Свойства параболы, с примерами

Функция y = ax² + bx + c, где a, b и c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется квадратичной функцией. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Молярная масса газа, формула и примеры

Оценим за полчаса!

При этом многочлен ax² + bx + c называют квадратным трехчленом. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного трехчлена: a — первым коэффициентом, b — вторым,                        c — свободным членом. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.

Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение                 ax² + bx + c = 0. Рассмотрим пример, найдем корни квадратного трехчлена x² — x — 2. Решая уравнение x² — x — 2 = 0, получаем: x1 = -1, x2 = 2.

Число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от знака его дискриминанта                     D = b² — 4ac, а значит и квадратный трехчлен:

  • имеет два различных корня, если D > 0;
  • имеет один корень (два равных корня), если D = 0;
  • не имеет действительных корней, если D  0, корни этого трехчлена: x1 = 5/3,  x2 = 1.
  • Квадратный трехчлен 4x² — 4x + 1 имеет один корень, так как D = 4² — 4*4*1 = 0, корень этого трехчлена  х = 1/2.
  • Квадратный трехчлен 2x² — 5x + 6 не имеет действительных корней, так как                                       D = 5² — 4*2*6 = — 23 < 0.

График квадратичной функции

Рассмотрим самую простую квадратичную функцию y = x², т. е. функцию y = ax² + bx + c, при a = 1, b = c = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений.

   х   -2   -1    0    1    2
   у    4    1    0    1    4

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Свойства параболы, с примерами

Кривая, являющаяся графиком функции y = x², называется параболой. Ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы y = x² является начало координат.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Соединения серы: формулы, свойства и примеры

Оценим за полчаса!

Рассмотрим функцию вида y = 2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

     x     -2     -1     0      1      2
      y      8      2     0      2      8

Свойства параболы, с примерами

Сравним графики функций y = 2х² и y = х². При одном и том же х значение функции y = 2х² в 2 раза больше значения функции y = х². Это значит, что каждую точку графика y = 2х² можно получить из точки графика функции y = х² с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 2х² получается растяжением графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = 1/2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

    х   -2   -1    0     1    2
    y    2   0.5    0   0.5    2

Свойства параболы, с примерами

Сравним графики функций y = 1/2x² и y = х². Каждую точку графика y = 1/2x² можно получить из точки графика функции  y = х² с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x² получается сжатием графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = —x²,  и сравним с функцией y = х². При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции y = —x² можно получить симметрией относительно оси абсцисс графика функции  y = х². Составим таблицу значений.

   х   -2   -1    0    1    2
   у    -4   -1    0    -1    -4

Свойства параболы, с примерами

Говорят, что ветви параболы y = х² направлены вверх, а ветви параболы y = —x² направлены вниз. Аналогично график функции y = -2х² симметричен графику функции y = 2х² относительно оси абсцисс.

График функции y = -1/2х² симметричен графику функции y = 1/2х² относительно оси абсцисс. График функции y = ах² при любом а ≠ 0 также называют параболой.

При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 вниз.

Рассмотрим функцию вида y = x² — 2х — 3, чтобы построить график составим таблицу значений.

   х   -2   -1    0     1     2    3    4
   у    5    0    -3    -4   -3    0    5

Свойства параболы, с примерами

Вообще, графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы      y = ax² вдоль координатных осей. Равенство y = ax² + bx + c называют уравнением параболы.

Источник: https://prostoi-sovet.ru/kvadratichnaya-funkciya-ee-svojstva-primery-i-grafik.html

Квадратичная функция — урок. Алгебра, 8 класс

Функция y=kx2 и её график

В (7)-м классе мы изучали функции (у = m), (у = kx), (у = kx + m), y=x2 и пришли в итоге к выводу, что уравнение с двумя переменными вида (у = f(x)) (функция) есть математическая модель, удобная для того, чтобы, задав конкретное значение независимой переменной (x) (аргумента), вычислить соответствующее значение зависимой переменной (y).

На самом деле функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: если (k = 1), то получаем y=x2; эту функцию мы изучили в (7)-м классе, и ты, наверное, помнишь, что её графиком является парабола.

Свойства параболы, с примерами

Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента (k).

