Алгебраическая форма комплексного числа

a — действительная часть комплексного числа,

b — мнимая часть комплексного числа;

Сопряжённые комплексные числа: и .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа

• Показательная форма комплексного числа
• .
• Формула Эйлера: .
• Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме
• ,
• ,
• ,
• где .
• Формула Муавра: .

Тема 5. Введение в анализ

1. Функции. Общие свойства
2. Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
3. Аналитическое представление функции:
4. в явном виде: ;
5. в неявном виде: ;
6. в параметрической форме: ;
7. разными формулами в области определения (a,c]: .
8. Четная функция: .
9. Нечетная функция: .
10. Периодическая функция: , где T – период функции, .
11. Основные элементарные функции

Название	Формула	Частные случаи
Постоянная
Степенная функция	; ; ; ;
Показательная функция
Логарифмическая функция	;
Тригонометрические функции	; ; ; .
Обратные тригонометрические функции	; ; ;

Графики основных элементарных функций:

Парабола	Гипербола
График показательной функции	График логарифмической фунгкции
Синусоида и косинусоида

• Теория пределов
• Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .
• Обозначение: .
• Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

1. Обозначение: .
2. Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .
3. Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .
4. Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .
5. Первый замечательный предел: .
6. Следствия: ; ;
7. Второй замечательный предел: , где e=2,71828…
8. Следствия: ; ; ; .
9. Эквивалентные бесконечно малые величиныпри :
10. x ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ex-1 ~ ln(1+x).
11. Виды неопределенностей:

Символическое обозначение	Содержание неопределенности	Пределы компонент при x ® a
a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
a (x) ® 0 b (x) ® ¥
b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
g (x) ® 1 b (x) ® ¥
a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
a (x) ® 0 b (x) ® ¥

• Непрерывность функции
• Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.
• Эквивалентные условия:

1. ;
2. , где ;
3. ;
4. .

1. Классификация точек разрыва:
2. разрыв I рода:
3. — устранимый – односторонние пределы существуют и равны;
4. — неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;
5. разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

Тема 6. Дифференциальное исчисление

назад | оглавление | вперёд

• Определение производной
• Пусть — определена и непрерывна в окрестности x0
• Производная функции в точке x0 и ее обозначения:
• Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Линейная комбинация двух функций Частные случаи: a)умножение на постоянный множитель б)сумма (разность) двух функций
Произведение а) двух функций б) трех функций
Частное двух функций
Сложная функция	y=F(u), u=j (x)
Обратная функция
Параметрическое задание функции
Логарифмическое дифференцирование

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
константа
степенная функция   частные случаи
показательная функция частный случай
логарифмическая функция   частный случай
тригонометрические функции	; ; ; ;
обратные тригонометрические функции	; ; ;

Гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

Обратные гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

Графики гиперболических функций:



Источник: https://infopedia.su/10x967a.html

Примеры решений комплексных чисел + калькулятор — Help for engineer | Cхемы, принцип действия, формулы и расчет

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D

Обозначение мнимой единицы предложил Эйлер, он взял первую букву латинского слова «imaginarius», что в переводе означает «мнимый». Мнимая единица равна корню квадратному из минус одного:

А при возведении мнимой единицы в квадрат, применив элементарные математические операции, мы получим -1:

Существуют три различных формы записи комплексных чисел:

— алгебраическая; — показательная;

Алгебраическая форма комплексного числа состоит из действительных, вещественных значений (a, b) и i – мнимой единицы. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид a+bi, где a– действительная и bi – мнимая части.

Рисунок 1 – Построение комплексного числа на плоскости (в системе координат).

На вышеприведенном рисунке изображена комплексная плоскость, которую создают оси:

— действительная ось Re (real); — мнимая ось Im (imaginarius).

В качестве примера на плоскости уже построено комплексное число 5+3i. По действительной оси было отложено a=5, и по мнимой b=3. Поднимем перпендикуляры с осей. Соединим образовавшуюся точку пересечения с нулем.

Таким образом, мы получим радиус-вектор. Модуль комплексного числа (|z|) – это длина полученного радиус-вектора, или, другими словами, это расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.

