Свойства медианы, с примерами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Рисунок 1

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.

2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

   Рисунок 2

2. Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

   Рисунок 3

3. Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

   Рисунок 4

4. Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть. DE || AB и DE = AB / 2.
5. Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией. FG || AB и FG = AB / 2
6. Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
7. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то FX=XE, GX=XD

   Рисунок 5

8. Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
9. Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
10. Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Второе свойство

Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

   Рисунок 6

2. Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

   Рисунок 7

3. Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
4. Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

   Рисунок 8

5. Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательство:

1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

   Рисунок 9

2. Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
3. Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
4. Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Источник: https://people-ask.ru/nauki/geometriya/svojstva-mediani-v-pryamougolnom-treugolnike-s-dokazatelstvami

Медиана

ФОРМУЛЫ

   17.11.2013   38 260   0  

В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно. Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.

Что такое медиана

Медиана (Me) – значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.

То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина – больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.

Формула для расчета медианы

Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.

Обратите внимание! Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.

Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:

• где: Me – медиана;
• Xme – нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);
• ime – величина медианного интервала;
• f – частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
• Sme-1 – сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;
• fme – число значений в медианном интервале (его частота).

Пример нахождения медианы

Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя – 20-40 лет; 18 покупателей – 40-60 лет; 15 покупателей – свыше 60 лет. Найдем медиану.

Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы – 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т.к. полученная полусумма частот – 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей – больше).

Тогда нижняя граница медианного интервала – 20 (лет), а величина медианного интервала – 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу – 25.

Число значений в медианном интервале – 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).

Медиана —  32,5, следовательно средний возраст покупателя – 33 года.

Область применения медианы

При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.

Особенности медианы

• Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки.
• Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.

Галяутдинов Р.Р.

 © Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Еще можно почитать:

Источник: http://galyautdinov.ru/post/mediana

Среднее или всё же медиана?

Cреднее арифметическое значение (далее по тексту — среднее), пожалуй, наиболее популярный статистический параметр. Этим понятием пользуются повсеместно — начиная от поговорки «средняя температура по больнице» и кончая серьезными научными трудами. Однако, как ни странно, среднее значение — коварное понятие, часто вводящее в заблуждение, вместо того чтобы придавать четкость изложению и вносить ясность.

Если говорить о научной работе, то статистический анализ данных применяется почти во всех прикладных науках, даже и в гуманитарных (например, психологии). Среднее значение вычисляется для признаков, измеряемых в так называемых непрерывных шкалах.

Такими признаками являются, например, концентрации веществ в сыворотке крови, рост, вес, возраст. Среднее арифметическое можно легко вычислить, и этому учат еще в средней школе.

Однако (в соответствии с положениями математической статистики) среднее значение является адекватной мерой центральной тенденции в выборке только в случае нормального (гауссова) распределения признака (рис. 1).

Рис. 1. Нормальное (гауссово) распределение признака в выборке. Среднее (М) и медиана (Ме) совпадают

В случае же отклонения распределения от нормального закона среднее значение использовать некорректно, так как оно является слишком чувствительным параметром к так называемым «выбросам» — нехарактерным для изучаемой выборки,слишком большим или слишком малым значением (рис. 2).

В этом случае для характеристики центральной тенденции в выборке должен применяться другой параметр — медиана. Медиана — это значение признака, справа и слева от которого находится равное число наблюдений (по 50%). Этот параметр (в отличие от среднего значения) устойчив к «выбросам».

Заметим также,что медиана может использоваться и в случае нормального распределения — в этом случае медиана совпадает со средним значением.

Рис. 2. Распределение признака в выборке, отличное от нормального. Среднее (м) и медиана (МЕ) не совпадают

Для того, чтобы узнать, является ли распределение признака в выборке нормальным (гауссовым) или нет, т.е. для того, чтобы узнать, какой из параметров следует применять (среднее значение или медиану), существуют специальные статистические тесты.

Приведем пример. Скорость оседания эритроцитов в группе пациентов, недавно перенесших пневмонию, — 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Среднее значение для этой выборки равно 17,8, медиана — 12. Распределение (по тесту Шапиро—Уилка) нормальным не является (рис. 3), поэтому использовать надо медиану.

Рис. 3. Пример

Как ни странно, но в некоторых областях экономики сторонний наблюдатель не может заметить хоть какого-то следа корректного применения математической статистики.

Так, нам постоянно говорят о средней зарплате (например, в НИИ), и эти числа обычно удивляют не только рядовых сотрудников, но и руководителей подразделений (ныне называемых «менеджерами среднего звена»). Мы удивляемся, что средняя зарплата в Москве — 40 тыс. руб., но, конечно, понимаем, что нас «усреднили» с олигархами.

Вот пример из жизни научных работников: зарплаты сотрудников лаборатории (тыс. руб.) — 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Среднее значение — 17,8, медиана — 12. Согласитесь, что это разные числа!

Конечно, нельзя исключить, что замалчивание свойств среднего — лукавство, так как руководству всегда выгоднее представить ситуацию с зарплатой сотрудников лучше, чем она есть на самом деле.

