Признаки равнобедренного треугольника

Содержание

Геометрия 7 класс

УМК

А.Г. Мерзляк ,

В.Б. Полонский

О какой фигуре идет речь ?

Из трёх точек состоит из века в век,
Потому что так придумал человек.
Не лежат при этом точки на прямой,
Хоть и хочется друг к другу им домой.
Три отрезка их всю жизнь соединяют.
И вершинами те точки называют,
А отрезки сторонами величают.

О чем пойдет речь на уроке ?

Треугольник

Урок по теме « Признаки равнобедренного треугольников»
Урок
закрепления
знаний

7 класс

Формируемые результаты

Предметные : закрепить навыки применения признаков равнобедренного треугольника при решении задач.
Личностные : развивать готовность к самообразованию и решению творческих задач.
Метапредметные : формировать умение выдвигать гипотезы при решении задачи и понимание необходимости их проверки.

7 класс

Актуализация знаний

Какая фигура называется треугольником, элементы треугольника.

Что называется медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

Сформулировать 1 призрак равенства треугольников.

Сформулировать 2 призрак равенства треугольников.

7 класс
Актуализация знаний
Какие из треугольников, изображённых на рисунке, являются равнобедренными, почему?

У равнобедренных треугольников назовите боковые стороны, основание, углы при основании, угол, противолежащий основанию (угол при вершине равнобедренного треугольника).

7 класс
Актуализация знаний
Начертить в тетрадях равнобедренный треугольник
1 ряд — Остроугольный
2 ряд – Прямоугольный
3 ряд — Тупоугольный
и построить медиану и высоту к основанию, биссектрису угла при вершине, противолежащей основанию.

7 класс
Актуализация знаний
– Обладает ли этим свойством биссектриса, проведенная из вершин двух других углов равнобедренного треугольника к противолежащей стороне?
– Обладают ли этим свойством биссектрисы, проведенные в разностороннем треугольнике (демонстрация заготовленного рисунка)?
– Какое свойство равнобедренного треугольника установили практическим путем (учащиеся формулируют теорему)?

7 класс

При решении задач по теме «Равнобедренный треугольник» необходимо пользоваться следующими известными свойствами:

Углы, лежащие напротив равных

сторон равны между собой.

Биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из равных углов, равны

между собой.

Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, между собой совпадают.
Углы, которые являются равными в равнобедренном треугольнике всегда острые.

7 класс

Треугольник является равнобедренным, если у него присутствуют следующие признаки:

Два угла у треугольника равны.
Высота совпадает с медианой.
Биссектриса совпадает с медианой.
Высота совпадает с биссектрисой.
Две высоты треугольника равны.
Две биссектрисы треугольника

равны.

Две медианы треугольника равны.

Закрепление
изученного
материала

7 класс
№ 1
В треугольнике АВС биссектриса ВР является его высотой.
Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВР равен 16 см и ВР =5см.
В
С
А
Р

7 класс
О
№ 2
Медианы АЕ и СК, проведенные к боковым сторонам ВС и АВ равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке О. Докажите , что треугольник
АОС- равнобедренный.
В
Е
К
С
А

7 класс

№ 3

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки D и E так, что углы ЕАС и DСА равны. Отрезки АЕ и СD пересекаются в точке F так, что DF=ЕF.

Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

7 класс

№ 4

Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите сторону АВ, если ВС = 16 см.

7 класс
№ 5
В треугольнике АВС известно, что └С=90º, └А= 67,5º, └В= 22,5º, СК – биссектриса треугольника ВСК.
Докажите, что точка М – середина отрезка АВ.
В
М
К
А
С

Контроль и коррекция знаний

№ 6

Заполните пропуски:

Докажите, что если медиана треугольника является высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:
Рассмотрим Δ АВС, у которого отрезок ВМ ___________ и
__________. Надо доказать, что АВ =___, из условия теоремы следует, что прямая ВМ-__________________ отрезка АС. Тогда по свойству______________________
____ = ____

№ 6

Заполните пропуски:

Докажите, что если медиана треугольника является высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:
Рассмотрим Δ АВС, у которого отрезок ВМ медиана и

высота . Надо доказать, что АВ = ВС из условия теоремы следует, что прямая ВМ- серединный перпендикуляр отрезка АС. Тогда по свойству серединного перпендикуляра

АВ = ВС.
В
А
С
М

№ 7

Заполните пропуски:

Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:
Рассмотрим Δ АВС, у которого отрезок ВК ___________ и

__________. Надо доказать, что ___ =___.

В Δ АВК и Δ ____ сторона ВК — _______ .

