Свойства равнобедренного треугольника, с примерами



Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (  и  ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

(ещё говорят,  — общая)

И, значит,  ! Почему? Да мы просто найдём и  , и   из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что  )

• Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
• А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
• Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны   Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

II. Если в каком-то треугольнике высота и медиана или высота и биссектриса или биссектриса и медиана проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

1. Ну вот смотри: Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то: Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

• Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
• Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
• Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
• Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
• Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике   стороны   и   равны, а  . Найти  .

• Решаем:
• Сначала рисунок.

Что здесь – основание? Конечно,  .

1. Вспоминаем, что если  , то и  .
2. Обновлённый рисунок:

Обозначим   за  . Чему там равна сумма углов треугольника?  ?

Пользуемся:

Вот и ответ:  .

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике    ,  . Найти  .

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз  , то  .

Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть  .

• Теперь «вычёркиваем из жизни»  , рассмотрим только  .
• Итак, в   имеем:  
• Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
• Осталось найти  :  .
• Ответ:  .

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

1. Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.
2. Посмотри на рисунок:   и   – боковые стороны,   – основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке:  ). Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки   высоту  .

Что получилось? Треугольник   разделился на два прямоугольных треугольника   и  . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет  .

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

( Вот – углы при основании равны)   (  оказалась биссектрисой)   (  оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой  ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный. Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса,проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в   оказались равны   и  .

Проведём высоту  . Тогда

– как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит,  .

Доказали, что   – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Тогда снова   по катету и острому углу. Значит, опять  .

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

— по двум катетам

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

• Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
• Подытожим:

1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.

— боковые стороны,   — основание.

Свойства равнобедренного треугольника:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:   Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой:   — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника:

1. Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
2. Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

1. Стать учеником YouClever,
2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/ravnobedrennyj-treugolnik-1

Свойства равнобедренного треугольника

Среди множества треугольников выделяют те, которые имеют особые свойства. К таким треугольникам можно отнести, например, равнобедренные треугольники.

• Определение:
• Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
• Возьмём треугольник АВС, у которого стороны АВ и АС равны.

Эти стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона ВС называется основанием равнобедренного треугольника. Точка А называется вершиной равнобедренного треугольника, а точки В и С — вершинами при его основании. Угол А называется углом при вершине, а углы В и С — углами при основании.

Определение:

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

1. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
2. Теорема:
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
4. Доказательство:

Пусть АВС равнобедренный треугольник, боковые стороны которого АВ и АС. Докажем, что ∠В=∠С.

Пусть АF — биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, ∠ВAF и ∠СAF — равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.

• Из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠В=∠С.
• Теорема:
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
• Доказательство:

Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=АС. Пусть АF — биссектриса этого треугольника.

Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, углы ВAF и СAF равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.

Из равенства треугольников следует, что BF равняется CF, то есть F — середина стороны ВС, а следовательно, АF — медиана треугольника АВС.

Также из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠AFB=∠AFC. А так как эти углы смежные и равные, то они прямые. А это означает, что AF является и высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Утверждения:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Пример.

АВСD — квадрат. Точка Е — середина стороны СD. Доказать, что треугольник ВЕА является равнобедренным.

Рассмотрим треугольники ВСЕ и АDE.

У них ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, и СЕ=DE, так как точка Е — середина стороны CD. А ∠ВСЕ=∠ADE, так как все углы квадрата — прямые. Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE по первому признаку равенства треугольников. То есть у них соответственные стороны равны. Следовательно, ЕВ=ЕА.

Получаем, что треугольник ВЕА имеет две равные стороны ЕВ и ЕА, а значит, он равнобедренный.

Пример.

В равнобедренном треугольнике АВС, где АВ=ВС, Р=20 см., а основание больше боковой стороны на 2 см. Найти стороны треугольника.

Пусть АВ=ВС=х см., тогда сторона АС=(х+2) см. Получаем:

1. Тогда АВ=ВС=6 см, а сторона АС=6+2=8 см.

