Гипербола, все про гиперболы

Гипербола (в риторике) — это стилистический приём, способ описания чего-либо с явным преувеличением, при котором кто-то или что-то представляется больше, лучше, ярче (и т. д.), чем в реальности. Например: 100 лет не виделись, горы трупов.

Гипербола (в математике) — это две кривые, которые похожи на бесконечные луки, зеркально повторяющие друг друга.

Гипербола (в математике)

Слово гипербола пришло в русский язык из польского (hiperbola). Которое, в свою очередь, пришло из латинского (hyperbola — преувеличение) от греческого (ὑπερβολή) — буквально означает «бросок за пределы» (hyper — за предел, bole — бросок).

Примеры гиперболы в речи и литературе

Примеры в обиходе

Мы часто используем гиперболы в разговоре. Например:

• миллион извинений;
• реки крови;
• горы трупов;
• ждать целую вечность;
• море слёз;
• сто раз повторял(а);
• напугать до смерти.

Примеры из литературы

Но и писатели любят использовать этот приём преувеличения в своих литературных произведениях. Например:

«Редкая птица долетит до середины Днепра».
«Вечера на хуторе близ Диканьки», Н. В. Гоголь

«Чуден Днепр при тихой погоде… без меры в ширину, без конца в длину…».
«Вечера на хуторе близ Диканьки», Н. В. Гоголь

«И сосна до звезды достает».
«За гремучую доблесть грядущих веков…», О. Э. Мандельштам

Примеры гипербол в английском языке

“It was so cold, I saw polar bears wearing hats and jackets” (“Было так холодно: я видел белых медведей в шапках и куртках”);

“We're so poor we don't have two cents to rub together” (“Мы так бедны, что у нас нет и двух центов, чтобы потереть вместе”);

“His brain is the size of a pea” (“У него мозг размером с горошину”).

Разница между преувеличением и гиперболой

Преувеличение — это когда человек выходит за грани. Например, когда один человек ждёт другого на протяжении 15 минут и, дождавшись, он ему говорит: «Я тебя жду уже целый час!».

Гипербола же — это совершенно нереалистичное преувеличение. В нашем примере фраза была бы «Я тебя жду уже целый год!».

Тропы

Гипербола считается тропом. Троп — это выразительный оборот речи, в котором автор использует слово/выражение в переносном значении либо сопоставляет предметы и явления, которые каким-то образом переплетаются между собой по смыслу.

Главные виды тропов, которые существуют в русском языке:

• аллегория (иносказание, выражение абстрактных идей конкретными);
• гипербола (явное преувеличение);
• дисфемизм (замена одного слова другим, более вульгарным);
• ирония (скрытая тонкая насмешка);
• каламбур (шутка с игрой разных значений одного слова либо словами, схожими по звучанию);
• литота (сильное преуменьшение либо двойное отрицание);
• метафора (переносное значение, сравнение и перенос с одного предмета на другой);
• метонимия (переименование одного слова другим; существует логическая связь замены);
• оксюморон (постановка слов противоположного значения бок о бок, создавая парадокс);
• олицетворение (одушевление, сравнение чего-то неодушевлённого с живым);
• перифраз (иносказание);
• сарказм (негативная ирония);
• синекдоха (узкое понятие заменяется более широким или наоборот);
• сравнение (сравниваются два предмета, часто присутствуют союзы «как», «будто» и другие);
• эвфемизм (замена социально непристойных/неудобных слов на более мягкие);
• эпитет (прилагательное, наречие, причастие или глагол, которые выразительно описывают что-то).

Смотрите подробнее про Метафору и Эпитет.

Эвфемизм

Эвфемизм (от греч. euphemeo — «говорю вежливо», eu — «хорошо» + phemi — «говорю») — это слово, словосочетание или выражение, которое используется для замены социально неудобных или неприемлемых слов/выражений. Например:

• попудрить носик (сходить в туалет);
• места лишения свободы (тюрьма);
• отойти в лучший мир (умереть).

Литота

Противоположностью гиперболе (в литературе) является литота.

Литота (от греч. litotes — простота) — это:

• сильное преуменьшение или смягчение каких-то свойств предмета/явления (например: капля в море; тише воды, ниже травы);
• двойное отрицание или отрицание признака, которое не характерно предмету/явлению (например: неплохой).

