Формула момента силы

Формула момента силы

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно другого объекта (оси, точки).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Формула момента силы

  • Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]
  • Аналогом момента силы является момент пары сил.
  • Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

  1. Момент определяется как произведение силы F на плечо h:
  2. Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

  3. Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:
  4. Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки дает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

  • Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.
  • Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.
  • Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

Формула момента силы

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (H3>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Формула момента силы

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Скорость движения в физике

Оценим за полчаса!

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Формула момента силы

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Формула момента силы

  1. Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.
  2. Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).
  3. Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Формула момента силы

Момент силы относительно точки A:

Сила расположена под углом к оси стержня

Формула момента силы

Момент силы относительно точки B:

MB=F×cos300×AB=F×cos300×3м

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Формула момента силы

Момент силы относительно точки B:

См. также:

  • Момент силы относительно точки
  • Момент силы относительно оси

Источник: https://isopromat.ru/teormeh/obzornyj-kurs/moment-sily

Момент силы: определения, единица измерения, примеры, относительно оси и точки

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело. 

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Формула момента силы

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Формула момента силыФормула момента силы

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Формула момента силыФормула момента силы

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0o или 180o. Каков эффект применения момента силы М?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Формула момента силы

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Формула момента силы

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

а следовательно

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Момент силы пример и решение задач относительно точки

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

  • а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1: M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м 
  • б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0: 
  • да направленная сила не может дать точке вращательное движение
  • c)    поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5: 
  • Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

M = 0 M = 0,5 r • F = 1Н • м. 

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ). Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p.

 Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz.

Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

  1. Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:
  2. Mz = Pyxo — Pxyo
  3. Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже. 

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью.

 Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс  символом O.

Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось). 

Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет: Mx = 0, My = 0, Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

Метка крутящего момента: плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке, 

минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

Источник: https://meanders.ru/moment-sily.shtml

Момент силы: формула

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции «момент силы». В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

Момент силы в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Формула момента силы

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть формула момента силы относительно оси записывается следующим образом:

M¯ = r¯ * F¯

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯.

Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90o. В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Формула момента силы

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием «рычага силы». Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F.

Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) — это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции «синус»).

Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

M = d * F

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует формула момента силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Формула момента силы

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов Mi¯, то есть:

M¯ = ∑i(Mi¯), где i — номер силы Fi

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII — начала XVIII века — француза Пьера Вариньона.

Она гласит: «Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке».

Математически теорему можно записать так:

∑i(Mi¯) = M¯ = d * ∑i(Fi¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Формула момента силы

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M — это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж).

На самом деле момент силы — это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M.

Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

A = M * θ

В этом выражении θ — это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад.

Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей.

Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Читайте также:  Цели и задачи курсовой работы

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название «момент импульса». Его можно вычислить, применяя формулу:

  • L = I * ω
  • Здесь I — это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω — угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.
  • Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:
  • M = I * α, где α = dω / dt — угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Ek = 1/2 * I * ω2

Далее приведем две задачи с решениями, где покажем, как пользоваться рассмотренными физическими формулами.

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Формула момента силы

  1. Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:
  2. P = F1 — F2 + F3 = 20 — 10 + 25 = 35 Н
  3. Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.
  4. Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:
  5. M1 — M2 + M3 = d * P = 7 * 20 — 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Формула момента силы

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω2/2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы — это кинетическая энергия диска. Вторая часть — это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

  • Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r2, вычисляем θ:
  • θ = m * r2 * ω2/(4 * μ * m * g) = r2 * ω2/(4 * μ *g) = 0,32 * 12/(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад
  • Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:
  • s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см
  • Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Источник: https://autogear.ru/article/427/827/moment-silyi-formula-momenta-silyi/

Определение и свойства момента силы

Формула момента силы

Определения момента силы относительно точки и оси. Определение плеча силы относительно точки. Формулировки и доказательства свойств момента силы. Выражение абсолютного значения момента в виде произведения плеча силы на модуль силы.

