Кинетическое уравнение больцмана в физике

  • На данном уроке мы будем выводить основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ), которое связывает макропараметры газа с микропараметрами отдельных молекул.
  • Вспомним основные сведения про модель идеального газа:
  • — молекулы движутся хаотически;
  • — механизм давления идеального газа – это соударение отдельных молекул со стенками сосуда.

Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (см. Рис. 1). Определим давление p этого газа на поршень.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Рис. 1. Идеальный газ (молекулы) в цилиндрическом сосуде

  1. По определению давление – величина, равная отношению силы (F), действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности (S).
  2. Вычислим силу (F), с которой молекулы действуют на поршень:

1. Определим силу удара одной молекулы о стенку сосуда.

Пусть молекула идеального газа массой  движется в плоскости XOYсо скоростью  и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью  (см. Рис. 2). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны поршня во время удара, равна:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

где a – ускорение молекулы при ударе;   – изменение скорости движения молекулы при ударе;  – продолжительность удара.

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Рис. 2. Столкновение молекулы с поршнем

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Of2, степень окисления кислорода и фтора в нем

Оценим за полчаса!
  • Проекция скорости на ось OY не изменяется, поэтому всё изменение скорости  равно изменению скорости вдоль оси X:
  • Так как:
  • То:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой молекула действует на поршень, равна по модулю силе , с которой поршень действует на молекулу. Следовательно:

2. Рассчитаем число молекул N, ударившихся о поршень за интервал .

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

 – общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Рис. 3. Молекулы, ударившиеся о поршень за время

3. Определим общую силу ударов молекул о поршень.

Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее число ударов:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула имеет проекцию скорости . Так как все молекулы двигаются хаотично, то направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для средней квадратичной скорости,  одинаковые (). Следовательно, заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:

  1. Кинетическое уравнение Больцмана в физике 
  2. Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:
  3. Значение данной силы подставим в формулу давления:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

  • – основное уравнение МКТ идеального газа,
  • где макропараметры ;
  • микропараметры .
  • Основное уравнение МКТ можно записать в другом виде, в котором давление связывается не с массой и скоростью молекулы, а с их комбинацией, то есть со средней кинетической энергией одной молекулы.
  • Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа можно рассчитать по формуле:
  • Следовательно, основное уравнение МКТ будет выглядеть так:
  •  – давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема

На данном уроке мы вывели основное уравнение МКТ. Обращаться к данному уравнению мы будем нечасто, так как удобнее работать с отдельными макропараметрами (проще отдельно измерить давление, объём, температуру, чем замерять скорость и массу конкретной молекулы). Тем не менее, именно это уравнение назвали основным, потому что оно даёт связь между макромиром и микромиром.

Список литературы

Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.

Физика. Тесты. 10–11 классы: учебно-методическое пособие / Н.К. Гладышева, И.И. Нурминский, А.И. Нурминский и др. – М.: Дрофа, 2005

Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.

Касьянов В.А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Easy-physic.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Вопросы в конце параграфа 63 (стр. 165); упражнение 11 (8,9) стр. 167 – Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы) (Источник)
  2. В ампуле содержится водород. Определите давление газа, если его концентрация равна , а средняя квадратичная скорость движения молекул водорода 500 м/с.
  3. Чем обусловлено давление газа на стенку сосуда?
  4. Сформулируйте и запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/osnovy-molekulyarno-kineticheskoy-teorii/osnovnoe-uravnenie-molekulyarno-kineticheskoy-teorii

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения молекул газа в их фазовом пространстве, где — совокупность обобщенных координат молекулы, – совокупность обобщенных импульсов, соответствующих координатам, – время (функция распределения зависит от времени в нестационарном состоянии). Довольно часто символом Г обозначают совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы и времени . Величины обладают важным свойством: это интегралы движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного движения.

Так, для одноатомного газа величинами являются три компоненты импульса атома . Для двухатомной молекулы в входит импульс и вращательный момент.

