Линейные уравнения, формулы и примеры

Линейные уравнения, формулы и примеры

Линейные уравнения, формулы и примеры Линейные уравнения, формулы и примеры Линейные уравнения, формулы и примеры Елена Репина 2015-10-09 2019-08-08

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

+ показать

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решение: + показать

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Степень окисления титана (ti), формула и примеры

Оценим за полчаса!

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

Системы линейных уравнений. Метод сложения 

  • + показать
  • • Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.
  • • Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 
  • • Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.
  • • Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.
  1. 1. Решить систему уравнений: 
  2. Решение: + показать
  3. Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

  • 2. Решить систему уравнений: 
  • Решение: + показать

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

  1. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

  • 1. Решить систему уравнений: 
  • Решение: + показать
  • Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:
  • Систему можно решить методом сложения, например.
  • Но приведем решение без замены.
  • Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.
  • Ответ:  
  1. 2.

     Решить систему уравнений: 

  2. Решение: + показать
  3. Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:
  4. Приведем решение без замены.
  5. Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

  6. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

  • Решить систему уравнений: 
  • Решение: + показать
  • Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.
  • Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

  1. Решить систему уравнений: 
  2. Решение: + показать
  3. Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.
  4. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

  • 1. Решить систему уравнений: 
  • Решение: + показать
  • Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.
  • Ответ:  
  • Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические.

Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

  1. Для таких систем удобно использовать замену  
  2. Решить систему уравнений: 
  3. Решение: + показать
  4. При замене  приходим к следующей системе
  5.  которую будем решать способом подстановки:
  6. Производим обратную замену:
  7. Ответ:
  8. Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
  9. Однородным уравнением с двумя неизвестными  будем называть уравнение вида
  10. 1. Решить систему уравнений: 
  11. Решение: + показать

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

  • Первое уравнение системы – квадратное относительно .
  • Ответ:
  • 2. Решить систему уравнений: 
  • Решение: + показать

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

  1. Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

  • 1. Решите графически систему уравнений: 
  • Решение: + показать
  • Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

  1. Ответ: 
  2. 2. Решите графически систему уравнений: 
  3. Решение: + показать

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом .  Вторая строка системы задает прямую .

  • Находим координаты точек пересечения графиков:
  • Ответ: 
  • 3. Решите графически систему уравнений: 
  • Решение: + показать
  • Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .
  • Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой 
  • Ответ: 
  • Задания для самостоятельной работы
  • + показать
  • Решите системы уравнений:
  • 1.
  • Ответ:
  • 2. 
  • Ответ:
  • 3. 
  • Ответ:
  • 4. 
  • Ответ:
  • 5. 
  • Ответ:
  • 6. 
  • Ответ:
  • 7. 
  • Ответ:
  • 8. 
  • Ответ:
  • Решите графически системы уравнений:
  • 9. 
  • Ответ:
  • 10. 
  • Ответ:
  • egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/sposoby-resheniya-sistem-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi/

Линейные уравнения

21.12.2014 Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика Популярность

Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.

  • Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.
  • К примеру, линейным уравнением будет:
  • 2х + 4 = 0,
  • или
  • 5х + 8 = 0,
  • или
  • 4х + 1 = 0,
  • И так далее.

Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.

Линейные уравнения, формулы и примеры

Пример линейного уравнения и его решение.

  1. Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.
  2. Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.

  3. Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.
  4. Получится:
  5. 4х = 10 – 2,
  6. 4х = 8.

Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:

  • Х = 8 : 4,
  • Х = 2.
  • Проверка:
  • 4х + 2 = 10, где х = 2.
  • 4 * 2 + 2 = 10.
  • 8 + 2 = 10.
  • Ответ верный.

График линейного уравнения.

При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.

Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.

Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.

Линейные уравнения, формулы и примеры

Поделиться в соцсетях:

Случайная статья

Источник: http://infoogle.ru/linejnye_uravneniya.html

Линейные уравнения

Линейные  уравнения  –  уравнения,  которые  можно  представить  в  виде  (ax+b=0),  где (a) и (b) – какие-либо числа

Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.

Например: (2x+7=0) Здесь (a=2, b=7)
(5=0) А тут (a=0, b=5) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде (0cdot x+5=0))
(-7(5-3y)=91) Здесь (a) и (b) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.
(frac{x+2}{3})(+x=1-)(frac{3}{4})(x) Тоже самое, (a) и (b) пока что неизвестны.

