Неравенство коши-буняковского и его доказательство

Содержание

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Теорема
(неравенство Коши – Буняковского ).

Для
любых двух векторов и евклидова пространства
справедливо неравенство ,
называемое неравенством Коши –
Буняковского.

Доказательство.
Если хотя бы один из двух
векторов
инулевой, то доказываемое
неравенство превращается в равенство
и является справедливым.

Рассмотрим
далее случай, когда оба вектора ,отличны от нулевого вектора.
В силу аксиомы Е4 справедливо неравенство

для любого вещественного числа .
На основании аксиом Е1 – Е3 это неравенство
можно переписать в следующем виде
. Полученное квадратное неравенство
относительно параметра
при положительном значении коэффициента
выполняется
тогда и только тогда, когда дискриминант
соответствующего квадратного уравнения
меньше или равен нулю. Таким образом,

,
откуда и следует доказательство
справедливости неравенства Коши –
Буняковского.

После
того, как в линейном пространстве введено
скалярное произведение, можно определить
такие метрические понятия как длина
вектора и угол между векторами.

Определение.
Длина (модуль) любого вектора

в евклидовом пространстве определяется
как арифметическое значение корня из
скалярного произведения и
обозначается .
Таким образом, .

Длина
вектора равна нулю тогда и только тогда,
когда вектор
нулевой вектор.

Вектор
,
длина которого равна единице, называется
нормированным, единичным
или ортом. Переход от
вектора
к вектору называют
нормированием
вектора .

Определение.
Компоненты любого
нормированного вектора
в евклидовом пространстве называют
направляющими косинусами.

Любой
ненулевой вектор можно нормировать, умножив
его на величину обратную его модулю.
Действительно,

В
евклидовом пространстве арифметических
векторов
длина любого вектора

из этого пространства вычисляется
по формуле .

Пример.
Пусть задан трехмерный арифметический вектор
Длина вектора
вычисляется по определяющей формуле

Орт вектора
имеет вид
.
Соответственно, направляющие косинусы
вектора
равны

Если вектор
изображается в декартовой прямоугольной
системе координат ,
то по направляющим косинусам можно
найти и изобразить углы между вектором

и осями .

Следствие
(неравенство треугольника). Для
любых векторови евклидова пространства
выполняется неравенство .
Действительно,

.
Отсюда, ,
что и требовалось доказать.
В реальном пространстве
это неравенство означает, что длина
одной из сторон треугольника, меньше
суммы длин двух других его сторон.

Определение.
Углом между любыми ненулевыми
векторамии евклидова пространства
называется угол
из диапазона
,
косинус которого определяется
по формуле .
Таким образом, .

При этом из
неравенства Коши – Буняковского,
представленного в виде ,
следует, что вычисляемое по формуле
значение косинуса угла удовлетворяет
необходимому для любого косинуса угла
условию

Определение.
Любые векторыи евклидова пространства
называют ортогональными и обозначают
как ,
если их скалярное произведение равно
нулю.

Как
следует из сформулированных определений,
наименьший угол между ортогональными векторами в реальном пространстве
равен девяносто градусов.

Следствие
(теорема косинусов). Для
любых ненулевых векторови евклидова пространства
выполняется равенство .

Действительно,

.

Следствие
(теорема Пифагора). Для
любых ненулевых ортогональных векторови евклидова пространства
выполняется равенство .

В реальном
пространстве это равенство означает,
что квадрат длины гипотенузы треугольника,
равен сумме квадратов длин катетов.

Определение. Система
векторов
евклидова пространства называется
ортогональной, если скалярное произведение
любой пары векторов системы равно нулю.

Теорема (о линейной независимости
ортогональной системы).
Всякая ортогональная система
ненулевых векторов евклидова пространства
является линейно независимой системой.
Доказательство.

Пусть есть ортогональная система ненулевых
векторов евклидова пространства.
Предположим, что выполняется равенство

.
Умножим скалярно обе части этого
равенства последовательно на векторы
.

Тогда, например, для произведения
на первый вектор системы получим:

Так как
векторы системы ненулевые то
и, следовательно, .
Аналогично показывается, что и все
остальные числовые коэффициенты линейной
комбинации равны нулю, что и доказывает
линейную независимость векторов
ортогональной системы.