Момент силы относительно точки O – это векторное произведение вектора , проведенного из точки O в точку приложения силы A, на вектор силы : (1)   .

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O, то момент силы будет иметь следующие компоненты: (1.1)   ; (1.2)   ; (1.3)   . Здесь – координаты точки A в выбранной системе координат: . Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Определение плеча силы

Плечо силы относительно точки – это расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой определяется плечо. То есть плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

Свойства

  • Если точку приложения силы переместить вдоль линии ее действия, то момент, при таком перемещении, не изменится. Доказательство ⇓
  • Абсолютная величина момента силы относительно некоторой точки равна произведению абсолютного значения силы на плечо этой силы относительно выбранной точки. Доказательство ⇓
  • Момент относительно точки O, от силы, линия действия которой проходит через эту точку, равен нулю. Доказательство ⇓
  • Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке: . Доказательство ⇓

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке. При этом в качестве точки приложения суммы сил берется точка пересечения линий их действия.

Если векторная сумма сил равна нулю: , то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:

.

Доказательство ⇓

Момент силы является псевдовектором или, что то же самое, аксиальным вектором.

Это свойство следует из свойства векторного произведения. Поскольку векторы и являются истинными (или полярными) векторами, то их векторное произведение является псевдовектором. Это означает то, что мы можем определить только абсолютное значение и ось, вдоль которой направлено векторное произведение.

Само же направление по этой оси мы задаем произвольным образом, используя правило правого винта. То есть мы мысленно откладываем векторы и из одного центра. Затем поворачиваем ручку из положения в положение . В результате правый винт смещается в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой расположены векторы.

Это направление мы и берем за направление векторного произведения.

Но если бы мы определили направление по правилу левого винта, то векторное произведение было бы направлено в противоположную сторону. При этом никакого противоречия не возникает.

То есть фактически, аксиальные векторы могут иметь два взаимно противоположных направления. Чтобы не усложнять математические формулы, мы выбираем одно из них, применяя правило правого винта.

По этой причине, псевдовекторы нельзя геометрически складывать с истинными векторами. Но их можно перемножать, используя скалярное или векторное произведение.

Момент силы относительно оси

Определение

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Момент силы относительно оси – это проекция вектора момента силы относительно произвольной точки, принадлежащей этой оси, на направление оси.

Пусть – единичный вектор, направленный вдоль оси. И пусть O – произвольная точка, принадлежащая ей. Тогда момент силы относительно оси является скалярным произведением: . Такое определение возможно, поскольку для любых двух точек O и O′, принадлежащих оси, проекции моментов относительно этих точек на ось равны. Покажем это.

Воспользуемся векторным уравнением : ; . Умножим это уравнение скалярно на единичный вектор , направленный вдоль оси: . Поскольку вектор параллелен оси, то . Отсюда . То есть проекции моментов на ось, относительно точек O и O′, принадлежащих этой оси, равны.

Свойства

Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю. Доказательство ⇓

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю. Доказательство ⇓

Доказательство свойств

Перемещение точки приложения силы вдоль линии ее действия

Все свойства ⇑ Если точку приложения силы переместить вдоль линии действия силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Доказательство

Пусть сила приложена в точке A. Через точку A проведем прямую, параллельную вектору силы. Эта прямая является линией ее действия. Переместим точку A приложения силы в точку A′, принадлежащую линии действия. Тогда .

Вектор проведен через две точки линии действия. Поэтому его направление совпадает или противоположно направлению вектора силы . Тогда , где λ – параметр; .   , если точка A′ смещена относительно A в направлении вектора .

В противном случае .

Таким образом, вектор, проведенный из O в A′, имеет вид: . Найдем момент силы, приложенной в точке A′, применяя свойства векторного произведения: . Мы видим, что момент не изменился:

  1. .
  2. Свойство доказано.