Основное кинетическое уравнение

  • Основное уравнение кинетической теории газов ( или кинетической уравнение) – это уравнение определяющее функцию распределения .
  • Уравнение:
  •     Кинетическое уравнение Больцмана в физике

где — интеграл столкновений, уравнение (1) называют кинетическим уравнением. Символ — означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям молекул. Кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления интеграла столкновений. Тогда кинетическое уравнение приобретает вид (2). Это интегро-дифференциальное уравнение также, называют уравнением Больцмана:

    [frac{partial f}{partial t}+overrightarrow{v}
abla f=int{w'(f'f'_1-ff_1)dGamma_1dGamma'}dGamma'_2 left(2
ight)]

Требуется пояснить, что такое правая часть уравнения (2).

Кинетическое уравнение Больцмана в физике Кинетическое уравнение Больцмана в физике Кинетическое уравнение Больцмана в физике Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Если вычесть число актов ухода их числа актов прихода, понятно, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1с на

    Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега l (некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями). Отношение называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений полагают:

    Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Разность в числителе (3) учитывает, что интеграл столкновений обращается в 0 для равновесной функции распределения. Знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия.

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа малой плотности. Кинетическое уравнение — это уравнение первого порядка по времени, оно описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения.

Решение кинетического уравнения весьма сложно с математической точки зрения. Трудности его решения обусловлены многомерностью функции, зависящей от семи скалярных переменных, и сложным видом правой части уравнения.

  1. Если функция распределения зависит только от координаты x и составляющей скорости кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:
  2.     Кинетическое уравнение Больцмана в физике

где и функции распределения молекул до столкновения и после столкновения; – скорости молекул; — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW, зависящее от взаимодействия молекул. — изменение функции распределения в следствии столкновений. -изменение плотности числа частиц . — сила, действующая на частицу.

  • Если газ состоит из частиц одного сорта, кинетическое уравнение можно записать в виде:
  • где – среднее число частиц в элементе фазового объема около точки (-изменение плотности числа частиц около точки ( в момент времени t за единицу времени.
  • Уравнение Больцмана справедливо если:
  • происходят только парные столкновения молекул: оно справедливо лишь при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в которой происходит столкновение;
  • справедливо предположение о молекулярном хаосе. Вероятность обнаружения частицы 1 в фазовой точке и частицы 2 в фазовой точке независимы друг от друга;
  • равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием (функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия).

Если система находится в состоянии статистического равновесия, то интеграл столкновений обращается в ноль и решением уравнения Больцмана будет распределение Максвелла.

Решение уравнения Больцмана для соответствующих условий позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопические уравнения для различных процессов переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности).

В поле тяготения земли решение уравнения Больцмана есть известная барометрическая формула.

На Основе решений уравнения Больцмана объясняется макроскопическое поведение газа, вычисление коэффициентов вязкости, теплопроводности.

Кинематическое уравнение является основным уравнением динамики разреженных газов и применяется для аэродинамического расчёта летательных аппаратов на больших высотах полёта.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/kineticheskoe-uravnenie/

Метод кинетического уравнения Больцмана

Лекция 11

Метод кинетического уравнения Больцмана

В исходном состоянии,
электронный газ описывается статистикой Ферми-Диррака. Мы выделяем некоторую
область, называемую поверхностью Ферми и говорим, что все состояния изнутри
этой области заняты электронными состояниями. Но, кроме того, мы знаем, что
электронный газ вырожденный.

Не смотря на то, что у нас будет складываться
внешнее воздействие, будет меняться только направление волнового вектора.
Сохранение формы поверхности Ферми позволяет еще использовать так называемый
метод электронной температуры. Пока внешнее воздействие g
намного меньше функции распределения, может работать метод электронной
температуры.

Когда прикладывается внешнее воздействие, происходит
перераспределение электронных состояний. Главная информация это скорость
изменения функции распределения по состояниям.

Значит, у нас есть скорость
изменения функции распределения по температуре за счет внешнего полевого
воздействия (grad и
gradT), коэффициент с вязанный с диффузией (grad(n)), и им будем пренебрегать,
так как для металлов он практически не влияет (стремиться к 0), и коэффициент
распределения направленного движения (импульса).  