Система
векторов называется нормированной,
если она состоит только из нормированных
векторов. Любую систему ненулевых
векторов можно нормировать, если каждый
из векторов умножить на число, обратное
модулю этого вектора.

Определение. Система
векторов
евклидова пространства называется
ортонормированной, если все ее векторы
нормированы и попарно ортогональны.

В евклидовом пространстве
арифметических векторов
система канонических векторов
является ортонормированной при любой
размерности пространства ,
что проверяется непосредственно по
определениям.
Теорема Грама-Шмидта (о
существовании ортонормированного
базиса).
Во всяком -мерном
евклидовом пространстве
существует ортонормированный базис .

Доказательство. Согласно
аксиоме размерности в пространстве
имеется линейно независимая система
из
векторов .
Покажем, что можно построить систему
из
векторов линейно выражающихся через векторы
системы ,
и образующих ортонормированный базис.

Доказательство проведем по
методу математической индукции.

1. При
утверждение теоремы очевидно. Если есть ненулевой вектор, то один
нормированный вектор
образует ортонормированный базис.

2. Предположим, что в каждом —
мерном евклидовом пространстве существует
ортонормированный базис, и докажем то
же утверждение для произвольного
.

Пусть
есть произвольный базис в пространстве
.
Линейная оболочка векторов системы
представляет собой евклидово пространство
размерности
и, по предположению индукции, там
существует ортонормированная система
из
векторов .
Построим новый -тый вектор .

Коэффициенты
выберем такими, чтобы новый вектор
был ортогонален всем векторам системы
. Так как система
является ортонормированной, получим ,
откуда для всех .

Нормируем вектор ,
т.е. построим единичный вектор
По построению вектор
ортогонален векторам системы
и имеет единичную длину. Таким образом,
найдена ортонормированная система
векторов ,
которая линейно независима и является
базисом евклидова пространства .
На этом завершается доказательство
теоремы Грама-Шмидта по методу
математической индукции.

Конструктивный метод, с помощью
которого был построен ортонормированный
базис при доказательстве теоремы,
называют методом ортогонализации Грама-Шмидта.
При практической реализации метода Грама-Шмидта, отправляясь от
системы векторов , последовательно находят ортонормированные
векторы в соответствии со следующим алгоритмом:

Отметим, что в каждом евклидовом
пространстве существует бесконечно
много ортонормированных базисов. Так,
начиная процесс ортогонализации с
любого ненулевого вектора, можно
построить некоторый ортонормированный
базис.

Пример. Применим метод
ортогонализации Грама-Шмидта к трехмерным арифметическим векторам

Так как ,
то
.
Далее вычислим скалярное произведение

и найдем вектор ,
ортогональный к первому единичному
вектору :. Модуль вектора
равен единице, поэтому .

Далее
находим скалярные произведения: .
По общей формуле вычисляется
вектор ,
ортогональный к двум уже построенным
ортонормированным векторам ,
в виде:

.
Так как модуль вектора
равен 9, то третий ортонормированный
вектор равен .

Теорема (основные свойства
ортонормированного базиса).

1. Координаты произвольного
вектора в ортонормированном базисе
равны скалярным произведениям этого
вектора на соответствующие векторы
этого базиса.

2. Скалярное произведение двух
любых векторов вычисляется в
ортонормированном базисе как сумма
произведений соответствующих координат
в данном базисе.

Доказательство. Пусть
есть некоторое разложение произвольного
вектора в
ортонормированном базисе .
Последовательно и скалярно умножая обе
части этого равенства на векторы базиса, получим

для всех ,
что и
требовалось доказать в первой части
теоремы.
Пусть далее ,
есть некоторое разложение произвольных
векторов
в ортонормированном базисе .
Составим скалярное произведение векторов
,
и в силу аксиоматических свойств любых
скалярных произведений и свойств
ортонормированного базиса получим:
,
что и
требовалось доказать.
Теорема (о представлении
вектора в виде суммы двух ортогональных
векторов).