Гипербола в математике

• Гипербола — это множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек (F1 и F2 на рисунке, называемых фокусами гиперболы) — это величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
• 
• F1 и F2 — фокусы гиперболы.
• Из определения гиперболы мы знаем, что модуль разности расстояний от фокусов гиперболы — это величина постоянная, это означает:
• 

|MF1 − MF2| = константа; т. е. расстояние от (M до F1) минус (M до F2) всегда будет постоянной величиной (константой; постоянной; цифрой с определённым числовым значением).

Каноническое уравнение гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы выглядит так:

где a и b — длины полуосей (действительной и мнимой); т. е. a = расстояние от 0 до а и b = расстояние от 0 до b, как показано на этом рисунке:

Примечание: уравнение аналогично каноническому уравнению эллипса: x²/a² + y²/b² = 1, разница в сложении вместо вычитания.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситет (обычно обозначаемый буквой е) показывает, насколько гипербола является «некривой», т. е. чем он ближе к 1, тем более вытянут её прямоугольник в направлении оси (меньше углы, образуемые асимптотами) и тем больше эта гипербола будет «растягиваться» вдоль своей действительной оси.

1. Эксцентриситет гиперболы всегда больше 1.
2. 
3. (величина отрезка F1F2 = 2c; c = расстояние от нуля до F1 и, соответственно, от нуля до F2 )
4. M — точка на кривой;
5. F1— это фокус;
6. N — точка на директрисе (отрезок MN перпендикулярен директрисе).
7. Эксцентриситет (обозначамый буквой е) является соотношением MF1/MN и имеет формулу:
8. 

Парабола

• Парабола — это геометрическое место точек, где любая точка находится на одинаковом расстоянии от: данной точки (фокус) и данной прямой (директриса).
• 
• У параболы квадратичная функция вида:
• 
  где a, b и с — заданные числа.
• Смотрите также значение Логарифма и Числа Пи.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/giperbola/

10.9. Гипербола и ее свойства



В § 7 было получено уравнение гиперболы. Перейдем к новой системе координат, как и в § 8.

• В новой системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид
  
  

  Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

• Отметим следующие свойства гиперболы.

Свойство 10.6. 

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим   а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат. Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения Отсюда, подставляя y = 0 в уравнение гиперболы, получаем x = ±a. Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A (a; 0) и B (–a; 0).

Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.

Свойство 10.7. 

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10.3 для эллипса.

Свойство 10.8. 

Гипербола имеет центр симметрии.

Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка N, очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Свойство 10.9. 

Гипербола пересекается с прямой y = kx при  в двух точках. Если  то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений Исключая y, получаем  или При  то есть при  полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями  и  называются асимптотами гиперболы. При  то есть при  система имеет два решения:  и Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше  пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения A (a; 0) и B (–a; 0) – вершины гиперболы.

Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить ее форму в первом квадранте координатной плоскости.

Из полученных формул видно, что при возрастании k от нуля до  (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают.

Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. 10.9.1, и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

1

Рисунок 10.9.1

1. Точки  и  называются фокусами гиперболы. Здесь
2. Величина  называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.
3. Из определения Из формулы видно, что чем меньше эксцентриситет, тем более гипербола сжата к оси Ox.
4. В соответствии с обозначениями Тогда, аналогично случаю с эллипсом, Координаты точки A при переходе в новую систему координат будут равны То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  гиперболы, и поэтому совпадает с ним.
5. Уравнение же прямой l в новой системе координат будет иметь вид Обозначим  Так как   то, поскольку для гиперболы ε > 1, имеем d 

Источник: https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter10/section/paragraph9/theory.html

Что такое гипербола, примеры из литературы и повседневной жизни

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Все мы в жизни хоть раз говорили или слышали подобные выражение (а кто-то и не раз): ВЕЧНО ОПАЗДЫВАЕТЕ или СТО ЛЕТ НЕ ВИДЕЛИСЬ.

И мало кто задумывался, что эти фразы лишены какого-то здравого смысла. Так, человек просто не может «вечно опаздывать». И не может кто-то не видиться «сто лет», хотя бы потому, что люди редко так долго живут.

Подобные преувеличения в русском языке называются гиперболами и именно о них пойдет речь в этой публикации.

