Треугольник, все про треугольники

  • Основные свойства
  • Равенство треугольников
  • Подобие треугольников
  • Медианы треугольника
  • Биссектрисы треугольника
  • Высоты треугольника
  • Серединные перпендикуляры
  • Окружность, вписанная в треугольник
  • Окружность, описанная около треугольника
  • Расположение центра описанной окружности
  • Равнобедренный треугольник
  • Равносторонний треугольник
  • Прямоугольный треугольник
  • Вневписанные окружности
  • Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде 
Треугольник, все про треугольники Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины. Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°: Треугольник, все про треугольники Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного: Треугольник, все про треугольники

  1. Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:
  2. Треугольник, все про треугольники
  3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
  4. Треугольник, все про треугольники
Треугольник, все про треугольники
  • Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:
  • Треугольник, все про треугольники
Треугольник, все про треугольники Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны: Треугольник, все про треугольники У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
Треугольник, все про треугольники
  1. Первый признак равенства треугольников.
  2. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно  двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
  • Второй признак равенства треугольников.
  • Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
  1. Третий признак равенства треугольников.
  2. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:
  • Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.
  • Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:
  • Два треугольника подобны, если:
  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.
  1. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:
  2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:
  • Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  • Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
  1. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
  2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
  3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
  4. Длина биссектрисы угла А:
  • Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
  • Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
  • BL – биссектриса угла В;
  • ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:
  1. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.
  2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
  3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
  4. Длина высоты, проведённой к стороне а:
  • Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.
  • Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.
  • Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника. 
  1. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
  2. Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:
  3. Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
  • Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
  • Радиус описанной окружности:
Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные формулы для равнобедренного треугольника:
  1. Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.
  2. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
  3. Все углы равностороннего треугольника равны:
  4. ∠A = ∠В = ∠C = 60°.
Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
  • Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
  • Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
  • Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.

Подобие прямоугольных треугольников устанавливают по:

  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

  1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
  2. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
  • Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
  • Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
  • Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:
  • Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:
  • Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:
  • Площадь прямоугольного треугольника можно определить
  • через катеты:
  • через катет и острый угол:
  • через гипотенузу и острый угол:
  1. Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  2. Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
  • Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.
  • Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
  • Так точка О1, центр одной из вневписанных окружностей ΔABC, лежит на пересечении биссектрисы ∠A треугольника ABC и биссектрис BО1 и CО1 внешних углов ΔABC при вершинах B и C.
  • Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.
  • ΔABC является ортоцентричным в ΔО1О2О3 (точки A, B и C – основания высот в ΔО1О2О3).
  • В ΔО1О2О3 углы равны 90°–½A, 90°–½B, 90°–½C.
  • В ΔABC углы равны 180°–2О1, 180°–2О2, 180°–2О3.
  • Радиус окружности, описанной около ΔО1О2О3, равен 2R, где R – радиус окружности, описанной около ΔABC.
  • ΔABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в ΔО1О2О3.
  • Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в ΔABC, то в ΔABC верно:
  • для r –
  • для R – 
  • для S –
  • для самих ra , rb , rс –                
  1. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
  2. или 
  3. Следствие 1:
  • если c2 > a2+b2, то угол γ – тупой (cos γ < 0);
  • если c2 < a2+b2, то угол γ – острый (cos γ > 0);
  • если c2 = a2+b2, то угол γ – прямой (cos γ = 0).

Следствие 2: Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Теорема тангенсов (формула Региомонтана):
  • Формулы Мольвейде:

Источник: http://math4school.ru/treugolniki.html

Треугольник. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку.

Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник и т.д. выделены в отдельные темы – читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.

1. Сумма углов треугольника. Внешний угол

Треугольник, все про треугольники Сумма внутренних углов любого треугольника равна  .

Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.

У треугольника ещё бывают внешние углы. И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна  , касается как раз внешнего треугольника.

Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем  ) продолжаем.

Треугольник, все про треугольники Видишь, получился новый угол,  ? Этот угол образован одной стороной ( ) треугольника и продолжением другой стороны ( ). Вот он и называется внешним углом треугольника   при вершине  .

Конечно, мы бы могли оставить сторону  , а продолжить сторону  . Вот так:

Треугольник, все про треугольники Тогда   тоже будет внешним углом при вершине  , да и к тому же он будет равен углу  .
Треугольник, все про треугольники Смотри: углы   и   – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине  .

А вот про угол   такого сказать ни в коем случае нельзя!

Треугольник, все про треугольники Он образован пересечением двух продолжений сторон! Угол   вообще равен внутреннему   треугольника  .

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Треугольник, все про треугольники Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
  • Смотри, на нашем рисунке это означает, что  .
  • Как же это связано с суммой углов треугольника?
  • Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна  
  •  ,
  • но   — потому, что   и   – смежные.
  • Ну вот и получается:  .

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна  , а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

2. Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Треугольник, все про треугольники Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
  1. Это означает, что
  2.   и
  3.   и
  4. Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?
  5. Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного   м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея   метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж   м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Треугольник, все про треугольники Так не может быть!

Почему? Да потому что если от Коли до Пети   м, а от Пети до Сергея   м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше   ( ) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.

Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой ( ) должен быть короче, чем путь с заходом в точку  . ( ). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт.

Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами  ?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем:  , значит, треугольника со сторонами   и   не бывает! А вот со сторонами   – бывает, потому что

  и

  и

3. Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много — много – много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» — тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Треугольник, все про треугольники

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Треугольник, все про треугольники

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять.

  1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
  2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
  3. Третий признак – по трём сторонам.

ТРЕУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные понятия.

  •  ,  ,   — внутренние углы  .
  • Внешний угол треугольника — угол, смежный внутреннему углу треугольника, т.е.   и   — внешние углы   при вершине  .

Основные свойства:

  1. Сумма внутренних углов любого треугольника равна  , т.е.  
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е.   или  
  3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е.  
  4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е. если  , то  , и наоборот, если  , то  .

Признаки равенства треугольников.

1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними.

2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.

3. Третий признак – по трём сторонам.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/treugolnik-1

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Неопубликованная запись

Треугольник, все про треугольники

  • Равенство и подобие треугольников. 
  • Медиана, биссектриса, высота. 
  • Свойства треугольников. 
  • Площадь треугольников.
  • Кругом одна геометрия — круг друзей, квадрат врагов, треугольник любящих.
  • Ю. Татаркин

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Когда небо было ярче, трава зеленее, а ты учился в 7 классе, началось знакомство с геометрией, туда и перенесёмся. Чтобы мы с тобой разговаривали на одном языке, начнем с равных углов.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

Треугольник, все про треугольники

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Треугольник, все про треугольники

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Треугольник, все про треугольники

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой. 

Треугольник, все про треугольники

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

Треугольник, все про треугольники

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Треугольник, все про треугольники

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

Треугольник, все про треугольники

А вот эти фигуры какие?

Треугольник, все про треугольники

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Треугольник, все про треугольники

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

  1. Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).
  2. Давай закрепим теорию в задачах.

  3. Введем секретный шифр:
  4. «~» означает подобие
  5. «Δ» означает треугольник
  6. «∠» означает угол
  7. Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к.

треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов. 

  • AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC
  • Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC: 
  • Ответ: 13,125
  • Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

  1. Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:
  2. Ответ: 20; 40; 50.
  3. Задача №3. Дано на рисунке:
  4. ∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°
  5. ∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°
  6. А сумма углов в треугольнике 180°, да-да, не всегда, конечно, но Неевклидовая геометрию оставим на другой раз.
  7. ∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°
  8. Ответ: 60° и 30°
  9. Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.
  10. Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

  • Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.
  • Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

  1. Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны. 
  2. Задача №4. Дано на рисунке:
  3. Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°
  4. В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда 
  5. В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°
  6. ∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

  • Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:
  • В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°
  • В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°
  • Ответ: 30° и 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

  1. Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:
  2. 1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 
  3. Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный
  4. 2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.

А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

  • Полезные свойства: 
  • 1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  • Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.
  • 2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.
  • 3) Теорема Пифагора 
  • Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%. 
  • Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов. 
  • Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.
  • Задача №6. Дано на рисунке:
  • В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°
  • Опустим высоту из вершины В:
  • В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18. 
  • В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)
  • В ΔABH по т. Пифагора:
  • Ответ: 6√3.

Задача №7. ΔMNK ∼  ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

  1. Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:
  2. 225/75 = 3 = k² => k = √3 
  3. M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3
  4. Ответ: 3√3
  5. Отлично, поздравляю тебя с Beginnerом по геометрии. 
  6. Вторая часть по треугольникам − площадь треугольников, свойства треугольников, тригонометрия в прямоугольных треугольниках, что такое синус/косинус, таблицы Брадиса (как пользоваться), теорема синусов и косинусов
  7. Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/teoria_treugolnik

Виды треугольников

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

  • остроугольные
  • прямоугольные
  • тупоугольные

Треугольник, все про треугольники

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Треугольник, все про треугольникиПрямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Треугольник, все про треугольники

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние
  • равнобедренные
  • разносторонние

Треугольник, все про треугольники

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Треугольник, все про треугольники

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Треугольник, все про треугольники

  • Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
  • Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.
  • Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

Треугольник, все про треугольники

разносторонний треугольник

Треугольник, все про треугольники

равносторонний треугольник

Треугольник, все про треугольники

равнобедренный треугольник

Источник: http://www.treugolniki.ru/vidy-treugolnikov/

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

  • В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
  • Треугольник, все про треугольники
  • Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
  • Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
  • В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

  1. ,
  2. где — полупериметр,
  3. — радиус окружности, вписанной в треугольник.
  4. Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
  5. где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
  6. Для любого треугольника верна теорема синусов:
  7. Треугольник, все про треугольники

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

  • Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

  1. По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

Ответ: .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-treugolnik-vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnost/

Треугольники, виды треугольников, свойства треугольников

Вспомним следующую аксиому для такого основного понятия геометрии, как прямая.

Аксиома 1: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Определение 1

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Определение 2

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Виды треугольников

Треугольники можно разделять на различные виды по углам и по сторонам треугольника. Рассмотрим для начала виды треугольников в различии от их углов.