└ АВК = └ ____, т.к. по условию ВК – биссектриса угла АВС,

└ АКВ = └ ___= ____ т.к. по условию ВК- высота.

Следовательно треугольники АВК и ___ равны по
________ признаку равенства треугольников,
тогда стороны АВ и ВС равны как
___________ .
В
С
А
К

№ 7

Заполните пропуски:

Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:
Рассмотрим Δ АВС, у которого отрезок ВК- биссектриса и

высота . Надо доказать, что АВ = ВС .

В Δ АВК и Δ СВК сторона ВК — общая .

└ АВК = └ СВК , т.к. по условию ВК – биссектриса угла АВС,

└ АКВ = └ СКВ = 90º т.к. по условию ВК- высота.

Следовательно треугольники АВК и СВК равны по
второму признаку равенства треугольников,
тогда стороны АВ и ВС равны как
соответственные .
В
С
А
К

И т о г

у р о к а

Источник: https://multiurok.ru/files/priznaki-ravnobiedriennogho-trieughol-nika-7-klass.html

Презентация на тему: Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Скачать эту презентацию

Получить код Наши баннеры

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

Урок геометрии, 7 класс МБОУ «Малыгинская СОШ» Учитель: Федюнина Валентина Александровна * 5klass.net

№ слайда 2

Описание слайда:

Девиз нашего урока : «Есть в математике нечто, вызывающее восторг» На уроках геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. *

№ слайда 3

Описание слайда:

«Установка» : «Развивать и тренировать своё геометрическое зрение.» Кто ничего не замечает, Тот ничего не изучает. Кто ничего не изучает, Тот вечно хнычет и скучает. *

№ слайда 4

Описание слайда:

Треугольник – самая простая замкнутая геометрическая фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности В одном египетском папирусе 4000-летней давности говорилось о площади равнобедренного треугольника.

Через 2000 лет в Древней Греции очень активно велось изучение его свойств. Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой и, в частности, изучению свойств треугольников.

Большой вклад в исследование треугольников внес знаменитый математик …, имя которого мы назовём, ответив на следующие вопросы

№ слайда 5

Описание слайда:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны ; *

№ слайда 6

Описание слайда:

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны ; *

№ слайда 7

Описание слайда:

Биссектриса треугольника – луч, делящий угол на два равных угла ; *

№ слайда 8

Описание слайда:

Отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника ; *

№ слайда 9

Описание слайда:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения всегда лежит внутри треугольника ; *

№ слайда 10

Описание слайда:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести, по крайней мере, два перпендикуляра к ней ; *

№ слайда 11

Описание слайда:

Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образуется хотя бы один прямой угол *

№ слайда 12

Описание слайда:

Сумма углов треугольника равна двести градусов. ; *

№ слайда 13

Описание слайда:

Три стороны треугольника пересекаются в одной точке, и она всегда лежит внутри треугольника ; *

№ слайда 14

Описание слайда:

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка лежит внутри треугольника . *

№ слайда 15

Описание слайда:

Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала», состоящие из 15 книг. В 1-й книге изучаются свойства треугольников * Древнегреческий математик. Дата рождения: ок. 325 года до н.э. Научная сфера: математика Известен как: «Отец Геометрии»

№ слайда 16

Описание слайда:

На каких рисунках изображены: а) медианы: *

№ слайда 17

Описание слайда:

На каких рисунках изображены: а) биссектрисы *

№ слайда 18

Описание слайда:

На каких рисунках изображены: а) высоты: *

№ слайда 19

Описание слайда:

5.12.12. Классная работа Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. *

№ слайда 20

Описание слайда:

Кто может растолковать понятие «свойство»? Что это такое? *

№ слайда 21

Описание слайда:

Свойство — характеристика, присущая вещам и явлениям, позволяющая отличать или отождествлять их. Каждому предмету присуще бесчисленное количество свойств, которые делятся на существенные и несущественные, необходимые и случайные, общие и специфические.. *

№ слайда 22

Описание слайда:

СВОЙСТВО — СВОЙСТВО, а, ср. Качество, признак, составляющий отличительную особенность кого чего н. … Толковый словарь Ожегова свойство — свойство особенность, присущая предмету и позволяющая включить его в тот или иной класс предметов.