Гипербола — это красивое преувеличение

Само это слово греческое – «hyperbole» и обозначает оно «чрезмерность, избыток, преувеличение».

Гипербола – это одно из средств усиления эмоциональной оценки, заключающееся в чрезмерном преувеличении каких-либо явлений, качеств, свойств или процессов. Благодаря этому создается более впечатляющий образ.

Причем часто преувеличение доходит до совершенно непостижимых понятий, иногда даже граничащих с абсурдом. Любой иностранец, если будет переводить такие словосочетания дословно, будет явно озадачен. Мы же давно к ним привыкли, и воспринимаем их как совершенно нормальные.

Вот примеры наиболее часто используемых в обиходе гипербол:

• НАПУГАТЬ ДО СМЕРТИТЫСЯЧА ИЗВИНЕНИЙХОТЬ ЗАЛЕЙСЯРЕКИ КРОВИГОРЫ ТРУПОВЖДУ ЦЕЛУЮ ВЕЧНОСТЬЕХАТЬ ЗА ТЫСЯЧУ КИЛОМЕТРОВВЕСЬ ДЕНЬ ПРОСТОЯЛАКУЧА ДЕНЕГПИР НА ВЕСЬ МИРМОРЕ СЛЕЗНЕ ВИДЕЛИСЬ 100 ЛЕТОКЕАН СТРАСТЕЙВЕСИТ СТО ПУДОВЗАДУШИТЬ В ОБЪЯТЬЯХ
• ИСПУГАТЬСЯ ДО СМЕРТИ

Все перечисленные выражения мы постоянно используем в разговорной речи. И ради эксперимента просто попробуйте разобрать их дословно и увидите, насколько некоторые из них смешны, а порой и абсурдны.

Ну, например, «хоть залейся» — это должно быть такое количество жидкости, чтобы ее хватило на целый бассейн, в который можно было бы погрузиться с головой. Хотя на самом деле мы этим выражением просто хотим сказать, что напитков у нас много — даже больше чем нужно.

Или фраза «куча денег» на самом ведь деле обозначает просто хорошее финансовое состояние, а не то, что человек собрал все свои сбережения и давай их складывать в одну кучу.

И так можно «развенчать» абсолютно любую гиперболу. Но делать этого не стоит. Они и не должны означать абсолютную правду, их задача – наиболее живописно охарактеризовать конкретную ситуацию или мысль, усиливая ее эмоциональный окрас.

Примеры гипербол в художественной литературе

На самом деле подобные преувеличения – это очень старый литературный прием. Он использовался еще в русских былинах, а это было без малого тысячу лет назад. С помощью гипербол многократно усиливали силу богатырей и их противников.

1. Сон богатырский длился 12 ДНЕЙ (ну не может человек спать почти две недели)
2. На пути богатыря стояли силы несметные – ВОЛК ИХ ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЕЖИТ, ВОРОН ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЛЕТИТ (это сколько врагов должно быть – миллион?)
3. Махнет богатырь рукой – СРЕДИ ВРАГОВ УЛИЦА, махнет другой – ПЕРЕУЛОК (то есть одним ударом богатырь убивает сразу несколько десятков)
4. Взял Илья Муромец палицу ВЕСОМ СТО ПУДОВ (тут надо понимать, что сто пудов – это полторы тонны)
5. Соловей-разбойник свистит – ЛЕС К ЗЕМЛЕ КЛОНИТСЯ, а ЛЮДИ МЕРТВЫМИ ПАДАЮТ (ну тут совсем что-то из разряда сказки)

Точно такие же гиперболы встречаются и в «Слове о полку Игореве». Например:

«Русичи червлеными щитами перегородили широкие поля, ища себе честь, а князю славы» или «Войско такое, что можно Волгу веслами расплескать, а Дон вычерпать шлемами».

Среди писателей больше всего гипербол встречается у Николая Васильевича Гоголя. Преувеличения есть практически в каждом его известном произведении. Вот, например, он описывает реку Днепр:

Редкая птица долетит до середины Днепра.Днепр как дорога без конца в длину и без меры в ширину.

Или использует преувеличения в своих сатирических произведениях, вкладывая их в уста героев:

В муку бы вас все стер! (Городничий)Тридцать пять тысяч одних курьеров… Меня сам государственный совет боится. (Хлестаков)

А в «Мертвых душах» есть такие слова: «Бесчисленны человеческие страсти как морские пески».

