Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.
- 1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.
- Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.
- Из определения 1 вытекают следующие утверждения:
Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.
- Действительно. Так как
- a=bm, b=nc,
- где m и n какие то числа, то
- a=(nc)m=(nm)c.
- Следовательно a делится на c.
- Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.
Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.
- Действительно. Так как
- a=mc, b=nc,
- тогда
- a+b=mc+nc=(m+n)c,
- a−b=mc−nc=(m−n)c.
- Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .
- Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.
Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10·r1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:
 |
(1) |
Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1,…,m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).
Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде
  |
(2) |
Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа
 |
(3) |
- на m.
- Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.
- Рассмотрим разность A−A'
     |
(4) |
Покажем, что 10i−ri делиться на m при всех i=1,2,…m−1.
10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),
 |
(5) |
| (6) |
| (7) |
Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m.
Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m.
Следовательно A и A' имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A' равноостаточные или сравнимыми по модулю m.
Таким образом, если A' делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A'.
- Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.
- Признак делимости на 2.
- Следуя процедуре (1) для m=2, получим:
| 10=2·5+0, 10·0=2·5+0, и т.д. |
Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).
Признак делимости на 3.
Следуя процедуре (1) для m=3, получим:
Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
- Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.
- Признак делимости на 4.
- Следуя процедуре (1) для m=4, получим:
Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 5.
Следуя процедуре (1) для m=5, получим:
Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6.
Следуя процедуре (1) для m=6, получим:
Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.
Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.
Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.
Признак делимости на 7.
Следуя процедуре (1) для m=7, получим:
Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (8) |
Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.
Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.
Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Следуя процедуре (1) для m=8, получим:
Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем
| (9) |
Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.
Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Следуя процедуре (1) для m=9, получим:
Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем
- Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.
- Признак делимости на 10.
- Следуя процедуре (1) для m=10, получим:
Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем
Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).
Источник: https://matworld.ru/teorija-chisel/delimost-chisel.php
Признаки делимости чисел — правила и примеры решений
Дроби с кратными от 1 до 5
На единицу делится любое целое число.
Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.
Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.
Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.
Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388.
Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка.
Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.
Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.
Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.
Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.
Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.
Свойства делителей от 6 до 10
Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.
Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.
Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.
Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:
- 2*9=18.
- 67−18=49.
- 49:7=7.
Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.
В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:
- 2*7=14.
- 49−14=35.
- 35:7=5.
Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.
Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.
Разрядные единицы
Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:
- 4958700:100=49587.
- 374000:1000=374.
- 5781000:100=5781.
- 97430:10=9743.
Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.
Делители от 11 и выше
Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.
Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.
- Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
- Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
- 7+0+9=16.
- 4+1=5.
- 16−5=11.
В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:
Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.
Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3.
В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет.
Таким образом, оба примера кратны 12.
Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.
Например, 6942:
- 2*4=8.
- 694+8=702.
- 702:13=54.
Еще пример — 754:
- 4*4=16.
- 75+16=91.
- 91:13=7.
Признак делимости на составное число
Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.
Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.
Таблица кратных от 2 до 10
Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:
| Делимость на: | Признак числа: |
| 2 | Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8 |
| 3 | Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3 |
| 4 | Две последние цифры делятся на 4 |
| 5 | Окончание на 5 или 0 |
| 6 | Одновременная кратность 2 и 3 |
| 8 | Три последние цифры кратны 8 |
| 9 | Сумма цифр кратна 3 |
| 10 | Окончание равно нулю |
Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.
Источник: https://nauka.club/matematika/priznaki-delimosti.html
Признаки делимости
При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.
Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.
- Если числа делится на b, то пишут .
- Пример.
- так как
- Свойства делимости чисел
- Простые числа и составные числа.
Простые и составные числа
- Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.
- Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.
- Пример.
Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.
Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.
Единица не является ни простым, ни составным числом.
Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).
Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.
Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.
Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.
Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.
Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).
Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.
Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.
Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика.
Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10.
Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.
Пример 1
123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.
Пример 2
1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.
Деление с остатком
- Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:
- От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.
- Пример 1.
- 19 : 7 = 2 (ост. 5)
- 19 = 7 ∙ 2 + 5
- Пример 2.
22 : (-3) = -7 (ост. 1).
- 22 = -3 ∙ (-7) + 1
- Пример 3.
- -22 : 3 = -8 (ост. 2)
- -22 = 3 ∙ (-8) + 2
Теоремы
Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость
Задание №1
Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.
Решение:
Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.
Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.
Ответ: 1122
Задание №2
Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.
- Решение:
- Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.
- Ответ: 288
Задание №3
Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:
- 1) 143:5=28 (Остаток 3)
- 2) 143:7=20 (Остаток 3)
- Остатки равны, соответственно условие выполнено.
- Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.
- Ответ: 176
Задание №4
Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.
Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.
Ответ: 115
Задание №5
Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- Решение:
- Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.
- Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7
Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.
Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.
Ответ: 7785
Задание №6
Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.
Решение:
Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.
114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.
113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.
Можно было решить альтернативно.
Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.
- Составим и решим уравнение:
- n+n+1+n+2+n+3=458
- 4n=452
- n=113
- Тогда третье число 115.
- Ответ: 115
Задание №7
Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.
Решение:
Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.
Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.
Ответ: 144
Задание №8
Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.
Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.
3a+3=9,тогда a=2, а число 234
3a+3=18,тогда a=5, а число 567
Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.
- 3a+6=9,тогда a=1, а число 135
- 3a+6=18,тогда a=4, а число 468
- 3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.
Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.
- 3a+9=9,тогда a=0, не подходит
- 3a+9=18,тогда a=3, а число 369
- 3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.
Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.
3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.
Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.
Задание №9
Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.
Решение:
Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.
Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.
- Ответ: 2220
- Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.
- Читайте еще наши статьи: таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100.
Источник: https://novstudent.ru/priznaki-delimosti/
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком.Признаки делимости
| Справочник по математике | Арифметика | Делимость и деление с остатком |
| Делимость натуральных чисел. Деление с остатком |
| Признаки делимости |
- Определение 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство
- a = bc .
- В противном случае говорят, что число a не делится начисло b.
- Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком.
- Определение 2. Деление числа a на число b с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа c и r , что выполняются соотношения
- a = bc + r, r < b .
- Число b называется делителем, число c – частным, а число r – остатком от деления a на b .
- Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .
- Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком, получаем:
Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .
Определение 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными, а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными.
Признаки делимости
Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.
| Признак делимости на | Формулировка | Пример |
| 2 | Число должно оканчиваться четной цифрой:0 , 2 , 4 , 6 , 8 | 1258 |
| 3 | Сумма цифр числа должна делиться на 3 | 745 ,(7 + 4 + 5 = 15) |
| 4 | Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4 | 7924 |
| 5 | Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5 | 835 |
| 6 | Число должно делиться на 2 и на 3 | 234 ,(2 + 3 + 4 = 9) |
| 7 | На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой | 3626 ,(362 – 12 = 350) |
| 8 | Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8 | 63024 |
| 9 | Сумма цифр должна делиться на 9 | 2574 ,(2 + 5 + 7 + 4 = 18) |
| 10 | Число должно оканчиваться 0 | 1690 |
| 11 | Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11 | 1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ;12 – 1 = 11) |
| 13 | На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой | 299 , (29 + 36 = 65) |
| 25 | Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 | 7975 |
| 50 | Число должно оканчиваться на 00 или 50 | 2957450 |
| 100 | Число должно оканчиваться на 00 | 102300 |
| 1000 | Число должно оканчиваться на 000 | 3217000 |
| Признак делимости на 2 |
|
| Признак делимости на 3 |
|
| Признак делимости на 4 |
|
| Признак делимости на 5 |
|
| Признак делимости на 6 |
|
| Признак делимости на 7 |
|
| Признак делимости на 8 |
|
| Признак делимости на 9 |
|
| Признак делимости на 10 |
|
| Признак делимости на 11 |
|
| Признак делимости на 13 |
|
| Признак делимости на 25 |
|
| Признак делимости на 50 |
|
| Признак делимости на 100 |
|
| Признак делимости на 1000 |
|
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/gia/giaintrusprice.htm
Признаки делимости
Признаки делимости чисел сложно применять, поскольку их достаточно много. Зато знание таких признаков существенно экономит время, поскольку позволяет без деления узнать, делиться одно число на другое или нет. Разберемся в теме подробнее.
Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.
Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.
Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.
- Число делится на 2 только если является четным.
- Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
- Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3. Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.
Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.
То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3
Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.
Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7
Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0
По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.
Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:
Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.
Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.
Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.
| Признаки | Запомни |
| Признак делимости на 2 | Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём. |
| Признак делимости на 4 | Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. |
| Признак делимости на 8 | Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. |
| Признак делимости на 3 | Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. |
| Признак делимости на 6 | Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. |
| Признак делимости на 9 | Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9. |
| Признак делимости на 5 | Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0. |
| Признак делимости на 25 | Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25. |
| Признак делимости на 10,100 и 1000. |
|
| Признак делимости на 11 | Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. |
Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.
Средняя оценка: 4.1. Всего получено оценок: 68.
Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/priznaki-delimosti-tablica-s-primerami.html
Признаки делимости
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
- Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). - Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3. - Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7). - Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. - Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. - Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль. - Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n. - Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. - Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13). - Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. - Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
- Признак делимости на 18
- Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.
- Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19). - Признак делимости на 20
- Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5
- Признак делимости на 21
- Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3
- Признак делимости на 22
- Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11
- Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23). - Признак делимости на 24
- Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8
- Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75). - Признак делимости на 26
- Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13
- Признак делимости на 28
- Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7
- Признак делимости на 30
- Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3
- Признак делимости на 34
- Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17
- Признак делимости на 35
- Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7
- Признак делимости на 36
- Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9
- Признак делимости на 38
- Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19
- Признак делимости на 39
- Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13
- Признак делимости на 40
- Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8
- Признак делимости на 42
- Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7
- Признак делимости на 44
- Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11
- Признак делимости на 45
- Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.
Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.
Источник: https://LyudmilaNik.com.ua/formulas/priznaki-delimosti/
Признаки делимости натуральных чисел
Привет) Сегодня я хочу поговорить с вами об одном важном инструменте математики. Признаки делимости натуральных чисел – один из полезных навыков для быстрого счета.
Признак делимости на 2
Число делится на два, если оно четное (оканчивается на ноль или четное число – 2,4,6,8)
Например: 172 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 2 (четное число); 436 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 6 (четное число); 39587268 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 8 (четное число);
Признак делимости на 3
Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.
Например: 171 делится на 3, т.к. 1+7+1=9, а 9 делится на 3; 45132 делится на 3, т.к. 4+5+1+3+2=15, а 15 делится на 3;
Признак делимости на 4
Число делится на четыре, если две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.
Например: 144 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 44, а 44:4=11 ; 6724 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 24, а 24:4=6;
Признак делимости на 5
Число делится на пять, если оно оканчивается на 0 или 5.
Например: 135 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5; 1760 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 0; 93416295 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5;
Признак делимости на 6
Число делится на шесть, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно (т.е. оно четное и сумма его цифр делится на 3).
Например: 252 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 2+5+2=9 делится на 3; 4512 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 4+5+1+2=12 делится на 3; 94834578 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 8 и сумма его цифр 9+4+8+3+4+5+7+8=48 делится на 3;
Признак делимости на 7
1) Число делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с цифрой его единиц, делится на 7.
Например: 84 делится на 7, т.к. 8*3+4=28, а 28 делится на 7; 182 делится на 7, т.к. 18*3+2=56, а 56 делится на 7;
2) Число делится на 7, если разность удвоения единицы числа и оставшегося числа делится на 7.
Например: 448 делится на 7, т.к. 44-8*2=28, а 28 делится на 7; 658 делится на 7, т.к. 65-8*2=49, а 49 делится на 7;
Признак делимости на 8
1) Число делится на 8, если три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.
Например: 45000 делится на 8, т.к. оканчивается на три нуля; 2136 делится на 8, т.к. 136:8=17;
2) Трёхзначное число делится на 8, если цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8.
Например: 136 делится на 8, т.к. 6+2*3+4*1=16, а 16 делится на 8; 872 делится на 8, т.к. 2+7*2+8*4=48, а 48 делится на 8;
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Например: 459 делится на 9, т.к. 4+5+9=18 делится на 9; 123534 делится на 9, т.к. 1+2+3+5+3+4=18 делится на 9;
Признак делимости на 10
Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Например: 350 делится на 10, т.к. оканчивается на 0; 200 делится на 10, т.к. оканчивается на 0;
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если группы, образующие по две цифры (начиная с единиц) делятся на 11.
Например: 121 делится на 11, т.к. 01+21=22, а 22 делится на 11; 627 делится на 11, т.к. 06+27=33, а 33 делится на 11; 1859 делится на 11, т.к. 18+59=77, а 77 делится на 11;
Признак делимости на 25
Число делится на 25, если две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.
Например: 3450 делится на 25, т.к. оканчивается на 50, которое делится на 25; 78475 делится на 25, т.к. оканчивается на 75, которое делится на 25; 4568100 делится на 25, т.к. оканчивается двумя нулями;
Для того, чтобы вы проверили свои умения применять признаки делимости натуральных чисел на практике, предлагаю вам поработать с тренажером:
Тренажер №6. Признаки делимости
Обязательно сохраните закладку на эту страницу, чтобы периодически напоминать себе о признаках делимости и проверять свои умения. И конечно же пишите, если возникли какие-либо вопросы, в х ниже.
С уважением, Наталья Евгеньевна.
Источник: https://mathlove.ru/priznaki-delimosti-chisel.html
Загрузка...