Абсолютная величина момента силы

Все свойства ⇑ Абсолютная величина момента силы относительно некоторой точки равна произведению абсолютного значения силы на плечо этой силы относительно выбранной точки.

Доказательство

Формула момента силы Абсолютное значение момента M относительно точки O равно произведению силы F на ее плечо d = |OD|.

Пусть мы имеем силу , приложенную в точке A. Рассмотрим момент этой силы относительно некоторой точки O. Заметим, что точки O, A и вектор лежат в одной плоскости. Изобразим ее на рисунке. Через точку A, в направлении вектора проводим прямую AB. Эта прямая называется линией действия силы . Через точку O опустим перпендикуляр OD к линии действия.

И пусть D является точкой пересечения линии действия и перпендикуляра. Тогда – плечо силы относительно центра O. Обозначим его буквой . Воспользуемся предыдущим свойством ⇑, согласно которому точку приложения силы можно перемещать вдоль ее линии действия. Переместим ее в точку D. Момент силы: .

Поскольку векторы и перпендикулярны, то по свойству векторного произведения, абсолютное значение момента: , где – абсолютное значение силы.

Заметим, что вектор момента перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется по правилу правого винта. Если мы будем вращать винт, проходящий через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, в направлении силы F, то он будет перемещаться на нас. Поэтому вектор момента перпендикулярен плоскости рисунка и направлен на нас.

Свойство доказано.

Момент относительно точки от силы, проходящей через эту точку

Все свойства ⇑ Момент относительно точки O, от силы, линия действия которой проходит через эту точку, равен нулю.

Доказательство

Пусть линия действия силы проходит через точку O. Тогда плечо этой силы относительно O равно нулю: . Согласно предыдущему свойству ⇑, абсолютное значение момента силы относительно выбранной точки равно нулю: .

Свойство доказано.

Момент суммы сил, приложенных в одной точке

Все свойства ⇑ Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке: .

Доказательство

Пусть силы приложены в одной точке A. Пусть – векторная сумма этих сил. Находим момент относительно некоторой точки O от векторной суммы , приложенной в точке A. Для этого применяем свойства векторного произведения: .

Свойство доказано.

Момент системы сил, векторная сумма которых равна нулю

  • Все свойства ⇑ Если векторная сумма сил равна нулю: , то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
  • .

Доказательство

Пусть силы приложены в точках , соответственно. И пусть точки O и C обозначают два центра, относительно которых мы будем вычислять моменты. Тогда имеют место следующие векторные уравнения: . Используем их при вычислении суммы моментов относительно точки O: . Здесь мы воспользовались тем, что по условию,

  1. .
  2. Свойство доказано.

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось

Все свойства ⇑ Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.

Доказательство

В определении ⇑ указано, что момент силы относительно оси – это проекция вектора момента силы относительно произвольной точки, принадлежащей этой оси, на направление оси. В качестве такой точки возьмем точку пересечения линии действия силы с осью. Но, согласно доказанному выше ⇑, момент относительно этой точки равен нулю. Поэтому равна нулю и его проекция на эту ось.

Свойство доказано.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси

Все свойства ⇑ Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Доказательство

Пусть O – произвольная точка на оси. Рассмотрим момент силы относительно этой точки. Согласно определению: . Согласно свойству векторного произведения, вектор момента перпендикулярен вектору силы . Поскольку вектор силы параллелен оси, то вектор момента ей перпендикулярен. Поэтому проекция момента относительно точки O на ось равна нулю.

Свойство доказано.

Источник: https://1cov-edu.ru/mehanika/statika/moment-sily-opredelenie-i-svojstva/

Техническая механика

 Формула момента силы

Что же такое – момент силы? Следует сразу оговориться, что момент силы — понятие относительное, поскольку без указания того, относительно какой точки он рассматривается, понятие момента силы теряет смысл (не путать с моментом пары сил, о котором речь пойдет в следующих статьях).