Читайте также:  Свойства параболы, с примерами

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

  • Полное число состояний, в любой
    системе, есть величина постоянная.
  • Кинетическое уравнение
    Больцмана:

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Метод кинетического уравнения
Больцмана, это метод который позволяет анализировать кинетические свойства
твердых тел в процессе переноса. При его решении мы можем найти время
свободного пробега. 

Кинетическое уравнение Больцмана в физике        Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Процессы рассеяния связанные с
потерей направленного движения они носят вероятностный характер. Результатом
является нахождение времени, которое определяет скорость возвращение системы в
исходное состояние. Это время называется временем релаксации.

Метод приближения времени релаксации

Этот метод основан на том, что
мы считаем, что система линейная. Для всех систем существует метод малого
сигнала.

Кинетическое уравнение Больцмана в физике


  1. возмущенная функция распределения по состояниям
  2. -равновесная
  3. -малая
    добавка
  4. Скорость возврата системы в
    исходное состояние пропорциональна константе. Наша добавка убывает со скоростью
    1/

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

  • Теперь представим это графически
  • Кинетическое уравнение Больцмана в физике

     

  • Элементарный кинетический метод

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

  1. Главные идеи метода:
  2. 1.  Рассматриваются
    электроны (фононы свободные частицы)
  3. 2.  Расчет ведется по
    отношению к одной частице движущейся в поле других
  4. 3.  Частица между
    соударениями двигается свободно
  5. 4.  При столкновении
    полностью теряет информация о направленности своего движения до столкновения (
    теряет “память” )
  6. 5.  Теряет импульс,
    который был до столкновения
  7. 6.  Время соударения очень
    мало
  8. 7.  Соударения упругие

Направленное движение
характеризуется импульсом. Выделим в нашем пространстве электронного газа некий
объем, сечением S, такой, что между этими сечениями
электрон двигается без соударения, то есть будет равняться длине свободного
пробега. Сосчитаем количество двигающихся электронов в этом объеме, то есть
напишем уравнение для плотности тока.

  • Среднее время свободного пробега
    в элементарном кинетическом методе приравнивается к времени релаксации, которое
    найдено при решения уравнения Больцмана.
  • Для того чтобы определить  нужно, определить процессы рассеяния.
  • Механизмы рассеивания и виды рассеивающих центров в
    твердом теле
Название Вид рассеивающего центра Время
1. Электрон-электрон Электрон ,
2. Электрон-фонон Фонон (тепловые колебания решетки) ,
3. Фонон-фонон Фонон ,
4. Заряженный  дефект Ион “вакансия” ,
5. Незаряженный дефект N ,
6. Поверхностное рассеяние Границы ,

В любом материале есть все
дефекты, но можно утверждать, что один из них будет больше других.
Следовательно, результирующее время релаксации (точнее обратное) равно сумме
обратных времен релаксации, которые характеризуют все механизмы рассеяния.

Источник: https://vunivere.ru/work30268

FAQ: Кинетическая теория Больцмана – ответы на главные вопросы

FAQ Кинетическое уравнение Больцмана в физикеКинетическая теория Больцмана была создана в XIX в. и должна была ответить на несколько вопросов, в том числе, можно сказать, метафизический — что лежит в основании мира, можно ли обойтись при его описании континуальным способом, «не затрагивающим детали», или это должен быть традиционно восходящий к античности атомистический подход, который уже вошёл в некоторые научные дисциплины XIX века, например, в химию. Но для физики это являлось одной из центральных проблем, и кинетическая теория Больцмана ответила на этот вопрос определенно: в основе описания мира должна лежать молекулярно-кинетическая теория.

Стоит сказать, что сам Больцман, конечно, понимал всю сложность задачи и, возражая «энергетистам» (Оствальду) и «феноменологам» (Маху), готов был найти полезное в их подходах и высказывался почти в духе «махистского позитивизма». В своей статье «О развитии методов теоретической физики в новейшее время» Больцман писал: «Мне также казалось, что споры о том, что следует считать подлинно существующим — материю или энергию, относятся к рецидивам старой, изжившей себя метафизики и противоречат осознанию того, что все теоретические понятия суть образы, являющиеся комбинациями наших ощущений». Но при этом атомистическая модель тогда была, несомненно, в перспективе плодотворней.