Гиперболы использует практически любой писатель или поэт. С их помощью они, например, более красочно описывают характер героев произведений или показывают свое авторское отношение к ним.

Вот еще примеры гипербол в литературе:

1. И ядрам пролетать мешала гора кровавых тел (Лермонтов)
2. Закат пылал во сто сорок солнц (Маяковский)
3. Миллион терзаний (Грибоедов)
4. Порядочный человек за вас за тридевять земель готов убежать (Достоевский)
5. И сосна до звезд достает (Мандельштам)
6. Во сне дворник стал тяжелым как комод (Ильф и Петров)

Примеры гипербол в рекламе

Конечно, мимо такого интересного приема, который позволяет усилить реальное значение слов, не могли пройти и рекламщики. Масса слоганов основана на этом принципе. Ведь задача – привлечь внимание клиента, обещая при этом «золотые горы» и всячески подчеркивая уникальность товара:

1. Вкус на грани возможного (жевательная резинка «Стиморол»)
2. Контроль над стихией (кроссовки «Адидас»)
3. Король салатов (майонез «Оливьез»)

В создании рекламных роликов также часто используется принцип гиперболы. Например, серия знаменитых видео про батончики «Сникерс» со слоганом «Ты не ты, когда голоден». Там, где различные персонажи превращаются в совершенно других людей и начинают творить всякие глупости, и только шоколадный батончик способен вернуть их в привычную русло.

В этих роликах явно гиперболизировано (сильно преувеличено) чувство голода и «чудодейственная» сила самого «Сникерса».

Ну и самый простой пример гипербол, который применяют в рекламе, это выражения типа «самый лучший», «самый стильный», «самый комфортный» и так далее, а про цены, наоборот, говорят «самые низкие».

Вместо заключения

Придать большую выразительность и эмоциональную окраску любому выражению можно не только с помощью гиперболы. Есть в русском языке прием, который является ее полной противоположностью. Он не преувеличивает, а, наоборот, уменьшает значение.

Не успеешь глазом моргнуть, а годы уже пролетели.

Называется такой прием «литота». Об этом подробно – в нашей следующей статье.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

• * Нажимая на кнопку «Подписаться» Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности.
• Подборки по теме
• Использую для заработка

Рубрика: Отвечаю на частые вопросы

Источник: https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/giperbola-chto-ehto-takoe-primery-giperbol-literature.html

Что такое гипербола: уравнения и свойства

Определение 1

Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.

Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы

Свойства гиперболы

• Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
• Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
• Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
• Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
• У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.

Основные определения

• Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
• Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
• Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2cdot a$;
• Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
• Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2cdot a/2 = a$;
• Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
• Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение гиперболы

• Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $frac{x^2}{a^2} — frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ — положительные действительные числа.
• Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе:
  $frac{x}{a} — frac{y}{b} = 0$
• Уравнение гиперболы со смещенным центром
  $frac{(x — x_0)^2}{a^2} — frac{(y — y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ — координаты центра гиперболы.

Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.

Пример вывода формулы параметрического уравнения гиперболы в математике

Пример 1

1. Рассмотрим уравнение:
   $5x^2 – 4y^2 = 20$
2. Для того чтобы привести его к каноничному виду, сначала разделим всё на 20:
3. $frac{5x^2}{20} — frac{4y^2}{20} = 1$
4. Теперь сократим числители и знаменатели:
   $frac{x^2}{4} — frac{y^2}{5} = 1$
5. Для получения каноничной формы выразим в знаменателе квадрат:
6. $frac{x^2}{2^2} — frac{y^2}{sqrt(5)^2} = 1$

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/chto_takoe_giperbola_uravneniya_i_svoystva/

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и есть величина постоянная , меньшая расстояния между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки и называются фокусами гиперболы, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки и , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение , где , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б).

Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и . Для произвольной точки , принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

где , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее (рис.3.41,а). При , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Избавляясь от иррациональности и заменяя , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса и директрисы :

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис.3.41,б) имеет вид

, где — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке , принадлежащий прямой , но не содержащий точки (рис.3.41,б).

Тогда для произвольной точки , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем . Выражаем расстояние между точками и (см. пункт 2 замечаний 2.