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять более длинный ключ, то гайку можно завернуть значительно сильнее, прикладывая одинаковое усилие.

Из этого следует, что одной и той же силой можно выполнить различное по эффективности вращающее действие на какое-либо тело.

В этом и кроется понятие момента силы – это вращающее действие силы относительно какой-либо точки в пространстве.

Понятие момента силы относительно точки ввел гениальный итальянец Леонардо да Винчи (1452-1519), который известен потомкам не только, как великий художник, но и видный ученый своего времени.

Итак, по определению, момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо. Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b). Математически это определение можно представить в виде формулы:

  • М0(F) = Fh,     где h – плечо силы относительно точки 0.
  • Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента.
  • Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм).



Теперь можно оценить справедливость высказывания Архимеда относительно возможности перевернуть Землю — при определенном плече силы, которую способны развить человеческие мускулы, это сделать теоретически возможно, но рука Архимеда должна была описать путь длиной в сотни тысяч километров для того, чтобы сдвинуть земной шар на доли миллиметра, поскольку потребовался бы огромной длины рычаг. Как вы понимаете, практически осуществить подобный подвиг нереально даже для такого уважаемого гения, как Архимед.

Впрочем, бытующее утверждение о трудностях, связанных с перемещением Земли человеческой рукой не совсем безгрешны. Ведь мы, как обыватели, привыкли рассматривать Землю, как весомый предмет, забывая что она, будучи в космическом пространстве, обладает совсем другими весовыми категориями.

Поэтому справедливее будет рассматривать не расстояние, на которое мог бы сдвинуть земной шар Архимед, а ускорение, с которым он попытался бы сдвинуть планету со своего места, т. е. фактически — побороть силу инерции Земли, как тела.

И тогда ему не потребовался бы рычаг непомерной длины — прикладывая незначительную силу, сдвинуть Землю можно было бы и двухметровой палкой, но здесь уже возник бы вопрос о времени, в течении которого необходимо было давить на рычаг, чтобы побороть инертность земного шара (как вы понимаете, мускульная сила человека не способна придать планете существенного ускорения).

Опять же, возникает еще одна проблема — Архимеду потребовался бы надежный упор для ног, способный противостоять возмущению Земли на нахальную попытку Архимеда сдвинуть ее с места, а где его найти в открытом космосе?…

Читайте также:  Ароматические углеводороды. бензол

Осталось разобраться со знаками для момента силы, ведь он, как и сила, является векторной величиной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением своего вращающего действия. Формула момента силы При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке — отрицательным (см. рисунок a).

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент (см. рисунок a).

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю).

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо (см. рисунок с).

***

Плоская система пар сил



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/11-statika_moment/

1.3.1 Момент силы относительно оси вращения

  • Видеоурок 1: Вращающий момент
  • Видеоурок 2: Момент силы
  • Лекция: Момент силы
  • Момент силы (МС) — это векторная ФВ, которая определяется силой, приложенной к телу, на радиус-вектор, соединяющий ось вращения с точкой, к которой приложена сила.
  • Данная величина объясняет причины, по которым тело может вращаться вокруг оси.
  • Единицей измерения момента силы является [М] = 1 Н*м.
  • Величина момента силы зависит от модуля прикладываемой силы, а также от величины плеча, к которому данная сила была приложена относительно оси вращения.
  • Момент силы на примере поворачивания гаечного ключа:

Формула момента силы

Существует иное название у данной величины — вращающая сила. Иногда под моментом сил понимают действие пары сил, приводящее к вращению или наоборот равновесию.

Под парой сил можно понимать две параллельные силы, направленные в противоположные направления относительно оси, которые равны по величине. Самое короткое расстояние между парой сил называется плечом данной пары.

Для определения момента пары сил необходимо найти произведение одной из сил на плече пары.