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения (x+3=5) будет число (2), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст (5=5) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

(x=[число])

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения

  • Например: прибавим (5) к обеим частям уравнения (6x-5=1)
  •                   (6x-5=1)         (|+5) (6x-5+5=1+5)
  • (6x=6)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение

  1. Например: разделим уравнение (-2x=8) на минус два
  2.                   (-2x=8)         (|:(-2)) (x=-4)
  3. Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду (ax=b), и мы делим на (a), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д

  • Например: раскроем скобки в уравнении (2(3+x)=4(3x-2)-5)
  •                   (6+2x=12x-8-5)
  • Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.
  • Пример. Решить линейное уравнение (6(4-x)+x=3-2x)
  • Решение:
(6(4-x)+x=3-2x) Раскрываем скобки
(24-6x+x=3-2x) Приводим подобные слагаемые
(24-5x=3-2x) Прибавляем (2x) слева и справа
(24-5x+2x=3) Вычитаем (24) из обеих частей уравнения
(-5x+2x=3-24) Опять приводим подобные слагаемые
(-3x=-21) Теперь делим уравнение на (-3), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.
(x=7)

Ответ: (7)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

  1.                    Проверка:          (6(4-7)+7=3-2cdot7)            (6cdot(-3)+7=3-14)                 (-18+7=-11)
  2.                   (-11=-11)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения (x+3=13-4x).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от (x=[число])? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

  •                   (x+3=13-4x)         (|-3) (x+3-3=13-4x-3)
  • (x=10-4x)

Хорошо. Теперь что мешает? (4x) справа, ведь там должны быть только числа. (4x) вычитается — убираем прибавлением.

  1.                   (x=10-4x)         (|+4x) (x+4x=10-4x+4x)
  2. Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
  3. (5x=10)

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

                  (5x=10)         (|:5) (frac{5x}{5})(=)(frac{10}{5}) (x=2)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.

Пример. Решить уравнение (3x-1=2(x+3)+x)

Решение:

(3x-1=2(x+3)+x) Раскроем скобки
(3x-1=2x+6+x) Приведем подобные слагаемые
(3x-1=3x+6) Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки
(3x-3x=6+1) Опять приведем подобные слагаемые
(0=7) Ну и при каком иксе ноль станет равен (7)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней.

Ответ: нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили (3x-1=3x+6). Вдумайтесь: как могут быть равны (3x) из которых вычли (1), и (3x) к которым прибавили (6)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Пример. Решить линейное уравнение (8(x+2)-4=12x-4(x-3))

Решение:

(8(x+2)-4=12x-4(x-3)) Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки
(8x+16-4=12x-4x+12) Приводим подобные слагаемые
(8x+12=8x+12) Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
(8x-8x=12-12) И вновь приводим подобные
(0=0) Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным.

Ответ: любое число.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: (8x+12=8x+12). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример. Найдите корень уравнения (2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15)

Решение:

(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15) Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения
(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15) Почему результат раскрытия ((x-4)^{2}) стоит в скобке, а результат ((3+x)^{2}) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем.
(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15) Приводим подобные слагаемые
(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6) Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки.
(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16) Опять приводим подобные.
(2x=10) Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. 🙂 Дорешиваем, деля уравнение на (2), и получаем ответ.
  • Ответ: (x=5)
  • Пример. Решить линейное уравнение (frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})
  • Решение:
(frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6}) Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то… Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку
(6cdot)((frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3})) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6) Раскрываем скобку слева
(6cdot)(frac{x+2}{2}) (-) (6cdot)(frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6) Теперь сокращаем знаменатели
(3(x+2)-2=9+7x) Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки
(3x+6-2=9+7x) Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
(3x-7x=9-6+2) Приводим подобные слагаемые
(-4x=5) Ну и поделив на (-4) правую и левую часть, получаем ответ

Ответ: (x=-1,25)

Смотрите также: Линейная функция

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/74/

Линейные уравнения

  • Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
  • Примеры линейных уравнений:
  • Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8
  1. Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
  2. Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
  3. Для начала раскроем скобки:
  4. 2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
  5. В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
  6. 2 x − 4 x = 2 − 1
  7. − 2 x = 1
  8. Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :
  9. − 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
  10. Ответ: x = − 0,5
  11. Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
  12. Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
  13. x 2 + 3 x − 8 = x − 1
  14. Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).