1. Любой вектор

-мерного
евклидова пространства
однозначно представим в виде суммы двух
ортогональных векторов ,
где первый вектор
принадлежит некоторому фиксированному
подпространству
и называется ортогональной проекцией
вектора на ,
а второй вектор
называется ортогональной составляющей
вектора относительно(перпендикуляром
к)
.

2. Если система векторов
является базисом подпространства ,
то ортогональная проекция
вектора
находится в виде разложения по этому
базису ,
где коэффициенты разложения

называют коэффициентами Фурье и
однозначно определяют в виде решения
линейной системы уравнений
Вектор
ортогонален пространству
и находится как разность Длина
вектораравна
кратчайшему расстоянию от вектора
до его проекции .
В том частном случае, когда
векторы
образуют ортонормированный базис ,
коэффициенты Фурье находятся по формулам

3. Если подпространство совпадает
со всем пространством ,
то векторы
образуют ортонормированный базис
пространства ,
а коэффициенты Фурье совпадают с
координатами вектора в
данном базисе.

Доказательство данной теоремы
базируется в основном на теореме
Грама-Шмидта.
Таким образом, если в
-мерном
евклидовом пространстве
выбрано некоторое подпространство и оно состоит из всевозможных проекций
векторов ,
то всегда можно построить ортогональное
ему подпространство ,
содержащее ортогональные составляющие
векторов
относительно.
Пример.

Определение. Два любых
вектора ,

линейного пространства имеют одинаковое
(одно и то же) направление, если для них
выполняется условие .

Определение. Арифметические
векторы
в задачах с геометрической терминологией
называют точками
с компонентами .

В частности, арифметические
векторы
из
или
из
также называются точками и изображаются
в декартовой прямоугольной системе
координат в виде точек
или .

При этом все координаты измеряются в
одинаковом масштабе, причем первую
координату называют абсциссой,
вторую – ординатой, а третью –
аппликатой.

Точку
или
будем называть началом координат
на плоскости или в пространстве.

Линейные пространства
геометрических векторов на плоскости
и реальном пространстве
строятся, соответственно, на основе
евклидовых пространств арифметических векторов
и .

Определение. Любая
упорядоченная пара точек
называется направленным отрезком и
обозначается как .

Первый элемент пары – точку
называют началом или точкой
приложения направленного отрезка.
Второй элемент пары – точку
называют окончанием направленного
отрезка. Изображается направленный
отрезок в виде стрелки с началом в точке

и окончанием в точке .

Будем говорить, что любые два
направленных отрезка
и
имеют одинаковую длину и направление,
если равны арифметические векторы
и .

Определение. Геометрическим
вектором
называется множество всех направленных
отрезков, имеющих одинаковую длину и
направление.

О всяком направленном отрезке
из
этого множества говорят, что он
представляет геометрический вектор

(получен приложением вектора
к точке ).
Каждому геометрическому вектору
однозначно соответствует некоторый
арифметический вектор, равный разностям
компонент окончания и начала любого
направленного отрезка, представляющего
данный геометрический вектор.

Для любого арифметического
вектора
существует единственный направленный
отрезок ,
который называют радиус — вектором
точки
и обозначают .

Все направленные отрезки, имеющие
одинаковую длину и направление с радиус
– вектором
образуют геометрический вектор .

Таким образом, каждому арифметическому
вектору
соответствует единственный геометрический
вектор ,
длина и направление которого задается
этим арифметическим вектором.

Обратно, каждому геометрическому
вектору
соответствует единственный арифметический
вектор ,
который определяет длину и направление
любого направленного отрезка, составляющего
этот геометрический вектор.

Иногда используют выражение
«задан вектор ».
Это означает, что задан геометрический
вектор, который полностью определяется
арифметическим вектором .
Радиус – вектор этого геометрического
вектора равен ,
а любой направленный отрезок этого
геометрического вектора с началом в
произвольной точке
равен .

Геометрические векторы
и
называются равными ,
если множества представляющих их
направленных отрезков совпадают. Два
любых геометрических вектора равны
тогда и только тогда, когда равны
соответствующие им арифметические
векторы. Как обычно, равенство понимается
в том смысле, что слева и справа от знака
равенства стоит один и тот же элемент,
только записанный в различных формах.