… Энциклопедический словарь I. СВОЙСТВО а; ср. кого чего. Существенный признак, качество, отличающее один предмет или одно лицо от другого; отличительная особенность, черта кого, чего либо.

… Толковый словарь русского языка Кузнецова *

№ слайда 23
№ слайда 24

Описание слайда:

Цель: 1)Выяснить какие треугольники являются равнобедренными; 2)Какими свойствами они обладают. Оборудование: масштабная линейка, треугольник, транспортир, циркуль *

№ слайда 25

Описание слайда:

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a655-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a654-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm *

№ слайда 26

Описание слайда:

Ход работы: 1. Постройте два равнобедренных и один равносторонний треугольник, вырежьте их. 2.Методом сгибания исследуйте треугольники: найдите равные стороны и углы 3.Методом измерения исследуйте треугольники . 4Полученные результаты занести в таблицу. 5.Сделайте выводы. 6.Докажите свойства равнобедренного треугольника. *

№ слайда 27

Описание слайда:

Выводы: У равнобедренного треугольника боковые стороны равны. Не всякая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, а только та, которая проведена из вершины к основанию. Углы равнобедренного треугольника при основании равны. (Теоретически обосновали экспериментально полученные результаты )

№ слайда 28

Описание слайда:

Какие из треугольников, изображённых на рисунке, являются равнобедренными, почему? У равнобедренных треугольников назовите: боковые стороны, основание, углы при основании, угол, противолежащий основанию (угол при вершине равнобедренного треугольника).

№ слайда 29

Описание слайда:

Решение задач В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 9см, а основание 5см. Вычислите периметр треугольника. В равнобедренном треугольнике основание равно 7см, а периметр равен 17см.

Вычислите боковую сторону треугольника. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6см, а периметр 22см. Вычислите основание треугольника. В равностороннем треугольнике периметр равен 21см.

Вычислите сторону треугольника.

№ слайда 30

Описание слайда:

Решение задач Найдите угол KBA. ےKBA = 70° ےKBA = 40° ےKBA = 110° 1 2 3

№ слайда 31

Описание слайда:

Решение задач Найдите угол KBA. ےKBA = 70° ےKBA = 100° ےKBA = 90° 4 5 6

№ слайда 32

Описание слайда:

Задача № 7 Найти ∠ВАС 300 В А С D Решение: АD –высота равнобедренного ∆ АВС, значит является и биссектрисой, ∠ВАD=∠САD=300 ∠ВАС=∠ВАD +∠САD=600 *

№ слайда 33

Описание слайда:

Контрольные вопросы Какой треугольник называется равнобедренным? Какой треугольник называется равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Каким свойством обладают углы в равнобедренном треугольнике? Каким свойством обладает биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника?

№ слайда 34

Описание слайда:

Домашнее задание Изучить п. 18 Выполнить №108 на стр. 37.

№ слайда 35

Описание слайда:

* Достройте треугольник своего настроения

№ слайда 36

Скачать эту презентацию

Скачивание материала начнется через 60 сек. А пока Вы ожидаете, предлагаем ознакомиться с курсами видеолекций для учителей от центра дополнительного образования «Профессионал-Р» (Лицензия на осуществление образовательной деятельности

№3715 от 13.11.2013).

Получить доступ

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/svojjstva-i-priznaki-ravnobedrennogo-treugolnika0.html

Сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две его стороны равны
Признак равнобедренного треугольника – если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный
Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
Свойство углов при основании равнобедренного треугольника – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Сформулируйте определение биссектрисы треугольника. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны
Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника – в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Сформулируйте определение медианы треугольника. Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Свойство медианы равнобедренного треугольника – медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой

Сформулируйте определение высоты треугольника. Сформулируйте свойство высоты равнобедренного треугольника.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
Свойство высоты равнобедренного треугольника – высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой
Сформулируйте неравенство треугольника.
Неравенство треугольника – каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Сформулируйте определение равных треугольников. Сформулируйте признаки равенства треугольников.

Равные треугольники – элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника

Первый признак равенства треугольников – если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углы между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников – если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Третий признак равенства треугольников – если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 33;

Источник: https://studopedia.net/15_89061_sformuliruyte-opredelenie-ravnobedrennogo-treugolnika-sformuliruyte-priznak-ravnobedrennogo-treugolnika.html

Геометрия

Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы.

Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, — очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.
Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.
Третий признак: по трём сторонам.
Мы напомнили их краткую формулировку.
Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике $$ ABC$$ углы обозначать $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,
$$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$ – стороны, противолежащие углам $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,
$$ {h}_{a}$$, $$ {h}_{b}$$, $$ {h}_{c}$$ – высоты к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$,
$$ {m}_{a}$$, $$ {m}_{b}$$, $$ {m}_{c}$$ – медианы к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$.

Покажем, как важно точно помнить формулировки теорем. Пусть треугольники $$ ABC$$ и `A^'B^'C^'` таковы, что `b^'=b`, `c^'=c` и `/_B^'=/_B`.

Будут ли эти треугольники равны? Есть первый признак равенства «по двум сторонам и углу», но «углу между ними», а здесь какой угол? Нарисуем некоторый треугольник $$ ABC$$ (рис.

3) и отметим стороны и угол, о которых идёт речь: это не тот угол!


Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5

Приведём пример треугольника `A^'B^'C^'` (рис. 5), который не равен треугольнику $$ ABC$$ `(B^'C^'!=BC)`, хотя `c=c^'`, `b=b^'` и `/_B=/_B^'`.

Рисунок 4 поясняет, как треугольник `A^'B^'C^'` получается из треугольника $$ ABC$$.

Приведём ещё пример (рис. 6), который показывает, что слова «прилежащим к стороне» чрезвычайно важны в формулировке второго признака равенства треугольников.

Здесь $$ AB={A}_{1}{B}_{1}$$, $$ angle C=angle {A}_{1}=90°$$, $$ angle B=angle {B}_{1}=45°$$

Рис. 6

(Сторона одного треугольника равна стороне другого, два угла первого равны двум углам второго).

Но равные углы не прилежат к равным сторонам и `DeltaABC!=DeltaA_1B_1C_1`. Как легко видеть, треугольник $$ ABC$$ равен треугольнику $$ {A}_{1}{B}_{1}D$$ который составляет часть треугольника $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$.

Треугольники $$ ABC$$ и `A^'B^'C^'` таковы, что равны их медианы, проведённые из вершин `B` и `B^'` и равны углы, которые образуют эти медианы со сторонами $$ a$$ и $$ c$$ и со сторонами `a^'` и `c^'` соответственно. Доказать, что `DeltaABC=DeltaA^'B^'C^'`.Решение

При доказательстве мы рисуем треугольники, о которых идёт речь, в наиболее удобном положении (см. рис. 7), что возможно по аксиоме «перемещения треугольника», иначе называемой аксиомой «существования треугольника, равного данному».

Рис. 7

Итак, $$ AM=CM$$, `A^'M^'=C^'M^'`, `BM=B^'M^'` равные углы $$ ABM$$ и `A^'B^'M^'` обозначим $$ alpha $$ вторую пару равных углов обозначим $$ phi $$.

1. В треугольнике $$ ABC$$ продолжим медиану $$ BM$$ за точку $$ M$$ и на прямой $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD=BM$$. Рассмотрим треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$.

Имеем: $$ AM=CM$$ (т. к. `BM` – медиана),

$$ BM=DM$$ (по построению),
$$ angle AMB=angle CMD$$ (как вертикальные).
По первому признаку равенства треугольников $$ △ABM= △CDM$$ В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны $$ (AB=CD)$$ и против равных сторон лежат равные углы (поэтому $$ angle CDM=alpha $$).
Аналогичное построение осуществим с треугольником `A^'B^'C^'` получим, что `A^'B^'=C^'D^'` и `/_C^'D^'M^'=alpha`.

2. Теперь рассмотрим треугольники $$ BCD$$ и `B^'C^'D^'`.

Так как `BD=B^'D^'` и прилежащие к отрезкам $$ BD$$ и `B^'D^'` углы соответственно равны $$ phi $$ и $$ alpha $$, то `Delta BCD=DeltaB^'C^'D^'` по второму признаку равенства. Из этого равенства следует `CD=C^'D^'` (т. е. `c=c^'`) и `BC=B^'C^'` (т. е. `a=a^'`).

3. Вновь рассматриваем треугольники $$ ABC$$ и `A^'B^'C^'` Угол при вершине $$ B$$ равен углу при вершине `B^'` и равны стороны, образующие этот угол. По первому признаку равенства `Delta ABC=Delta A^'B^'C^'`.