Примеры:

  • Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
  • 2 x − 4 = 2 x − 4
  • 2 x − 2 x = − 4 + 4
  • 0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

  1. Ответ: x ∈ ( − ∞ ;   + ∞ )
  2. Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
  3. 2 x − 4 = 2 x − 16
  4. 2 x − 2 x = − 16 + 4
  5. 0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Задания для самостоятельного решения

№1. Найдите корни уравнения 2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

  • Решение:
  • Раскрываем скобки:
  • 2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
  • 2 − 6 x − 6 = 5 − 4 x
  • Переносим иксы влево, числа вправо:
  • − 6 x + 4 x = 5 + 6 − 2
  • − 2 x = 9
  • x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
  • Ответ: -4,5

№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?

  1. Решение:
  2. Приравниваем эти два выражения:
  3. 7 x − 2 = 3 x + 6
  4. 7 x − 3 x = 6 + 2
  5. 4 x = 8
  6. x = 8 4 = 2
  7. Ответ: 2

№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.

  • ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
  • В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6

Источник: https://epmat.ru/linejnye-uravnenija/

Теория о линейных уравнениях

  • ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Линейное уравнение с двумя
  • переменными
  • Опр.
  • Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х — переменная
  • Уравнение вида ах + ву = с называется линейным с двумя переменными, где а, в , с – некоторые числа, х, у — переменные
  • Решение
  • Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство
  • Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество
  • Например
  • 3х = — 99
  • Если х = — 33 , значит
  • 3 * ( — 33 )= — 99- верное равенство
  • 3х + 2у = 7
  • Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит
  • 3*1 + 2 * 2= 7 — верное тождество
  • Решить
  • уравнения
  • Значит найти все его корни или доказать , что их нет
  • 0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)
  • Опр.
  • Равносильные уравнения — это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.
  • Св.ва
  • Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными
  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

  1. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

  1. График
  2. Графиком линейной функции с одной переменной ( с двумя переменными) — это прямая, проходящая через две точки
  3. ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
  4. Линейное уравнение с одной переменной
  5. Линейное уравнение с двумя
  6. переменными
  7. Опр.
  8. Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х — переменная
  9. Уравнение вида ах + ву = с называется линейным с двумя переменными, где а, в , с – некоторые числа, х, у — переменные
  10. Решение
  11. Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство
  12. Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество
  13. Например
  14. 3х = — 99
  15. Если х = — 33 , значит
  16. 3 * ( — 33 )= — 99- верное равенство
  17. 3х + 2у = 7
  18. Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит
  19. 3*1 + 2 * 2= 7 — верное тождество
  20. Решить
  21. уравнения
  22. Значит найти все его корни или доказать , что их нет
  23. 0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)
  24. Опр.
  25. Равносильные уравнения — это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.
  26. Св.ва
  27. Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными
  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

  1. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

  • График
  • Графиком линейной функции с одной переменной ( с двумя переменными) — это прямая, проходящая через две точки
  • ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Линейное уравнение с двумя
  • переменными
  • Опр.
  • Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х — переменная
  • Уравнение вида ах + ву = с называется линейным с двумя переменными, где а, в , с – некоторые числа, х, у — переменные
  • Решение
  • Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство
  • Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество
  • Например
  • 3х = — 99
  • Если х = — 33 , значит
  • 3 * ( — 33 )= — 99- верное равенство
  • 3х + 2у = 7
  • Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит
  • 3*1 + 2 * 2= 7 — верное тождество
  • Решить
  • уравнения
  • Значит найти все его корни или доказать , что их нет
  • 0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)
  • Опр.
  • Равносильные уравнения — это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.
  • Св.ва
  • Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными
  1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

  1. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

График

Графиком линейной функции с одной переменной ( с двумя переменными) — это прямая, проходящая через две точки

Источник: https://infourok.ru/teoriya-o-lineynih-uravneniyah-1521596.html

Ссылка на основную публикацию