Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.
А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.
И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?
Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны. |
Посмотри, как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
![]() |
Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту. |
Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.
Смотри:
![]() |
Тоже два прямоугольных…. |
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
![]() |
Видишь, два прямоугольных треугольника ( и ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные! |
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:
![]() |
(ещё говорят, — общая) |
И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и , и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что )
- Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
- А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
- Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
![]() |
Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны). |
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:
|
(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании). |
II. Если в каком-то треугольнике
проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание. |
- Ну вот смотри: Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то: Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
- Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
- Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
- Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
- Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
- Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике
Давай посмотрим, как выглядит в задачах.
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике стороны и равны, а . Найти .
- Решаем:
- Сначала рисунок.
Что здесь – основание? Конечно, .
- Вспоминаем, что если , то и .
- Обновлённый рисунок:
Обозначим за . Чему там равна сумма углов треугольника? ?
Пользуемся:
Вот и ответ: .
Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.
Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)
В треугольнике , . Найти .
Решаем:
Смотрим внимательно и соображаем, что раз , то . |
Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).
Вспоминаем, что высота = медиана, то есть . |
- Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только .
- Итак, в имеем:
- Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
- Осталось найти : .
- Ответ: .
Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.
Равнобедренный треугольник. Средний уровень
Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны. |
- Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.
- Посмотри на рисунок: и – боковые стороны, – основание равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
|
Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту .
Что получилось? Треугольник разделился на два прямоугольных треугольника и . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет . |
Значит, у них равны все соответствующие элементы.
То есть:
|
Всё! Одним махом (высотой ) доказали сразу все утверждения.
И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Верны и обратные утверждения:
|
Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».
1. Итак, пусть в оказались равны и .
Проведём высоту . Тогда
– как прямоугольные по катету и острому углу. |
Значит, .
Доказали, что – равнобедренный. |
2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.
Тогда снова по катету и острому углу. Значит, опять . |
2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!
— по двум катетам |
2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!
- Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
- Подытожим:
- Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
- Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.
Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.
|
Свойства равнобедренного треугольника:
|
Признаки равнобедренного треугольника:
- Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
- Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
- Стать учеником YouClever,
- Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
- А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Источник: https://youclever.org/book/ravnobedrennyj-treugolnik-1
Свойства равнобедренного треугольника
Среди множества треугольников выделяют те, которые имеют особые свойства. К таким треугольникам можно отнести, например, равнобедренные треугольники.
- Определение:
- Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
- Возьмём треугольник АВС, у которого стороны АВ и АС равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона ВС называется основанием равнобедренного треугольника. Точка А называется вершиной равнобедренного треугольника, а точки В и С — вершинами при его основании. Угол А называется углом при вершине, а углы В и С — углами при основании.
Определение:
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
- Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
- Теорема:
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Доказательство:
Пусть АВС равнобедренный треугольник, боковые стороны которого АВ и АС. Докажем, что ∠В=∠С.
Пусть АF — биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, ∠ВAF и ∠СAF — равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.
- Из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠В=∠С.
- Теорема:
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
- Доказательство:
Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=АС. Пусть АF — биссектриса этого треугольника.
Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, углы ВAF и СAF равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.
Из равенства треугольников следует, что BF равняется CF, то есть F — середина стороны ВС, а следовательно, АF — медиана треугольника АВС.
Также из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠AFB=∠AFC. А так как эти углы смежные и равные, то они прямые. А это означает, что AF является и высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Утверждения:
1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример.
АВСD — квадрат. Точка Е — середина стороны СD. Доказать, что треугольник ВЕА является равнобедренным.
Рассмотрим треугольники ВСЕ и АDE.
У них ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, и СЕ=DE, так как точка Е — середина стороны CD. А ∠ВСЕ=∠ADE, так как все углы квадрата — прямые. Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE по первому признаку равенства треугольников. То есть у них соответственные стороны равны. Следовательно, ЕВ=ЕА.
Получаем, что треугольник ВЕА имеет две равные стороны ЕВ и ЕА, а значит, он равнобедренный.
Пример.
В равнобедренном треугольнике АВС, где АВ=ВС, Р=20 см., а основание больше боковой стороны на 2 см. Найти стороны треугольника.
Пусть АВ=ВС=х см., тогда сторона АС=(х+2) см. Получаем:
- Тогда АВ=ВС=6 см, а сторона АС=6+2=8 см.
