Деление логарифмов, формула и примеры

Содержание

В практической части урока мы рассмотрим различные задания на преобразование выражений, содержащих логарифмы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.

Практика

Конспект урока

Пример №1. Упростить выражение: .

Рассмотрим несколько способов решения:

1 способ:

2 способ:

3 способ:

Пример №2.(Типовое задание B7) Упростить выражение: .

Пример №3. Упростить выражение: .

Пример №4. Упростить выражение .

Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.

Пример №5. Упростить выражение .

Пример №6. Найти значение выражения , если .

Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
2 способ:
.

Пример №1. Упростить выражение .

Пример №2. Найти значение выражения: , если .

Рассмотрим несколько способов решения:
1 способ:
.
2 способ:
.

Пример №3. Упростить выражение .

Пример №4. Упростить выражение .

Пример №5. Упростить выражение .

Пример №1. Вычислить значение выражения .

Рассмотрим два способа решения:
1 способ:
Воспользуемся свойством логарифма: .
.
2 способ:
(по определению, так как ).
Пример №2. Вычислить значение выражения:
.
Пример №3. Вычислить значение выражения:
.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-3-logarifm-svoystva-logarifmov-vyrazheniya-s-logarifmami-praktika?block=content

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так , таким образом

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения

согласно определению логарифма:
Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.
Получим:
Делаем проверку:

Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Используем следующее свойство логарифма:
Тогда получим:
Делаем проверку:
Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения

Используя определение логарифма, получим:
Проверим:
Ответ: .
Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
Делаем проверку
Записываем ответ.

Источник: https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-logarifmicheskie-uravneniya-podrobnyiy-razbor/

Логарифмы и логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения и решение логарифмических уравнений входят в обязательный комплекс знаний и умений школьника, если он стремится сдать ЕГЭ по математике на высокий балл и поступить в ВУЗ, стать студентом. Рассмотрим, что же это такое — логарифм, логарифмические уравнения и как их решать.

Логарифм — что это

$a0, a eq 1, b0$

Вычислите:

, .

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

2. При возведении , значит .

Ответ: 3; -3.

Изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, логарифмы значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел.

Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.

71828 и записываемый как ln n) продолжает оставаться одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Логарифмическая функция и ее график

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть . Подставим вместо разные числа и определим соответствующие значения переменной.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Логарифмическая функция все время возрастает.

Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь . Составим таблицу значений для этого случая.

Получим следующий график функции:

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.
Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).
Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять и логарифмы с натуральным основанием .

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, которые упростили долгие, утомительные вычисления.

В частности, ученые могли найти произведение двух чисел m и n, посмотрев логарифм каждого числа в специальной таблице, сложив логарифмы, а затем снова сверившись с таблицей, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известным как его антилогарифм). Выраженная в терминах обычных логарифмов, эта связь определяется как log m n = log m + log n.

Аналогично, задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log m/n = log m — log n.

Это еще не все. Расчет степеней и корней может быть упрощен с использованием логарифмов. Логарифмы также могут быть преобразованы между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 не может использоваться в качестве основания, поскольку все его степени равны 1).

В логарифмические таблицы обычно включались только логарифмы для чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа вне этого диапазона, число было сначала записано в удобном виде как произведение его значащих цифр и его степени по основанию 10 —
например, 358 будет записано как 3,58 × 10 2,
а 0,0046 будет записано как 4,6 × 10-3.

Тогда логарифм значащих цифр — десятичная дробь между 0 и 1, известная как мантисса — будет найдена в таблице. Например, чтобы найти логарифм 358, можно посмотреть таблицу значений логарифмов 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, lg 358 = lg 3,58 + lg 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388.

В примере числа с отрицательным показателем степени, такого как 0,0046, можно посмотреть lg 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, lg 0,0046 = lg 4,6 + lg 0,001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

История логарифмов

Изобретению логарифмов предшествовало сравнение арифметических и геометрических последовательностей.

В геометрической последовательности каждый член образует постоянное соотношение (знаменатель прогрессии) с предыдущим и последующим членами прогрессии: например,… 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет общее отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как разность прогрессии, например,… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет разность 1.

Обратите внимание, что геометрическая последовательность может быть записана в терминах ее общего отношения, для приведенной выше примерной геометрической последовательности:… 10−3, 10 −2, 10 −1, 10 0, 10 1, 10 2, 10 3….

Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равно суммированию соответствующих показателей степеней с основанием 10: -1 и 2, чтобы получить 10 1 = 10. Таким образом, умножение преобразуется в сложение.

Однако первоначальное сравнение между двумя возможностями вычислений произведения не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи: это было последующее развитие.

В 1620 году в Праге швейцарским математиком Йостом Бурги была опубликована первая таблица, основанная на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Непер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его целью было помочь в умножении величин, которые были связаны с вычислением синуса в прямоугольном треугольнике.

Вычисления Непера и Бригса

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бригсом Непер приспособил свой логарифм к его современной форме.

Для неперова логарифма сравнение будет происходить между точками, движущимися по градуированной прямой линии, точка L (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, точка Х (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью пропорционально его расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорость в этой точке равна.

Суть открытия Непера состоит в том, что он связал между собой арифметические и геометрические прогрессии — то есть умножение и возведение в степень значений точки X соответствуют сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничивать движение L и X требованием, чтобы L = 1 при X = 10, в дополнение к условию, что X = 1 при L = 0. Это изменение привело к бригиану, или общему логарифму.