Источник: https://zftsh.online/course/1540/-2-priznaki-ravenstva-treugolnikov-ravnobedrennyj-treugolnik-pryamougolnyj-treugolnik-teoremy-ob-uglah

Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки

Середина урока

Задание 2. Вывод: (заполняют таблицу). Прием работает на развитие критического мышления, развитие памяти и умение логически мыслить.

З (знаю)	У (узнаю)
Свойства равнобедренного треугольника	Как доказать признаки равнобедренного треугольника?
Признаки равенства треугольников	Как решать простейшие задачи, применяя свойства и признаки равнобедренного треугольника?
Признаки равнобедренного треугольника
Как доказываются свойства равнобедренного треугольника

Учитель должен провести сравнение с изученным материалом, мотивируя учащихся на выполнение нового.
Подготовка к активному и сознательному усвоению темы.
Запишем тему урока в тетрадь. «Применение свойств и признаков равнобедренного треугольника при решении задач»

Физминутка. Прием «Данетка».

Если ответ «Да» — хлопаем в ладошки, если «нет» -встаем

Верите ли вы, что фигура с двумя одинаковыми сторонами – равнобедренный треугольник?
Верите ли вы, что в медиана треугольника делит угол пополам?
Верите ли вы, что высота – это перпендикуляр, проведенный к противоположной стороне треугольника?
Верите ли вы, у равнобедренного треугольника два свойства?
Верите ли вы, что у равнобедренного треугольника три признака?
Верите ли вы, что определение и свойство означает одно и то же?

Ответы: да ; нет; да; да; нет; нет;

Задание 3. Работа в группах.

Прочитать доказательство признаков равнобедренного треугольника по учебнику, группа выбирает один из признаков (карточки с номерами). Сначала ученики в группах работают с материалом учебника, затем работают с карточками.

Далее группа доказывает один из признаков равнобедренного треугольника, используя системный графический органайзер (часы). Можно использовать вопросы для объяснения доказательства

С чего все началось?
Каковы основные узлы цикла?
Как они взаимодействуют?
Что было на следующих этапах?
Связаны ли эти события между собой?
Чем все закончилось?

Всем группам предлагается нарисовать часы, разбить их на 12 частей, карточки с алгоритмом доказательства признаков распределить в определенной последовательности.
Задание 1 и 3 группе.
Признак равнобедренного треугольника по двум равным углам.

А В
М
‹А = ‹С.

Доказать: ∆АВС — равнобедренный
Дополнительное построение: проведем биссектрису треугольника ВМ
Используем определение биссектрисы, углы АВМ и СВМ равны
Свойство суммы внутренних углов треугольника
Докажем, что углы АМВ и СМВ равны
Рассмотрим ∆АВС и ∆ВСМ
Доказать равенство треугольников, используя признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам
Используем свойства равных треугольников
Доказываем, что стороны АВ и ВС равны
Используем определение равнобедренного треугольника

Задание 2 и 4 группе.

Признак равнобедренного треугольника

А М В

ВМ — медиана, биссектриса и высота

Доказать: ∆АВС — равнобедренный
Используем определение высоты, вывод: углы АМВ и СМВ равны
Используем определение медианы, вывод: АМ =МС
Рассмотрим ∆АВС и ∆ВСМ
Докажем равенство треугольников, используя признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам
Используем свойство равных треугольников
Доказываем, что стороны АВ и ВС равны
Используем определение равнобедренного треугольника

Подведение итогов данной работы группы. Обсуждение в группе в течение выполнения заданий и стимулирование их на понимание доказательства

Доказательство и защита от каждой команды выступают спикеры команд. 1 группу оценивает по критериям 2 группу и т.д. Любой ученик оценивает работу группы по критериям, используя стаканы. Стакан красного цвета – «Великолепно!»

Стакан зеленого цвета – «Замечательно!»

Стакан желтого цвета – «Превосходно!»

Критерии оценивания
знают определение равнобедренного треугольника;
знают определение медианы треугольник;
знают определения биссектрисы треугольника;
знают определения высоты треугольника;
Умеют различать определение, свойства и признаки;
Понимают последовательность доказательства;

Дескриптор Обучающийся

Даёт определение равнобедренного треугольника и его элементов (высоты, медианы, биссектрисы);
Понимает, как доказывать признак;
Может сформулировать свойства.
Видит равные треугольники, стороны и углы.