Рассчитывается модуль комплексного числа по формуле:

На рисунке 1 вектор z образовывает с действительной осью угол — аргумент комплексного числа, который легко находится:

Значения a и b можно выразить через радиус-вектор и угол фи (прямоугольный треугольник с углом φ, прилегающим катетом a, гипотенузой |z|):

Тогда, подставив полученные значения в алгебраическую форму, мы выведем следующую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа была выражена из алгебраической и имеет вид:

Я думаю, Вам уже стало понятно, что любое комплексное число можно преобразовать в любую из трех форм. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа имеет следующее равенство с алгебраической:

Комплексные числа являются равными, только если у них равны и действительные, и мнимые части.

Онлайн калькулятор комплексных чисел

Программа для электротехнических расчетов

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

— сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел; — перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот; — возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков; — задание угла как в градусах, так и в радианах; — предусмотрено использование переменных;

— построение векторных диаграммм;

— вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета. Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со «Справкой», которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в х или обращайтесь непосредственно разработчику. Скачать программу | 467 Кб

Математические действия над комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.

Сложение сопряженных чисел:

Умножение комплексно-сопряженных:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Как считать комплексные числа на инженерном калькуляторе?

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

(красным цветом помечены результаты, которые выведутся на дисплей калькулятора)

2. Перевод 4e-i7° в алгебраическую форму:

3. И в завершение выполним умножение (5+3i)∙(2-4i):

Кнопка калькулятора 2ndf — «secondfunction» (вторая функция):

— переводит в показательную форму; — в алгебраическую.

Недостаточно прав для комментирования

Источник: https://h4e.ru/obshchie-svedeniya/145-primery-reshenij-kompleksnykh-chisel-kalkulyator

Алгебраическая форма комплексного числа

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $i$ — «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

• вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
• мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Замечание 1

В обозначениях действительной и мнимой частей любое комплексное число $z$ можно записать в виде $z=Rez+Imzcdot i$.

Замечание 2

При $Rez=a=0$ получаем чисто мнимое комплексное число $z=0+bi=bi$.

При $Imz=b=0$ получаем действительное число $z=a+0i=a$.

Определение 3

Комплексное число вида $z=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Замечание 3

Комплексно-сопряженное число вида $z=a-bi$ часто приводят к алгебраической форме записи $z=a+(-b)i$, однако при решении задач допускается и запись $z=a-bi$.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=2-3i$; 2) $z=3cdot (2+3i)$.

• Решение:
• Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
• Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом [z=2+(-3)i.]
• 2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
  [z=3cdot (2+3i)=3cdot 2+3cdot 3i=6+9i]
• Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом [z=6+9i.]

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=2,b=-3$.

Пример 2

Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых:

[1) Rez=0,Imz=5; 2) Rez=4,Imz=0; 3) Rez=10,Imz=sqrt{3} ; 4) Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} .]

1. Решение:
2. Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$, где $Rez=a$ и $Imz=b$.
3. Для $Rez=0,Imz=5$ получаем комплексное число $z=0+5i$.
4. Для $Rez=4,Imz=0$ получаем комплексное число $z=4+0i$.
5. Для $Rez=10,Imz=sqrt{3} $ получаем комплексное число $z=10+sqrt{3} i$.
6. Для $Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} $ получаем комплексное число $z=frac{sqrt{2} }{2} +left(-frac{sqrt{2} }{2}
   ight)i$.

Пример 3

Представить комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z=frac{3-2i}{sqrt{2} } $.

• Решение:
• Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
• [z=frac{3-2i}{sqrt{2} } =frac{3}{sqrt{2} } -frac{2}{sqrt{2} } i=frac{3sqrt{2} }{2} -sqrt{2} i=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i.]
• Следовательно, $z=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i$ — искомая запись комплексного числа.

Определение 4

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac{b}{a} $.

Алгоритм 1

1. Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:
2. подставить в запись числа соответствующие значения для $cos varphi $ и $sin varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
3. преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

[1) z=3cdot (cos 2pi +isin 2pi ); 2) z=frac{1}{sqrt{2} } cdot (cos frac{pi }{4} +isin frac{pi }{4} ).]

