Умножить некоторое натуральное число ( множимое ) на целое число ( множитель ) — значит повторить множимое как слагаемое столько раз, сколько указывает множитель.
Результат умножения называется произведением.
Множимое и множитель вместе называют сомножителями. От перемены мест сомножителей произведение не меняется.
Примеры
| 3 x 4 = 12 ;4 x 3 = 12 ; | 3 x 5 = 15 ;5 x 3 = 15 ; | 6 x 4 = 24 ;4 x 6 = 24 ; | 7 x 9 = 63 ;9 x 7 = 63 ; |
Один сомножитель — это число кругов в ряду, другой сомножитель — число рядов.
Свойства умножения натуральных чисел
- 1. a • b = b • a — Свойство коммутативности ;
- 2. ( a • b ) • c = a • ( b • c ) — Свойство ассоциативности ;
- 3. ( a + b ) • c = a • c + b • c — Свойство дистрибутивности относительно сложения ;
- 4. a • ( b — c ) = a • b — a • c — Свойство дистрибутивности относительно вычитания ;
Умножение на 10, 100, 1 000, 10 000
Чтобы умножить целое число на 10, 100, 1 000, 10 000 и т.д., надо добавить справа от числа один ноль (0), два нуля (00), три нуля (000), четыре нуля (0000) и т.д.
Примеры
| 31 x 10 = 310 ;43 x 100 = 4 300 ;65 x 1 000 = 65 000 ;83 x 10 000 = 830 000 ; |
Особые случаи умножения
Для умножения некоторых чисел существуют быстрые способы, которые нужно запомнить. В таблице показаны примеры с числами 0, 2, 12, 20.
| На | Как это сделать | Пример |
| Всегда будет 0 | 5 x 0 = 0 | |
| 2 | Сложить число с самим собой | 5 x 2 = 5 + 5 = 10 |
| 12 | Умножить число на 10, заем на 2, результаты сложить | 12 x 10 = 120 ;12 x 2 = 24 ;120 x 24 = 144 . |
| 20 | Умножить число на 10, результат умножить на 2 | 12 x 20 ;13 x 10 = 130 ;130 x 2 = 260 . |
Умножение натуральных чисел в столбик
Порядок умножения:
- 1. Умножить число на число единиц трехзначного числа и получить первое неполное произведение;
- 2.
Умножить число на число десятков трехзначного числа и получить второе неполное произведение (начинать подписывать под десятками);
- 3.
Умножить число на число сотен трехзначного числа и получить третье неполное произведение (начинать подписывать под сотнями);
4. Сложить неполные произведения.
Рассмотрим умножение в столбик умножая на 111
Сначала умножаем единицы; при умножении на десятки дописываем справа к получившемуся произведению, при умножении на сотни — 00 и т.д. Затем складываем получившиеся числа.
Рассмотрим более сложный пример
Объяснение примера умножения в столбик:
1. Умножаем число 397 на 3 единицы второго множителя, получаем первое неполное произведение 1 191;
2. Умножаем 397 на 2 десятка второго множителя. Получаем второе неполное произведение 794;
3. Умножаем 397 на 2 сотни второго множителя. Получаем третье неполное произведение 794;
4. Складываем неполные произведения 1 191, 794 и 794, получаем 88 531.
Умножение чисел 1 и 0 на любое число
1. При умножении 1 на любое число, получится число на которое умножали.
2. При умножении нуля (0) на любое число, получится нуль (0).
- а
- б
- в
- г
- д
- е
- з
- и
- к
- л
- м
- н
- о
- п
- р
- с
- т
- у
- ф
- х
- ц
- ч
- э
© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник
Источник: https://formula-xyz.ru/umnozhenie.html
Умножение натуральных чисел: свойства, примеры
Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.
Переместительное свойство умножения натуральных чисел
Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:
Переместительный закон умножения
- От перемены мест множителей произведение не меняется.
- В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a
- a и b — любые натуральные числа.
Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.
На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел
Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.
Сочетательный закон умножения
- Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.
- Приведем формулировку в буквенном виде:
- a·b·c=a·b·c
a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.
Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.
- 4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24
- Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.
- 4·3·2=12·2=12+12=24
- 4·3·2=4·3·2
- Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.
- Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.
Распределительное свойство относительно умножения
Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
- Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.
- Запишем в форме буквенного выражения:
- a·b+c=a·b+a·c
- a, b, c — любые натуральные числа.
Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.
4·3+2=4·3+4·2=12+8=20
С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.
Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
- Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.
- Запишем в форме буквенного выражения:
- a·b-c=a·b-a·c
- a, b, c — любые натуральные числа.
В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:
4·3-2=4·3-4·2=12-8=4
С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.
1·a=a
- По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.
- 1·a=∑i=1a1
- Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:
- 1·a=a·1=a
Умножение нуля на натуральное число
Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.
Умножение нуля на натуральное число
Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.
0·a=0.
По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.
В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.
Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0
Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/umnozhenie-naturalnyh-chisel/
Урок 16 Бесплатно Применение распределительного свойства умножения
В этом уроке мы узнаем, как умножать смешанное число на натуральное, и разберем, как использовать распределительное свойство умножения для рационализации вычислений с обыкновенными дробями и смешанными числами.
- Это свойство говорит нам о том, что если необходимо умножить одно число, назовем его a, на сумму двух других чисел, обозначим их b и c, то ответом будет сумма двух произведений: произведения a и b и произведения a и c
- Напомним, коммутативное свойство — это научный термин для обычного правила, которое гласит, что перемена мест слагаемых (или множителей) не влияет на результат.