1

Вопрос, возможно ли какое-то другое описание (при попытках создания единой физической теории) остается открытым до сих пор. Оппоненты Больцмана, Эрнст Мах и Вильгельм Оствальд, в начале ХХ века полагали, что молекулярно-кинетическая теория — это только рабочая гипотеза.

Мах был физиком-акустиком и, кстати, до сих пор используются связанные с его именем термины (причем характерно, что советская наука пыталась изгнать их, что сделать не удалось): «конус Маха», «угол Маха», даже «ножка Маха», «число Маха» — это отношение скорости объекта к скорости звука.

Но Мах не занимался математической физикой и не строил теории математического свойства, как Больцман, поэтому описание, которое он предлагал, имело более общий характер. Он считал, что мы должны описывать мир, основываясь на органах чувств.

Какая была бы получена при этом теория — неизвестно, но это помогло ему сформулировать известный принцип Маха (который кратко можно сформулировать так: локальная инерция, инерция какого-то тела зависит от движения всех космических объектов, всех физических тел мира), который повлиял на общую теорию относительности (ОТО): теория Эйнштейна вначале учитывала этот принцип, но в ОТО он фактически не содержится.

Кинетическое уравнение Больцмана в физике5 книг о Больцмане и его уравнении

2

Теория Больцмана опирается на очень простую и сейчас совершенно наглядную для всех молекулярно-кинетическую модель. Но 150 лет назад она выглядела чрезвычайно смелой для ряда физиков.

Важнейшее её утверждение — что все можно описать через рассмотрение взаимодействий элементарных (по тогдашним представлениям) частиц — атомов или молекул. Исходя из движения этих частиц, можно построить достаточно общую теорию, которая совмещала бы в себе первое и второе начало термодинамики.

В кинетической теории элементы мира просто существуют, их не надо вылавливать их из каких-то гипотетических уравнений. Рассматривая же их взаимодействия, мы можем получить очень многое.

Больцман начинал не на пустом месте: Максвелл и ряд других учёных придерживались этих взглядов, идея обсуждалась еще в XVIII веке, и Ломоносов и другие высказывались с позиций кинетических представлений.

3

Теория Больцмана решала проблему последовательного и, как показывает последующий опыт, правильного описания теплоты.

До середины XIX века была теория теплорода — хорошая теория, которая объясняла ряд фактов, но не очень хорошо описывала переход различных видов энергии друг в друга.

А молекулярно-кинетическая теория разбирала этот вопрос убедительно и подтверждалась на опыте. Теперь такое промежуточное понятие, как теплород является рудиментом, хотя физики могут говорить, что «течет тепло» и так далее.

Теория Больцмана также ответила более глубоко на вопрос — что такое энтропия? Он вводил понятие статистической энтропии — казалось бы, отвлеченное, но оно сыграло важнейшую роль в становлении, например, квантовой теории.

Макс Планк, когда выводил свою известную формулу о спектральной плотности излучения, вначале написал её эмпирически, а потом решил продвинуться глубже и вывел её теоретическим путем, — для этого он использовал статистическое понятие больцмановской энтропии, — при обобщении его для излучения абсолютно черного тела ему потребовалось подсчитывать комбинации, что неизбежно заставляло допустить дискретность порций энергии — это и означало определение «элементарного кванта энергии» (при фиксированной частоте). Часто забывают, что без понятия энтропии квантовая теория наверняка не могла бы быть так получена, и неизвестно, каким она пошла бы путём. Ну, а через несколько лет после Планка Эйнштейн ввёл понятие кванта света. Статистики Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака по сути восходят к статистическому описанию, которое ввёл Больцман.

Кинетическое уравнение Больцмана в физикеКинетическая теория Больцмана

4

Уравнение Больцмана содержит в себе и первое, и второе начало термодинамики. Второе (возрастание энтропии для замкнутой системы) в нём получается как теорема — знаменитая H-теорема Больцмана.

