье решение.
  4. ОДЗ данного уравнения:
  5. Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет на отрезке хотя бы одно решение, не равное

  • Преобразуем уравнение:
  1. Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку
  2. Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную синим цветом, и не проходить через точку
  3. Угловой коэффициент горизонтальной прямой
  4. У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент
  5. У прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент
  6. Таким образом, условие задачи выполняется при
  7. Вернувшись к параметру , получаем:

или

  • Комментарий.
  • Изложим идею решения иными словами.
  • Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой
  • Ответ: или

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).

Источник: https://ege.sdamgia.ru/test?theme=171

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим.

Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.

  • Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
    A) $x + a = 7$
    B) $2x + 8a = 4$
    C) $x + a = 2a – x$
    D) $ax = 5$
    E) $a – x = x + b$
  • F) $ax = 3a$
  • Решение:
  • A) $x + a = 7 Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
    Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$
  • B) $2x + 8a = 4 Leftrightarrow 2x = 4 — 8a Leftrightarrow x = 2 – 4a$
  • C) $x + a = 2a – x Leftrightarrow x + x = 2a – a Leftrightarrow 2x = a Leftrightarrow x = frac{a}{2}$
  • D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
    Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;
  • E) $a – x = x + b Leftrightarrow a – b = x + x Leftrightarrow 2x = a – b Leftrightarrow x = frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0.x = 0
Поэтому, любое x является решением. Если a отличается от 0, тогда

  1. $ax = 3a Leftrightarrow x = frac{3a}{a} Leftrightarrow x = 3$
  2. Задача 2 Если a является параметром, решите уравнение:
    A) $(a + 1)x = 2a + 3$
    B) $2a + x = ax + 4$
    C) $a^2x – x = a$
  3. D) $a^2x + x = a$
  4. Решение:

A) Если $a + 1$ отлично от 0, то есть.. $a
eq -1$, тогда $x = frac{2a+3}{a+1}$;
если $a + 1 = 0$, i.e. $a = — 1$
уравнение принимает вид $0cdot x = (2)cdot(-1) + 3 Leftrightarrow$

  • $0cdot x = 1$, что не имеет решения;
  • B) $2a + x = ax + 4 Leftrightarrow$ $x – ax = 4 — 2a Leftrightarrow$
    $(1 – a)cdot x = 2(2 – a)$ Если $(1 – a)
    eq 0$, то есть a $
    eq 1$; решение будет
    $x = frac{2(2 — a)}{(1 — a)}$; Если $a = 1$ уравнение примет вид $0cdot x = 2(2 — 1) Leftrightarrow$
  • $0cdot x = 2$, что не имеет решения
  • C) $a^2x – x = a Leftrightarrow$
    $x(a^2 -1) = a Leftrightarrow$
    $(a — 1)(a + 1)x = a$
    Если $a — 1
    eq 0$ и $a + 1
    eq 0$ то есть $a
    eq 1, -1$,
    решением есть is $x = frac{a}{(a — 1)(a + 1)}$
  • Если $a = 1$ or $a = -1$, уравнение принимает вид is $0cdot x = pm 1$, что не имеет решения
  • D) $a^2x + x = a Leftrightarrow$
    $(a^2 + 1)x = a$ В этом случае $a^2 + 1
    eq 0$ для любого $а$, потому что это есть сумма позитивного числа (1) и одного негативного числа
  • $(a^2 geq 0)$ поэтому $x = frac{a}{a^2 + 1}$
  • Задача 3 Если a and b являются параметрами, решите уравнения:
    A) $ax + b = 0$
    B) $ax + 2b = x$
    C) $(b — 1)y = 1 – a$
    D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
  • Решение:

A) $ax + b = 0 Leftrightarrow ax = -b$
Если $a
eq 0$, тогда решение есть $x = -frac{b}{a}$.
Если $a = 0, b
eq 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = -b$ и не имеет решения.

Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = 0$ и любое $x$ является решением;

B) $ax + 2b = x Leftrightarrow ax – x = -2b Leftrightarrow (a — 1)x = -2b$
Если $a — 1
eq 0$, i.e. $a
eq 1$, решение есть is $x = -frac{2b}{a-1}$

  1. Если $a — 1 = 0$, то есть $a = 1$, и $b
    eq 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = — 2b$ и не имеет решения
  2. C) Если $b — 1
    eq 0$, то есть $b
    eq 1$,
    решением есть $y = frac{1-a}{b-1}$
    Если $b — 1 = 0$, то есть $b = 1$, но $1 – a
    eq 0$,
    то есть $a
    eq 1$, уравнение принимает вид $0cdot y = 1 – a$ и не имеет решения.
  3. Если $b = 1$ и $a = 1$ уравнение принимает вид $0cdot y = 0$ и любое $y$ является решением

D) $b^2 + 1
eq 0$ для любого $b$(почему?), поэтому
$y = frac{a+2}{b^2}$ является решением уравнения.

  • Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения :
    A) $5x + a$ и $3ax + 4$
    B) $2x — 2$ и $4x + 5a$
  • Решение:
  • Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
    $5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 Leftrightarrow$
$5x — 3ax = 4 – a Leftrightarrow$
$(5 — 3a)x = 4 – a$ Если $5 — 3a
eq 0$, т.e. $a
eq frac{5}{3}$, решения есть $x = frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 — 3a = 0$, т.e. $a = frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0cdot x = 4 – frac{5}{3} Leftrightarrow$

  1. $0cdot x = frac{7}{3}$, что не имеет решения
  2. B) $2x — 2 = 4x + 5a Leftrightarrow$
    $-2 — 5a = 4x — 2x Leftrightarrow$
    $2x = — 2 — 5a Leftrightarrow$
  3. $x = -frac{2+5a}{2}$
  4. Задача 5 Решите параметрическое уравнение:
    A) $|ax + 2| = 4$
    B) $|2x + 1| = 3a$
  5. C) $|ax + 2a| = 3$
  6. Решение:
  7. A) $|ax + 2| = 4 Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 Leftrightarrow$
    $ax = 2$ или $ax = — 6$
    Если $a
    eq 0$, уравнения примут вид $x = frac{2}{a}$ or $x = -frac{6}{a}$
  8. Если $a = 0$, уравнения не имею решения
  9. B) Если $a < 0$, уравнение $|2x + 1| = 3a$ не имеет решения. Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
    или $2x + 1 = -3a Leftrightarrow 2x = 3a — 1 Leftrightarrow x = frac{3a-1}{2}$ or
  10. $2x = -3a — 1 Leftrightarrow x = frac{3a-1}{2} = -frac{3a-1}{2}$
  11. C) $|ax + 2a| = 3 Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = — 3$,
    и мы находим $ax = 3 — 2a$ или $ax = -3 — 2a$
    Если a = 0, тогда нет решений, если $a
    eq 0$
  12. решениями есть: $x = frac{3-2a}{a}$ и $x = -frac{3+2a}{a}$
  13. Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$
  14. Решение:

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a — 1)x = 2(b — 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a — 1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение $x = frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = frac{1}{2}$ и $b
eq 1$, мы получаем $0cdot x = 2(b — 1)$, где $2(b — 1)
eq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.

Если $b = 7$ и $a
eq frac{1}{2}$ является единственным решением $x = frac{2(7-1)}{2a-1} = frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a — 1$ также есть целым числом и решением есть $x = frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a — 1$ есть положительным делителем для числа $12$.

Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12 Поэтому $2a — 1 = 3 Leftrightarrow a = 2$ или $2a — 1 = 1 Leftrightarrow$

$a = 1 a = 2$ или $2a — 1 = 1 Leftrightarrow a = 1$

Задача 7 Решите уравнение $|ax — 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение:

Из определения модуля мы получаем $|ax — 2 – x| = 4 Leftrightarrow ax — 2 – x = 4$ или $ax — 2 – x = — 4$ Из первого равенства мы получаем $x(a — 1) — 2 = 4 Leftrightarrow$
$(a — 1)x = 4 + 2 Leftrightarrow (a — 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a — 1)x = -2$
Если $a — 1 = 0$, т.e.

