Бесконечно малые функции, формулы и примеры

Подборка по базе: lecture01 Бухучет, его сущность и функции.doc, 5. Определение скорости полета пули A5.pdf, ОФС. Определение радионуклеидов.pptx, Индивидуальное задание — решение задач по теме «Определение лету, Метод.указ. Определение категории ремонтной сложности (1).docx, Найти значение функции.docx, Тема 3. Определение идеи проекта.docx, Практическая работа Определение сечения проводов..docx, (x_(x + 2))^(x — 1) Решение предела функции · Калькулятор Онлайн, Тема 3. Определение идеи проекта.docx.

1. Определение предела функции. Бесконечно малые. Представление функции в виде суммы константы и бесконечно малой.Бесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примеры2. Свойства бесконечно малых Бесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примеры 3. Предел суммы, произведения и частного Бесконечно малые функции, формулы и примеры4. Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности.5. Теорема о двух милиционерах 6. Первый замечательный предел. 7. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Второй замечательный предел.

    8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 9. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

    1. 11. Свойства функций, непрерывных на отрезке
    10. Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
    12. Определение производной. Вычислить по определению производные функции y=x2 , y = sin x, y = cos x

      15. Производная суммы и произведения функций.

      • 22. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений
      • 24 Правило Лопиталя
      13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормаль к графику функции в данной точке16.Производная частного. Производная фунцкий y= tg x, y = ctg x19. Производная функции y = ln x. Логарифмическое дифференцирование и его применение.

      1. 21. Теоремы Ферма и Роля

      25. Формула Тейлора

      14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.

      • 17. Производная сложной функции

      18. Обратная функция и ее производная. Производная функций y = arcsin x, y = arctg x

      alt

      Узнай стоимость своей работы

      Бесплатная оценка заказа!

      Оценим за полчаса!

        20. Дифференциал функции: определение и формула для вычисления. Эквивалентность дифференцируемости и существования производной

        • 23. Теорема Коши об отношении приращений двух функций на отрезке
        26. Возрастающие и убывающие функции. Доказать, что при положительной производной функция возрастает

        1. 30. Асимптоты
        27. Точки экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной 28. Точки экстремума. Достаточное условие экстремума по второй производной

          29. Выпуклость , вогнутость и точки перегиба. Связь со второй производной.продолжение

          31 Частные производные. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования

            36. Достаточные условия экстремумы функции двух переменных

            32. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал функции.35. Экстремумы функций двух переменный. Необходимое условие экстремума. 33. Частные производные сложной функции

              34. Неявные функции и их производные.

              37. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

                38. Производная по направлению. Градиент функции.

                Источник: https://topuch.ru/1-opredelenie-predela-funkcii-beskonechno-malie-predstavlenie/index.html

                alt

                Узнай стоимость своей работы

                Бесплатная оценка заказа!

                Оценим за полчаса!

                Эквивалентные функции — формулы, свойства и примеры решений

                Бесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примеры

                В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. 

                Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство». 

                Определение эквивалентных функций

                Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

                Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

                Если при x1, стремящимся к x2, f(x)~f1(x) и g(x)~g1(x) существует предел:

                • то существует и предел:

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                Доказательство

                Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

                1. в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                • при этом:
                • f(x) ~ f1(x), p(x) ~ p1(x), … , r(x) ~ r1(x), g(x) ~ g1(x), q(x) ~ q1(x), … , s(x) ~ s1(x).

                Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй. 

                Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно. 

