Основное уравнение динамики вращательного движения

Движение твёрдого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями: • Уравнение движения центра масс: • Уравнение моментов: Законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия скорость и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени. Точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил. Равнодействующая сила- сила, сила которая равна результирующей сил F, действующих на твёрдое тело, и создаёт момент, равный суммарному моменту M всех внешних сил. Случай поля тяжести: равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс. Сила, действующая на частицу: Суммарный момент сил тяжести относительно любой точки:

• Условия равновесия твердого тела: тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение.

По двум основным уравнениям движения тела, для это необходимо два условия: • Результирующая внешних сил равна нулю: • Сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно любой точки должен быть равен нулю: • Если система неинерциальная, то кроме внешних сил необходимо учитывать силы инерции (силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета). Три случая движения твёрдого тела: • Вращение вокруг неподвижной оси • Плоское движение • Вращение вокруг свободных осей

Вращение вокруг неподвижной оси • Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО’: • где mi и pi- масса и расстояние от оси вращения i-й частицы твёрдого тела, wz –его угловая скорость.

Введём обозначение: • где I – момент инерции твёрдого тела относительно оси OO’: • Момент инерции тела находится как: • где dm и dv – масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от интересующей нас оси z; ρ- плотность тела в данной точке.

• Моменты инерции однородных твёрдых тел, относительно оси проходящей через центр масс: • Теорема Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции Ic относительно оси Ic, параллельной данной и проходящей через центр масс C тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния a между осями:

• Уравнение динамики вращения твёрдого тела: где Mz – суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения. Момент инерции I определяет инерционные свойства твёрдого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил Mz тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорения βz. Mz включает и моменты сил инерции.

• Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела (ось вращения неподвижна): пусть скорость частицы вращающегося твёрдого тела – • Тогда: где I – момент инерции относительно оси вращения, w – его угловая скорость.

• Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента Mz этих сил относительно данной оси.

Плоское движение твёрдого тела • При плоском движении центра масс твердого тела движется в определённой плоскости, неподвижной в данной системе отсчёта К, а вектор его угловой скорости w перпендикулярен этой плоскости.

Движение описывают два уравнения: где m – масса тела, F-результирующая всех внешних сил, Ic и Mcz- момент инерции и суммарный момент всех внешних сил- оба относительно оси, проходящей через центр тела.

• Кинетическая энергия твёрдого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в системе вокруг оси, проходящей центр масс, энергии связанной с движением центра масс: где Ic –момент инерции относительно оси вращения (через ЦМ), w – угловая скорость тела, m – его масса, Vc – скорость центра масс тела системе отсчёта K.

• Для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо приложить момент M некоторых внешних сил F: • Если угол равен 90 градусам, то L совпадает по направлению с w, т. е.

М=0!- направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия • При вращении тела вокруг любой главной оси вектор момента импульса L совпадает по направлению с угловой скоростью w: где I -момент инерции тела относительно данной оси.

Источник: https://present5.com/dinamika-vrashhatelnogo-dvizheniya-tverdogo-tela-osnovnoe-uravnenie-dinamiki/

Динамика твердого тела. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твердого тела

• Тема 12 Динамика
  твердого тела
• 1 Основное уравнение динамики вращательного движения
• 2 Момент инерции
• 3 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
• 4 Плоское движение твердого тела
• Основные понятия по теме
• К основным видам движения твердого тела относятся:
• — поступательное движение твердого тела;
• — вращение твердого тела вокруг неподвижной оси;
• — плоское движение твердого тела;
• — вращение твердого тела вокруг неподвижной точки;
• — свободное движение твердого тела.
• Из
  перечисленных видов движения четыре последних типа связаны с вращательным
  движением. При описании этих видов движения используется уравнение моментов
• ,                                              
  (12.1)

которое
принято называть основным уравнением динамики вращательного движения.
Так же как и основное уравнение динамики основное уравнение динамики
вращательного движения (12.1) можно записать в другом виде

,                                             
(12.2)

где
угловое ускорение тела.

Величина , входящая в уравнение
(12.2), является аналогом массы при вращательном движении твердого тела. Ее
называют момент инерции. Момент инерции материальной точки равен

,                      
                      (12.3)

где
масса материальной точки, расстояние от материальной точки до оси
вращения. Для системы материальных точек и твердого тела моменты инерции
соответственно равны

В
выражении (12.5) интегрирование ведется по объему тела.