Рассмотрим две функции: y=2×2 и y=0.5×2. Составим таблицу значений для первой функции y=2×2:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (1.5) (-1.5)
(y) (0) (2) (2) (8) (8) (4.5) (4.5)

Построим точки ((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

Свойства параболы, с примерами

Составим таблицу значений для второй функции y=0.5×2:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (3) (-3)
(y) (0) (0.5) (0.5) (2) (2) (4.5) (4.5)

Построим точки ((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

Свойства параболы, с примерами

Сравни полученные рисунки. Не правда ли, проведённые линии похожи? Каждую из них называют параболой.

Точку ((0; 0)) называют вершиной параболы, а ось (y) — осью симметрии параболы.

Обрати внимание!

От величины коэффициента (k) зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как ещё говорят, «степень крутизны» параболы.

  • Точно так же обстоит дело с любой другой функцией вида y=kx2, где (k > 0).
  • Графиком её является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причём тем круче, чем больше коэффициент (k).
  • Ось (y) является осью симметрии параболы.
  • Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции y=kx2» говорят «парабола y=kx2», а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы».
  • Ты замечаешь, что имеется аналогия с функцией (у = kx)?

Если (k > 0), то графиком функции (у = kx) является прямая, проходящая через начало координат (помнишь, мы говорили коротко: прямая (у = kx)), причём и здесь от величины коэффициента (k) зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на рисунке, где в одной системе координат изображены графики линейных функций (у = kx) при трёх значениях коэффициента (k).

Свойства параболы, с примерами

Вернёмся к функции y=kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента (k). Построим, например, график функции y=−x2 (здесь (k = — 1)). Составим таблицу значений:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (3) (-3)
(y) (0) (-1) (-1) (-4) (-4) (-9) (-9)

Отметим точки ((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; — 9)) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

Свойства параболы, с примерами

Это парабола с вершиной в точке ((0; 0)), ось (y) — ось симметрии, но в отличие от случая, когда (k > 0), на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента (k).

Обрати внимание!

Итак, графиком функции y=kx2 (k≠0) является парабола с вершиной в начале координат; ось (y) является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при (k>0) и вниз — при (k

Источник: https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/kvadratichnaia-funktciia-funktciia-y-k-x-11012/funktciia-y-kx-ee-svoistva-i-grafik-11013/re-5f2a88e5-3886-4634-a308-dc5e33000472

График квадратичной функции, формула

Правило Любую квадратичную функцию Свойства параболы, с примерами можно представить в виде Свойства параболы, с примерами, где Свойства параболы, с примерами Правила 1)  y = 2×2 — 4x + 3.

  •    I способ — выделение полного квадрата:
  • y = 2×2 — 4x + 3 = 2(x2 — 2x) + 3 =
  • = 2(x2 — 2 • x • 1 + 12) — 2 • 12 + 3 = 2(x — 1)2 + 1;
  •    II способ — по формулам:
  • x0 =    -4   2 • 2 = 1,    y0 = y(1) = 2 • 12 — 4 • 1 + 3 = 1, значит y = 2(x — 1)2 + 1.
  • 2)  y = 2 — 3×2 + x = 2 — 3(x2 — 13x) =
  • = 2 — 3(x2 — 2 • 16 • x + (16)2 + 3 • (16)2) = -3 (x — 16)2 + 2 1 12.

Правило График функции — y = a(x — x0)2 + y0 — парабола, которую можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов (сдвигов:

Читайте также:  Строение атома калия (k), схема и примеры

1)  вдоль оси OX на X0 вправо, если x0 > 0,

или на |x0| влево, если x0 < 0;

2)  вдоль оси OY на y0 вверх, если y0 > 0,

или на |y0| вниз, если y0 < 0.

Порядок выполнения сдвигов — любой.

Правило Вершина параболы y = a(x — x0)2 + y0 — точка O1(x0,y0).

Ось симметрии — прямая x = x0.

Область значений — интервал [y0, +?), если a > 0, или (-?, y0], если a < 0.