$a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.

Если $a
eq 1$ мы находим, что $x = frac{6}{a-1}$ или $x = -frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a — 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго — положительным делителям 2
Тогда $a — 1 = -1; -2; -3; — 6$ или $a — 1 = 1; 2$
Мы получаем $a — 1 = -1 Leftrightarrow a = 0; a — 1 = -2 Leftrightarrow$
$a = -1; a — 1 = -3 Leftrightarrow a = -2; a — 1 = -6 Leftrightarrow a = -5$
или $a — 1 = 1 Leftrightarrow a = 2; a — 1 = 2 Leftrightarrow a = 3$

  • Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.
  • Задача 8 Решите уравнение:
    A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
  • B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами
  • Решение:

A) $3ax + x = 1 + a Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1
eq 0$, т.e. $a
eq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = frac{1+a}{3a+1}$

Если $a = -frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0cdot x = frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b Leftrightarrow (2a — 1)x = 2 – b$
Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}, x = frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$

  1. Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b
    eq 2$, уравнение не имеет решения.
  2. Задача 9 Дано уравнение $6(kx — 6) + 24 = 5kx$ , где к — целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
    A) имеет корень $-frac{4}{3}$
    B) не имеет решения;
  3. C) имеет корень как натуральное число.
  4. Решение:
  5. Перепишем уравнение в виде $6kx — 36 + 24 = 5kx Leftrightarrow kx = 12$
  6. A) Если $x = -frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-frac{4}{3k} = 12 Leftrightarrow k = — 9$
  7. B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$
Читайте также:  Генетическая связь неорганических и органических соединений

C) Когда $k
eq 0$ является корнем $x = frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом,
на которое делится 12, т.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

  • Задача 10 Решите уравнение:
    A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
  • B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.
  • Решение:

A) $2ax + 1 = x + a Leftrightarrow 2ax – x = a — 1 Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = a — 1$ Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является $x = frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a — 1 = 0$, т.e. $a = frac{1}{2}$, уравнение принимает вид

$0.x = frac{1}{2}- 1 Leftrightarrow 0.x = -frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b Leftrightarrow$
$2ax – x = b — 1 Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = b — 1$ Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}$, решением является
$x = frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b — 1$

  1. Если b = 1 любое x является решением, если $b
    eq 1$ тогда нет решения.
  2. Задача 11 Дано уравнение $3(ax — 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
    А) $left(-frac{2}{3}
    ight)$
    B) целое число
    C) натуральное число
  3. Решение:
  4. A) Если $x = -frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
    $3left[aleft(-frac{2}{3}
    ight) — 4
    ight] + 4 = 2aleft(-frac{2}{3}
    ight) Leftrightarrow$
    $-2a — 12 + 4 = -frac{4a}{3} Leftrightarrow$
    $frac{4a}{3} — 2a = 8 Leftrightarrow frac{4a-6a}{3} = 8 Leftrightarrow$
  5. $-frac{2a}{3} = 8 Leftrightarrow a = -12$
  6. B) $3(ax — 4) + 4 = 2ax Leftrightarrow 3ax — 2ax = 12 — 4 Leftrightarrow ax = 8$
    Если $a
    eq 0$ решением является $x = frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$. Поэтому; $±2; ±4; ±8$
  7. Если $a=0$, уравнение не имеет решения
  8. C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$
  9. Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ — параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$
  10. Решение:

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 — 2ax Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 Leftrightarrow (2a — 1)x = 12$
Если $2a -1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a — 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a — 1$ было нечетным числом.