Источник: https://videouroki.net/video/9-svoistva-ravnobiedriennogho-trieughol-nika.html
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
О нас |
Демоверсии |
Учебные пособия |
Справочник по математике |
Справочник по математике | Геометрия (Планиметрия) | Треугольники |
Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
Определение | Равнобедренный треугольник | ![]() |
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника. |
Свойство | Углы при основании равнобедренного треугольника | ![]() |
Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
Признак | Два равных угла треугольника | Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. | |
Свойство | Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | ![]() |
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. |
Признак | Высота треугольника, совпадающая с медианой | ![]() |
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
Признак | Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой | ![]() |
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным |
Признак | Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой | ![]() |
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
Определение: равнобедренный треугольник | |
![]() |
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника. |
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника | |
![]() |
Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
Признак: два равных угла треугольника | |
Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. | |
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | |
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. | |
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой | |
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным | |
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой | |
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным | |
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой | |
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
Определение равнобедренного треугольника |
|
Свойство углов при основании равнобедренного треугольника |
Свойство:Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны. |
Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника |
Признак:Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником. |
Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника |
Свойство:В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. |
Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой |
Признак:Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой |
Признак:Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным |
Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой |
Признак:Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным |
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/demo/eng/diagege.htm
Урок 13. равнобедренный треугольник — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа
- Геометрия
- 7 класс
- Урок № 13
- Равнобедренный треугольник
- Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятие равнобедренного, равностороннего треугольника.
- Формулировка и доказательство теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
- Признак равнобедренного треугольника.
- Измерения и вычисления в равнобедренном треугольнике.
- Тезаурус:
- Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
- Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
- Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
- Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.
- Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.
: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.
Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
- AB = BC.
- ∆ABC – равнобедренный.
- В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
- AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
- AC – основание ∆ABC.
- Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.
Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.
- AB = BC = AC.
- ∆ABC – равносторонний.
- Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
- Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Дано:
- ΔABC – равнобедренный.
- BC – основание.
- Доказать: ∠B = ∠C.
- Доказательство:
- Проведем биссектрису АF.
- ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF –по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника).
- ∠B = ∠C.
- Теорема доказана.
- Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.
- Теорема.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
- Дано:
- ΔABC – равнобедренный
- BC– основание ΔABC
- AF– биссектриса ΔABC
- Доказать: AF – медиана и высота.
Доказательство:
- ∆ABF = ∆ACF (т.к. AF – общая сторона); ∠BAF = ∠CAF (AF – по определению биссектрисы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → BF = FC как соответствующие элементы равных треугольников.
- F – середина BC → AF – медиана (по определению медианы треугольника).
- ∠AFB =∠AFC (как соответствующие элементы равных треугольников), их сумма равна 180 градусам (по свойству развернутого угла).
- ∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты).
- Теорема доказана.
- Справедливы и следующие утверждения.
- Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
- А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
- Дано:
- ΔABC – равнобедренный
- BC– основание ΔABC
- AF – медиана ∠ВАС ΔABC
- Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.
Доказательство:
∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).
- ∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).
- ∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).
- Теорема доказана.
- Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.
- Разберем задачу на доказательство.
- Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
- Дано:
- ∆ ABС:
- АМ – медиана ∆ABC.
- AМ = ВМ.
- Доказать:
- ∠А = ∠В + ∠С.
- Доказательство:
- По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).
- Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
- Что и требовалось доказать.
- Разбор решения заданий тренировочного модуля.
- Задача 1.
Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
АС = АВ = х + 4 (по условию).
Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,
- 50 = (х + 4) + (х + 4) + х,
- 50 = 3х + 8,
- 3х = 50 – 8,
- 3х = 42,
- х = 14 см – основание BC.
- Ответ: 14 см.
- Задача 2.
На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.
- Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:
- ∠АСВ = 180 – 120 = 60
- АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
- ∠2 = ∠ВАС = 60(как вертикальные углы).
- Ответ: ∠ 2 = 60.
Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7295/conspect/
Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. |
- Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.
- Доказать: В = С.
- Доказательство:
Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С,потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный. |
2. Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. |
- Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.
- Доказать: АD — медиана и высота.
- Доказательство:
- Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.
- Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).
Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС — смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800, тогда ADВ = ADС =900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
3. Теорема
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. |
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
4. Теорема
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. |
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
- Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.
- Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.
- EFG — равносторонний:
- ЕС — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
- FK — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
- GM — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
- Треугольник
- Равенство треугольников
- Первый признак равенства треугольников
- Перпендикуляр к прямой
- Медианы треугольника
- Биссектрисы треугольника
- Высоты треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Окружность
- Построения циркулем и линейкой
- Треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
- 7 класс
- Задание 116, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 233, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 298, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 317, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 487, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 607, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 707, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- Задание 1275, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
- © budu5.com, 2020
- Пользовательское соглашение
- Copyright
- Нашли ошибку?
- Связаться с нами
Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3321
Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника :
Первые историки нашей цивилизации – древние греки — упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света – достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.
Само слово «геометрия» можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета – часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.
Треугольник – самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки — вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее.
Всевидящее око внутри треугольника – один из самых ранних из известных оккультных знаков, причём география его распространения и временные рамки просто поражают воображение.
От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.
Какими бывают треугольники
Обычный разносторонний треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.
Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами – все углы такого треугольника острые.
Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.
Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его — более 90 градусов.
Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.
И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.
Отличительные особенности
Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие – равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».
- На рассматриваемом рисунке a = b.
- Второй признак равнобедренного треугольника вытекает из теоремы синусов. Так как равны стороны a и b, равны и синусы их противолежащих углов:
- a/sin γ = b/sin α, откуда имеем: sin γ = sin α.
- Из равенства синусов следует равенство углов: γ = α.
- Итак, вторым признаком равнобедренного треугольника является равенство двух углов, прилежащих к основанию.
Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.
Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой — однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.
Геометрические свойства фигуры
1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:
α = γ;
Источник: https://www.syl.ru/article/217756/mod_priznaki-sostavlyayuschie-elementyi-i-svoystva-ravnobedrennogo-treugolnika
math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [Президентский ФМЛ №239]
math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik
-
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
-
Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.
- Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.
- Пусть $AD$ – биссектриса этого треугольника.
-
Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ –
общая, $angle 1=angle 2)$. - Следовательно, $angle B=angle C$.
- Кроме того, $angle 3=angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ – высота.
- Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.
- Следовательно $AD$ – не только биссектриса и высота, но и медиана.
-
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
-
Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
-
Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
-
Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Рассмотрим треугольник $ABC$.
Докажем, что если $angle B=angle C$, то $AB=AC$.
-
Поскольку $angle B$ и $angle C$ острые (иначе сумма углов
треугольника $ABC$ была бы больше $180^circ$), то высота,
проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$. - Так как сумма углов треугольника равна $180^circ$, то $angle 1=180^circ-90^circ-angle B=180^circ-90^circ-angle C=angle 2$.
- Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(angle 1=angle 2, angle 3=angle 4, AD$– общая сторона$)$.
- Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).
Итак $AB=AC$.
- Докажем теперь, что если $AD$ – медиана и высота, то треугольник равнобедренный.
-
Действительно, так как $BD=DC, angle 3=angle 4=90^circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$
и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников. - Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
- Докажем, что если $AD$ – биссектриса и высота для $ riangle ABС$, то треугольник равнобедренный.
-
Действительно, так как $angle 1 =angle 2, angle 3=angle 4=90^circ$, a $AD$ – общая сторона, то
треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников. - Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
-
Докажем, что если $AD$ – медиана и биссектриса, то треугольник
равнобедренный. -
Предположим противное – треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не
высота. - Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.
-
Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$
и $N$ соответственно. - Треугольник $AMN$ – равнобедренный, так как $AD$ – биссектриса и высота этого треугольника.
- Тогда $AD$ – медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.
-
Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(angle BDM=angle CDN$ как
вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$. - Тогда $angle 4=angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.
math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik.txt · Последние изменения: 2016/05/08 23:28 — labreslav
Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik
Равнобедренный треугольник — это… Что такое Равнобедренный треугольник?
- РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
- ТРЕУГОЛЬНИК — и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
- РАВНОБЕДРЕННЫЙ — РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
- треугольник — ▲ многоугольник ↑ имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
- треугольник — ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
- Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
- Треугольник (многоугольник) — Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
- треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
- треугольник — а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
- Треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/176673