Пример 1 1)  y = 2×2 — 4x + 3 y = 2(x -1)2 + 1 Свойства параболы, с примерами Пример 2 2)  y = 1 — 12x2 — 2x y = -(x + 2)2 + 3 Свойства параболы, с примерами

  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/grafik-kvadratichnoj-funktsii.html

10.10. Парабола и ее свойства



В § 7 мы получили уравнение фигуры, каждая точка которой равноудалена от данной точки A и данной прямой l, и назвали ее параболой. В выбранной системе координат ее уравнение имело вид

Сделаем поворот системы координат на угол 90°, воспользовавшись формулами поворота

Свойства параболы, с примерами

Запишем уравнение параболы в новой, канонической системе координат:

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. В дальнейшем знак «штрих» при переменных для удобства мы будем опускать.

Приведем следующие свойства параболы:

Свойство 10.10. 

Парабола имеет ось симметрии.

Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x; –y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox. Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат.

Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

Свойство 10.11. 

Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.

Действительно, так как параметр p положителен, то уравнению  могут удовлетворять только точки с неотрицательными абциссами, то есть точки полуплоскости x ≥ 0.

При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами  будет иметь новые координаты, определяемые из соотношений

Таким образом, точка A будет иметь в канонической системе координаты  Данную точку  называют фокусом параболы и обозначают буквой F.

Прямая l, задаваемая в старой системе координат уравнением  в новой системе координат будет иметь вид  или, опуская штриховку,

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметром параболы. Очевидно, он равен p. Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.

1
Рисунок 10.10.1

Источник: https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter10/section/paragraph10/theory.html

Квадратичная функция и ее график

Середина урока

5 мин

1. Актуализация знаний учащихся. Математический диктант «да-нет»

  • Цель: концентрация внимания учащихся
  • Верно «+», неверно «-».
  • 1.Функция у=-6+4х2 -5х является квадратичной
  • 2.Графиком этой функции является прямая
  • 3.Областью определения функции является множество всех действительных чисел
  • 4.Эта функция имеет наибольшее значение
  • 5.График функции симметричен относительно начала координат
  • 6.Если телу сообщить начальную скорость, направленную под углом к горизонту, то траектория движения этого тела будет иметь такой же вид, как график квадратичной функции

7.Правда ли, что графиком зависимости кинетической энергии тела от его скорости является парабола?

8.Правда ли, что графиком зависимости потенциальной энергии тела от его высоты является парабола?

Самопроверка ( + — + — + + + — )

Самооценка: Кто все задания выполнил верно, погладьте себя по голове

II. Работа в парах. Метод «таблица Фила»

Повторение изученного материала и систематизация знаний

Учащимся необходимо завершить определения и формулировки.

1.Независимую переменную х называют …
2.Функцией от переменной х является переменная…
3. Графиком функции у=х2 называется…
4.Абсцисса вершины параболы находится по формуле …
5.Ветви параболы направлены вниз, значит коэффициент при старшем члене …
6. Функция имеет минимум в том случае, если …
7.Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль называются…
8. Функция у=f(x) будет возрастающей в некотором промежутке если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких, что х1 х 2 выполняется равенство…
9.Функция у=f(x) называется убывающей в некотором промежутке если для…
  1. Взаимопроверка.
  2. Ответы на ИД
  3. Обратная связь
  4. Учитель:
  5. По каждому пункту задает вопросы по уровню выполнения задания:
  1. Кто неверно закончил 1-ое, 2-ое, 3-тье и т.д. определения и формулировки?

  2. В чем заключалась ошибка?

  3. Почему я ее допустил?

  4. Дайте верный ответ.

Закрепление знаний учащихся и выработка навыков.

  1. 3.ИР. Самостоятельная работа.

Уровень А

Задание 1. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

функция направление ветвей координаты вершины
у = х2 – 4х +15
у = 8х — х2 – 4
у = х2 +3х
  • Дескриптор:
  • Обучающийся
  • — определяет направление ветвей параболы;
  • — находит координаты вершины параболы.
  • Задание 2. Установите соответствие между функциями и их графиками:

Свойства параболы, с примерами

  1. Дескриптор:
  2. Обучающийся — соотносит функции и их графики.
  3. Уровень В:
  4. Задание 1.
  5. Дана функция у = — х 2 + 2х + 8. Заполните таблицу
Координаты вершины параболы xв = yв =
Точки пересечения с осью Ох
Точка пересечения с осью Оу и симметричная ей точка
  • Дескриптор:
  • Обучающийся
  • — находит абсциссу вершины параболы
  • — находит ординату вершины параболы
  • — находит точки пересечения с осью Ох
  • — находит точку пересечения с осью Оу
  • — находит точку, симметричную ей
  • Задание 2. Используя шаблон параболы у = х2 , построить графики функций:
  • y= ( x-3 )2 ; y= x2+4; y= ( x+ 5 )2 – 4; ( x -1 )2+6
  • Дескриптор:
  • Обучающийся
  • -определяет координаты вершин парабол
  • — определяет направление ветвей парабол
  • Форма оценивания: самооценивание по образцу.
  • Обратная связь:

В каких заданиях у вас возникали затруднения? Почему?

Деление на группы: По карточкам.

Учитель раздает карточки, на которых записаны различные функции. Каждый учащийся берет одну карточку, затем в одну группу объединяются те учащиеся, у которых записаны функции, не являющиеся квадратичными, в другую – те, у кого записаны параболы, ветви которых направлены вниз, в третью-параболы, ветви которых направлены вверх.

4. ГР. Составление постера по группам и защита спикера.

  1. Задание 1 группе:
  2. Исследование, проведенные в одной крупной производственной компании, показали, что производительность труда в течение рабочего времени меняется в зависимости от времени работы по закону N(t) = — 0,2t 2 +1,6t +3. Постройте график функции, считая, что рабочий день равен 8 ч и ответьте на вопросы:
  3. 1) В какой промежуток времени растет производительность труда?
  4. 2) В какое время производительность труда достигает максимума?
  5. 3) Промежуток рабочего дня, во время которого производительность труда падает?

4) Сравните производительность труда через 2 часа и через 6 часов после начала работы. В какое время производительность выше?

  • Дескриптор:
  • Обучающийся
  • — строит график функции;
  • — находит промежутки возрастания функции;
  • — определяет по графику максимальное значение функции;
  • — находит значение аргумента, при котором функция достигает максимального значения;
  • — находит производительность труда по заданным значениям времени;
  • — сравнивает найденные значения и делает вывод.
  • Задание 2 группе:
  • График изменения кинетической энергии тела от его скорости задан формулой Ек = —v2 + 2v +3. Постройте график функции и ответьте на вопросы:
  • 1) При каком значении скорости значении энергии будет максимальным?
  • 2) Найдите промежутки возрастания и убывания кинетической энергии
  • 3) Сравните значения энергии при v=1 иv=3
  • 4) Объясните результат, полученный в задании № 3.
  • Дескриптор:
  • Обучающийся
  • — строит график функции;
  • — находит значение аргумента, при котором функция достигает максимального значения;
  • — находит промежутки возрастания и убывания функции;
  • — сравнивает значения функции по заданным значениям аргумент
  • — делает вывод.
  • Задание 3 группе:

На полигоне, с высоты в два метра, под углом к горизонту была выпущена сигнальная ракета. Изменение высоты её полёта h (метры) в зависимости от времени движения t (секунды) описывается формулой h = 2 + 21t − 5t2 .

Постройте график зависимости высоты поднятия ракеты от времени и ответьте на вопросы:

1) В какое время ракета поднимется на высоту 16 м? В какое время она окажется на той же высоте при спуске?

  1. 2) На какой высоте будет находиться ракета через 3,5 с полёта?
  2. 3) Укажите наибольшую высоту подъёма ракеты.
  3. 4) Сколько времени потребовалось ракете, чтобы подняться на максимальную высоту?
  4. Дескриптор:
  5. Обучающийся
  6. — строит график функции
  7. — находит значение функции;
  8. — находит значение аргумента;
  9. — определяет по графику наибольшее значение функции;
  10. — находит при каком значении аргумента функция достигает своего наибольшего значения.
  11. Защита постера.

Оценивание. Прием «Две звезды, одно пожелание».

  • Фигурки «плюс» и
  • «минус»
  • Слайд с верными ответами
  • Таблица
  • Фила
  • Слайд с верными ответами, ИД
  • Раздаточный материал
  • Готовые листы ответов
  • Раздаточный материал

Источник: https://multiurok.ru/files/kvadratichnaia-funktsiia-i-ee-grafik.html

Ссылка на основную публикацию