Суммой
двух любых геометрических векторов
и
называется геометрический вектор ,
которому соответствует арифметический
вектор
с компонентами .

Если геометрические векторы
и
представлены направленными отрезками

и ,
имеющими общее начало ,
то их сумма представлена направленным
отрезком .

Этот направленный отрезок приложен к
точке
и имеет окончание в точке с координатами
.
На рисунке направленный отрезок
изображается как диагональ
параллелограмма, построенного на
направленных отрезках
и .

Сложение геометрических векторов по
указанной схеме называют правилом
параллелограмма.

Если геометрические векторы
и представлены
направленными отрезками
и ,
то их сумма представлена направленным
отрезком .
На рисунке направленный отрезок
изображается как стрелочка, идущая в
треугольнике
от точки
к точке .
Сложение геометрических векторов по
указанной схеме называют правилом
треугольника.

Произведением числа
на геометрический вектор называется геометрический вектор ,
обозначаемый ,
которому соответствует арифметический
вектор .

Нулевой геометрический
вектор обычно обозначается как
и соответствует арифметическому вектору
или
.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/42622-p6.html

Неравенство Коши-Буняковского

Рассмотрим неравенство Коши в пространстве Rn.
Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn
n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.

Ясно, что тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда

при всех i = 1, 2, .,n. Также ясно, что .Докажем, что для любых трех точек

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также
данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника
Предварительно установим важное неравенство Коши

справедливо для любых вещественных чисел ai и bi.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax2+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *.

где
Из определения видно, что при всех x.
Тогда, на основании предыдущего замечания,
это и есть иначе записанное неравенство Коши.
Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство
(4)
(ai и bi – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение
. В результате получим
Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2).

Пусть
Полагая в неравенстве (4)
мы получим неравенство (2).
Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.
Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей удовлетворяющих условию
Таким образом, l – метрическое пространство
Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей
вещественных чисел, для которых , и положим
.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l2. А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел ai и bi (i=1, 2, .). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)
которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных
последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:
. (6)
Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и , то и последовательность , т.е. .

Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического
пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для Rn.
Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.
Неравенство треугольника.
Если x и y –произвольные векторы, то по
аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть
третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.
Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем
или
(7)
(8)

Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.

Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные.

Множества связные несвязные
Понятия относящиеся к множествам точек в .
Пусть — отрезок на вещественной оси , переменная на которой обозначается буквой . Рассмотрим функций

, заданных на отрезке . Каждому соответствует тогда точка пространства . Получаем отображение

сопоставляющее каждому соответствующую точку . Это отображение называется вектор-функцией, заданной на отрезке .

Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию , непрерывны на отрезке . Тогда и вектор-функцию будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении на отрезке точка непрерывно перемещается из положения в положение .

Определение. В описанной выше ситуации будем называть отображение
заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку с точкой пространства .
Рис.

Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию — параметризацией этой линии.

Заметим, что одна и та же линия может иметь разные параметризации.

Например, на плоскости с координатами отрезок оси можно параметризовать, положив либо , либо (разумеется, формулы , при любом задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии ).

Определение : Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех .
Примеры связных областей на плоскости.
Связными областями являются:
1) всё пространство ;
2) замкнутые и открытые шары;
3) гиперплоскости;
4) замкнутые и открытые полупространства;
5) замкнутые и открытые параллелепипеды;
6) положительный и неотрицательный октанты.

Источник: https://infopedia.su/11x30a4.html

Примеры применения неравенства Коши в решении школьных задач

Туголуков.В.А. учитель математики

Применение неравенства Коши в решении некоторых задач

Задача Докажите, что при имеют место следующие неравенства:

;

Докажем эти неравенства

Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел

Так как левая и правая части этих неравенств при при положительны, то эти неравенства одинакового смысла можно почленно перемножить, в результате чего получим

Окончательно имеем

Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел

;
Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почленно перемножить. Имеем
Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим

Запишем на основании неравенства Коши следующие неравенства для пар чисел

Сложив полученные неравенства почленно, получим
Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел
Тогда неравенство (*) может быть записано в следующем виде:

Запишем неравенство Коши для пар чисел

=2.
С учетом последнего неравенства неравенство (**)может быть записано следующим образом:

Запишем в развернутом виде квадрат суммы трех чисел:

Применим к каждой скобке неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом не отрицательных чисел. Будем иметь
Это же неравенство применим и к каждому из слагаемых:
Тогда мы можем записать:
Задача Известно, что a>0, b>0, c>0, d>0 и abcd=1.
Доказать, что
Доказательство
Так как x>0, y>0, то, согласно неравенству Коши , имеем
или
Так как по условию abcd=1, то
(Последнее неравенство следует из неравенства Коши, примененного к каждой паре слагаемых.) Складывая последние четыре неравенства, получим требуемо
Задача Решите уравнение
Уравнение задано на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке его левую часть оценим сверху, используя неравенство Коши :

В приведенных оценках равенства будет иметь место только тогда, когда выполняются условия т.е. при x= 0. Но достижение равенства в оценках соответствует удовлетворению исходного уравнения. Значит, x = 0 – его единственный корень.

Ответ:х = 0
Задача Решите уравнение
Данное уравнение задано для и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
По неравенству Коши будем иметь
в котором равенство достигается лишь тогда, когда Решая это уравнение, находим корниТак как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.
Ответ:
Задача Решите уравнение
Все кому предлагалось решить это уравнение, поступали по шаблону: искали значение аргумента функции синус, при которых значения самой функции равны нулю, и затем решали уравнение Однако традиционный способ решения этого уравнения заводит в тупик.
Покажем оригинальное решение этого уравнения, для чего вначале преобразуем его левую часть:
Так как — соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел и x. По известному неравенству Коши имеем, что тогда
Задача Решите неравенство
Решение
Найдя корни уравнения разложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде
(*)
Заметим, что выражение есть сумма двух взаимно обратных положительных ичисе6л, а значит, согласно неравенству (38), имеем
Тогда неравенство(*) равносильно системе
Решая ее стандартным способом, получим ответ
Ответ:
Задача Решите уравнение
Решение:
Будем первое подкоренное выражение рассматривать как произведение ()*1 и тогда по неравенству Коши можем записать:
Или (*)
Рассуждая аналогично, мы можем записать для второго слагаемого следующее неравенство:
(**)
Сложим почленно неравенства (*) и (**):
Откуда
Так как левая часть заданного уравнения не больше ,то и правая часть его должна быть не больше этого же выражения.
Тогда ,
Откуда а значит x= -1.
Ответ: x= -1.
Задача Решите уравнение
Решение:
Так как левая часть заданного уравнения не превосходит выражения 1-x,значит и его правая часть не должна превосходить того же выражения, то есть
.

Ответ: ..

Задача Решите уравнение
x + 240=
Решение
Известно, что
+ *,
Этот частный случай неравенства Коши — Буняковского (9) при n=2
Если векторы () и () коллинеарны, то выполняется равенство.
Преобразуем данное уравнение:
x + 240=,
или +60=,
или x + 60=.

Следовательно, векторы (x;15) и (; 4) коллинеарны, т.е. выполняется условие

=, где –
Тогда
x+ 15**=
=*=.
Тогда
=, или 16(1+)= 225().
Далее заменой =y, где y, полученное уравнение приводится к виду
128+1928y-1125=0,
корни которого
Ответ: .
Задача Решите уравнение
+=(3-2x+3).
на основании неравенства Коши имеем
,
=
Тогда
+(-2x+1).
Следовательно, и правая часть исходного уравнения должна удовлетворять условию
(3-2x+3)(-2x+1), или 2x+2
Ответ:x=1.
Задача. Найти наименьшее значение функции
.
Решение
Учитывая, что каждое слагаемое положительно, используем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом (a+b, a 0, b 0). Итак, имеем
2 = 4 =4 = 8 .

Окончательно имеем yнаим. =8 .

Ответ:yнаим. =8 .

Задача. Найти наименьшее значение функции
f(x)=
Решение
Представим заданную функцию в следующем виде:
f(x)===.
Применим неравенство Коши к этим пяти положительным слагаемым:
f(x)== =5, то есть при любом f(x).