                Таблица эквивалентных функций

                Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0: 

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                Эквивалентность при t → 0 Равенство при t → 0
                sin t ~ t sin t = t + 0(t)
                arsin t ~ t arsin t = t + 0(t)
                tg t ~ t tg t = t + 0(t)
                artg t ~ t artg t = t + 0(t)
                1-cos t ~ 1-cos t = + 0(t2)
                et – 1 ~ t et — 1 = t + 0(t)
                at – 1 ~ t ln a at – 1 = t ln a + 0(t)
                ln (1 + t) ~ t ln (1 + t) = t + 0(t)
                loga (1 + t) ~  loga (1 + t) = + 0(t)
                (1 + t)b — 1 ~ bt (1 + t)b — 1 = bt + 0(t)
                sh t ~ t sh t = t + 0(t)
                arsh t ~ t arsh t = t + 0(t)
                th t ~ t th t = t + 0(t)
                arsh t ~ t arsh t= t + 0(t)
                ch t – 1 ~ t2/2 ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

                Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел. 

                В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

                Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

                Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

                Пример 1

                Вычислить

                 

                1. Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры 

                Пример 2

                Найти

                • Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                Значит, arcsin x ~ x при x → 0. 

                Пример 3

                Вычислить

                1. Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры 

                • Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.

                Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/ekvivalentnye-funktsii.html

                Эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов

                Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности выда ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения. Для удобства приведем небольшую таблицу эквивалентностей основных функций при движении переменной к нулю

                Бесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примерыБесконечно малые функции, формулы и примеры

                есть еще несколько формул однако они встречаются редко.

                Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» для закрепления практических знаний.

                ————————————

                Пример 1. Найти пределы.

                1) (5. 492. 1)

                2) (5. 492. 7)

                3) (5. 492. 8)

                4) (5. 492. 9)

                5) (5. 492. 11)

                6) (5. 492. 13)

                7) (5. 492. 15)

                8) (5. 492. 17)

                9) (5. 492. 19)

                • Решение.
                • 1) Согласно правилам разложения в окрестности нуля поведение заданных функций будет следующим
                • На основе этого предел примет значение
                • 2) Использую правила эквивалентностей преобразим функцию
                • граница примет значение
                • 3) Преобразуем числитель и знаменатель по правилам
                • и найдем предел
                • 4) Если Вам встречаются подобные примеры то нужно выполнить следующее: на основе формул разложения упростить числитель
                • Подстановкой в предел получим

                неопределенность вида ноль на ноль . Для ее раскрытия нужно знаменатель разложить на простые множители.

                1. Чтобы не решать квадратное или другие уравнения, которые могут быть, можете смело делить знаменатель на числитель
                2. Подставляем в предел и вычисляем
                3. Такого рода примеры задуманы таким образом что знаменатель или числитель имеют особенности, избавившись от которых без проблем вычисляем пределы.
                4. 5) Согласно правилам эквивалентности поведение числителя и знаменателя подменяем функциями
                5. В результате находим предел
                6. 6) Производим замену функций эквивалентными
                7. На основе этого получим
                8. 7) Для применения правил эквивалентности добавим и вычтем в числителе единицу.
                9. Далее делаем замену
                10. После подстановки в предел получим
                11. 8) Преобразуем числитель
                12. Подставим и сведем к первому замечательному пределу
                13. 9) Согласно разложению в окрестности нуля получим
                14. Граница примет вид

                Применение эквивалентных функций позволяет быстро находить границы функций. Используйте их в тех случаях, когда это необходимо, изучайте и обогащайте знания самостоятельным решением подобных примеров. Это позволит Вам быть спокойными и уверенными при написании контрольных работ и домашних заданий.

                ————————————

                Посмотреть материалы:

                Источник: https://yukhym.com/ru/vychislenie-predelov/ekvivalentnye-beskonechno-malye-funktsii.html

                Бесконечно малые и бесконечно большие функции

                Бесконечно малые функции, формулы и примеры

                Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Связь между ними. Доказательства свойств и теорем. Арифметические свойства пределов с бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

                • Пусть x0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞, –∞ или +∞.
                • Определение бесконечно малой функции Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен нулю: .
                • Определение бесконечно большой функции Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен бесконечности: .

                Свойства бесконечно малых функций

                1. Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
                2. Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 является бесконечно малой функцией при x → x0.

                3. Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции.