• Решение:
• Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
• 1) По таблице косинусов и синусов $cos 2pi =1;sin 2pi =0$.
• Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: [z=3cdot left(1+0i
  ight)=3+0cdot i.]
• Следовательно, $z=3+0cdot i$ — искомая запись комплексного числа.
• 2) По таблице косинусов и синусов $cos frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} ;sin frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} $.
• Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
• [z=frac{1}{sqrt{2} } cdot left(frac{sqrt{2} }{2} +ifrac{sqrt{2} }{2}
  ight)=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i.]
• Следовательно, $z=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

Определение 5

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot e^{ivarphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac{b}{a} $.

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

• записать комплексное число в тригонометрической форме;
• подставить в запись числа соответствующие значения для $cos varphi $ и $sin varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
• преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 5

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1)$z=3cdot e^{frac{pi }{3} cdot i}$ ; 2) $z=6cdot e^{pi cdot i}$.

1. Решение:
2. Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
3. 1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3cdot (cos frac{pi }{3} +isin frac{pi }{3} )$.
4. По таблице косинусов и синусов $cos frac{pi }{3} =frac{1}{2} ;sin frac{pi }{3} =frac{sqrt{3} }{2} $.
5. Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
6. [z=3cdot left(frac{1}{2} +ifrac{sqrt{3} }{2}
   ight)=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i.]
7. Следовательно, $z=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i$ — искомая запись комплексного числа.
8. 2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6cdot (cos pi +isin pi )$.
9. По таблице косинусов и синусов $cos pi =-1;sin pi =0$.
10. Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
11. [z=3cdot left(-1+0cdot i
    ight)=-1+0cdot i.]
12. Следовательно, $z=-1+0cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

Вывод

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в алгебраической форме записи $z=a+bi$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/algebraicheskaya_forma_kompleksnogo_chisla/

Алгебраическая форма записи комплексного числа

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ
• Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа ( z ) в виде ( z=x+i y ), где ( x ) и ( y ) — вещественные числа, ( i ) — мнимая единица, удовлетворяющая соотношению ( i^{2}=-1 )
• Число ( x ) называется вещественной частью комплексного числа ( z ) и обозначается ( x=operatorname{Re} z )
• Число ( y ) называется мнимой частью комплексного числа ( z ) и обозначается ( y=operatorname{Im} z )
• Например:
• Комплексное число ( z=3-2 i ) и его присоединенное число ( overline{z}=3+2 i )записаны в алгебраической форме.
• Мнимая величина ( z=5 i )записывается в алгебраической форме.
• Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.
• ПРИМЕР

Задача

Напишите число ( z=frac{7-i}{4}+13 ) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.

Решение.

1. Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:
2. ( z=frac{7-i}{4}+13=frac{7}{4}+13-frac{i}{4}=frac{59}{4}-frac{1}{4} i )
3. Поэтому вещественная часть комплексного числа ( z=frac{5 g}{4}-frac{1}{4} i ) есть число ( x=operatorname{Re} z=frac{59}{4}
   ) , мнимая часть — число ( y=operatorname{Im} z=-frac{1}{4} )
4. Сопряженное число: ( overline{z}=frac{59}{4}+frac{1}{4} i )

Ответ

( z=frac{59}{4}-frac{1}{4} i ), ( operatorname{Re} z=frac{59}{4} ), ( operatorname{Im} z=-frac{1}{4} ), ( overline{z}=frac{59}{4}+frac{1}{4} i )

Действия комплексных чисел в алгебраической форме
сравнение

Два комплексных числа ( z_{1}=x_{1}+i y_{1} ) называются равными, если ( x_{1}=x_{2} ), ( y_{1}=y_{2} ) т. e. Их действительная и мнимая части равны.

ПРИМЕР

Задача

Определить, для каких х и у два комплексных числа ( z_{1}=13+y i ) и ( z_{2}=x+5 i ) равны.

Решение

По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. ( x=13 ), ( y=5 ).

Ответ ( x=13 ), ( y=5 )

• прибавление
• Добавление комплексных чисел ( z_{1}=x_{1}+i y_{1} ) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:
• ( z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=left(x_{1}+x_{2}
  ight)+ileft(y_{1}+y_{2}
  ight) )
• ПРИМЕР

Задача

Найти сумму комплексных чисел ( z_{1}=-7+5 i ), ( z_{2}=13-4 i )

Решение.