8):

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

Выражаем полярный радиус и делаем замены :

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для гиперболы, для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение , находим абсциссы точек пересечения: . Следовательно, вершины имеют координаты . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна .

Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя , получаем . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы.

Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением (т.е. при ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны.

Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат (рис.3.42,б).

В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

Подставляя эти выражения в уравнение равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка принадлежит гиперболе . то и точки и , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: . Учитывая, что и , получаем

Чем больше , тем больше угол . Для равносторонней гиперболы имеем и . Для угол тупой, а для угол острый (рис.3.43,а).

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями и называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение определяет сопряженную гиперболу с центром в точке .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

где — гиперболический косинус, a гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству .

Пример 3.21. Изобразить гиперболу в канонической системе координат . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — действительная полуось, — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами с центром в начале координат (рис.3.44).

Например, подставляя в уравнение гиперболы, получаем

Следовательно, точки с координатами и принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

эксцентриситет ; фокальныи параметр . Составляем уравнения асимптот , то есть , и уравнения директрис: .

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=giperbola

Гипербола и её свойства

1. Гипербола и её форма.

   Начать изучение

2. Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

   Начать изучение

3. Точки гиперболы и их свойства.

   Начать изучение

4. Уравнение касательной к гиперболе.

   Начать изучение

• Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
  $$
  frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
• $$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6).

Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей.

Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Утверждение.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат.

Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.

$$
Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
$$
x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$

Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a).

Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Определение.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
onumber
$$
Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
$$
h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
onumber

$$

Утверждение.

Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).

Отсюда следует важное свойство асимптот.

Свойство.

Доказательство.

Действительно, хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.

Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы

Определение.

Введем число (c), положив
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}label{ref10}
$$

и (c > 0). Фокусами гиперболы называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.

Рис. 8.8. Фокусы гиперболы.

Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).

Утверждение 9.

1. Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы (x):
   $$
   r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|.label{ref11}
2. $$

Рис. 8.9. Расстояние от точки на гиперболе до ее фокусов.

Доказательство.

Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.

Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:

• для правой ветви гиперболы ((x geq a))
  $$
  r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;
  onumber
  $$
• для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
  $$
  r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;
  onumber
  $$

Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}

• $$
• Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
  $$
  x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
• $$

Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Точки гиперболы и их свойства

Утверждение 10.

Для того чтобы точка (M) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы (2a).

Доказательство.

1. Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
   $$
   sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
   onumber
   $$
2. Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством (c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2}).

Утверждение 11.

Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon) (рис. 8.10).

Рис. 8.10.

Доказательство.

Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M'(x, y)) — точка гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) § 3 гл. II равно
$$
d’=left|x+frac{a}{varepsilon}
ight|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|.
onumber

• $$
• Из формулы eqref{ref11} мы видим теперь, что (r’/d’=varepsilon).

Уравнение касательной к гиперболе

Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}

$$

Утверждение 12.

Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Источник: https://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/hyperbola/

Как научиться мастерски орудовать гиперболой

Изображение с сайта https://pixabay.com

Гипербола — красочное преувеличение, один из инструментов, усиливающих эмоциональную окраску наших слов и сообщений, придающих им особую выразительность. Гипербола состоит в прямом родстве с харизмой, дополняет привлекательность речи человека необычными и живописными образами.

Как же нам с Вами, дорогой читатель, научиться мастерски орудовать гиперболой, создавать яркие, впечатляющие истории, располагать с помощью художественного преувеличения к себе окружающих и захватывать их внимание?

Цель Гиперболы

Перед строительством любой гиперболы, прежде всего, следует определиться с ее задачей. Проще говоря, на какие эмоции она будет нацеливаться и какие цели преследовать.

Какие задачи преследует гипербола

• Рассмешить слушателя.
• Привлечь внимание к словам, мыслям, сообщениям.
• Вызвать любопытство, интерес.
• Стимулировать вовлеченность, неравнодушие. Обратить внимание человека на что-либо таким образом, чтобы он наверняка запомнил, основательно задумался, сделал важные выводы и т.д.
• Отвлечь внимание. Например, от неприятного вопроса, на который Вы не желаете отвечать.

Структура гиперболы

Несущей опорой и главной основой гиперболы является сильное преувеличение.

Преувеличение может быть численным

Я говорил ему об этом уже сто тысяч раз, а он так ничего и не понял.

Преувеличение может быть образным

Мы не виделись с ним целую вечность.