Но это уравнение, строго говоря, написано только для разреженных газов, хотя это понятие включает в себя газы вплоть до очень высоких давлений и температур.

Потом были сделаны обобщения для плазмы, смесей и молекулярного газа, но вначале частицы рассматривалось как некие твердые шарики.

5

Теория Больцмана связала микро- и макроуровни описания вещества. Благодаря решению уравнения Больцмана методом последовательных приближений Чепмена-Энскога (вблизи равновесия) удавалось получить — непосредственно вычислениями — коэффициенты теплопроводности, вязкости и так далее.

6

Уравнение Больцмана очень сложное. В частности, в нём фигурирует пятикратный интеграл столкновения, и всё происходит в семимерном пространстве: время, три координаты и три скорости.

Поэтому на протяжении десятков лет уравнение оставалось экзотическим объектом, и казалось, что его не к чему применить, так как без него удавалось обходиться в близких к равновесию ситуациях, где работали различные приближения.

Но с появлением высотной авиации и запуском первого спутника в 50-е годы оказалось, что движение в верхних слоях атмосферы требует описания с помощью кинетических уравнений.

С другой стороны, в вакуумной технике и движении при малых давлениях тоже требуется описание с их помощью. Стало необходимо развивать какие-то методы решения уравнения Больцмана уже в ситуациях, далеких от равновесия.

7

Оказалось, что теория Больцмана может дать больше, чем ожидали те, кто изучал её сто лет назад. Она описывает сложные, нелинейные и далёкие от равновесия явления нового типа.

Более того, эти явления вначале «были представлены» теоретически в результате решения некоторых задач для уравнения Больцмана.

Они сложны, так что пока мы можем только ставить вопросы о будущих экспериментах, которые могли бы подтвердить эффекты — неклассические, — которые предсказываются на нынешнем уровне.

Источник: https://postnauka.ru/faq/7276

Кинетическое уравнение Больцмана — это… Что такое Кинетическое уравнение Больцмана?

Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана) — уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости.

Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики, которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля).

Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность, эффект Холла, вязкость и теплопроводность.

Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t) функции распределения плотности f(x, p, t) в одночастичном фазовом пространстве, где x и p — координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t. Уравнение Больцмана


frac{partial f}{partial t}
+ frac{partial f}{partial mathbf{x}} cdot frac{mathbf{p}}{m}
+ frac{partial f}{partial mathbf{p}} cdot mathbf{F}
= left. frac{partial f}{partial t} 
ight|_{mathrm{coll}}.

Здесь F(x, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.

Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля. Если поле сил F(x, t) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения , то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде

,

где L — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и C — оператор столкновений. Нерелятивистская форма L hat{mathbf{L}}_mathrm{NR}=frac{partial}{partial t}+frac{mathbf{p}}{m}cdot
abla_mathbf{x}+frac{mathbf{F}}{m}cdot
abla_mathbf{p}, а в общей теории относительности

где Γ — символ Кристоффеля.

Интеграл столкновений

Столкновения между частицами приводит к изменению их скоростей. Если задает вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью в состояние со скоростью , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде

.

В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двух частиц находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Приближение времени релаксации

Уравнения Больцмана — сложное интегродифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов — непростое дело.

Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю.

При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

,

где — равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики , а — небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции , и записать его в виде:

,

где τ — время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Батнагара-Гросса-Крука (BGK-model). Время релаксации, входящий в уравнения Больцмана зависит от скорости частиц, а следовательно энергии . Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретным процессами рассеяния частиц.

Уравнения Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде

.

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических[1] и квантовых[2]систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана[3].

См. также

  • H-теорема
  • Цепочка уравнений Боголюбова

Примечания

  1. Боголюбов Н. Н. (1946). «Кинетические уравнения». Журнал экспериментальной и теоретической физики 16 (8): 691—702.
  2. Боголюбов Н. Н., Гуров К. П. (1947). «Кинетические уравнения в квантовой механике». Журнал экспериментальной и теоретической физики 17 (7): 614—628.
  3. Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. 159 с. ISBN 5-02-014030-9.