Определение 4

Треугольник будем называть остроугольным, если все углы в нем менее $90^0$.

Определение 5

Треугольник будем называть тупоугольным, если один из углов в нем более $90^0$.

Треугольник, все про треугольники

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 6

Треугольник будем называть прямоугольным, если один из углов в нем равен $90^0$.

Все эти виды изображены на рисунке 2.

По сторонам треугольники разделяются на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 7

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны будут равны между собой.

Определение 8

Треугольник будем называть равносторонним, если три его стороны будут равны между собой.

Все эти виды треугольников изображены на рисунке 3.

Свойства треугольников

Введем теперь некоторые свойства треугольников в виде теорем. В данной статье доказательства их мы рассматривать не будем.

Вначале приведем теоремы, которые относятся ко всем видам треугольников. Но для них нам будут необходимы еще несколько понятий.

Определение 9

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Определение 10

Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.

Определение 11

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Теорема 1

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Теорема 2

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Теорема 3

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Следующие две теоремы рассматривают свойства для равнобедренных треугольников.

Теорема 4

Углы при основании равнобедренного треугольника будут равными.

Теорема 5

Высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике являются одной и той же прямой.

Замечание 1

Отметим, что теоремы, относящиеся к равнобедренным треугольникам также справедливы и для равносторонних треугольников.

Пример задачи

Пример 1

Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что он будет равнобедренным в условиях рисунка 5.

Доказательство.

По условию задачи угол 1 равняется углу 2, а сторона $BD$ равняется стороне $CD$. Так как у треугольников $ADB$ и $ADC$ сторона $AD$ является общей, то треугольники $ADB$ и $ADC$ будут равняться по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $AC$ также равны между собой. Следовательно, данный треугольник будет равнобедренным.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/treugolniki_vidy_treugolnikov_svoystva_treugolnikov/

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

  • На рисунке:
  • $А,В,С$ — вершины треугольника.
  • $АВ,ВС$ и $АС$ – стороны треугольника.
  • Виды треугольников по величине углов:

1. Остроугольный треугольник — такой треугольник, в котором все углы меньше $90°$, т.е. острые. 

2. Прямоугольный треугольник — треугольник, имеющий прямой угол. 

3. Тупоугольный треугольник — треугольник, содержащий тупой угол, т.е. угол от $90°$ до $180°$. 

Виды треугольников по соотношению сторон:

1. Равносторонний (правильный) треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны и углы равны.

2. Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием. 

3. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого длины всех сторон разные. 

Медиана, биссектриса, высота

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$, эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. 

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. 

Основные свойства треугольников:

  1. Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
  4. В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. 
  1. $MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
  2. $MN‖AC, MN={AC}/{2}$
  3. Площадь треугольника:
  1. $S={a∙h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
  2. $S={a∙b∙sin⁡α}/{2}, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
  4. $S=p∙r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
  5. $S={a∙b∙c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
  6. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
  7. В прямоугольном треугольнике $S={a∙b}/{2}$, где $а,b$ — катеты.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. 

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
  3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
  4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
  5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$. (Рис.14)
  6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. (Рис.14)

Один острый угол прямоугольного треугольника на $44°$ больше другого острого угла. Найдите больший острый угол.

  • Решение:
  • В прямоугольном треугольнике $АВС$ $∠А$ и $∠В$ – острые.
  • Пусть $∠ А – х$, тогда $∠ В — (х+44)$.
  • Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  • На основании этого правила, составим и решим уравнение:
  • $х+х+44=90$
  • $2х+44=90$
  • $2х=90-44$
  • $2х=46$
  • $х=23$
  • Угол $В$ больший в этом треугольнике, через $«х»$ он записывался как, $х+44$, следовательно, $∠В=23+44=67°$.
  • Ответ: $67$
  1. Теорема Пифагора
  2. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. 
  3. $АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

  • В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 
  • Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
  • Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
  1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

  3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

  5. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2x+cos^2x=1$
  6. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  7. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

  8. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$
  1. В треугольнике $АВС$ угол $С$ прямой, гипотенуза равна $39, cos⁡B={5}/{13}$.
  2. Найдите $АС$.
  3. Решение:

Так как нам известен cos угла $В$, то распишем его по определению: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В треугольнике $АВС, АВ$ — гипотенуза, которая равна $39$. $CB$ – прилежащий катет к углу $В$.

  • $cos⁡B={CB}/{AB}={CB}/{39}={5}/{13}$
  • Из последних двух равенств получаем пропорцию:
  • ${CB}/{39}={5}/{13}$
  • Для нахождения $CВ$ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:
  • $13∙СВ=5∙39$
  • Поделим обе части на $13$
  • $СВ={5∙39}/{13}={5∙3}/{1}=15$
  • Катет $АС$ найдем по теореме Пифагора.
  • В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
  • $АС^2+ВС^2=АВ^2$
  • $АС^2+15^2=39^2$
  • $АС^2=39^2-15^2=(39-15)(39+15)=24∙54=1296$
  • $АС=36$
  • Ответ: $36$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/treugolnik

Ссылка на основную публикацию