Преувеличение может передаваться через открытое сравнение

У меня так сухо во рту, как в пустыне Сахара.

Красочные примеры гиперболы из литературы

«В сто сорок солнц закат пылал» (В. В. Маяковский)»Порядочный человек от вас за тридевять земель убежать готов» (Ф. М. Достоевский)»А что вы еще сделали? — Да вот комара за семь верст ловили» (М. Е. Салтыков-Щедрин)

«Бесчисленны, как морские пески, человеческие страсти»

(Н. В. Гоголь)«Дворника, тяжелого во сне, как комод, перенесли на скамью» (И. Ильф и Е. Петров) «Шаровары шириною в Черное море» (Н. В. Гоголь)  

Гипербола в повседневной жизни

Несколько устойчивых примеров на все случаи жизни

Он вечно опаздываетДо смерти напугатьПот катится градомЛес рукНе видеть сто летКуча денегГора мусораСделать из мухи слонаМиллиард делМоре по колено

Работа никуда не годится

Что помогает научиться строить гиперболы

В первую очередь, чтение. Чтобы научиться создавать живые, великолепные и запоминающиеся гиперболы, следует развивать свое воображение, пополнять словарный запас и тренироваться мыслить нешаблонно, оригинально. Один из секретов этих важных навыков спрятан как раз в книгах, а точнее, в классической литературе.

Кстати, по аналогии с гиперболой работает еще один яркий и совершенно противоположный прием — литота. Литота — красочное преуменьшение (пример: «денег кот наплакал»), которое Вы также можете удачно использовать для придания выразительности своим речевым конструкциям.

А какие Вы знаете гиперболы? Напишите в х Ваши любимые примеры ярких преувеличений…

Удачи Вам в делах и общении!

Ставьте лайк, подписывайтесь на канал, чтобы узнать больше секретов общения, переговоров, эффективных техник убеждения и противоядий от разных манипуляций.

Откройте для себя большую энциклопедию переговоров — теперь все знания в одном месте

>> Перейти в Энциклопедию >>

:Закон привлекательности → Как правильно шутить, технологии безобидного юмора →

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5bc655b4cf1f9400abd535e5/5cb020647ce49000b3f75423

Что такое гипербола? Примеры

• Слово «гипер­бо­ла» по сво­е­му про­ис­хож­де­нию  гре­че­ское (hyperbole  «пре­уве­ли­че­ние»). Начальная часть  гипер- явля­ет­ся при­став­кой во мно­гих сло­вах и пере­во­дит­ся как «сверх», «над», «выше нор­мы», напри­мер:
• гипер­то­ния, гипер­тро­фия, гипе­ре­мия.
• Одним из средств уси­ле­ния эмоционально-оценочного и рас­ши­ре­ния смыс­ло­во­го диа­па­зо­на сло­ва, уве­ли­че­ния опо­сред­ствен­но­го отра­же­ния дей­стви­тель­но­сти, образ­но­сти и выра­зи­тель­но­сти речи явля­ют­ся худо­же­ствен­ные тро­пы:
• эпи­те­ты, мета­фо­ры, мето­ни­мия, синек­до­ха, лито­та, иро­ния, пери­фра­за, алле­го­рия и, нако­нец, гипер­бо­ла.
• В линг­ви­сти­ке сло­вом «гипер­бо­ла» назы­ва­ют чрез­мер­ное пре­уве­ли­че­ние каких-либо качеств или свойств, явле­ний, про­цес­сов с целью созда­ния ярко­го и впе­чат­ля­ю­ще­го обра­за, напри­мер:

• реки кро­ви;
• веч­но опаз­ды­ва­е­те;
• горы тру­пов;
• сто лет не виде­лись;
• напу­гать до смер­ти;
• сто раз гово­ри­ла;
• мил­ли­он изви­не­ний;
• море поспев­шей пше­ни­цы;
• целую веч­ность жду;
• весь день про­сто­я­ла;
• хоть залей­ся;
• дом за тыся­чу кило­мет­ров;
• посто­ян­но опаз­ды­ва­ет.