                4. Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
                5. Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0, на бесконечно малую, при x → x0, является бесконечно малой функцией при x → x0.

                  Доказательство ⇓

                6. Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
                7. Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая функция при x → x0. Доказательство ⇓

                Свойства бесконечно больших функций

                • Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
                • Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0. Доказательство ⇓
                • Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую
                • Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом: , а функция является бесконечно большой при x → x0: , то их произведение является бесконечно большой функцией при : . Доказательство ⇓
                • Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
                • Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то . Доказательство ⇓
                • Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
                • Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом: , а функция является бесконечно малой при x → x0: , и существует проколотая окрестность точки , на которой  , то . Доказательство ⇓
                • Свойство неравенств бесконечно больших функций
                • Если функция является бесконечно большой при : , и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству: , то функция также бесконечно большая при : . Доказательство ⇓
                • Это свойство имеет два частных случая.

                Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству: . Тогда если , то и . Если , то и .

                Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

                1. Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
                2. Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
                3. Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

                4. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом: ,   .

                Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так: .

                Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут: ,  или  .

                Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями: ,   , ,   .

                Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

                Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций

                Приведенные выше свойства выполняются, если функция ограничена, а функция ограничена снизу по абсолютной величине положительным числом.

                При этом эти функции не обязательно должны иметь конечный предел, а могут расходиться. Однако, эти функции будут обладать указанными свойствами, если они имеют соответствующие пределы.

                Это позволяет сформулировать арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

                Пусть существуют пределы функций   и   .И пусть, при , функция является бесконечно малой: ,   а функция – бесконечно большой: . Тогда существует пределы суммы и разности:

                (A.1)   ;

                существуют пределы произведений:

                (A.2)   ;

                существуют пределы частного:

                (A.3)   .

                Действительно, если функция имеет конечный предел при , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена (см. «Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел»).

                Если функция имеет не равный нулю предел , то существует проколотая окрестность , на которой она ограничена снизу по абсолютной величине числом :   при   . (см. «Теорема об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел»).

                Тогда, на основе изложенных выше теорем, существуют пределы (А.1 – А.3).

                Свойство доказано.

                Доказательство свойств и теорем

                Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

                Все свойства ⇑ Произведение функции , ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x0: при , на бесконечно малую , при x → x0: , является бесконечно малой функцией при x → x0: .

                Доказательство

                Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

                Пусть функция является бесконечно малой при : . И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки : при .

                Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

                Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности : . Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной: , a последовательность является бесконечно малой: .

                • Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность: . Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
                • .
                • Теорема доказана.

                Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

                Все свойства ⇑ Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая функция при x → x0.

                Доказательство

                Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

                Все свойства ⇑ Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x0, и бесконечно большой функции, при x → x0, является бесконечно большой функцией при x → x0.

                Доказательство

                Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью.

                Пусть функция является бесконечно большой при : . И пусть функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки : при .

                Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

                Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности : . Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной: , a последовательность является бесконечно большой: .

                1. Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой является бесконечно большой последовательностью, то . Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
                2. .
                3. Теорема доказана.

                Теорема о произведении ограниченной снизу функции на бесконечно большую

                Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом: , а функция является бесконечно большой при x → x0: , то их произведение является бесконечно большой функцией при : .

                Доказательство

                Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

                Пусть функция является бесконечно большой при : . И пусть функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки : при .

                Поскольку существует предел функции при , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем .

                Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности : . Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу: , а последовательность является бесконечно большой: .

                • Поскольку произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью, то . Согласно определению предела последовательности по Гейне,
                • .
                • Теорема доказана.

                Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

                Все свойства ⇑ Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x0, а функция g(x) – ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0, то .

                Доказательство

                Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

                Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки : при .

                Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль: при . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

                Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности : . Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной: , a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами: ,   .

                1. Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то . Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
                2. .
                3. Теорема доказана.

                Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

                Все свойства ⇑ Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом: , а функция является бесконечно малой при x → x0: , и существует проколотая окрестность точки , на которой  , то .

