Дробно-рациональные неравенства и их решение

Пусть f(x)=0 числовая функция одной или нескольких переменных (аргументов).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Решить неравенство f(x) < 0 (f(x) > 0) (1) — это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции, при которых неравенство (1) справедливо.

Множество всех значении аргумента (аргументов) функции, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.

  • Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.
  •   Под множеством допустимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции f(x)=0.
  • Алгебраические неравенства.
  • Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
  • ax + b > 0, ax + b < 0 (ax + b>=0, ax + b 0, ax2 + bx + c < 0,
  •    ax2 + bx + c>= 0, ax2 + bx + c 0 в зависимости от значения своих коэффициентов a, b и c имеет решения:
  • при а > 0 и D = b2 – 4ac ≠0 , то х принадлежит интервалу
  • при а > 0 и D < 0 x – любое действительное число;
  • при а < 0 и D ≠0     x(( –х1 ; ;х1 ) );

при а < 0 и D < 0        x = ( (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (–1).

Метод интервалов.(основной метод)

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Строение атома кадмия (cd), схема и примеры

Оценим за полчаса!

Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

Дробно–рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства        Pn(x)/Qn(x) > 0   (5) где Рn(х) и Qm(х) (многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство Рn(х) ( Qm(x) > 0, эквивалентное неравенству (5).

  1. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
  2.       Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.
  3.       Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.
  4.       Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и у = g(x).

      Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.

Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Геометрический смысл модуля: – расстояние от точки 0 до точки  на числовой прямой.Модуль называют еще абсолютной величиной.

Аналитически его определяют так: Дробно-рациональные неравенства и их решение .

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно опустить и выражение, стоящее под знаком модуля, записать без изменения.Если под знаком модуля стоит отрицательное выражение, то знак опустив модуля, выражение, стоящее под знаком модуля, взять в скобки и перед ним поставить знак «минус».

Читайте также:  Валентность углерода (c), формулы и примеры

Основные свойства модуля:

1. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;   2. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;          3. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;              4. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;

5. Дробно-рациональные неравенства и их решение ; 6. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;          7. Дробно-рациональные неравенства и их решение ;           8. .

  • Используя геометрический смысл модуля и его определение получают способы решения уравнений с модулем.
  • I тип уравнений
  • , где число
  • 1) если , то решений нет;
  • 2) если , решаем уравнение ;
  • 3) если , решаем совокупность уравнений: .
  • II тип уравнений
  • (2), где некоторые выражения с переменной.Решать это уравнение можно несколькими способами:
  • 1–й способ – используя определение модуля:
  • 2–й способ – используя подход как к уравнениям Iтипа:
  • Замечание:1–й и 2–й способ в решении таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое неравенство  или  решается легче.
  • 3–й способ – метод интервалов:
  • 1) находим критические точки: ;
  • 2) наносим полученные значения на числовую ось ;
  • 3) определяем знаки  для каждого из полученных интервалов;
  • 4) рисуем кривую знаков;
  • 5) решаем уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) ОДЗ. Если это не вся числовая ось, учитываем сразу на рисунке после того как нарисовали кривую знаков.

III тип уравнений

Уравнения содержат несколько модулей: , (3), где .

1–й способ –можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

  1. 2–й способ – метод интервалов: рисуем столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении.
  2. IV тип уравнений , (4), где .
  3. 1–й способ –решаем совокупность уравнений: .
  4. 2–й способ – метод интервалов.
  5. 3–й способ –используя теорему равносильности: если обе части уравнения , где  при всех значениях  из области определения, возвести в одну и ту же натуральную степень , то получится уравнение , равносильное данному.Поэтому уравнение (4) равносильно уравнению: Далее используем свойство квадрата модуля:
  6. V тип уравненийЭто уравнения, решаемые заменой переменной. Например: , (5)

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 164;

Источник: https://studopedia.net/5_72352_ratsionalnie-neravenstva-i-metodi-ih-resheniya.html

Рациональные неравенства. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

  • Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.
  • Что такое рациональное выражение? Напомню:
  • Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
  • Например, такое рациональное неравенство:  
  • Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

  1. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.
  2. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.
  3. Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

  • Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».
  • Первый шаг у нас уже раньше встречался.
  • Где?
  • В рациональных уравнениях!
  • Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!
  • Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Пример 1

Решение:

Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель.

Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение  ; но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется.

Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать!

Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

Пример 2

Решение:

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Пример 3

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители.

Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

  1. Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:
  2. Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни   и  , у второго   и  .
  3. Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:
  4. Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:
  5. Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа   и   относительно  ,   и  .
  6. Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел» .