Закрепление и внедрение в практику.
Задание 4. «Задачи по готовым чертежам»
Проверка закрепления теоретического материала с помощью практических задач на применение свойств и признаков.
Обмен решениями и оценивание («Карусель»).
Учитель контролирует ход выполнения группами задач.
1 задача.

2 задача.
Дано:
АК = КС = 2;
Найти:
ВС и АС
В
3
А К С
3 задача.

4 задача.
Дано:
АК = КС = 3; Найти:
В
А К С
прием «ЗУ»
презентация
презентация
презентация
раздаточный материал,
презентация
презентация
презентация
таблица
презентация
раздаточный материал
презентация
Раздаточный материал
презентация

Источник: https://kopilkaurokov.ru/geometria/uroki/ravnobedrennyi_treugolnik_ego_svoistva_i_priznaki

Признак равнобедренного треугольника Теорема. (Признак равнобедренного треугольника.) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство. — презентация

1 Признак равнобедренного треугольника Теорема. (Признак равнобедренного треугольника.) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС угол А равен углу В.

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников, примененным к треугольнику АВС и треугольнику ВАС, т.е. к тому же самому треугольнику, вершины в котором записаны в другом порядке. Имеем, сторона АВ равна стороне ВА, A = B, B = A. Следовательно, АС = ВС, т.

е. треугольник АВС — равнобедренный.

2 Свойства равнобедренного треугольника Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC, CD – биссектриса.

Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства: AD = BD, уголADC равен углу BDC.

Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.

3 Упражнение 1 В треугольнике CDE угол 1 равен углу 2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник? Ответ: Да.

4 Упражнение 2 Ответ: а), б), в) Да. В треугольнике FGH угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?

5 Упражнение 3 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC биссектриса CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

6 Упражнение 4 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC медиана CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если медиана треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

7 На рисунке CD = BD, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол ACB равен углу ABC. Решение. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, угол ADB равен углу ADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный и, значит, угол ACB равен углу ABC. Упражнение 5

8 На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Докажите, что угол 3 равен углу 4. Решение.

Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу ABD, угол BAC равен углу BAD).

Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3 равен углу 4. Упражнение 6

9 На рисунке DC = BC и угол B равен углу D. Докажите, что АВ = AD Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC). Следовательно, имеет место равенство углов DBC и BDC. Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB. Значит, треугольник ABD – равнобедренный и, следовательно, АВ = AD. Упражнение 7

10 На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD = CD. Решение. Проведем отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BAC равен углу BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный и, следовательно, AD = CD. Упражнение 8

11 Упражнение 9 Решение. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

12 Упражнение 10 Ответ: 15 м. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD — 40 м.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1058089/

Презентация на тему "Свойства и признаки равнобедренного треугольника"