                Доказательство

                Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью.

                Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки : при .

                По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль: при . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем   и  .

                Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности : . Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу: , а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами: ,   .

                • Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то . Согласно определению предела последовательности по Гейне,
                • .
                • Теорема доказана.

                Свойство неравенств бесконечно больших функций

                Все свойства ⇑ Если функция является бесконечно большой при : , и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству: , то функция также бесконечно большая при : .

                Доказательство

                Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне. Также воспользуемся свойством неравенств бесконечно больших последовательностей.

                Пусть функция является бесконечно большой при : . И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой при .

                Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности: при . Тогда

                1. при .
                2. Согласно определению предела функции по Гейне, . Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
                3. .

                Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне, .

                Свойство доказано.

                Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

                Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/beskonechno-malye-i-bolshie-funktsii/

                Бесконечно малые и бесконечно большие функции

                Опр.: Функция называется бесконечно малой при , если Бесконечно малые функции, формулы и примеры .

                • В записи « » будем предполагать, что x0 может принимать как конечное значение: x0 = Сonst, так и бесконечное: x0 = ∞.
                • Свойства бесконечно малых функций:
                • 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой при функцией.
                • 2) Произведение конечного числа бесконечно малых при функций является бесконечно малой при функцией.
                • 3) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.
                • 4) Частное от деления бесконечно малой при функции на функцию, предел которой отличен от нуля, является бесконечно малой при функцией.

                Пример: Функция y = 2 + x является бесконечно малой при , т.к. .

                Опр.: Функция называется бесконечно большой при , если .

                1. Свойства бесконечно больших функций:
                2. 1) Сумма бесконечно больших при функций является бесконечно большой при функцией.
                3. 2) Произведение бесконечно большой при функции на функцию, предел которой отличен от нуля, является бесконечно большой при функцией.
                4. 3) Сумма бесконечно большой при функции и ограниченной функции является бесконечно большой функцией.
                5. 4) Частное от деления бесконечно большой при функции на функцию, имеющую конечный предел, является бесконечно большой при функцией.

                Пример: Функция y = является бесконечно большой при , т.к. .

                Теорема.Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Если функция является бесконечно малой при , то функция является бесконечно большой при . И обратно, если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

                Отношение двух бесконечно малых принято обозначать символом , двух бесконечно больших — символом . Оба отношения являются неопределёнными в том смысле, что их предел может как существовать, так и не существовать, быть равным некоторому числу или быть бесконечным в зависимости от вида конкретных функций, входящих в неопределённые выражения.

                Кроме неопределённостей вида и неопределёнными являются следующие выражения:

                • — разность бесконечно больших одного знака;
                • — произведение бесконечно малой на бесконечно большую;
                • — показательно-степенная функция, основание которой стремится к 1, а показатель – к ;
                • — показательно-степенная функция, основание которой является бесконечно малой, а показатель – бесконечно большой;
                • показательно-степенная функция, основание и показатель которой являются бесконечно малыми;
                • — показательно-степенная функция, основание которой является бесконечно большой, а показатель – бесконечно малой.

                Говорят, что имеет место неопределенность соответствующего вида. Вычисление предела называют в этих случаях раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выражение, стоящее под знаком предела, преобразуют к виду, не содержащему неопределенности.

                При вычислении пределов используют свойства пределов, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

                Рассмотрим примеры вычислений различных пределов.

                1) . 2) .

                3) .

                4) , т.к. произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию является бесконечно малой.

                5) . 6) .

                7) = =

                . В данном случае имела место неопределенность типа , которую удалось раскрыть с помощью разложения многочленов на множители и сокращения на общий множитель .

                1. 8) =
                2. = .
                3. В данном случае имела место неопределенность типа , которую удалось раскрыть с помощью умножения числителя и знаменателя на выражение , использования формулы , и последующего сокращения дроби на ( +1).