Действительной частью комплексного числа ( z_{1}=-7+5 i ) является число ( x_{1}=operatorname{Re} z_{1}=-7 ) , мнимая часть — число ( y_{1}=mathrm{Im} ), ( z_{1}=5 ) . Реальная и мнимая части комплексного числа ( z_{2}=13-4 i ) равны соответственно ( x_{2}=operatorname{Re} z_{2}=13 ) и ( y_{2}=operatorname{Im} z_{2}=-4 ) .

1. Следовательно, сумма комплексных чисел:
2. ( z_{1}+z_{2}=left(x_{1}+x_{2}
   ight)+ileft(y_{1}+y_{2}
   ight)=(-7+13)+i(5-4)=6+i )

Ответ

• ( z_{1}+z_{2}=6+i )
• Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.
• Вычитание
• Вычитание комплексных чисел ( z_{1}=x_{1}+i y_{1} ) и ( z_{2}=x_{2}+i y_{2} ) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:
• ( z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-left(x_{2}+i y_{2}
  ight)=x_{1}-x_{2}+left(i y_{1}-i y_{2}
  ight)=left(x_{1}-x_{2}
  ight)+ileft(y_{1}-y_{2}
  ight) )
• ПРИМЕР

Задача

найти разницу сложных чисел ( z_{1}=17-35 i ), ( z_{2}=15+5 i )

Решение.

1. Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел ( z_{1}=17-35 i ), ( z_{2}=15+5 i ) :
2. ( x_{1}=operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=operatorname{Re} z_{2}=15 )
3. ( y_{1}=operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=operatorname{Im} z_{2}=5 )
4. Поэтому разница комплексных чисел:
5. ( z_{1}-z_{2}=left(x_{1}-x_{2}
   ight)+ileft(y_{1}-y_{2}
   ight)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i )

Ответ

• ( z_{1}-z_{2}=2-40 i )
  умножение
• Умножение комплексных чисел ( z_{1}=x_{1}+i y_{1} ) и ( z_{2}=x_{2}+i y_{2} )выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы ( i^{2}=-1 ) :
• ( z_{1} cdot z_{2}=left(x_{1}+i y_{1}
  ight) cdotleft(x_{2}+i y_{2}
  ight)=x_{1} cdot x_{2}+i^{2} cdot y_{1} cdot y_{2}+left(x_{1} cdot i y_{2}+x_{2} cdot i y_{1}
  ight)= )
• ( =left(x_{1} cdot x_{2}-y_{1} cdot y_{2}
  ight)+ileft(x_{1} cdot y_{2}+x_{2} cdot y_{1}
  ight) )
• ПРИМЕР

Задача

Найти произведение комплексных чисел ( z_{1}=1-5 i )

Решение.

1. Комплекс комплексных чисел:
2. ( z_{1} cdot z_{2}=left(x_{1} cdot x_{2}-y_{1} cdot y_{2}
   ight)+ileft(x_{1} cdot y_{2}+x_{2} cdot y_{1}
   ight)=(1 cdot 5-(-5) cdot 2)+i(1 cdot 2+(-5) cdot 5)=15-23 i )

Ответ

• ( z_{1} cdot z_{2}=15-23 i )
  разделение
• Фактор комплексных чисел ( z_{1}=x_{1}+i y_{1} ) и ( z_{2}=x_{2}+i y_{2} ) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
• ( frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=frac{left(x_{1}+i y_{1}
  ight)left(x_{2}-i y_{2}
  ight)}{left(x_{2}+i y_{2}
  ight)left(x_{2}-i y_{2}
  ight)}=frac{x_{1} cdot x_{2}+y_{1} cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i frac{x_{2} cdot y_{1}-x_{1} cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} )
• ПРИМЕР

Задача

Чтобы разделить число 1 на комплексное число ( z=1+2 i ).

Решение.

1. Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:
2. ( frac{1}{1+2 i}=frac{1 cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i frac{1 cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=frac{1}{5}-i frac{2}{5} )

Ответ

( frac{1}{1+2 i}=frac{1}{5}-i frac{2}{5} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/algebraicheskaya-forma-zapisi-kompleksnogo-chisla/

Комплексные числа

Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица — число, для которого выполняется равенство: i2=-1.

Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:

• XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. 1
• XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. 2
• XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. 3
• XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 4

Известно три способа записи комплексного числа z:

Алгебраическая запись комплексного числа

Тригонометрическая запись комплексного числа

, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ — угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

В тригонометрической форме

Главный аргумент (радианы)

Главный аргумент (градусы)

Главный аргумент вычисляется как арктангенс двух аргументов мнимой и действительной части комплексного числа:

• , см Арктангенс с двумя аргументами
• Над комплексным числом возможны все алгебраические операции:

ОперацияСложить
Вычесть
Умножить
Поделить
Возвести в степень
Извлечь корень
Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сложение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел

1. Формулу деления комплексных чисел проще всего вывести, путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число, для того, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:

   Сопряженное комплексное число, это число вида:

Раскрывая скобки получаем:

Возведение в целую степень

• Проще всего комплексное число возводить в степень используя показательную форму:

  формула вытекает из формулы Муавра:

Вычисление корня степени n

Из формулы Муавра вытекает решение для корней степени n из комплексного числа:
,
всего получается n корней, где k = 0..n-1 — целое число, определяющее индекс корня. Корни располагаются на комплексной плоскости, как вершины правильного многоугольника.

Источник: https://planetcalc.ru/7935/

Калькулятор комлексных чисел | Вычисление выражений, содержащих комплексные числа

• Главная

• /
• Калькуляторы

• /
• Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

• 7
• 8
• 9
• +
• —
• *
• /
• ^
• 4
• 5
• 6
• i
• (
• )
• π
• e
• 1
• 2
• 3
• sin
• cos
• tg
• ctg
• ln
• .
• √
• sh
• ch
• th
• cth
• abs

Скрыть клавиатуру

Вычислено выражений: 130269

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1).

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление: = = + i

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i

Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

1. Найти разность чисел 12-i и -2i:
   Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
   Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
2. Полученное число и будет ответом:12-i — (-2i) = 12 + i
3. Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
   Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
   Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
4. Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i
5. Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
   Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
   Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
6. Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a2 + b2)
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

• Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
  Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
  Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
• |z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
• Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
• Запишем результат в показательной форме: √2·eπi/4

Источник: https://programforyou.ru/calculators/complex-calculator

Представление комплексных чисел

Продолжение 3. Полный список темы:

1. Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, вещественные числа. Что дальше? 2. Существуют ли числа размерности 2? 3. Представления комплексных чисел (размерности 2). 4. Составные числа размерностью 3 (три). 5.

Гиперкомплексные числа размерностью 4 (четыре). 6. Гиперчисла размерности 5 (пять). 7. Гиперчисла порядков 6 и 7. 8. Гиперболические числа размерности 8. 9. Гиперкомплексные числа размерности 8. 10. Гиперчисла размерности 9. 11.

Гиперчисла порядка 10.

Эта статья и несколько предыдущих и последующих посвящены изучению составных нестандартных гиперкомплексных чисел размерностью более одного

q = {1, i₁, i ₂ , …, in }

1) in² Î {±1,0} – квадрат мнимой единицы равен -1, 0 или +1;

2) in×im Î{ ik, 0} – произведение двух разных мнимых единиц равно третьему мнимому числу со знаками +, – или нулю.

(Прошу извинения за некоторые не совсем верные записи верхних и нижних индексов при параметрах — это является особенностью редактора ZEN. Индексы (и степени) обычно записываются символами n, m, k, iφ, … (по контексту и другие). Возведение в степень 2 может быть записан как a^2 что эквивалентно a², для индекса такой способ не красив).

1. Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, вещественные числа. Что дальше?

2. Существуют ли числа размерности 2?

Сопряжение и модуль

• В предыдущей статье уже использовалось понятие «сопряжение» и «модуль» комплексного числа при введении понятия частного двух комплексных чисел и обратного числа. Для комплексных чисел определены операция сопряжения и получение модуля числа:
• a = (a₁, a₂) → a* = (a₁, –a₂),
• которая одновременно является и алгебраическим и скалярным сопряжением и обладает свойствами:
• 1) сумма и произведение сопряженных чисел дает действительное число;
• 2) произведение сопряженных чисел называется квадратом модуля.
• Модуль существует для любого комплексного числа:

Модуь комплексного числа

1. Обратите внимание в этих формулах на элемент i²: для каждого из трех видов комплексных чисел (зллиптических, двойных, дуальных) здесь и далее оно имеет свое значение.
2. Модуль гиперкомплексного числа обладает свойством мультипликативности — модуль произведения чисел равен произведению их модулей:
3. |pq| = |p||q|.