Источник: https://biograf.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1583971/biograf.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/87621

кинетическое уравнение Больцмана — Физика

  • Временное статистическое описание перехода в равновесное состояние дает кинетическое уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения идеального газа (1860 г.):
  • ,                                       (10.11)
  • где – интеграл столкновений, учитывающий абсолютно упругие парные столкновения частиц газа.

Кинетическое уравнение (10.11) является интегро-дифференциальным уравнением первого порядка по времени и описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения. Для равновесного состояния интеграл столкновений обращается в нуль, что означает выполнение принципа детального равновесия.

Решение кинетического уравнения Больцмана представляет большие математические трудности.

Можно лишь отметить, что равновесие устанавливается в два этапа: 1) на первом этапе за время порядка времени среднего свободного пробега частиц формируются макроскопические участки локального равновесия с разными макроскопическими параметрами, 2) на втором этапе за счет процессов переноса вещества, теплоты и импульса происходит выравнивание макроскопических параметров по всему объему системы. В процессе этого перехода возможны флуктуации энтропии, вызывающие отклонения от закона монотонного роста энтропии во времени.

Опираясь на вероятностные законы описания динамики системы частиц, статистическая физика стала теоретическим фундаментом для термодинамики.

Но что служит основанием  самой статистической физики? Возможно ли с помощью обратимых во времени классических уравнений движения частиц получить необратимый переход макроскопической системы из произвольного начального состояния в конечное равновесное состояние? Как теоретически обосновать введение понятия вероятности для характеристики детерминированных механических процессов?

В 1890 г. А. Пуанкаре доказал теорему о возвращении для любой замкнутой и ограниченной в пространстве системы частиц с консервативными силами взаимодействия.

Согласно этой теореме, любая такая система частиц по истечении некоторого времени, которое называется временем возвращения, оказывается в состоянии, сколь угодно мало отличающемся от начального состояния. Этот результат является следствием обратимости во времени классических уравнений движения частиц. Используя теорему Пуанкаре, в 1896 г. Э.

Цермело рассмотрел идеальный газ как классическую механическую систему частиц и пришел к выводу о периодическом возвращении газа в исходное состояние и периодическом изменении во времени энтропии газа.

Результаты математических исследований А. Пуанкаре и Э. Цермело опровергали выводы Л. Больцмана о необратимом характере перехода системы в равновесное состояние, которому пришлось искать дополнительные аргументы в защиту своей позиции. Л. Больцман выполнил численную оценку времени возвращения для молекул, находящихся в 1 воздуха при нормальных условиях.

В этом случае число молекул ~, средняя тепловая скорость движения молекул ~ 500 м/c, среднее расстояние между молекулами ~ и средняя частота столкновений молекулы с другими молекулами ~ 1/с. Согласно оценке, время возвращения данной системы частиц в начальную область фазового пространства с погрешностью и составляет порядка 300 лет.

Однако, даже столь большая величина времени возвращения не убедила противников Больцмана.

По существу, проблема обоснования статистической физики заключается в нахождении таких динамических систем частиц, для которых становятся возможными необратимая эволюция в равновесное состояние, введение понятия вероятности в качестве характеристики динамики системы, переход в равновесное состояние независимо от начального состояния. Кроме того, для таких систем необходимо доказать эргодическую гипотезу Больцмана, в соответствии с которой система за достаточно большой промежуток времени проходит через все свои возможные микросостояния, отвечающие заданной энергии системы. Только в этом случае все такие микросостояния одного макросостояния можно считать равновероятными. Если эргодическая гипотеза справедлива, средние по времени значения физических характеристик, которые измеряются экспериментально, совпадают со значениями этих физических величин, усредненных по ансамблю всех возможных микросостояний системы.

Источник: https://fizika-student.ru/kineticheskoe-uravnenie-bol-cmana.html

Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k=1,38·10-23 ДжК, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Определение 1

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T0=273 К до T1=373 К приводит к изменению его давления от p0=1,013·105 Па до p0=1,38·105 Па.

Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6·1023, а объем при давлении в 1 атм равен V=22,4 л.