                9) . В данном примере неопределенность типа была раскрыта почленным делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень .

                Замечательные пределы

                Первый замечательный предел: .

                Доказательство. Рассмотрим единичную окружность (рис.3).

                Рис.3. Единичная окружность

                • Пусть х – радианная мера центрального угла МОА ( ), тогда ОА = R = 1, МК = sin x, AT = tg x. Сравнивая площади треугольников ОМА, ОТА и сектора ОМА, получим:
                • ,
                • или
                • ,
                • откуда
                • .
                • Разделим последнее неравенство на sin x, получим:
                • .
                • Так как при , то по свойству 5) пределов
                • при .
                • Откуда и обратная величина при , что и требовалось доказать.

                Замечание: Если функция является бесконечно малой при , т.е. , то первый замечательный предел имеет вид:

                1. .
                2. Рассмотрим примеры вычислений пределов с использованием первого замечательного предела.
                3. 1) .
                4. 2) .
                5. При вычислении этого предела использовали тригонометрическую формулу: .
                6. 3)
                7. .
                8. 4) .
                9. Второй замечательный предел: ,
                10. где e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

                Доказательство. Рассмотрим график функции y = ln x (рис.4).

                Рис.4. График функции y = ln x

                Проведём в точке х = 1 к графику касательную. Её уравнение имеет вид: у = х – 1. Следовательно, .

                • Пусть АС = h, тогда ВС = ln(1+ h).
                • Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.
                • .

                Если , то , , т.е. .

                Откуда при . Заменив h на х, получим второй замечательный предел, что и требовалось доказать.

                1. Замечания: 1) Второй замечательный предел можно записать в виде:
                2. .
                3. 2) Из второго замечательного предела вытекают следующие пределы:
                4. ; ; ; .

                3) Если функция является бесконечно малой при , т.е. , то второй замечательный предел можно записать в виде:

                • .
                • Рассмотрим примеры вычислений пределов с использованием второго замечательного предела.
                • 2) .

                3) . Имеет место неопределенность типа [1µ]. Сделаем замену , тогда ; при .

                Источник: https://megaobuchalka.ru/7/28492.html

                51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

                Функции и 

                png» width=»28″>называют бесконечно
                малыми
                 при ,
                если 

                png» width=»79″>и 

                Функции и называют эквивалентными
                бесконечно малыми
                 при ,
                если 

                Очень
                удобно пользоваться заменой
                эквивалентных бесконечно малых
                 при
                нахождении пределов. Замена производится
                на основе таблицы.

                Таблица
                эквивалентных бесконечно малых
                .

                Пусть —
                бесконечно малая при .

                52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов

                При
                вычислении пределов часто применяется
                следующая Теорема.
                Предел отношения двух бесконечно малых
                (неопределенность )
                равен пределу отношения двух других
                бесконечно малых, эквивалентных данным,
                т.е.

                Отметим
                также: если ,
                то.

                3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых

                Известна
                формула первого замечательного предела:

                Используя
                это равенство, получим

                Отсюда
                получаем первую группу формул
                эквивалентности бесконечно малых.

                . (1)

                Вторая
                группа формул связана с логарифмической
                функцией.

                Получаем
                вторую группу формул:

                Третья
                группа формул связана с показательной
                функцией. Имеем:

                Отсюда 

                • Итак,
                  третья группа формул эквивалентности
                  бесконечно малых
                •   , 
                •   , (3)

                Четвертая
                группа формул связана со степенной
                функцией.

                Итак,
                четвертая группа формул эквивалентности
                бесконечно малых

                53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке

                1. Определение. Предела
                  слева (справа)
                2. Число
                  А(В) по определению называется пределом
                  функции f(x)
                  в точке х0 слева
                  (справа), если
                3. >0   >0
                  : x из x0-

                Источник: https://studfile.net/preview/2732377/page:29/

                Ссылка на основную публикацию