Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Тригонометрия
  • ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
  • Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  • Уравнения, содержащие косинус — cos x.
Уравнение: РЕШЕНИЯ:
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  1. Общий вид решения уравнения  cos x = a,  где  | a | ≤ 1, определяется формулой:
  2. x = ± arccos(a) + 2πk,  k ∈ Z (целые числа),
  3. при | a | > 1  уравнение  cos x = a  не имеет решений среди вещественных чисел.
  4. Уравнения, содержащие синус — sin x.
Уравнение: РЕШЕНИЯ:
  • Общий вид решения уравнения  sin x  = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
  • x = (- 1)k · arcsin(a) +  πk,  k ∈ Z (целые числа),
  • при | a  | > 1  уравнение  sin x  = a  не имеет решений среди вещественных чисел.
  • Уравнения, содержащие тангенс и котангенс — tg x и сtg x
Уравнение: Уравнение: РЕШЕНИЯ:
***
***
  1. Общий вид решения уравнения  tg x = a  определяется формулой:
  2. x = arctg(a) +  πk, k ∈ Z  (целые числа).
  3. Общий вид решения уравнения  ctg x = a  определяется формулой:
  4. x = arcctg(a) +  πk, k ∈ Z  (целые числа).
    Web Design: Kurilin A.V. 2003-2014

Источник: http://web-tutor.narod.ru/Pages_1024x768/Trigequations.htm

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Свойства квадрата, с примерами

Оценим за полчаса!

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 1

30 Июн 2013

Елена Репина 2013-06-30 2017-06-03

  • Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.
  • Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.
  • Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (), часть 3 (,  )

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Объем магистерской диссертации 2020 года

Оценим за полчаса!

 Уравнение вида 

  1. Решим уравнение
  2. Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы .
  3. Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим :
  4. Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  5. Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:
  6. Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен . Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

  • На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:
  • Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  • А с графической точки зрения решение уравнения   выглядело бы так:
  • Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  • Как все точки взять в ответ?

Решением уравнения будет

  1. Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.
  2. Вы получите как раз точки  при ,
  3. при ,

при и т.д.

То что нам нужно!

  • Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
  • .
  • Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.
  • Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения
  • , где – из
  • (в противном случае, когда – не из – решений нет)
  • Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».
  • Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого , то решение будет следующее:
  • Частные случаи решения уравнения
  • 1)
  •  Мы должны бы записать так:
  • .
  • Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик ):
  • 2)
  • У нас только одна серия корней:
  • то есть 
  • 3) 
  • Аналогично решению примера 2, решение такое:

Источник: https://egemaximum.ru/formuly-dlya-resheniya-prostejshix-trigonometricheskix-uravnenij-chast-1/

Решение тригонометрических уравнений. Как решить тригонометрическое уравнение

Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие.

Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью «Основные тригонометрические формулы».
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике.

Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.

Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a.

Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

cos x = a

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

tg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

cot x = a

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение. Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

    • Пример.
    • Решить уравнение 2cos2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
    • Используя формулы приведения получим:
    • 2cos2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
    1. 2y2 – 3y + 1 + 0
    2. Корни которого y1 = 1, y2 = 1/2
    3. Теперь идем в обратном порядке

    Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

    1. cos(x + /6) = 1

      x + /6 = 2 k

      x1 = — /6 + 2 k

    2. cos(x + /6) = ?