Слайд 1 Равнобедренный треугольник
и его свойства
Урок геометрии, 7 класс МБОУ «Малыгинская СОШ»
Учитель: Федюнина Валентина Александровна 1
5klass.net
Слайд 2 Девиз нашего урока : «Есть в математике нечто,
вызывающее восторг»
На уроках геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур.
2
Слайд 3 «Установка» : «Развивать и тренировать своё геометрическое зрение.»
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.
3
Слайд 4 Треугольник – самая простая замкнутая
геометрическая фигура, одна из первых,
свойства которой человек узнал ещё в
глубокой древности В одном египетском папирусе 4000-летней давности говорилось о площади равнобедренного треугольника. Через 2000 лет в Древней Греции очень активно велось изучение его свойств. Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой и, в частности, изучению свойств треугольников. Большой вклад в исследование треугольников внес знаменитый математик …, имя которого мы назовём, ответив на следующие вопросы
Слайд 5 Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны ; (Е)
5
Слайд 6 Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны ; Е
(В)
6
Слайд 7 Биссектриса треугольника – луч, делящий угол на два равных угла ; В
Е
(Н)
7
Слайд 8 Отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника ; Е
В
(К)
8
Слайд 9 Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения всегда лежит внутри треугольника ; ЕВК (Л)
9
Слайд 10 Из точки, не лежащей на прямой, можно провести, по крайней мере, два перпендикуляра к ней ; ЕВКЛ
(М)
10
Слайд 11 Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образуется хотя бы один прямой угол ЕВКЛ
(И)
11
Слайд 12 Сумма углов треугольника равна двести градусов. ; ЕВКЛИ
(П)
12
Слайд 13 Три стороны треугольника пересекаются в одной точке, и она всегда лежит внутри треугольника ; ЕВКЛИ
(С)
13
Слайд 14 Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка лежит внутри треугольника . ЕВКЛИ
(Д)
14
Слайд 15 Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала»,
состоящие из 15 книг. В 1-й книге изучаются свойства треугольников
ЕВКЛИД
15
Древнегреческий математик.
Дата рождения: ок. 325 года до н.э.
Научная сфера: математика
Известен как: «Отец Геометрии»
Слайд 16 На каких рисунках изображены: а) медианы: 16
Слайд 17 На каких рисунках изображены: а) биссектрисы 17
Слайд 18 На каких рисунках изображены: а) высоты: 18
Слайд 19 5.12.12.
Классная работа
Равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника. 19
Слайд 20 Кто может растолковать понятие «свойство»? Что это такое? 20
Слайд 21 Свойство — характеристика, присущая вещам и явлениям, позволяющая отличать или отождествлять их. Каждому предмету присуще бесчисленное количество свойств, которые делятся на существенные и несущественные, необходимые и случайные, общие и специфические.. 21
Слайд 22 СВОЙСТВО — СВОЙСТВО, а, ср. Качество, признак, составляющий отличительную особенность кого чего н. … Толковый словарь Ожегова
свойство — свойство особенность, присущая предмету и позволяющая включить его в тот или иной класс предметов. … Энциклопедический словарь
I. СВОЙСТВО а; ср. кого чего. Существенный признак, качество, отличающее один предмет или одно лицо от другого; отличительная особенность, черта кого, чего либо. … Толковый словарь русского языка Кузнецова
22
Слайд 23 Лабораторно-
исследовательская работа «Равнобедренный треугольник и его свойства» 23
Слайд 24 Цель:
1)Выяснить какие треугольники являются равнобедренными; 2)Какими свойствами они обладают.
Оборудование: масштабная линейка, треугольник, транспортир, циркуль
24
Слайд 25 Построение циркулем и линейкой
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a655-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a654-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm 25
Слайд 26 Ход работы:1. Постройте два равнобедренных и один равносторонний треугольник, вырежьте их.2.Методом сгибания исследуйте треугольники: найдите равные стороны и углы3.Методом измерения исследуйте треугольники . 4Полученные результаты занести в таблицу.5.Сделайте выводы.6.Докажите свойства равнобедренного треугольника. 26
Слайд 27 У равнобедренного треугольника боковые стороны равны.
Не всякая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, а только та, которая проведена из вершины к основанию.
Углы равнобедренного треугольника при основании равны.
(Теоретически обосновали экспериментально полученные результаты )
Слайд 28 Какие из треугольников, изображённых на рисунке, являются равнобедренными, почему? У равнобедренных треугольников назовите: боковые стороны, основание, углы при основании, угол, противолежащий основанию (угол при вершине равнобедренного треугольника).
Слайд 29 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 9см, а основание 5см. Вычислите периметр треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание равно 7см, а периметр равен 17см. Вычислите боковую сторону треугольника.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6см, а периметр 22см. Вычислите основание треугольника.
В равностороннем треугольнике периметр равен 21см. Вычислите сторону треугольника.
Слайд 30 Найдите угол KBA. A
B
K 70
1
A
K
B
C 40 2
C
B 70 A
K 3
ےKBA = 70° ےKBA = 40°
ےKBA = 110°
1
2 3
Слайд 31 Найдите угол KBA. A 70
K
B
E
C
4
A
K
B
50 5
B
C A
K 6 ےKBA = 70°
ےKBA = 100° ےKBA = 90°
4
5
6
Слайд 32 Задача № 7 Найти ∠ВАС
300
В
А
С
D
Решение:
АD –высота равнобедренного ∆ АВС, значит является и биссектрисой, ∠ВАD=∠САD=300 ∠ВАС=∠ВАD +∠САD=600 32
Слайд 33 Какой треугольник называется равнобедренным?
Какой треугольник называется равносторонним?
Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
Каким свойством обладают углы в равнобедренном треугольнике?
Каким свойством обладает биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника?
Слайд 34 Изучить п. 18
Выполнить №108 на стр. 37.
Слайд 35 35 Достройте треугольник своего настроения
Слайд 36 Спасибо за урок!
Удачи! 36

Посмотреть все слайды

Источник: https://pptcloud.ru/matematika/svoystva-i-priznaki-ravnobedrennogo-treugolnika