Гипербола часто встре­ча­ет­ся в уст­ном народ­ном твор­че­стве, напри­мер, в были­нах: Илья Муромец берёт в руки «шалы­гу желез­ную, да кото­ра была весу ров­но сто пудов»,  Да куда ни мах­нёт, ули­ца падёт, А назад отмах­нёт — пере­ули­цы…

В худо­же­ствен­ной лите­ра­ту­ре писа­те­ли при­ме­ня­ют гипер­бо­лу с целью уси­ле­ния выра­зи­тель­но­сти,  созда­ния образ­ной харак­те­ри­сти­ки героя, ярко­го и инди­ви­ду­аль­но­го пред­став­ле­ния о нём. С помо­щью гипер­бо­лы  выяв­ля­ет­ся автор­ское отно­ше­ние к пер­со­на­жу, созда­ёт­ся общее впе­чат­ле­ние от выска­зы­ва­ния.

Примеры использования гиперболы в художественной литературе

И сос­на до звезд доста­ёт. (О. Мандельштам)

Во сне двор­ник сде­лал­ся тяже­лым, как комод. (И.Ильф и Е. Петров)

Быть может, качеств ваших тьму, любу­ясь ими, вы при­да­ли ему; не гре­шен он ни в чём, вы во сто раз греш­нее. (А.С. Грибоедов)

Редкая пти­ца доле­тит до сере­ди­ны Днепра. (Н.В. Гоголь)

Порядочный чело­век от вас за три­де­вять земель убе­жать готов. (Ф.Достоевский)

Миллион тер­за­ний (А.С. Грибоедов «Горе от ума»).

Намеренное пре­уве­ли­че­ние с целью созда­ния гро­тес­ка исполь­зу­ет Н.В. Гоголь в пове­сти «Как поссо­ри­лись Иван Иванович с Иваном Никифоровичем»- шаро­ва­ры шири­ной в Черное море.

К гипер­бо­ле часто при­бе­гал В.В. Маяковский:

Намозолив от пяти­лет­не­го сиде­ния тазы, креп­кие, как умы­валь­ни­ки.

Любовь мою, как апо­стол во вре­мя оно, по тыся­че тысяч раз­не­су дорог.

Видеоурок: Изобразительно-выразительные средства в литературе

Источник: https://RusskiiYazyk.ru/leksika/chto-takoe-giperbola.html

Что такое гипербола | Сатурния

Гипербола – средство художественного изображения, основанное на чрезмерном преувеличении; образное выражение, заключающееся в непомерном преувеличении событий, чувств, силы, значения, размера изображаемого явления; внешне эффектная форма подачи изображаемого.

Если сказать проще – это когда вместо усов – усищи, глаз – глазищи, когтей – когтищи и т.д. Причем их изображение на поверку реальностью окажется сомнительным, маловероятным.

• То ли руки, то ли лапы, загребают всё к себе (Фрид Траум);

• … другой имеет рот величиной в арку Главного Штаба… (Н. Гоголь.);

Гипербола тем и отличается от простого фантазерства, что, воздействуя на эмоциональную сторону читателя, слушателя, формирует яркий, особенный и неповторимый образ описываемого объекта. Впрочем, преувеличенной может быть не только внешняя сторона изображаемого явления, но и черты характера, ситуации, психологические свойства:

• через пропасти конь перескакивает, через ущелья перепрыгивает, с горы на гору переступает. (былина «Святогор-Богатырь»)

• в сто сорок солнц закат пылал (В. Маяковский);

Многие считают гиперболу используемой преимущественно для создания комического эффекта в юмористических произведениях. Отчасти они правы:

• Теперича,— думаю,— он нарочно три дня будет мыться (М.Зощенко)

• Из тысячи… даже, пожалуй, из двух тысяч мальчиков найдется только один, кто сумел бы выбелить его {забор} как следует. (М.Твен)

Однако и в лирике без гиперболы не обойтись:

• мело, мело по всей земле, во все пределы… (Б. Пастернак);

Часто гиперболы можно увидеть во фразеологизмах, крылатых выражениях:

• • Слезы в три ручья
• • Реки крови
• • Море смеха
• • Что ни в сказке сказать, ни пером описать

Итак, можно сказать, что основное назначение гиперболы – создать зримый образ, придав описываемому выразительность путем художественного преувеличения изображаемых свойств с помощью преувеличения размера, свойства, характера объекта или явления.

Михаил Чуклин — Memoria Poetae

45RUR

Источник: https://nsaturnia.ru/chto-takoe-giperbola/