      x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k

      x2 = ± /3 — /6+ 2 k

    • Пример.
    • Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
    • Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
    • sin x + cos x – 1 = 0
    • Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
    • sin x — 2 sin2 (x/2) = 0
    • Делаем разложение на множители:
    • 2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin2 (x/2) = 0
    • 2sin(x/2) * [cos(x/2) — sin(x/2)] = 0
    • Получаем два уравнения
    1. 2sin(x/2) = 0
      1. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого
      2. х/2 = k
      3. x1 = 2 k
    2. cos(x/2) — sin(x/2) = 0
      • Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.
      • Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:
      • 1 — tg(x/2) = 0
      • tg(x/2) = 1
      • x/2 = arctg 1 + k
      • x/2 = /4+ k
      • x2 = /2+ 2 k
    1. Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
    2. а) переносят все его члены в левую часть;
    3. б) выносят все общие множители за скобки;
    4. в) приравнивают все множители и скобки к 0;
    5. г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
    6. д) решают полученное уравнение относительно tg.
    7. Пример.
    8. Решить уравнение 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos2x = 2
    9. Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
    10. 3sin2x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin2x + 2cos2x
    11. sin2x + 4 sin x • cos x + 3 cos2x = 0
    12. Делим на cos x:
    13. tg2x + 4 tg x + 3 = 0
    14. Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
    15. y2 + 4y +3 = 0, корни которого y1=1, y2 = 3
    16. Отсюда находим два решения исходного уравнения:
    17. 1) tg x = –1
    18. x1 = /4+ k
    19. 2) tg x = –3
    20. x2 = arctg 3 + k
    • Пример.
    • Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
    • Переходим к x/2:
    • 6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 7sin2 (x/2) + 7cos2 (x/2)
    • Пререносим все влево:
    • 2sin2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos2 (x/2) = 0
    • Делим на cos(x/2):
    • tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
    • Ну а дальше уже по отработанной схеме …
    1. Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
    2. где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
    3. Обе части уравнения разделим на :

    Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

    • cos * sin x + sin * cos x = С
    • или sin(x + ) = C
    • Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
    • х = (-1) k * arcsin С — + k, где
    • Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
    • Пример.
    • Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
    • В этом уравнении коэффициенты:
    • а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
    • (/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2
    • cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2
    • sin(3x – /6) = 1/2
    • Получаем ответ
    • x = (-1) k * /18 + /18 + k/3
    1. Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы
    2. Пример.
    3. Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x
    4. Левую часть преобразуем в сумму:
    5. cos 4x – cos 8x = cos 4x
    6. Получаем простейшее уравнение:
    7. cos 8x = 0
    8. 8x = /2 + k
    9. x = /16 + k/8
    • Пример.
    • Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3
    • Здесь возможны 2 случая:
    1. x (2k + 1) ,
      тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:

      1. 3[(2tg(x/2))/(1 + tg2 (x/2)] — 4[(1 – tg2 (x/2))/(1 + tg2 (x/2)] = 3
      2. 6tg(x/2) – 4 + 4tg2 (x/2) = 3 + 3tg2 (x/2)
      3. tg2 (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0
      4. Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:
      5. y2 + 6y -7 = 0
      6. корни которого y1 = -7, y2 = 1
      7. Идем обратно и получаем два простейших уравнения:
      8. 1) tg(x/2) = -7
      9. х1 = -2arctg 7 + 2 k
      10. 2) tg(x/2) = 1
      11. x2 = /2 + 2k
    2. x = (2k + 1) ,

      тогда 3sin[(2k +1) ] – 4cos[(2k + 1) ] = 4 3

      Получаем – решение имеет только первое условие.

Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в х ниже.

Будем рады любым ваших вопросам.

Заметка: собираетесь выступать http://prezentacii.com портал готовых презентаций.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Reshenie-trigonometricheskih-uravneniy

Калькулятор онлайн.Решение тригонометрических уравнений

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Читайте также:  Альдегиды: строение, изомерия и примеры

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

  • Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
  • Вы можете посмотреть теорию о простейших тригонометрических уравнениях и общие методы преобразования тригонометрических уравнениях к простейшим.
  • Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое уравнение Решить уравнение Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Из определения косинуса следует, что ( -1 leq cos alpha leq 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где ( |a| leq 1 ), имеет на отрезке ( 0 leq x leq pi ) только один корень. Если ( a geq 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2}
ight] ); если a < 0, то в промежутке ( left( frac{pi}{2}; ; pi ight] ). Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a.