В естественно-бытовом понимании и «модуль» комплексного числа представляет длину «вектора», представляющего это число. А естественно-бытовое понимание сопряжения заключается в зеркальном отражении вектора, представляющего комплексное числа, относительно вещественной оси. При таком отражении их произведение дает квадрат «длины» числа.

• Представления комплексного числа
• Только что выше при определении понятий сопряжения и модуля числа была использована векторная форма представления числа:
• a = (a₁, a₂)
• Комплексное число можно представить и в алгебраической форме:
• a = a₁ + ia₂.

Комплексные числа можно представить и в матричной форме. Во множестве матриц 2×2 гиперкомплексные числа составляют некоторую группу, представленную как две диагонали с определенной симметрией. Это соответствие определяется соотношением:

Матричное представление комплексного числа

причем сложению будет соответствовать сложение матриц, умножению – матричное умножение.

Правомерность такой замены Вы можете проверить сами, подставив вместо чисел a и b, например, единицы или нули.

К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Используя это уравнение, гиперкомплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах (см. далее). Можно считать, что это разновидность алгебраической формы гиперкомплексных чисел. Для этого используется аналог уравнения Эйлера:

Экспоненциальная функция для определения комплексного числа в экспоненциальной форме

Рассмотрим их по отдельности.

Векторное представление

1. основывается на векторной форме
2. a = (a₁, a₂).
3. Сложение двух чисел в этом формате не отличается от такого же во множестве векторов
4. (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂).

5. Умножение двух комплексных чисел производится по формулам
6. (a₁, ia₂) ∙ (b₁, ib₂) = (a₁b₁ + i²a₂b₂, i(a₁b₂ + a₂b₁)).

Но у этого метода есть некоторый недостаток. В такой записи комплексное число можно спутать с двухмерным вектором.

Как следствие, геометрически гиперкомплексное число можно представить точкой на двумерной плоскости – аналога векторного пространства.

Алгебраические представления комплексного числа

• Комплексное число можно представить в алгебраической форме:
• a = a₁ + ia₂,
• Комплексное число можно представить и в векторном виде:
• a = (a₁, a₂).
• Сложение и вычитание происходит по законам сложения векторов покомпонентно:
• (a₁ + ia₂) + (b₁ + ib₂) = (a₁ + b₁) + i(a₂ + b₂).
• Умножение двух чисел происходит по «дистрибутивному» закону:
• (a₁ + ia₂) ∙ (b₁ + ib₂) = (a₁b₁ + i²a₂b₂ + i(a₁b₂ + a₂b₁)).

Матричное представления комплексного числа

Комплексные числа можно представить в матричной форме. Во множестве матриц 2×2 комплексные числа составляют некоторую группу, представленную как две диагонали с определенной симметрией. Это соответствие определяется соотношением:

Матричное представление комплексного числа

причем сложению будет соответствовать сложение матриц, умножению – матричное умножение.

Как видно, матрица двумерного комплексного числа состоит из четырех элементов, а само число состоит всего лишь два числа.

1) Сложение двух чисел:

Пример сложения двух комплексных чисел

2) Умножение двух чисел (по правилам матричного умножения):

Пример умножения двух комплексных чисел

Хочу еще раз напомнить: не каждая матрица может представлять комплексное число, а только некоторые из них, удовлетворяющие определенному условию.

Геометрическое представление комплексного числа

Геометрически комплексные числа дают сложение векторов и их вращение на 2–мерной плоскости. В связи с этим имеются и другие понятия. Это модуль числа:

Модуль комплексного числа

1. и аргумент числа φ:
2. φ = arctan(a1/a2).
3. Эти параметры являются аргументами экспоненциального представления комплексного числа (см. далее):
4. a = re^iφ
5. При этом:
6. a₁ = r · cos φ;
7. a₂ = r · sin φ

Геометрически параметры a₁ и a₂ комплексного числа дают координаты вектора, представляющего число на плоскости, модуль |a| дает длину этого вектора, а аргумент φ – угол поворота этого вектора относительно оси, представляемого параметром a₁ (см. рис.). На этом рисунке также дано геометрическое (векторное) представление сложения и умножения комплексных чисел a' и a'':

Рис. 1. Геометрическое представление комплексного числа.