Момент инерции зависит от положения оси вращения и
распределения масс относительно этой оси. Приведем выражения для моментов
инерции некоторых тел относительно оси вращения,.положение которой указывается
в скобках.

Сплошной цилиндр или диск радиуса R(ось
симметрии)

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R
или обруч (ось симметрии)

.                                              
(12.7)

Однородный тонкий стержень длиной l
(ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину)

 .                                             
(12.8)

Шар радиуса R (ось
проходит через центр шара)

1. Если известен момент инерции тела относительно оси,
   проходящей через его центр масс С, то момент инерции относительно любой другой
   параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
2. момент инерции тела J
   относительно произвольной оси Z равен сумме момента инерции тела  относительно параллельной оси, проходящей
   через центр масс С тела, и произведения массы m тела на
   квадрат расстояния а между осями.
3. Вращающееся тело, как и тело движущееся поступательно,
   обладает энергией движения.
4. Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг
   неподвижной оси Z с угловой скоростью

Кинетическая энергия тела совершающего плоское
движение равна

• где
  скорость центра масс тела, угловая скорость тела, момент инерции тела относительно
  собственной оси.
• Вопросы для самоконтроля
• 1 Назовите виды движения твердого тела.

2 Что понимают под плоским движением твердого
тела? Приведите примеры такого движения. Почему этот вид движения называют плоское
движение?

3 Чем отличаются траектории точки твердого тела
вращающегося вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки О?

4 Дайте определение момента инерции материальной
точки, системы материальных точек, твердого тела. Что характеризует момент
инерции? От каких факторов он зависит?

5 Объясните смысл утверждения «момент инерции это
аддитивная величина».

6 Сформулируйте теорему Штейнера.

7 Что понимаю под тензором моментов инерции? Чем
обусловлено необходимость введения такого понятия? Какие моменты инерции
называются осевыми?, центробежными?

8 Запишите основное уравнение динамики вращательного
движения в различных формах. Установите аналогию записанных выражений с
уравнениями динамики поступательного движения.

9 Опишите последовательность действий при решении
основной задачи динамики твердого тела.

10 Запишите выражения для энергии твердого тела
вращающегося вокруг неподвижной оси, вокруг неподвижной точки. Напишите
аналогичное выражение для тела, совершающего плоское движение.

Примеры решения задач

1 В схеме,
показанной на рисунке 12.1, определить ускорение груза массы m.
Масса М, момент инерции J, внутренний  и внешний  радиусы
ступенчатого блока известны.

Решение. Силы, действующие на груз и блок, показаны на рисунке
12.1. Запишем второй закон Ньютона для груза m

Для блока, который участвует в
поступательном и вращательном движениях, необходимо записать второй закон
Ньютона и основное уравнение динамики вращательного движения

1. В
   уравнении (3) через  обозначен момент,
   соответствующий силе  относительно точки О лежащей на
   оси блока.
2. В проекциях на оси системы координат XYZ система
   векторных уравнений () принимает вид
3. ;                                       
   (4)
4. ;                                   
   (5)
5.                                       
   (6)
6. и
   содержит шесть неизвестных: , , , , , .
7. Для решения системы уравнений ()
   учтем, что, согласно третьему закону Ньютона . Кроме
   того, для точки A, участвующей в поступательном движении груза m и вращательном
   движении блока, и точки В, участвующей в поступательном и вращательном
   движениях блока, можем записать
8.  и .
9. Учитывая приведенные выше соотношения, вместо системы уравнений
   ()имеем
10. ;                                       
    (7)
11. ;                                
    (8)

Источник: https://vunivere.ru/work22609

Основное уравнение динамики вращательного движения

• Уравнение (3) M =dL/dt называется основным уравнением динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.
• Из уравнений (1) и (3) следует
• М =d(I ω)/dt = I dω/dt = Ie,
• или
• e = М/ I.
• Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.
• Теория лабораторной работы
• Теоретические сведения

Уравнение связывает угловое ускорение тела e с моментом М всех сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Величина I зависит от форм, размеров тела, выбора оси вращения и является моментом инерции тела относительно заданной оси.

Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения , видим, что момент инерции I играет для вращательного движения ту же роль, что масса для поступательного движения. А именно, момент инерции I характеризует инертность тела при вращательном движении. Момент инерции может быть вычислен, если известно распределение массы относительно заданной оси. Так, момент инерции тела точечной массы, отстоящей от оси вращения на расстояние r, равен I = mr2.

Момент инерции системы конечного числа материальных точек, вращающихся относительно заданной оси, вычисляется по формуле

Формулу для сплошного тела получим, мысленно разбив тело на бесконечно малые элементы с массой dm и заменив конечную сумму интегралом:

Момент инерции тела можно найти также и экспериментально. Один из способов экспериментального определения момента инерции применяется в настоящей работе.

Описание установки

В данной работе определяется момент инерции системы, состоящей из вала ОО/, на котором закреплены маховик М и шкив S (рис. 15).

К шкиву прикрепляется нить с гирей Р, масса которой m известна. При наматывании нити на шкив гиря поднимается на высоту h над опорой и приобретает потенциальную энергию mgh.

Если систему предоставить самой себе, то гиря будет ускоренно опускаться, а вал вместе с маховиком и шкивом – ускоренно вращаться.

Потенциальная энергия гири будет при этом переходить в кинетическую энергию вращательного движения маховика, вала и шкива, а также в кинетическую энергию поступательного движения гири.

Кроме того, часть потенциальной энергии будет затрачена на увеличение внутренней энергии теплового движения молекул трущихся тел за счет работы сил трения в опорных подшипниках вала.

Применим к данному случаю закон сохранения энергии:

где mgh – потенциальная энергия гири, поднятой на высоту h;

– кинетическая энергия гири в момент, непосредственно предшествующий ее остановке; – кинетическая энергия вращательного движения маховика, вала и шкива в тот же момент времени (I – момент инерции этой системы относительно оси вращения, w – угловая скорость); WТ – часть потенциальной энергии, затраченной на увеличение внутренней энергии в результате работы сил трения за время падения груза.

Если приблизительно считать, что сила трения в подшипниках постоянна, то движение системы будет равноускоренным.

Тогда скорость v, достигаемая к моменту соскальзывания нити со шкива, и высота падения h могут быть найдены из известных соотношений для равноускоренного движения v = at и , где а – ускорение гири; t – время ее падения. Отсюда

Зная скорость гири v в момент соскальзывания нити со шкива и радиус шкива r, нетрудно найти соответствующую угловую скорость вала

Определим работу сил трения в подшипниках. Поскольку сила трения принята не зависящей от скорости, то ее работа будет пропорциональна числу оборотов вала n1: WТ = bn1.

Коэффициент пропорциональности b может быть найден опытным путем. Нить закреплена на шкиве при помощи петельки, соскальзывающей со шкива в момент падения гири на пол. После падения гири маховик по инерции будет продолжать вращаться.

Вследствие тормозящего действия сил трения это вращение будет замедленным, и после некоторого числа оборотов n2, отсчитываемых от момента падения гири, маховик остановится. Приравнивая кинетическую энергию маховика в момент падения гири на пол к работе сил трения, совершенной за время замедленного вращения, получим . Отсюда и, следовательно,

1. (8)
2. Подставим выражения (7) и (8) в уравнение (5):
3. Решая это уравнение относительно момента инерции и заменяя скорость v согласно формуле (6), получим
4. .

Все величины, входящие в правую часть, могут быть найдены опытным путем. Поэтому при помощи этой формулы можно определить момент инерции вращающейся системы. Заметим в заключение лишь, что для данной лабораторной установки соблюдается соотношение >>1.

Физический смысл этого соотношения заключается в том, что кинетическая энергия гири, т.е. первое слагаемое в правой части формулы (28) мала по сравнению с остальными слагаемыми (в данном случае она сравнивается с mgh). Формула для определения момента инерции при этом несколько упрощается:

или, с учетом h = 2prn1: (9)

Источник: https://cyberpedia.su/8x4f82.html

Основное уравнение динамики вращательного движения — Класс!ная физика

• «Физика — 10 класс»
• Угловое ускорение.
• Ранее мы получили формулу, связывающую линейную скорость υ, угловую скорость ω и радиус R окружности, по которой движется выбранный элемент (материальная точка) абсолютно твёрдого тела, которое, вращается относительно неподвижной оси:
• υ = ωR.