С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана k:

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра k:

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица.

Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться.

Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

  • Обозначив модуль кручения как L, момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как J, а угол поворота зеркала как φ, можем записать уравнение колебаний следующего вида:
  • Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φ, проинтегрируем результат и получим:
  • Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:
  • При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:
  • Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290К, а модуль кручения L≈10-15 Н·м; φ≈4·10-6, то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:
  • Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

E=32kT.

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример 1

Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из N-атомных молекул при температуре T, зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

Решение

Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна εi=12kT. Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

ε=i2kT, где i=mpost+mυr+2mkol представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой k обозначена постоянная Больцмана.

  1. Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:
  2. mpost=3, mυr=3, значит, mkol=3N-6.
  3. i=6+6N-12=6N-6;ε=6N-62kT=3N-3kT.
  4. Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна ε=3N-3kT.

Пример 2

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов μ1, μ2.

  • Решение
  • Сначала вычислим общую массу смеси.
  • m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02→ρ=n1m01+n2m02.

Параметр m01 обозначает массу молекулы одного газа, m02 – массу молекулы другого, n2 – концентрацию молекул одного газа, n2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρ.

  1. Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:
  2. n1=ρ-n2m02m01;n2=n-n1→n1=ρ-(n-n1)m02m01→n1=ρ-nm02+n1m02m01→n1m01-n1m02=ρ-nm02→n1(m01-m02)=ρ-nm02.
  3. Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:
  4. p=nkT→n=pkT.
  5. Подставим полученное равнее значение:
  6. n1(m01-m02)=ρ-pkTm02→n1=ρ-pkTm02(m01-m02).
  7. Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:
  8. m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 атм, а температура 290К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как n1=ρ-pkTm02(m01-m02), где m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/postojannaja-boltsmana/

Лекция 1 термодинамика необратимых процессов. кинетическое уравнение больцмана — pdf скачать бесплатно

Подробнее

Подробнее
Подробнее

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Лекция 5 Е. стр. 308-33, стр.39-35 Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Равновесие. Состояние равновесия

Подробнее

Вопросы по статистической физике неравновесных систем (ч. 2 курса термодинамики и статистической физики) В весеннюю сессию в экзаменационные билеты включаются вопросы и задачи по разделу «Статистическая

Подробнее

Теплопроводность в твердых телах 27.08.2013 А.В. Шишкин, АЭТУ, НГТУ 1 1. Закон Фурье Теплопроводность характеризует способность тела передавать тепловую энергию от одной его точки к другой, если между

Подробнее

Лекция 8 Малые возмущения в газах Рассмотрим распространение малых возмущений в среде Пусть равновесное состояние среды описывается параметрами p V а отклонения от этих значений в каждой точке пространства

Подробнее

Оглавление ВВЕДЕНИЕ Лекция I. Лекция II. ТЕОРИЯ БОЛЬЦМАНА 1. Уравнение Больцмана Задача N 1. Число столкновений молекулы 2. H-теорема Больцмана 3. Законы сохранения Задача N 2. Локально-равновесная функция

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ Цель работы: изучение процессов, протекающих в проводниках в электрическом поле; исследование основных свойств проводников по температурным зависимостям

Подробнее

II. Постоянный электрический ток 2.1 Характеристики электрического тока : сила и плотность тока Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Проводниками тока могут быть

Подробнее

Лекция 9. Уравнение Шредингера. Операторы физических величин Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера в квантовой механике постулируется точно так же, как в классической механике постулируются уравнения

Подробнее

Лекция 11. Закон Ома 11.1. Закон Ома для неоднородного участка цепи. 11.. Закон Ома в дифференциальной форме. 11.3. Работа и мощность. Закон Джоуля Ленца. 11.4. КПД источника тока. 11.5. Закон Кирхгофа.