Отсюда f(x)наим.=5.Ответ:f(x)наим.=5.

Задача . Найти наибольшее значение функции
f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) при -.
Решение
Представим заданную функцию в виде:
f(x)=(1-2(1+7x)(x+1) = (1-2x)(1-2x)(1-2x)(1-2x)(1+7x)(x+1).
При — все сомножители положительны, а значит, мы можем применить неравенство Коши (12):
==1.

Ответ:f(x)наиб. =1.

Задача .Найти наименьшее значение функции
y= + .
Решение
Так как оба корня в формуле, задающей функцию, неотрицательны (по свойству арифметического квадратного корня), то, по неравенству Коши, будем иметь
y= + + = = 2.

Итак, y2. Равенство достигается только при x=0.

При x=0 выражение 2 принимает наименьшее значение, равное 1. И тогда yнаим.=2.

Ответ:yнаим.=2.

Задача . Найдите наибольшее значение выражения
и укажите точки, в которых оно достигается.
Решение
Ясно, что переменные xи yудовлетворяют ограничениям причем в соответствии с поставленной задачей имеет смысл рассматривать только неотрицательные значения переменных xи y. Оценивая каждое слагаемое выражения zсверху посредством неравенства Коши , будем иметь
следовательно, zбудет принимать наибольшее значение, равное 1. Это значение будет приниматься лишь тогда, когда

т.е. при условии Следовательно, наибольшее значение, равное 1, величиной zдостигается в точках дуги

Задача. Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?

Решение
Пусть (2-x)=y ,то
Согласно неравенству Коши имеем
Отсюда следует, что наибольшее значение много члена равно 1 и оно достигается, если x=2-x, то есть при x=1
Ответ: наибольшее значение многочлена равно 1

Задача. Какое наименьшее значение может иметь выражение для положительных значений x?

Решение
Пусть = y. Согласно неравенству Коши имеем
Итак, наименьшее значений равно 2, оно достигается при
Ответ:x=2
Задача
Задача. Найдите наименьшее значение выражения для положительных значений x, если a и bположительны, а m иn – натуральные числа
Решение
Тогда, согласно неравенству Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим, имеем
Равенство достигается при , то есть при , или .
Итак, наименьшее значение данного выражения равно
Ответ:
Задача. Найти наименьшее значение функции
Решение
Имеем
Корней не имеет следовательно вся функция положительная
=
То есть откуда следует, что наименьшее значение функции равно 2:
Ответ:
Алгебраическое доказательство неравенства Коши.
(а – в)² ≥ 0;
Применим формулу «квадрат разности»:
а² — 2ав + в² ≥0;
Литература

Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
Айзенштайн Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. – М., 1976. № 2. – С. 89.
Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002.
Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
Далингер В.А. Классические неравества.Омск,2013
Далингер В.А. Задачи с параметрами.Омск,2012

Источник: https://infourok.ru/primeri-primeneniya-neravenstva-koshi-v-reshenii-shkolnih-zadach-457077.html

Неравенство Коши — Буняковского

vipetroff

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

Доказательство: Если то верно следующее

Заменим t на it

Представим скалярное произведение в тригонометрическом виде , заменим t на exp(iφ)t

Так как , то

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает комплексное сопряжение .

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает ковариацию, а — дисперсию.

В создании данной записи активно использовалась страница из википедии: http://ru.wikipedia.org/?oldid=75345059

Источник: https://vipetroff.livejournal.com/3821.html

Неравенство Коши

НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Введение
«Основные результаты математики
чаще выражаются неравенствами,
а не равенствами».

Э.Беккенбах, Р.Беллман.

1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии.

Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика — все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства.

Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум.

Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать.

Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский.

Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства — ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище.

Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура.

Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни ,сделала из них длинную веревку и «окружила» ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos — равный и perimetrio — измеряю вокруг).

2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств — это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

2.1. «Школьный» вариант неравенства Коши.

Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
(a + b) / 2 ≥ √ ab,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a=b.
Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0:
a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,
что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

(a+b+c+d)/4≥4√abcd¸
при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.
Решение. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab·√cd=4√abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a+b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd; √ab=√cd¸ т.е. когда a=b=c=d. Доказательство завершено.