Источник: https://videouroki.net/video/9-svoistva-ravnobiedriennogho-trieughol-nika.html

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

О нас

Демоверсии

Учебные пособия

Справочник по математике

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Равнобедренный треугольник		Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство	Углы при основании равнобедренного треугольника		Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак	Два равных угла треугольника	Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство	Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника		В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак	Высота треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой		Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник
	Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника
	Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак: два равных угла треугольника
Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Свойство:Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника

Признак:Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника

Свойство:В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/eng/diagege.htm

Урок 13. равнобедренный треугольник — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

• Геометрия
• 7 класс
• Урок № 13
• Равнобедренный треугольник
• Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятие равнобедренного, равностороннего треугольника.
• Формулировка и доказательство теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
• Признак равнобедренного треугольника.
• Измерения и вычисления в равнобедренном треугольнике.

1. Тезаурус:
2. Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

3. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
4. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
5. Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

6. Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
7. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.
8. Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.

   : Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

• AB = BC.
• ∆ABC – равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
• AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
• AC – основание ∆ABC.
• Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.

1. AB = BC = AC.
2. ∆ABC – равносторонний.
3. Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
4. Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• Дано:
• ΔABC – равнобедренный.
• BC – основание.
• Доказать: ∠B = ∠C.
• Доказательство:

1. Проведем биссектрису АF.
2. ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF –по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника).
3. ∠B = ∠C.

1. Теорема доказана.
2. Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.
3. Теорема.
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
5. Дано:
6. ΔABC – равнобедренный
7. BC– основание ΔABC
8. AF– биссектриса ΔABC
9. Доказать: AF – медиана и высота.

Доказательство:

1. ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF – по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → BF = FC как соответствующие элементы равных треугольников.
2. F – середина BC → AF – медиана (по определению медианы треугольника).
3. ∠AFB =∠AFC (как соответствующие элементы равных треугольников), их сумма равна 180 градусам (по свойству развернутого угла).
4. ∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты).

• Теорема доказана.
• Справедливы и следующие утверждения.
• Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
• А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
• Дано:
• ΔABC – равнобедренный
• BC– основание ΔABC
• AF – медиана ∠ВАС ΔABC
• Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.

Доказательство:

∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).

1. ∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).
2. ∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).
3. Теорема доказана.
4. Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.
5. Разберем задачу на доказательство.
6. Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

• Дано:
• ∆ ABС:
• АМ – медиана ∆ABC.
• AМ = ВМ.
• Доказать:
• ∠А = ∠В + ∠С.
• Доказательство:
• По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).

1. Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
2. Что и требовалось доказать.
3. Разбор решения заданий тренировочного модуля.
4. Задача 1.

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.

Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

АС = АВ = х + 4 (по условию).

Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,

• 50 = (х + 4) + (х + 4) + х,
• 50 = 3х + 8,
• 3х = 50 – 8,
• 3х = 42,
• х = 14 см – основание BC.
• Ответ: 14 см.
• Задача 2.

На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.

1. Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:
2. ∠АСВ = 180 – 120 = 60
3. АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
4. ∠2 = ∠ВАС = 60(как вертикальные углы).
5. Ответ: ∠ 2 = 60.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7295/conspect/

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.
• Доказать: В = С.
• Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С,потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

 

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

1. Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.

2. Доказать: АD — медиана и высота.

3. Доказательство:
4. Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС. 
5. Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС — смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800,  тогда ADВ = ADС =900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

• Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.
• Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.
• EFG — равносторонний:

• ЕС — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
• FK — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
• GM — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

1. Треугольник
2. Равенство треугольников
3. Первый признак равенства треугольников
4. Перпендикуляр к прямой
5. Медианы треугольника
6. Биссектрисы треугольника
7. Высоты треугольника
8. Равнобедренный треугольник
9. Второй признак равенства треугольников
10. Третий признак равенства треугольников
11. Окружность
12. Построения циркулем и линейкой
13. Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 116, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 233, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 298, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 317, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 487, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 607, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 707, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1275, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. © budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3321

Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника :

Первые историки нашей цивилизации – древние греки — упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света – достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.