Поэтому $2a — 1$ может быть $1$ или $3$ Из $2a — 1 = 1 Leftrightarrow 2a = 2 Leftrightarrow a = 1$ и $2a — 1 = 3$

  • $Leftrightarrow 2a = 4 Leftrightarrow a = 2$
  • Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a — 1)x — 2a + 1$, где a — параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
    А) пересекает ось абсцисс;
  • B) пересекает ось абсцисс
  • Решение:

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a — 1)cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс. С уравнения мы получаем $(3a — 1)x = 2a — 1$
Если $3a — 1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = frac{1}{3}$, мы получаем
$0.x = frac{2}{3} — 1 Leftrightarrow 0.x = -frac{1}{3}$, что не имеет решения.

  1. Поэтому, если $a = frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.
  2. Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
    A) $|x -2| = a$
    B) $|ax -1| = 3$
  3. C) $|ax — 1| = a — 2$
  4. Решение:
  5. A) Если $a < 0$, уравнение не имеет решения, если $a > 0$ мы получаем:
    $|x — 2| = a Leftrightarrow x — 2 = a$ или $x — 2 = -a$
    Из $x — 2 = a Rightarrow x = a + 2$, и из $x — 2 = -a Rightarrow x = 2 – a$
  6. Если $a = 0$, тогда $x — 2 = 0$ или $x = 2$
  7. B) $|ax — 1| = 3 Leftrightarrow ax — 1 = 3$ или $ax — 1 = -3$
    откуда $ax = 4$ или $ax = — 2$
    Если $a
    eq 0$ решения: $x = frac{4}{a}$ or $x = -frac{2}{a}$
  8. Если $a = 0$, здесь нет решения

C) Если $a — 2 < 0$, т.e. $a < 2$, уравнение не имеет решения Если $a - 2 > 0$, т.e. $a > 2$ мы получаем
$|ax — 1| = a — 2 Leftrightarrow ax — 1 = a — 2$ или $ax — 1 = 2 – а$
Итак, мы получаем $ax = a — 1$ или $ax = 3 – a$
Потому что $a > 2, a
eq 0$, therefore $x = frac{a-1}{a}$ или $x = frac{3-a}{a}$.
Если $a = 2$, уравнения эквивалентно

  • $2x — 1 = 0 Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = frac{1}{2}$
  • Задача 15 Найдите, для каких значений параметра m (a), два уравнения эквивалентны:
    A) $frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $(-x — 1) ^2 — 1 = x^2$
    B) $frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $frac{x-m}{3} = 1 — 2m$
    C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$, если $x > 3$
  • Решение:

A) Решим второе уравнение. Запишем его в виде: $(-x — 1)^2 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$2x = 0 Leftrightarrow x = 0$
Для первого мы получим $frac{x+m}{2} = 1 – m Leftrightarrow x + m = 2 — 2m Leftrightarrow x = 2 — 3m$
Эти два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковые корни, т.e.

  1. $2 — 3m = 0 Leftrightarrow$
    $m = frac{2}{3}$
  2. B) Для первого уравнения решением есть $х = 2 — 3m$ и для второго мы получим $x – m = 3 — 6m Leftrightarrow$
    $x = 3 – 5m$
    Они имеют одинаковые корни, когда
  3. $2 — 3m = 3 — 5m Leftrightarrow 5m — 3m = 3 — 2 Leftrightarrow 2m = 1 Leftrightarrow m = frac{1}{2}$

C) Так как $x > 3, 3 – x < 0,$ поэтому $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$ Первое уравнение будет выглядеть так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 Leftrightarrow$ $x^2 - 4x – 0 Leftrightarrow x(x - 4) = 0 Leftrightarrow$ $x = 0$ или $x = 4$ С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем $ax – x = 1 — 2a Leftrightarrow (a — 1)x = 1 — 2a$ Если $a — 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a — 1
eq 0$, i.e. $a
eq 1$, решением есть

$x = frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = frac{1-2a}{a-1} Leftrightarrow$
$4(a — 1) = 1 — 2a Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 Leftrightarrow 6a = 5 Leftrightarrow a = frac{5}{6}$

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/parametricheskie-uravneneiya.html

Уравнение с параметром — это… Что такое Уравнение с параметром?