Данный раздел физики имеет огромное применение даже в быту. Например, именно поэтому ручка на двери располагается не возле креплений, а со стороны свободной части. Этот принцип рассматривался многими детьми при катании на качелях.

  1. Направление момента силы
  2. Для определения направления данной физической величины не подойдут, известные нам правила проекции на ось. В данном случае следует запомнить:
  3. При вращении тела по часовой стрелке момент принимает положительное направление, в случае вращения против часовой стрелки — отрицательное.

Характеристика момента силы

Для характеристики момента силы следует знать следующие сведения о нем:

  • Величина момента по модулю.
  • В какой плоскости происходит поворот.
  • В каком направлении вращается тело.

Момент силы относительно оси

Данный момент можно определить для любой, приложенной силы, которая не совпадает с осью, не пересекает её или не является параллельной ей.

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/92-tema-131-moment-sily-otnositelno-osi-vrascheniya.html

Момент силы: правило и применение

Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага,  открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.

  • Было введено понятие момента сил. Момент силы – это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:
  • M=Fl,
  • где M – момент силы,F – сила,
  • l – плечо силы.
  • Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:
  • F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2

В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки.

Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы.

Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы.  Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения.

То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.

Применение правила моментов сил в различных ситуациях

Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой.

Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить.

Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.

Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.

За единицу момента силы принят ньютон на метр (1 Н/м). это момент силы 1 ньютон, имеющей плечо в 1 метр.

Нужна помощь в учебе?

Формула момента силы Предыдущая тема: Простые механизмы и их применение: рычаг, равновесие сил на рычаге
Следующая тема:   Рычаги в природе, быту и технике

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/moment-sily

Момент силы (школьная формулировка)

  • Момент силы — физическая величина, равная произведению силы на плечо силы.
  • Плечо силы — кратчайшее расстояние (перпендикуляр) между линией действия силы и точкой вращения тела.
  • Таким образом, формульно определим момент силы как:
  • где
    • — момент силы,
    • — сила, момент которой мы ищем,
    • — плечо силы.

Практическое применение момента силы необходимо в задачах, в которых тело НЕ участвует во вращательном движении.

Рис. 1. Момент сил

Проиллюстрируем способ поиска моментов сил, действующих на тело. Пусть на тело действуют три независимые силы (рис. 1). Тело представляет собой длинную балку, помещённую на неподвижную ось (в точке О), одним из размеров которых пренебречь нельзя.

Рис. 2. Момент сил. Линии действия сил

По определению (1), найдём моменты действующих сил, проиллюстрировав поиск плеча каждой силы рисунком. Проведём линии действия каждой из сил (зелёный цвет) (рис. 2).

Рис. 3. Момент сил. Плечо силы

Далее проведём плечо каждой силы. По определению, для поиска плеча силы достаточно провести перпендикуляр из точки вращения (О) на линию действия силы (рис. 3).

Тогда:

Таким образом, для нахождения момента силы необходимо решить геометрическую задачу (чаще всего с использованием теоремы Пифагора).

Вывод: поиск момента силы всегда происходит через определение (1). Иногда поиск плеча силы — геометрическая задача на теорему Пифагора.

Источник: https://www.abitur.by/fizika/teoreticheskie-osnovy-fiziki/moment-sily-shkolnaya-formulirovka/

Что такое крутящий момент и почему он важен (объяснение для неспециалиста)

Крутящий момент часто описывается как сила с которой вращается двигатель. Представьте себе крутящий момент (в контексте двигателя) как объем работы, которую двигатель производит за радиан (обороты). На самом деле крутящий момент измеряется в ньютон-метрах (Нм) -> сила * движение = энергия (работа).

Величина крутящего момента, создаваемая двигателем внутреннего сгорания, сильно варьируется в зависимости от текущей скорости вращения двигателя. Вот почему, как правило, технические характеристики транспортных средств дают (пиковый) крутящий момент коленчатого вала, а также обороты, при которых двигатель его достигает: 200Нм при 3000 оборотов/мин.