Подробнее

ГЛАВА 3 Лагранжев формализм в СТО 3.. О вариационном методе в механике В данной главе уравнения движения, импульс и энергия релятивистской частицы будут получены вариационным методом. Общим принципом,

Подробнее

Л Е К Ц И Я 5 8. Электропроводность металлов. Классическая электронная теория Друде-Лоренца Металлы хорошие проводники электрического тока. Носители заряда? ) 9 г. опыт Рикке Cu Al Cu ) Инертные свойства

Подробнее

5.5. Диффузия. 5.5.. Самодиффузия. Если два различных газа разделены перегородкой а затем перегородку убрать то газы начнут перемешиваться (рис. 5.). Такое взаимопроникновение одного газа в среду другого

Подробнее

Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 202 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА ЦЕЛЬ РАБОТЫ Определение температурного коэффициента сопротивления

Подробнее

Работа. ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА Задача Измерить коэффициент теплопроводности воздуха. r ВВЕДЕНИЕ В состоянии равновесия температура газа (как и любого другого вещества) во всех

Подробнее

Глава 5. Явления переноса. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Наука, изучающая процессы при нарушенном равновесии, называется физическая кинетика. Эта наука изучает необратимые процессы. Сущность процессов переноса:

Подробнее

6. Законы сохранения Рассмотрим замкнутую систему из N взаимодействующих друг с другом частиц, на которые не действуют внешние силы. Состояние такой системы определяется заданием векторов r и скоростей

Подробнее

1therm Л е к ц и я 1. Термодинамика. Коротко перечислим основные положения термодинамики. Термодинамика — наука феноменологическая. Она опирается на аксиомы, которые выражают обобщение экспериментально

Подробнее

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Лекция 16 Квантовые статистики. Состояния вещества. Неравновесные процессы Кафедра «Физика» 1 План лекции 1. Термодинамические потенциалы

Подробнее

1 ЛЕКЦИЯ 10 Две системы в диффузионном контакте. Химический потенциал. Условие равновесия фаз. Теплота перехода. Формула Клапейрона-Клаузиуса. Две системы в диффузионном контакте Равновесное состояние

Подробнее

Экзамен Уравнение непрерывности или уравнение неразрывности (продолжение) Факультативная вставка Как было отмечено выше, если рассматривать вместо вытекающего из объема V заряда заряд, который остается

Подробнее

f(),5 9 СТАТИСТИКА КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ Квантовые частицы в зависимости от спина s делятся на бозоны (целый спин, s =,,, фотоны, фононы) и фермионы (полуцелый спин, s = /, /,, электроны)

Подробнее

Экзамен Уравнение непрерывности или уравнение неразрывности Это уравнение следует из закона сохранения заряда Рассмотрим силу тока, вытекающего через границу объема V : dq 0 = I = di = ( j, d) dt Здесь

Подробнее

Лабораторная работа 32 ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Цель работы — определение температурного коэффициента сопротивления меди. Приборы и принадлежности: исследуемый медный

Подробнее

10 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЗАКОН ОМА Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц в пространстве. В связи с этим свободные заряды принято называть также

Подробнее

Электродинамика сплошных сред к.ф.-м.н., доцент Андрей Юрьевич Антонов направление 03.03.01 «Прикладные математика и физика» Постоянный электрический ток Рассмотрим стационарное движение зарядов в проводящей

Подробнее

Лекция Туннельный эффект Прохождение электрона над прямоугольным барьером Рассмотрим электрон в поле потенциальной энергии которая описывается одномерной ступенькой скачком потенциала График потенциальной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПАРАМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС. СПИНОВОЕ ЭХО. КИНЕТИКА РОСТА ЗАРОДЫШЕЙ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ ПЕРВОГО РОДА. Электронный парамагнитный резонанс В твердом теле с парамагнитными примесями, то

Подробнее

ОБЩАЯ ФИЗИКА. Электричество. Лекции 8 9. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Понятие об электрическом токе Условия возникновения и существования тока проводимости Сила тока. Вектор плотности тока Уравнение непрерывности

Подробнее

Лекция.15 Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Состояние равновесие. Состояние равновесие это состояние, в котором все параметры системы постоянны

Подробнее

Источник: https://docplayer.ru/62816993-Lekciya-1-termodinamika-neobratimyh-processov-kineticheskoe-uravnenie-bolcmana.html

Ссылка на основную публикацию