  • Уравнение с параметрами — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия
  • Уравнение (неравенство) с параметрами — [[Участник:Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений …   Википедия
  • Уравнение Орнштейна — Уравнение Орнштейна  Цернике  интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между… …   Википедия
  • Уравнение с малым параметром — Связать? Уравнение с малым параметром дифференциальное уравнение, в котором при старшей производной стоит коэффициент, малый по сравнению с другими. Для решения уравнений с малым параметром в математической физике применяются специальные методы.… …   Википедия
  • Неравенство с параметром — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — уравнение, в к ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин дифференциальные уравнения был предложен Г.… …   Математическая энциклопедия
  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у. Линейные И. у. имеют вид где А, К, f заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К ядром, f свободным членом …   Математическая энциклопедия
  • ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка Является важным частным случаем Лъенара уравнения. В. д. П. у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В… …   Математическая энциклопедия
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ — система вида где z и у суть, соответственно, М и m мерные векторы, m>0 малый параметр. Полагая в (1) формально m=0, получим так наз. вырожденную систему Пусть решение x(t,m) системы (1) (хозначает z и ув совокупности) определяется нек рыми… …   Математическая энциклопедия
  • ЛАПЛАСА — БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ — Бельтрами уравнение, обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций ина произвольном двумерном римановом многообразии R класса С 2. Для поверхности R с локальными координатами x, h и первой квадратичной формой Л. Б. у.… …   Математическая энциклопедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1157400

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

  • Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
  • Дискриминант квадратного уравнения:
  • Если , квадратное уравнение имеет два корня: и
  • Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

  1. Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .
  2. Найдем дискриминант уравнения
  3. В нем

Т.к. , получим:

  • Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).
  • Найдем корни квадратного уравнения . Это и
  • Разложим левую часть неравенства на множители:
  • Значит,
  • Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и
  • Записываем ответ:

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

  1. Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую
  2. Ответ: 10
  3. Читаем дальше:
  4. Графический метод решения задач с параметрами.

Источник: https://ege-study.ru/chto-takoe-parametr-prostye-zadachi-s-parametrami/

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где (p(a)) и (q(a))- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все (x) при всех значениях параметра (a). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение:

(x=frac{q(a)}{p(a)}) при (p(a)≠0.) Если же (p(a)=0) и (q(a)=0), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда (p(a)=0),а (q(a)≠0), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с (x) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

  • Пример 1
  • Решить уравнение (ax-5a=7x-3) при всех возможных (a).

Перенесем все одночлены с (x) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем (x) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда ((a-7)≠0). Тогда мы можем поделить все уравнение на (a-7) и выразить: $$x=frac{5a-3}{a-7}.$$ Второй случай, когда ((a-7)=0), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра (а). Например, (x=frac{2}{7}) при (a=0,) (x=frac{-1}{3}) при (a=1) и т.д. Ответ: При (a=7) (x∈∅;) при (a≠7) (x=frac{5a-3}{a-7}.)

Пример 2

Найдите все (a), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие (x), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку (x) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: ((a-1)=0),т.е. (a=1) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число. Второй случай: ((a-1)≠0), т.е. (a≠1) $$x=frac{(a-1)(a-4)}{a-1}=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число (x=a-4). Ответ: (a=1.)

  1. Пример 3
  2. Решите уравнение (frac{x}{5a+x}-frac{5a+x}{x-5a}=frac{100a^2}{25a^2-x^2}.)
  3. После преобразований получили линейное уравнение.

Из ОДЗ видно, что (5a+x≠0) и (x-5a≠0,) таким образом, (x≠±5a.) Приведем уравнение к общему знаменателю (x^2-25a^2) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

Первый случай: (a=0.) Получаем уравнение (0*x=0.) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме (x=0) (ОДЗ (x≠±5a)).

Второй случай: (a≠0.) Выражаем (x=frac{5a^2}{a}=5a.) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При (a=0) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме (x=0.) Если (a≠0,) то решений нет.

Источник: https://sigma-center.ru/linear_equation_with_parametr

Ссылка на основную публикацию