Само слово «геометрия» можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета – часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.

Треугольник – самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки — вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее.

От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.

Какими бывают треугольники

Обычный разносторонний треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.

Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами – все углы такого треугольника острые.

Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.

Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его — более 90 градусов.

Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.

И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.

Отличительные особенности

Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие – равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».

• На рассматриваемом рисунке a = b.
• Второй признак равнобедренного треугольника вытекает из теоремы синусов. Так как равны стороны a и b, равны и синусы их противолежащих углов:
• a/sin γ = b/sin α, откуда имеем: sin γ = sin α.
• Из равенства синусов следует равенство углов: γ = α.
• Итак, вторым признаком равнобедренного треугольника является равенство двух углов, прилежащих к основанию.

Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.

Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой — однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.

Геометрические свойства фигуры

1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:

α = γ;

Источник: https://www.syl.ru/article/217756/mod_priznaki-sostavlyayuschie-elementyi-i-svoystva-ravnobedrennogo-treugolnika

math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [Президентский ФМЛ №239]

math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2. Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.

• Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.
• Пусть $AD$ – биссектриса этого треугольника.
• Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ –
  общая, $angle 1=angle 2)$.
• Следовательно, $angle B=angle C$.
• Кроме того, $angle 3=angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ – высота.
• Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.
• Следовательно $AD$ – не только биссектриса и высота, но и медиана.

1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

3. Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Докажем, что если $angle B=angle C$, то $AB=AC$.

1. Поскольку $angle B$ и $angle C$ острые (иначе сумма углов
   треугольника $ABC$ была бы больше $180^circ$), то высота,
   проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.
2. Так как сумма углов треугольника равна $180^circ$, то $angle 1=180^circ-90^circ-angle B=180^circ-90^circ-angle C=angle 2$.
3. Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(angle 1=angle 2, angle 3=angle 4, AD$– общая сторона$)$.
4. Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Итак $AB=AC$.

• Докажем теперь, что если $AD$ – медиана и высота, то треугольник равнобедренный.
• Действительно, так как $BD=DC, angle 3=angle 4=90^circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$
  и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.
• Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

1. Докажем, что если $AD$ – биссектриса и высота для $ riangle ABС$, то треугольник равнобедренный.
2. Действительно, так как $angle 1 =angle 2, angle 3=angle 4=90^circ$, a $AD$ – общая сторона, то
   треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.
3. Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

• Докажем, что если $AD$ – медиана и биссектриса, то треугольник
  равнобедренный.
• Предположим противное – треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не
  высота.
• Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.
• Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$
  и $N$ соответственно.
• Треугольник $AMN$ – равнобедренный, так как $AD$ – биссектриса и высота этого треугольника.
• Тогда $AD$ – медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.
• Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(angle BDM=angle CDN$ как
  вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.
• Тогда $angle 4=angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.

math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik.txt · Последние изменения: 2016/05/08 23:28 — labreslav

Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik

Равнобедренный треугольник — это… Что такое Равнобедренный треугольник?

• РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны …   Научно-технический энциклопедический словарь
• ТРЕУГОЛЬНИК — и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… …   Толковый словарь Ушакова
• РАВНОБЕДРЕННЫЙ — РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова
• треугольник — ▲ многоугольник ↑ имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… …   Идеографический словарь русского языка
• треугольник — ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… …   Толковый словарь русских существительных
• Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия
• Треугольник (многоугольник) — Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь
• треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… …   Энциклопедический словарь
• треугольник — а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… …   Словарь многих выражений
• Треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… …   Энциклопедический словарь

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/176673