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Пример 4

  • Решение:
  • Ты уже попробовал привести к общему знаменателю?
  • Ужас, правда?
  • Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение  .
  • А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):
  • Тогда наше неравенство принимает вид:
  • Такое мы решать уже умеем:

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Не забываем вернуться к начальной переменной –  .

Для этого нужно переписать полученное решение для   в виде неравенств:

Дробно-рациональные неравенства и их решение

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

  1. Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов   и  .

  2. Стандартный вид рационального неравенства:  .
  3. Строгие рациональные неравенства:
  •  , тогда и только тогда, когда  ;
  •  , тогда и только тогда, когда  .

Нестрогие рациональные неравенства:

Алгоритм решения рациональных неравенств:

  1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде:  ;
  2. Раскладываем числитель ( ) и знаменатель ( ) на множители. Для этого решаем уравнения   и  ;
  3. Находим ОДЗ ( );
  4. Отмечаем на числовой оси нули числителя и нули знаменателя;
  5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный   из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
  7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое — все точки выколотые; если неравенство нестрогое — нули знаменателя — выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя — не выколотые точки.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-neravenstva-1

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

  1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

  1. Приравнять числитель дроби к нулю   f ( x ) = 0.  Найти нули числителя.
  1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g ( x ) = 0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

  1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .
  • Вне зависимости от знака неравенства при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.
  • Если знак неравенства строгий, при нанесении на ось x нули числителя выколотые .
  • Если знак неравенства нестрогий, при нанесении на ось x нули числителя жирные.
  1. Расставить знаки на интервалах.
  1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.
  1. Приравниваем числитель к нулю  f ( x ) = 0.

x − 1 = 0

x = 1 – это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

  1. Приравниваем знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

x + 3 = 0

x = − 3 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3   =   2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

  1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести неравенство к виду  f ( x ) g ( x ) ≤ 0.
  1. 3 ( x + 8 ) ≤ 5
  2. 3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0
  3. 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
  4. 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
  5. 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
  6. − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
  1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.
  • − 5 x − 37 = 0
  • − 5 x = 37
  • x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
Читайте также:  Физические и химические свойства спиртов

x = − 7,4 – ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

  1. Приравнять знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

x + 8 = 0

x = − 8 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.
  1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.

x 2 − 1 = 0

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1  – нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

  1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

  1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в х.

Источник: https://epmat.ru/drobno-racionalnye-neravenstva/

Решение целых и дробно рациональных неравенств

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств.

В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные).

После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1, 2, 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

  • x>4 x3+2·y≤5·(y−1)·(x2+1)2·xx-1≥1+11+3x+3·x2
  • А вот неравенство вида 5+x+14-x4 и  1-235-y>1×2-y2 являются дробно рациональными, а 0,5·x≤3·(2−5·y) и 1:x+3>0 – целыми.
    Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

    Как решать целые неравенства

    Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r(x) (x2−x) ·(x2+x).

  • Решение
  • Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.
  • (x2+1)2−3·x2−(x2−x)·(x2+x)>0x4+2·x2+1−3·x2−x4+x2>01>0
  • В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x, следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.
  • Ответ: любое действительно число.

Пример 3

  1. Условие: решите неравенство x+6+2·x3−2·x·(x2+x−5)>0.
  2. Решение
  3. Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0. Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:
  4. x+6+2·x3−2·x3−2·x2+10·x>0−2·x2+11·x+6>0.

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена −2·x2+11·x+6:

D=112-4·(-2)·6=169×1=-11+1692·-2, x2=-11-1692·-2×1=-0,5, x2=6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Дробно-рациональные неравенства и их решение

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак >. Нужный интервал равен (−0,5, 6), следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: (−0,5, 6).

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h(x), что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 4

  • Условие: вычислите (x2+2) ·(x+4) 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-tselyh-i-drobno-ratsionalnyh-neravenstv/

3.2.2. Рациональные неравенства

Рассмотрим выражение вида:

Дробно-рациональные неравенства и их решение (1)

(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x  4 все множители положительны.

При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель (x + 3) в чётной степени).

При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.

1

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом.

Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена).

После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ. 

Если правая и левая части данного неравенства являются дробно-рациональными функциями, то это неравенство называется рациональным.

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: (Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

  • то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.
  • то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак,

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь − в степени k – l.

Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова.

Следовательно, вывод о поведении дроби при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

  1. Привести неравенство к стандартному виду

  2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

  3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

  4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

  5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

Пример 2

Решить неравенство

Имеем Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:

2

Ответ. 

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.



Ссылка на гидра онион
ссылка на гидра онион
hydra2me.org

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter3/section2/paragraph2/theory.html

Ссылка на основную публикацию