Простой пример для понимания крутящего момента — сравнение с фермером, работающим на поле:1. Число оборотов двигателя — это количество ударов мотыги, которые фермер может сделать за минуту.2.

Крутящий момент двигателя — с какой мощностью удар фермера падает на землю.Мощность двигателя — это комбинация и того и другого и представляет, сколько полей фермер может подготовить за определенное время.

Фермер может использовать очень маленькую мотыгу (низкий крутящий момент) и быть очень быстрым (высокие обороты), или наносить несколько (низкие обороты) очень мощных ударов (высокий крутящий момент). Количество подготовленных полей может быть одинаковым даже при очень разных значениях «крутящего момента».

В случае двигателя величина крутящего момента сама по себе совершенно бессмысленна, поскольку крутящий момент может быть умножен на передачу, например, описанный выше двигатель может быть приспособлен с отношением 1: 2 для получения 400Нм при 1500 оборотов/ мин. Делая меньше оборотов, двигатель сможет производить больше работы (энергии) за оборот. Но обратите внимание, что вся энергия, произведенная за тот же промежуток времени, постоянна.

Мощностьюназывается работа силы, совершаемая в единицу времени. Чтобы получить мощность двигателя при определенных оборотах, вы умножаете крутящий момент на число оборотов (рад/с):200Нм * 3000 оборотов/ мин = 62.84 кВт400Нм * 1500 оборотов/ мин = 62.84 кВт

Можете сами поэкспериментировать с расчетами тут

Вы видите, что мощность двигателей равна, поэтому оба могут выполнять одну и ту же работу за одно и то же время, даже если один из двигателей обладает в два раза большим крутящим моментом.

Оба могут ускорять объект определенной массы в одно за одно и то же время. Вот почему обычно ЛС (лошадиные силы) / кВт являются более значимым способом описания производительности двигателя. кВт — это 1000 Дж/с.

КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ = энергия на единицу вращения

МОЩНОСТЬ = энергия на единицу времени

Так почему крутящий момент важен? Он как раз и не важен:

Рассмотрим типичную машину (1500 кг), разгоняющуюся от 0 до 100 км/ч (28 м/с).Рассчитаем количество кинетической энергии, необходимой для ускорения машины, по знаменитой формуле 1/2???????? ^2 (V квадрат).0,5 ∗ 1500 кг ∗ (100 км/ч)^2 = 600000 ДжоулейРассмотрим оба двигателя, которые мы упоминали выше.

У них 62 кВт, но сильно отличающиеся значения крутящего момента.Оба двигателя разгонят автомобиль с 0 до 100 км / ч за:600 кДж / 62 кВт = 600000 Дж / 62000 Дж/сек.

= 10 секундТеоретически… На практике это будет несколько иначе, потому что, когда вы ведете автомобиль, вы не можете поддерживать двигатель на желаемой скорости, вам постоянно нужно переключать передачи, и при ускорении обороты двигателя будут расти.

Это означает, что для получения пикового ускорения вам нужно будет поддерживать двигатель около точки пиковой мощности, которая обычно отличается от точки пикового крутящего момента. Так крутящий момент имеет значение? Нет. В какой-то степени важна точка максимального крутящего момента (обороты / мин.

) по сравнению с общим доступным диапазоном оборотов. Например, сравните эти двигатели:- Большой турбодизель с максимальным крутящим моментом при 1250 об. / мин и 200 л.с. при 4000 об. / мин

— Мотоциклетный атмосферный газовый двигатель объемом 900 куб. см с максимальным крутящим моментом при 11000 об / мин и 200 л.с. при 13000 об. / мин

Второй двигатель будет иметь менее трети крутящего момента первого, но оба будут способны разгонять одну и ту же массу с одинаковой скоростью, тянуть одинаковый вес в гору, если он будет использоваться в точке максимальной мощности. Но первый двигатель будет иметь приличную мощность от 1500 об. / мин до 4000 об. / мин, то есть от 30% до 100% от доступного диапазона. Второй двигатель будет иметь приличную мощность только от 60% до 100% диапазона оборотов.