Не пора ли научному сообществу призвать наших руководителей прекратить некорректное использование математической статистики?

Ольга Реброва,
докт. мед. наук, вице-президент

МОО «Общество специалистов доказательной медицины»

Источник: https://trv-science.ru/2011/10/25/srednee-ili-vsjo-zhe-mediana/

Медиана треугольника

Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

• В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

• Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
• $$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$
• Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

• В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1over2}*(a^2+c^2-b^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$

$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 91.

Источник: https://obrazovaka.ru/geometriya/mediana-treugolnika-svoystvo-formula.html

Медиана как статистическая характеристика

Понятие медианы — это одна из статистических величин, относящихся к конечному упорядоченному ряду чисел. Пусть нам дан конечный упорядоченный ряд чисел $a_1, a_2, dots , a_n$. Этот ряд может содержать как четное, так и нечетное количество чисел. Поэтому понятие медианы имеет два определения (в зависимости от количества чисел в конечном упорядоченном числовом ряду).

Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда.

Пример 1

Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда медиана данного ряда равна 7.

Перед тем, как ввести второе определение, вспомним, что такое средне арифметическое двух чисел.

Среднее арифметическое $n$ чисел — это сумма этих чисел, поделенная на $n$.

Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 2

Пусть дан ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Тогда медиана данного ряда равна

[frac{7+9}{2}=frac{16}{2}=8]

Рассмотрим теперь случай, когда ряд чисел $a_1, a_2, dots , a_n$ не упорядочен. В этом случае, перед тем как найти медиану, данный ряд сначала необходимо упорядочить, то есть расставить все числа в порядке возрастания. Только после этого мы можем применить определение понятия медианы.

Пример 3

Пусть дан ряд 3, 7, 5, 4, 11, 6, 10, 9. Вначале упорядочим данный ряд, получим:

[3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11]

Вычисляем по определению 3 медиану:

[frac{6+7}{2}=frac{13}{2}=6,5]

Для понятия медианы можно выделить два следующих свойства:

1. Если распределение задано непрерывно, то значение медианы совпадает с одним из решений уравнения

[Fleft(x
ight)=0,5]

Напомним, что $Fleft(x
ight)$ — функция распределения случайной величины.

2. Если ряд распределения имеет четное число членов и два средних члена $a_k$ и $a_{k+1}$ различны, то значение медианы принадлежит интервалу ${(a}_k,a_{k+1})$.

Примеры решения задач

Задача 1

Найти среднее арифметическое следующих рядов чисел.

1. 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
2. 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 84, 46.

Решение:

1. Так как данный ряд имеет 10 чисел, то среднее арифметическое равно

[frac{3+6+13+7+3+45+24+17+8+3}{10}=frac{129}{10}=12,9]

2. Так как данный ряд имеет 9 чисел, то среднее арифметическое равно

[frac{10+25+43+67+13+65+34+84+46}{9}=frac{387}{9}=43]

Ответ: а) 12,9. б) 43.

Задача 2

Найти среднее арифметическое и медианы следующих числовых рядов:

1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
2. 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79

Решение:

1. Так как ряд имеет 8 элементов, то среднее арифметическое равно:

[frac{2+4+8+16+32+64+128+256}{8}=frac{510}{8}=63,75]

Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:

[frac{16+32}{2}=frac{48}{2}=24]

2. Так как ряд имеет 7 элементов, то среднее арифметическое равно:

[frac{13+24+35+46+57+68+79}{7}=frac{322}{7}=46]

Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 46.

Задача 3

Найти медиану следующих рядов чисел.

1. 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
2. 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 89, 46.

Решение:

1. Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим:

[3, 3, 3, 6, 7, 8, 13, 17, 24, 45]

Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет четное число элементов, то мы сразу можем применить третье определение, получим, что медиана равна:

[frac{7+8}{2}=frac{13}{2}=6,5]

2. Вначале нам необходимо упорядочить данный ряд, получим:

[10, 13, 25, 34, 43, 46, 65, 67, 89]

Так как данный ряд чисел упорядочен и имеет нечетное число элементов, то мы сразу можем применить первое определение, получим, что медиана равна 43.

Ответ: а) 6,5. б) 43.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/statisticheskie_harakteristiki/mediana_kak_statisticheskaya_harakteristika/

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

• Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
• В равностороннем треугольнике любая медиана — это высота и биссектриса.
• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задача

В равнобедренном треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( A B=5 mathrm{см} ) медиана была ( B L=4 mathrm{см} ). Найдите область треугольника ( mathrm{ABC} ).

Решение.

1. Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем ( S_{Delta A B L}=S_{Delta B C L} ) , откуда
2. ( S_{Delta A B C}=2 S_{Delta A B L} )
3. Найдите область треугольника ( A B L ). Поскольку треугольник ( mathrm{ABC} ) является равнобедренным, медиана ( mathrm{BL} ) является высотой, то есть ( mathrm{ABL} ) треугольником — прямоугольной и ее площадью
4. ( S_{A B L}=frac{1}{2} A L cdot B L )
5. С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги ( mathrm{AL} ):
6. ( A L=sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=sqrt{25-16}=3 mathrm{cm} )
7. Замените полученные результаты в области формулы:
8. ( S_{A B L}=frac{1}{2} 3 cdot 4=6 mathrm{cm}^{2} )
9. Теперь мы находим область треугольника ( mathrm{ABC} ):
10. ( S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 cdot 6=12 mathrm{cm}^{2} )

Ответ

• ( S_{A B C}=12 )
• ПРИМЕР 2

Задача

В треугольнике ( riangle B C ) со сторонами ( AB=4 mathrm{см} ), ( AC=6 mathrm{cm} ) и углом ( angle A=60^{circ} ) , мы выполнили медианны ( AK ) и ( BL ), которые пересекаются в точке ( O ). Найдите ( BO ).

Решение.

1. Так как ( BL ) — медиана треугольника,
2. ( A L=L C=frac{1}{2} A C=3 mathrm{cm} )
3. Рассмотрим треугольник ( ABL ). По теореме о косинуале находим
4. ( B L=sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B cdot A L cos angle A}=sqrt{16+9-2 cdot 4 cdot 3 cdot frac{1}{2}}=sqrt{13} mathrm{см} )

Медианы ( mathrm{AK} ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

$( B O=frac{2}{3} B L=frac{2 sqrt{13}}{3} mathrm{cm} )

Ответ

( B O=frac{2 sqrt{13}}{3} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/svojstva-mediani-treugolnika/

Медиана — это золотое сечение треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это..

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

• Есть в треугольнике обычномОтрезок очень непростойСоединяет он обычно с серединой стороны любойИ каждый должен знать отлично,
• Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Источник: https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/mediana-chto-ehto-takoe-svojstva-mediany-treugolnika.html

Медиана в статистике

Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана. 

Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.

Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода).

Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение. 

Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.).

Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше.

Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.

Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам). 

Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины.

Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.). 

Формула медианы

Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.

Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:

• где
• №Me – номер значения, соответствующего медиане,
• N – количество значений в совокупности данных.
• Тогда медиана обозначается, как

Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:

В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу. 

Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.

Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале.

Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.

Обратимся к наглядной схеме.

Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:

1. где xMe — нижняя граница медианного интервала;
2. iMe — ширина медианного интервала;
3. ∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

• fMe — число наблюдений в медианном интервале.
• Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%. 
• Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.

Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.

По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.

То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.

Расчет медианы в Excel

Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.

Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:

1. а) 11;
2. б) 5;
3. в) 10;
4. г) 5, 10, 11.
5. Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
6. Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.

Поделиться в социальных сетях:

Источник: https://statanaliz.info/statistica/opisanie-dannyx/mediana-v-statistike/

Медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ — медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС).

Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD  — медианы треугольника АВС.

Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС — точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС — точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ — точкой D (АD = DB).

Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

• Треугольник
• Равенство треугольников
• Первый признак равенства треугольников
• Перпендикуляр к прямой
• Биссектрисы треугольника
• Высоты треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Свойства равнобедренного треугольника
• Второй признак равенства треугольников
• Третий признак равенства треугольников
• Окружность
• Построения циркулем и линейкой
• Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

1. 7 класс
2. Задание 110, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
3. Задание 352, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
4. Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
5. Задание 492, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
6. Задание 530, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
7. Задание 1, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
8. Задание 867, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
9. Задание 1069, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
10. Задание 1251, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
11. Задание 1258, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

• © budu5.com, 2020
• Пользовательское соглашение
• Copyright
• Нашли ошибку?
• Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3316

Медиана треугольника

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. 

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.

• Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника — 1/3 ее длины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.
• У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Средняя линия треугольника

Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

• Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
• Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
• Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
• Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)

Содержание главы:

• Как найти длину медианы треугольника

• Нахождение площади через медианы

• Угол между высотой и медианой треугольника

• Медиана прямоугольного треугольника

• Медіана прямокутного трикутника

0  

 Площадь треугольника | Описание курса | Как найти длину медианы треугольника 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0571/

Формула медианы — это… Что такое Формула медианы?

• Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат.  …   Википедия
• Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы …   Википедия
• Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия
• Теорема Лейбница (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. Теорема или формула Лейбница  утверждение о медианах: Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Для произвольной точки O плоскости имеет… …   Википедия
• Ящик с усами — Не следует путать с японскими свечами. График 1. Результаты эксперимента Майкельсона Морли …   Википедия
• АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия
• Пренатальный скрининг — У этого термина существуют и другие значения, см. Скрининг. Пренатальный скрининг  комплекс медицинских исследований (лабораторных, ультразвуковых), направленный на выявление группы риска по развитию пороков плода во время беременности.… …   Википедия
• Лейбниц, Готфрид Вильгельм — Готфрид Вильгельм Лейбниц Gottfried Wilhelm Leibniz …   Википедия
• Математическое ожидание — (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… …   Энциклопедия инвестора
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 …   Википедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/316285