Мы знаем, что линейные скорости и ускорения точек твёрдого тела различны. В то же время угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова.

Угловая скорость — векторная величина. Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вращения тела, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости (рис. 6.1).

Однако равномерное вращательное движение встречается довольно редко. Гораздо чаще мы имеем дело с движением, при котором угловая скорость изменяется, очевидно, это происходит в начале и конце движения.

Причиной изменения угловой скорости вращения является действие на тело сил. Изменение угловой скорости со временем определяет угловое ускорение.

Bектор угловой скорости — это скользящий вектор. Независимо от точки приложения его направление указывает направление вращения тела, а модуль определяет быстроту вращения,

При равноускоренном движении угловое ускорение постоянно и при неподвижной оси вращения характеризует изменение угловой скорости по модулю. При увеличении угловой скорости вращения тела угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и угловая скорость (рис. 6.2, а), а при уменьшении — в противоположную (рис. 6.2, б).

Так как угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением υ = ωR, то изменение линейной скорости за некоторый промежуток времени Δt равно Δυ =ΔωR.

Разделив левую и правую части уравнения на Δt, имеем или а = εR, где а — касательное (линейное) ускорение, направленное по касательной к траектории движения (окружности).

Если время измерено в секундах, а угловая скорость — в радианах в секунду, то одна единица углового ускорения равна 1 рад/с2 , т. е. угловое ускорение выражается в радианах на секунду в квадрате.

Неравномерно движутся при запуске и остановке любые вращающиеся тела, например ротор в электродвигателе, диск токарного станка, колесо автомобиля при разгоне и др.

Момент силы.

Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения.

Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на плечо:

M = Fd, где d — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.3).

Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения.

При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила 2), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, — отрицательными (силы 1 и 3) (рис. 6.4).

Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы:

ε ∼ М.

Пусть на материальною точку, движующуюся по окружности, действует сила (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем mак = Fк. Умножив левую и правую части уравнения на r, получим maкr = Fкr, или

mr2ε = М. (6.1)

1. Заметим, что в данном случае r — кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы.
2. Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I.
3. Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде Iε = М, откуда

Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, где I — момент инерции твёрдого тела, а М — суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рассматриваем только силы или их проекции, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Угловое ускорение, с которым вращается тело, прямо пропорционально сумме моментов сил, действующих на него, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси вращения.

Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО' равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = m1r21 + m2r22 + … .

Момент инерции твёрдого тела можно вычислить, разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения.

Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения.

Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой m.

I = ml2/12.

2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО', совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска:

• I = mR2/2.
• 3. Момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
• I = 2 mR2/5.
• 4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
• I = mR2.

Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Импульс материальной точки — Закон сохранения импульса — Реактивное движение. Успехи в освоении космоса — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» — Механическая работа и мощность силы — Энергия.

Кинетическая энергия — Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение» — Работа силы тяжести. Консервативные силы — Работа силы упругости. Консервативные силы — Потенциальная энергия — Закон сохранения энергии в механике — Работа силы тяготения.

Потенциальная энергия в поле тяготения — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» — Основное уравнение динамики вращательного движения — Закон сохранения момента импульса.

Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси — Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a226.html

1.23. Вращение твердого тела



Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

и угловое ускорение ε

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рисунок 1.23.1.Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением: где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей: и между модулями линейного и углового ускорения:

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

Рисунок 1.23.2.Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести.

Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия.

Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Рисунок 1.23.3.Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка.

Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.4.Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью  и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рисунок 1.23.5.Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 1.23.6.К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела.

Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа.

Пусть Δmi – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для IP можно переписать в виде:

Модель. Момент инерции

На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.7.Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O.

Выделим произвольный малый элемент массы Δmi. На него действуют внешние и внутренние силы.

Равнодействующая всех сил есть Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую и радиальную Радиальная составляющая создает центростремительное ускорение an.

Рисунок 1.23.8.Касательная и радиальная составляющие силы действующей на элемент Δmi твердого тела

Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ  или  Δmiriε = Fi sin θ,

где – угловое ускорение всех точек твердого тела.

• Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:
• Здесь – плечо силы   – момент силы.
• Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:
• Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.
• Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины , , определяются как векторы, направленные по оси вращения.

При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.

1. Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:
2. Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:
3. Окончательно будем иметь:
   
4. Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.
5. Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:
6. Следовательно,

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Рисунок 1.23.9.Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Рисунок 1.23.10.Качение симметричного тела по наклонной плоскости

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

• Уравнение вращательного движения: где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.
• Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:
• Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара а у сплошного однородного цилиндра Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

 

Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом

купить модульную мебель в минске

mebelmax.by

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph23/theory.html

ФизМат

Абсолютно твердое тело.

Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций.

При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственным числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.

• При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.
• Угловая скорость. Угловая скорость w вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :
• w = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt
• D t ® 0
• Обычно угол измеряется в радианах, время – в секундах, угловая скорость – в радианах в секунду.

Отметим важный факт: так как при вращении тела все точки тела за одно и то же время поворачиваются на один и тот же угол, то угловая скорость вращения любой точки тела одна и та же. Поэтому обычно говорят не об угловой скорости какой-то конкретной точки тела, а об угловой скорости тела вообще.

1. Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δ φ , то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δ s = R Δ φ . Разделив обе части последнего уравнения на Δ t, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью w вращения:
2. D s/ Δ t = R Δ φ / Δ t
3. или
4. V = Rw
5. Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.

Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е.

с постоянной угловой скоростью w , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е.

угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:

• b = lim Δ w / Δ t = dw /dt
• D t ® 0
• Если Δ w > 0, то угловая скорость возрастает, угловое ускорение положительно; при
• D w 

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/16_23.html

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим
вначале материальную точку А массой m,
движущуюся по окружности радиусом г
(рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная
сила F,
направленная по касательной к окружности.
Согласно второму закону Ньютона, эта
сила вызывает тангенциальное ускорение
илиF
= maτ.

Используя
соотношение aτ
= βr
, получаем F
= m
βr.

Умножим
обе части написанного выше равенства
на r.

Fr
= m
βr
2. (3.13)

Левая
часть выражения (3.13) является моментом
силы: М= Fr.
Правая часть представляет собой
произведение углового ускорения β на
момент инерции материальной точки А:
J=
m
r
2
.

Угловое
ускорение точки при ее вращении вокруг
неподвижной оси пропорционально
вращающему моменту и обратно пропорционально
моменту инерции (основное
уравнение динамики вращательного
движения материальной точки):

При
постоянном моменте вращающей силы
угловое ускорение будет величиной
постоянной и его можно выразить через
разность угловых скоростей:

Тогда
основное уравнение динамики вращательного
движения можно записать в виде

или (3.16)

Основное
уравнение динамики вращательного
движения можно записать в виде

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим
частый случай вращательного движения,
когда суммарный момент внешних сил
равен нулю. При вращательном движении
тела каждая его частица движется с
линейной скоростью υ
= ωr,
[r,
— радиус окружности, которую описыва­ет
частица массой m,
ω — угловая скорость, одинаковая для
всех точек тела].

Момент
импульса вращающегося тела равен сумме
моментов

импульсов
отдельных его частиц:

Изменение
момента импульса равно импульсу момента
сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если
суммарный момент всех внешних сил,
действующих на систему тела относительно
произвольной неподвижной оси, равен
нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов
тел системы не изменяется с течением
времени.

• Сумма
  моментов импульсов всех тел изолированной
  системы сохраняется неизменной (закон
  сохранения момента импульса):
• d(Jω)=0 Jω=const (3.20)
• Согласно
  закону сохранения момента импульса
  можно записать
• J1ω1=
  J2ω2 (3.21)
• где
  J1 и ω1
  — момент инерции и угловая скорость в
  начальный момент времени, а и J2 и ω2
  – в момент времени t.

Из
закона сохранения момента импульса
следует, что при М=0 в процессе вращения
системы вокруг оси любое изменение
расстояния от тел до оси вращения должно
сопровождаться изменением скорости их
обращения вокруг этой оси.

С увеличением
расстояния скорость вращения уменьшается,
с уменьшением – возрастает. Например,
гимнаст, совершающий сальто, чтобы
успеть сделать в воздухе несколько
оборотов, во время прыжка свёртывается
клубком.

Балерина или фигуристка, кружась
в пируэте, разводит руки если хочет
замедлить вращение, и, наоборот, прижимает
их к телу, когда старается вращаться
как можно быстрее.

Источник: https://studfile.net/preview/6214961/page:2/