Первый двигатель тяжелый, но эффективный, он требует большой трансмиссии и тяжелого сцепления. Он идеально подходит для больших грузовиков или небольших судов, где важна эффективность и вес не имеет большого значения.

Второй двигатель неэффективный, но легкий, он может быть полезен для мотоциклов, небольших гоночных автомобилей или даже для небольших городских автомобилей.

Но это не имеет ничего общего с крутящим моментом само по себе, просто двигатели с низким крутящим моментом, как правило, более эффективны, чем быстрые двигатели с низким крутящим моментом.

Читайте про 4 мифа о крутящем моменте.

Важность трансмиссии и передаточных чисел:

При фиксированном передаточном числе и фиксированном соединении между коленчатым валом и шинами, крутящий момент колеса и, следовательно, ускорение будут пропорциональны крутящему моменту двигателя. В этом состоянии пиковое ускорение наступает, когда двигатель имеет пиковое значение крутящего момента.

Это может сбивать с толку, потому что то, что я сказал что максимальное ускорение наступает в точке максимальной мощности, а не в точке максимального крутящего момента.

Путаница возникает из-за того, что энергия, необходимая для ускорения транспортного средства на фиксированную величину, увеличивается со скоростью.

Запомните формулу:???????? = 1 / 2???????? ^2

термин V ^ 2 означает, что с увеличением скорости вам нужно все больше и больше энергии для ускорения.

Так почему это важно?Рассмотрим ситуацию с фиксированным передаточным числом 1: 1 и ускорением автомобиля во всем диапазоне оборотов.В точке максимального крутящего момента (скажем, 1000 об. / мин.

) транспортное средство будет подвергаться максимальному ускорению и будет двигаться с определенной скоростью V1.В точке максимальной мощности (скажем, 3000 об. / мин. — 30 км. / ч.) автомобиль будет подвергаться меньшему ускорению, но его скорость V2 будет намного выше.

Поскольку V2 > V1, мощность, необходимая для ускорения транспортного средства на определенную величину в V2, будет выше. Даже если при V2 ускорение будет ниже, увеличение кинетической энергии будет выше из-за более высокой мощности при 3000 об. / мин.

Для получения фиксированной величины ускорения при V1 = 1000 об. / мин., вам нужна мощность, пропорциональная: (игнорируем здесь единицы измерения)

10 ^ 2 = 100На V2 = 30 000 об. / мин. вам нужно:

30 ^ 2 = 900

Таким образом, чтобы получить такое же ускорение при 30 км. / ч., вам нужно в 9 раз больше энергии, чем при 10 км. / ч.!

Теперь представьте другой сценарий, в котором на V1 у вас будет более короткая передача, поэтому обороты двигателя будут 3000, даже если вы на скорости 1000 об. / мин..

В этом состоянии двигатель будет работать в точке максимальной мощности, крутящий момент на коленчатом валу будет ниже, но крутящий момент на колесе будет выше, поскольку теперь у вас есть отношение 3: 1, а крутящий момент двигателя умножается на 3.

В этом состоянии вы имеете максимально возможное ускорение, потому что двигатель передает кинетическую энергию на транспортное средство с максимально возможной скоростью.

Уф, кажется закончил ))Много текста, я понимаю. Но, как говорится, не море топит, а лужа.

Поставьте, пожалуйста, лайк — для вас не сложно, а нам это очень важно. И подписывайтесь на канал, спасибо!Больше полезных материалов на CAR.RU

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5afac35b2f578cbf92d406bc/5c60faf767c28b00ae4a0fec

Ссылка на основную публикацию