  1. Определение Арккосинусом числа ( |a| leq 1 ) называется такое число ( 0 leq alpha leq pi ), косинус которого равен а: ( ext{arccos}(a) = alpha ) если ( cos(alpha) =a ) и ( 0 leq alpha leq pi )
  2. Все корни уравнений вида cos(х) = а, где ( |a| leq 1 ), можно находить по формуле ( x = pm ext{arccos}(a) +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
  3. Можно доказать, что для любого ( |a| leq 1 ) справедлива формула ( ext{arccos}(-a) = pi — ext{arccos}(a) )
  4. Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Из определения синуса следует, что ( -1 leq sin alpha leq 1 ). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

  • Уравнение sin х = а, где ( |a| leq 1 ), на отрезке ( left[ -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2}
    ight] ) имеет только один корень. Если ( a geq 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2}
    ight] ); если а < 0, то корень заключён в промежутке ( left[ -frac{pi}{2}; ; 0 ight) ) Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
  • Определение Арксинусом числа ( |a| leq 1 ) называется такое число ( -frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} ), синус которого равен а: ( ext{arcsin}(a) = alpha ), если ( sin(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} )
  • Все корни уравнений вида sin(х) = а, где ( |a| leq 1 ), можно находить по формуле ( x = (-1)^n ext{arcsin}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )
  • Можно доказать, что для любого ( |a| leq 1 ) справедлива формула ( ext{arcsin}(-a) = — ext{arcsin}(a) )
  • Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале ( left( -frac{pi}{2}; ; frac{pi}{2}
ight) ) только один корень. Если ( |a| geq 0 ), то корень заключён в промежутке ( left[ 0; ; frac{pi}{2}
ight) ); если а < 0, то в промежутке ( left( -frac{pi}{2}; ; 0 ight) ). Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

  1. Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} ), тангенс которого равен а: ( ext{arctg}(a) = alpha ), если ( ext{tg}(alpha) =a ) и ( -frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2} )
  2. Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле ( x = ext{arctg}(a) + pi n, ; n in mathbb{Z} )
  3. Можно доказать, что для любого a справедлива формула ( ext{arctg}(-a) = — ext{arctg}(a) )
  4. Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

  • Решить уравнение 2 cos2(х) — 5 sin(х) + 1 = 0
  • Заменяя cos2(х) на 1 — sin2(х), получаем

2 (1 — sin2(х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или 2 sin2(х) + 5 sin(х) — 3 = 0. Обозначая sin(х) = у, получаем 2у2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5 1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1; 2) sin(х) = 0,5; ( x = (-1)^n ext{arcsin}(0,5) + pi n = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )

  1. Ответ ( x = (-1)^n frac{pi}{6} + pi n, ; n in mathbb{Z} )
  2. Решить уравнение 2 cos2(6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0 Используя формулы
  3. sin2(6x) + cos2(6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
  4. 3 (1 — sin2(6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0    =>    3 sin2(6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
  5. 3y2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3

преобразуем уравнение: Обозначим sin 6x = y, получим уравнение 1) ( sin(6x) = 1 Rightarrow 6x = frac{pi}{2} +2pi n Rightarrow x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} ) 2) ( sin(6x) = frac{1}{3} Rightarrow 6x = (-1)^n ext{arcsin} frac{1}{3} +pi n Rightarrow ) ( Rightarrow x = frac{(-1)^n}{6} ext{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} ) Ответ ( x = frac{pi}{12} +frac{pi n}{3}, ;; x = frac{(-1)^n}{6} ext{arcsin} frac{1}{3} +frac{pi n}{6}, ; n in mathbb{Z} )

  • Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
  • Используя формулы ( sin(x) = 2sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2}, ; cos(x) = cos^2 frac{x}{2} -sin^2 frac{x}{2} ) и записывая правую часть уравпения в виде ( 2 = 2 cdot 1 = 2 left( sin^2 frac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2}
    ight) ) получаем
  • Поделив это уравнение на ( cos^2 frac{x}{2} ) получим равносильное уравнение ( 3 ext{tg}^2frac{x}{2} — 4 ext{tg}frac{x}{2} +1 = 0 ) Обозначая ( ext{tg}frac{x}{2} = y ) получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3 1) ( ext{tg}frac{x}{2} = 1 Rightarrow frac{x}{2} = frac{pi}{4} +pi n Rightarrow x = frac{pi}{2} +2pi n, ; n in mathbb{Z} ) 2) ( ext{tg}frac{x}{2} = frac{1}{3} Rightarrow frac{x}{2} = ext{arctg}frac{1}{3} +pi n Rightarrow x = 2 ext{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} ) Ответ ( x = frac{pi}{2} +2pi n, ;; x = 2 ext{arctg} frac{1}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} )
  • В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях ( a
    eq 0, ; b
    eq 0, ; c
    eq 0, ; c^2 leq b^2+c^2 ) можно решить методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части этого уравнения на ( sqrt{a^2+b^2} ): ( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} sin(x) + frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} cos(x) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} ) Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что ( cos varphi = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, ;; sin varphi = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} ) Такое число ( varphi ) существует, так как ( left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}
    ight)^2 + left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}
    ight)^2 = 1 ) Таким образом, уравнение можно записать в виде ( sin x cos varphi + cos x sin varphi = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} )
  • откуда

( 4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} — sin^2 frac{x}{2} = 2sin^2 frac{x}{2} + 2cos^2 frac{x}{2} ) ( 3sin^2frac{x}{2} -4sinfrac{x}{2} cosfrac{x}{2} + cos^2 frac{x}{2} = 0 ) ( sin(x+varphi) = frac{c}{sqrt{a^2+b^2}} ) где ( varphi = ext{arccos} left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}
ight) ) или ( varphi = ext{arcsin} left( frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}
ight) ) Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

  1. Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
  2. Здесь a = 4, b = 3, ( sqrt{a^2+b^2} = 5 ). Поделим обе части уравнения на 5:
  3. откуда

( frac{4}{5}sin(x) + frac{3}{5}cos(x) = 1 ) Введём вспомогательный аргумент ( varphi ), такой, что ( cos varphi = frac{4}{5}, ; sin varphi = frac{3}{5} ) Исходное уравнение можно записать в виде ( sin x cos varphi + cos x sin varphi = 1, ;; sin(x+varphi) = 1 ) ( x+varphi = frac{pi}{2} + 2pi n, ;; varphi = ext{arccos} frac{4}{5} ) ( x = frac{pi}{2} — ext{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} ) Ответ ( x = frac{pi}{2} — ext{arccos} frac{4}{5} + 2pi n, ; n in mathbb{Z} )

  • Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
  • Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0 Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
  • Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x) cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
  • Решить уравнение 6 sin2(x) + 2 sin2(2x) = 5 Выразим sin2(x) через cos(2x) Так как cos(2x) = cos2(x) — sin2(x), то cos(2x) = 1 — sin2(x) — sin2(x), cos(2x) = 1 — 2 sin2(x), откуда sin2(x) = 1/2 (1 — cos(2x)) Поэтому исходное уравнение можно записать так:
  • 3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos2(2х)) = 5

1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} ) 2) ( 2 cos(x) -1 =0, ; cos(x) = frac12, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} ) Ответ ( x = pi n, ; x = pm frac{pi}{3} +2pi n, ; n in mathbb{Z} ) 1) ( sin(x) =0, ; x = pi n, ; n in mathbb{Z} ) 2) ( sin(3x) =0, ; x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} ) Заметим, что числа ( pi n ) содержатся среди чисел вида ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} ) Следовательно, первая серия корней содержится во второй. Ответ ( x = frac{pi n}{3}, ; n in mathbb{Z} ) 2 cos2(2х) + 3 cos(2х) = 0 cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0 1) cos(2х) =0, ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} ) 2) уравнение cos(2x) = -3/2 корней не имеет. Ответ ( x = frac{pi}{4} + frac{pi n}{2}, ; n in mathbb{Z} )

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality

Ссылка на основную публикацию