2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

Для любых действительных неотрицательных чисел x1, х2, …, хn справедливо следующее неравенство (x1+ х2+ …+ хn)/n ≥ n √ x1 · х2 · … · хn

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x1= х2= …= хn

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x1, х2, …, хn, а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют «теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом «, или короче «теоремой о средних».

Другие варианты записи неравенства Коши:
а) ((x+, х2+ …+ хn)/n)n ≥ x1 · х2 · … · хn
б) (x1 + х2 + … + хn)n ≥ nn · x1 · х2 · … · хn

2.4. Неравенство Коши — Буняковского.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a1, a2¸ …, аn, b1, b2¸ …, bn (n — любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство
(a1b1+a2b2+…+аnbn)²≤(a1²+ a2²+…+ an²)(b1²+ b2²+…+ bn²) или a1b1+a2b2+…+аnbn ≤√ a1²+ a2²+…+ a2n · √ b1²+ b2²+…+ bn² , именуемое неравенством Коши — Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b1/а1= b2/а2=…= bn/аn.
Доказательство.

1. Пусть а1=а2=…= аn=0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а1, а2,… аn отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a1²+ a2²+…+ an²>0, С=b1²+ b2²+…+ bn², В= a1b1+a2b2+…+аnbn, позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В2 ≥ АС.

Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В)2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax2 + 2Bx+C, xєR. Легко видеть, что f(x)=Ax2 + 2Bx+C= (a1²+ a2²+…+ an)х2+2(a1b1+a2b2+…+аnbn)х+(b1²+ b2²+…+ bn²)=( a1х+b1)2 +… +( аnх+bn)2, т.е.

при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х2) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е.

D=4В2-4АС≤0, а значит, В2≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а1, а2,… аn , b1, b2, …,bn справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a1b1+a2b2+…+аnbn)2≤(a1²+ a2²+…+ an)(b1²+ b2²+…+ bn²), причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0, т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ, а значит, уравнение Ax2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a1х+b1=0,

аnх+bn=0,

т.е. когда b1 / a1 = b2 / a2 =…= bn / аn . Теорема доказана.

3.Свойство монотонности среднего степенного.

Сα(а) =(( a1α+ a2α+…+ anα)/п)1/α – среднее степенное порядка α положительных чисел а1, а2,… аn. Для действительных α и β, таких, что α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) Сα(а) ≤ Сβ(а).

4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть х и у — положительные переменные величины и пусть х+у=с, где с — постоянная величина.

Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х+у)/2≥√ху или с/2≥√ху или, наконец,
ху≤c²/4.
Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно c²/4 и получается оно при х=у.

Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть x1, х2,…,хn — положительные переменные величины и пусть x1 + х2 + … + хn=с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

( x1 + х2 + … + хn)/ n ≥ n√ x1, х2,…,хn .

Отсюда x1 х2…хn≤(с/п)п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1 = х2 = … = хn. Следовательно, наибольшее значение произведения x1 х2…хn равно (с/п)п и получается оно при x1 = х2 = … = хn . Теорема доказана.

Теорема 3. Если произведение переменных x1, х2,…,хn постоянно, то их сумма x1 + х2 + … + хn принимает наименьшее значение при x1 = х2 = … = хn .

5. Решение задач.

5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

Задача 1. Найти наибольшее значение функции f(x)=х4 (32- х4).

Решение. Заметим, что при х‹4√32 множители х4 и 32-х4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

х4= 32- х4,
2х4= 32,
х4=16,
х=2.
При х=2 f(x)=24 (32- 24)= 16·16=256.
Ответ: 256.

Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 + +√16-х.

Если f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [f(x)]2 т.е. квадрата данной функции.

Решение. х-2 ≥ 0, х ≥ 2,
16-х≥0; х ≤ 16; 2 ≤ х≤ 16.
Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству
2 ≤ х≤ 16.
При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14+2√ (х-2)(16-х).

Множители (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии х-2=16-х,

2х=18,
х=9.
Наибольшее значение квадрата данной функции равно
14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.
Ответ: √28.

Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/12/07/neravenstvo-koshi