Непер умер в 1617 году, а Бригс продолжил расчеты в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанную до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — логарифмические линейки были незаменимы в инженерных расчетах.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Где используются логарифмы

Некоторые области науки, где применяются логарифмы:

Децибелы, используемые для измерения звукового давления, определяются с помощью логарифмов.
Шкала Рихтера, которая используется для измерения интенсивности землетрясений, определяется с помощью логарифмов
Значения pH в химии, которое используется для определения уровня кислотности вещества, также определяется с использованием понятия логарифма.
Когда две измеренные величины оказываются связанными степенной функцией, параметры функции могут быть оценены с использованием логарифмов.
Логарифмы могут быть использованы для решения уравнений, таких как 2х = 3.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим простейшие логарифмические уравнения и примеры их решения.

Задание 1

Решите уравнение log5(x2+x)=log5(x2+9)
Ответ:9
Решение: Так как основания логарифмов одинаковы, то числа, стоящие под знаком логарифмов — одинаковы:

Задание 2

Решите уравнение logx-5 49 = 2.
Если уравнение с логарифмами имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.
Ответ: 12
Решение:
(x – 5)2 = 49;
x2 – 10 x + 25 = 49;
x2 – 10 x – 24 = 0;
a = 1 , b = -10, c = -24;

При х = –2 основание логарифма отрицательно (известно, что основание должно быть положительным). Решением является корень 12. Сделайте проверку.

Задание 3

Найдите корень уравнения log2(4 – x) = 7.
Ответ:-124
Решение:
27 = 4 – x;
128=4-х;
х = 4 – 128;
х = −124.

Задание 4

Ответ: 115

Решение: 27=33, тогда

или или уравнения с логарифмами. По основному свойству логарифмов: при возведении числа в степень логарифма с таким же основанием, остается число, стоящее под знаком логарифма, то есть: . Тогда получим: .

Решая данное уравнение, получим: ,
.

Задание 5

Решите уравнение logx+725 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Ответ: -2
Решение: .
, .
и
и

Так как x должен быть больше -7, то корень не подходит. И остается один единственный корень: .

Таким образом, уже не важно — наибольший это корень или наименьший, он один подходит. Поэтому в ответе указываем его.

Задание 6

Решите уравнение log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + 1
Ответ: x=0,4.
Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : ,
применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:
или
.

Задание 7

Решите уравнение log5(7 – x) = log5(3 – x) + 1
Ответ: 2
Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : .
применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:
.

Задание 8

Найдите корень уравнения
Ответ: x=-1
Решение:
.
так как у нас должно выполняться условие:
, откуда , таким образом нам подходит только один корень .

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических уравнений с подробным решением каждого из них.

Вы узнали, что такое логарифм, историю возникновения логарифма и имена ученых, которые схватили идею расчета произведения через сложение и изобрели логарифм, который на многие годы облегчил расчеты инженеров, строителей, ученых.

Источник: https://novstudent.ru/logarifmicheskie-uravneniya/

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.
Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a logab = b
Пример.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9
Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac
Пример.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4
Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac
Пример.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
1. Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab
2. Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab
3. loganb m = m/n*logab,
4. если m = n, получим loganb n = logab
5. Пример.
6. log49 = log223 2 = log23
Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,
- если c = b, получим logbb = 1
- тогда logab = 1/logba
- Пример.
- log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в х к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Formuly-logarifmov-Logarifmy-primery-resheniya

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Неопубликованная запись

Что такое логарифм
Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.
Ответ: 4.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :
Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.
Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:
А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:
Дальше с этим ничего сделать не сможем.
Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.
Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:
А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:
Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:
А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:
Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:
Пример:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:
А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:
А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов
С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.
Формула перехода к новому основанию:

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.
Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.
Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:
Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.
Простенький примерчик:

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:
И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.
Первый появляется из определения логарифма:
Только не забываем про ОДЗ:
Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:
Не забываем про ОДЗ, тогда получится:
Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:
Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:
Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:
Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:
Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:
Вывод:

Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/logharifmy

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

b extgreater 0,a extgreater 0,a e 1.

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
2. log5(15 + 3x) > log52x
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.
Получаем: x > −15.
Итак,
Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.
3.
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство
Ответ:
5. Решите неравенство
ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:
6.
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
Упростим эту систему:
Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.
Сделаем замену
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:
Итак,
Вернемся к переменной x:
Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).
Ответ:
7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов
Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ:
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство:
Неравенство равносильно системе:
Ответ:
9. Решите неравенство:
Выражение 5-x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:
Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда
Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.
Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть
Аккуратно запишем ОДЗ
и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
Получим, что
Вернемся к переменной x
Поскольку
Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:
Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:
Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.
Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:
Итак, Это ОДЗ.
Обратите внимание, что .
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)2=(18 — x)2. Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда
— не удовлетворяет ОДЗ;
Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Источник: https://ege-study.ru/logarifmicheskie-neravenstva-1/

Деление логарифмов примеры. Решение логарифмичеких уравнений

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3) log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x))
определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1)
– показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.
Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b)
, а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b)
.
Часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов
.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения
равен сумме логарифмов:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного
равен разности логарифмов:

log a (x / y) = log a x – log a y

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени
равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами
включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Итак, перед нами степени двойки.

Логарифмы – свойства, формулы, как решать

Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение: log a x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень
, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений
(ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Составим и решим уравнение:log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Составим и решим уравнение:log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Составим и решим уравнение:log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один; 48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2; 81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень; 35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;

14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать: lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма: ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Источник: https://dinelli.ru/manikyur/delenie-logarifmov-primery-reshenie-logarifmichekih.html