Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.
А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.
И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?
| Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны. |
Посмотри, как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
 |
Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту. |
Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.
Смотри:
 |
Тоже два прямоугольных…. |
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
 |
Видишь, два прямоугольных треугольника ( и ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные! |
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:
 |
(ещё говорят, — общая) |
И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и , и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что )
- Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
- А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
- Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
 |
Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны). |
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:
|
(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
| I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании). |
II. Если в каком-то треугольнике
проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание. |
- Ну вот смотри: Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то: Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
- Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
- Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
- Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
- Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
- Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике
Давай посмотрим, как выглядит в задачах.
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике стороны и равны, а . Найти .
- Решаем:
- Сначала рисунок.
Что здесь – основание? Конечно, .
- Вспоминаем, что если , то и .
- Обновлённый рисунок:
Обозначим за . Чему там равна сумма углов треугольника? ?
Пользуемся:
Вот и ответ: .
Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.
Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)
В треугольнике , . Найти .
Решаем:
| Смотрим внимательно и соображаем, что раз , то . |
Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).
| Вспоминаем, что высота = медиана, то есть . |
- Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только .
- Итак, в имеем:
- Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
- Осталось найти : .
- Ответ: .
Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.
Равнобедренный треугольник. Средний уровень
| Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны. |
- Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.
- Посмотри на рисунок: и – боковые стороны, – основание равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
|
Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту .
| Что получилось? Треугольник разделился на два прямоугольных треугольника и . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет . |
Значит, у них равны все соответствующие элементы.
То есть:
|
Всё! Одним махом (высотой ) доказали сразу все утверждения.
И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Верны и обратные утверждения:
|
Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».
1. Итак, пусть в оказались равны и .
Проведём высоту . Тогда
| – как прямоугольные по катету и острому углу. |
Значит, .
| Доказали, что – равнобедренный. |
2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.
| Тогда снова по катету и острому углу. Значит, опять . |
2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!
| — по двум катетам |
2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!
- Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
- Подытожим:
- Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
- Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.
Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.
|
Свойства равнобедренного треугольника:
|
Признаки равнобедренного треугольника:
- Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
- Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
- Стать учеником YouClever,
- Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
- А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Источник: https://youclever.org/book/ravnobedrennyj-treugolnik-1
Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
- Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
- Равнобедренный треугольник (понятие)
- Свойства равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Формулы равнобедренного треугольника
- Прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник
Равнобедренный треугольник (понятие):
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
- АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,
- ∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании
- По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).
- Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.
- Различают следующие виды равнобедренных треугольников:
- – остроугольный – все углы острые;
- – прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;
- – тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;
- – равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Рис. 2. Равнобедренный треугольник
∠ BАC = ∠ BСA
2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.
Рис. 3. Равнобедренный треугольник
АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок
4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
Рис. 5. Равнобедренный треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
Признаки равнобедренного треугольника:
- – если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
- – если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
- – если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
- – если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Формулы равнобедренного треугольника:
Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).
Рис. 6. Равнобедренный треугольник
- Формулы длины основания (b):
- ,
- ,
- .
- Формулы длины равных сторон (а):
- .
- Формулы углов:
Рис. 7. Равнобедренный треугольник
- ,
- ,
- .
- Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:
Рис. 8. Равнобедренный треугольник
- ,
- .
- Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:
- ,
- ,
- .
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Источник: https://xn--80aaafltebbc3auk2aepkhr3ewjpa.xn--p1ai/ravnobedrennyiy-treugolnik-svoystva-priznaki-i-formulyi/
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
| О нас |
| Демоверсии |
| Учебные пособия |
| Справочник по математике |
| Справочник по математике | Геометрия (Планиметрия) | Треугольники |
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Равнобедренный треугольник |  |
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника. |
| Свойство | Углы при основании равнобедренного треугольника |  |
Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
| Признак | Два равных угла треугольника | Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. | |
| Свойство | Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника |  |
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. |
| Признак | Высота треугольника, совпадающая с медианой |  |
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Признак | Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой |  |
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Признак | Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой |  |
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Определение: равнобедренный треугольник | |
|
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника. |
| Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника | |
|
Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
| Признак: два равных угла треугольника | |
| Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. | |
| Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | |
| В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. | |
| Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой | |
| Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным | |
| Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой | |
| Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным | |
| Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой | |
| Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Определение равнобедренного треугольника |
|
| Свойство углов при основании равнобедренного треугольника |
| Свойство:Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
| Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника |
| Признак:Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. |
| Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника |
| Свойство:В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. |
| Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой |
| Признак:Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой |
| Признак:Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным |
| Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой |
| Признак:Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/demo/eng/diagege.htm
Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника :
Первые историки нашей цивилизации – древние греки — упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света – достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.
Само слово «геометрия» можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета – часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.
Треугольник – самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки — вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее.
Всевидящее око внутри треугольника – один из самых ранних из известных оккультных знаков, причём география его распространения и временные рамки просто поражают воображение.
От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.
Какими бывают треугольники
Обычный разносторонний треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.
Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами – все углы такого треугольника острые.
Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.
Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его — более 90 градусов.
Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.
И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.
Отличительные особенности
Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие – равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».
- На рассматриваемом рисунке a = b.
- Второй признак равнобедренного треугольника вытекает из теоремы синусов. Так как равны стороны a и b, равны и синусы их противолежащих углов:
- a/sin γ = b/sin α, откуда имеем: sin γ = sin α.
- Из равенства синусов следует равенство углов: γ = α.
- Итак, вторым признаком равнобедренного треугольника является равенство двух углов, прилежащих к основанию.
Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.
Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой — однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.
Геометрические свойства фигуры
1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:
α = γ;
Источник: https://www.syl.ru/article/217756/mod_priznaki-sostavlyayuschie-elementyi-i-svoystva-ravnobedrennogo-treugolnika
Стороны равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1)
P=2a+b
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2)
h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2
Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8)
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a
-
Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту.
S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4 -
Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности.
α=(180°-β)/2
β=180°-2α -
Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол.
cosα=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a
cosβ=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )
Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3)
m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2
В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4)
l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5)
M_b=b/2
M_a=a/2
Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6)
r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))
Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )
Источник: https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/isosceles_triangle_sides
Загрузка...