Экспоненциальное и тригонометрическое представления комплексного числа. Формула Эйлера

Комплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах. Она строится на основе формул предыдущей части.

• Для комплексных чисел широко известна формула Эйлера, представляющая собой операцию возведения действительного числа в комплексную степень. Это представление можно назвать экспоненциальным:
• e^(a + iφ) = ea · [cos(φ) + i·sin(φ)].
• Если a = 0, то умножение комплексного числа на такое число эквивалентно пространственному повороту на угол φ:
• e^(iφ) · (a + ib) = (cos(φ) + i · sin(φ)) · (a + ib) =
• = (cos(φ) · a — sin(φ) · b) + i · (sin(φ) · a + cos(φ) · b).
• То, что представление комплексных чисел при возведении в степень тригонометрично, широко применяется в интегральном и дифференциальном исчислении в теме «конформные отображения».

Послесловие

Именно формы представления комплексного числа определяют сферу ее применения в науке и практике. Бытового применения они, конечно, вряд ли предполагают. Но в науке, технике возможности их применения огромные.

Например, в электротехнике переменного тока сопротивления конденсаторов и индуктивностей (в быту – трансформаторов, катушек) определяются именно комплексными числами. В программировании многие объекты удобно представлять в виде комплексных чисел и пользоваться хорошо разработанными пакетами программ для манипулирования ими.

Везде, где возможно использование экспоненциальных и тригонометрических функции, возможно использование комплексных чисел.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9/5e207ee216ef9000ae911174

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Рассмотрим
уравнение:

,
тогда

• Добавив
  ко всем действительным
  числам числа мнимые, получим множество
  комплексных чисел K.
  
• Определение.
  Числа
  вида (где–действительная
  часть;
• –мнимая
  часть; – мнимая единица), называютсякомплексными.

1. Геометрическое
   изображение
2. Ось
   OX
   – действительная ось
3. Ось
   OY
   – мнимая ось
4. Комплексная
   плоскость

RealZ
= a–
действительная часть

ImaginaryZ
= b–
мнимая часть

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1)
Сумма (разность) комплексных
чисел

;

2)
Произведение
комплексных
чисел

3)
Деление комплексных чисел

Для
того чтобы выполнить деление комплексных
чисел, надо числитель и знаменатель
умножить на комплексное число, сопряженное
знаменателю:

Следовательно,

Пример:

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел.

,
следовательно

–
тригонометрическая
форма комплексного числа.

Пример:

a
= 1;

b
= – 1;

φϵIVчетверти.
Тогда

Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме.

Пусть
даны два комплексных числа:

Тогда
получим:

• Примеры:
• а)
  Пусть
• z₁
  = 3 ∙ (cos
  20° + isin
  20°);
• z₂
  = 2 ∙ (cos 35° + i
  sin
  35°),
• тогда
• z₁·
  z₂
  = 6 ∙ (cos 55° + i
  sin 55°).
• б)
  Перемножить три комплексных числа:
• 2∙(cos
  150° + i
  sin 150°), 3∙[cos (‒160°) + i
  sin (‒160°)] и
  0,5∙(cos 10° + i
  sin
  10°).
• Решение:
  Модуль произведения 2 · 3 · 0,5 = 3.
• Аргумент
  произведения 150° ‒ 160° + 10° = 0°.
• Произведение
  равно 3 ∙ (cos 0° + i sin 0°).
• Показательная форма записи комплексных
  чисел.
• Воспользуемся
  тождеством Эйлера:
• ,
  ()

.

Следовательно,

1. –
   показательная
   форма комплексного числа.
2. Действия над комплексными числами в
   показательной форме.
3. Пусть
   даны два комплексных числа:
4. ;
5. Тогда
   получим:

Пример:найти:

,
при k=
0; 1.

φϵIIчетверти.
Тогда ,

При
k=
0:

При
k=
1:

Источник: https://studfile.net/preview/6055013/page:14/