- Вторая строка говорит о том же самом, что и первая; просто показывает, что коммутативное свойство умножения работает и в этом случае.
В уроке «Умножение дробей» мы уже касались этих моментов. Теперь рассмотрим их более подробно.
- Самый простой способ умножения смешанного числа на натуральное заключается в том, чтобы перевести смешанное число в натуральную дробь, домножив целую часть на знаменатель и прибавив его к числителю, а далее домножить полученную неправильную дробь на натуральное число, перемножив числитель дроби и натуральное число.
- Это и будет результатом.
- Пример:
- (mathbf{43frac{1}{3}cdot2=frac{43cdot3+1}{3}cdot2=frac{129+1}{3}cdot2=frac{130}{3}cdot2=frac{130cdot2}{3}=frac{260}{3}=86frac{2}{3}})
Этот пример нам показывает, что даже такая простая операция, как умножение на 2, приводит нас к множеству умножений, сложений и даже делению. Для больших чисел такой путь неудобен. Стоит только представить, что целая часть смешанного числа будет больше 100, и знаменатель также также весьма сложный, то мы получим операции, которые с трудом делаются в уме.
- Здесь нас выручит распределительное свойство.
- Если представить (mathbf{43frac{1}{3}}) как сумму его целой и дробной частей, то есть
- (mathbf{43frac{1}{3}=43+frac{1}{3}}), то нам нужно будет в дальнейшем умножать только 43 и (mathbf{frac{1}{3}}), что значительно проще.
- Посмотрим, как это все будет выглядеть целиком:
- (mathbf{43frac{1}{3}cdot2=(43+frac{1}{3})cdot2=(43cdot2)+(frac{1}{3}cdot2)=86+frac{2}{3}=86frac{2}{3}})
- Можно заметить, что несмотря на то, что мы удлинили запись выражения, сами вычисления стали проще.
Может возникнуть необходимость выделения целой части, про это забывать нельзя. Но даже в таком случае делимое будет значительно меньше, чем если бы мы выносили целую часть из произведения, полученного классическим способом.
Пример:
(mathbf{25frac{2}{5}cdot3=(25+frac{2}{5})cdot3=(25cdot3)+(frac{2}{5}cdot3)=75+frac{6}{5}=75+1frac{1}{5}=76frac{1}{5}})
- Все те же свойства умножения выполняются не только по отношению к смешанному числу и натуральному, но и по отношению к смешанному числу и дроби (как и к любым другим числам).
- Если необходимо умножить смешанное число на дробь, то можно разложить его как сумму и умножать на дробь отдельные слагаемые, а потом сложить результат.
- Для понимания того, насколько это упрощает вычисления, снова разберем один и тот же пример двумя способами: «в лоб», то есть приводя смешанное число к дроби, и используя распределительное свойство.
- Посчитаем выражение (mathbf{45frac{2}{5}cdotfrac{1}{3}})
- I Первый способ (преобразовывая смешанное число в дробь):
- (mathbf{45frac{2}{5}cdotfrac{1}{3}=frac{45cdot5+2}{5}cdotfrac{1}{3}=frac{227}{5}cdotfrac{1}{3}=frac{227cdot1}{5cdot3}=frac{227}{15}=15frac{2}{15}})
- II Второй способ (используя распределительное свойство умножения):
- (mathbf{45frac{2}{5}cdotfrac{1}{3}=(45+frac{2}{5})cdotfrac{1}{3}=(45cdotfrac{1}{3})+(frac{2}{5}cdotfrac{1}{3})=frac{45}{3}+frac{2cdot1}{5cdot3}=15+frac{2}{15}=15frac{2}{15}})
- Можем заметить, что при подсчете вторым способом самым крупным числом было 45, которое уже находилось в условии, в то же время при подсчете первым способом появилось число 227, которое больше, и в уме с ним работать уже менее комфортно.
- Интересен тот факт, что ничего нам не запрещает применять распределительное свойство дважды.
- Посмотрим на изображение выше.
- На ней мы хотим перемножить две суммы.
- Будем смотреть на первую скобку как на цельное выражение и обозначим его буквой А заглавной.
- В этом случае надо, как и раньше, умножить A на c и прибавить к этому результат умножения A на d
- Далее вспомним, что А — это тоже сумма, и применим распределительное свойство к выражениям (mathbf{(a+b)cdot c}) и (mathbf{(a+b)cdot d})
- Тогда получим именно то, что и получилось в конце: сумма четырех произведений.
- В дальнейшем вы привыкните делать такие вещи в уме, беря по слагаемому из каждой скобки, и сможете обойтись без промежуточного вычисления.
- Но пока что оно добавляет наглядности и объясняет, почему все происходит именно так.
- Прежде чем перейти к смешанным числам посмотрим на пример с натуральными числами.
- Пример:
- (mathbf{(40+5)(20+3)=(40+5)cdot20+(40+5)cdot3=})
- (mathbf{=40cdot20+5cdot20+40cdot3+5cdot3=800+100+120+15=1035})
- Опять же, выражение стало более длинным, но согласитесь, все умножения, которые в итоге пришлось сделать, были проще, чем перемножение 45-ти и 23-х.
- Теперь применим этот мощный инструмент к перемножению смешанных чисел.
Как вы могли догадаться, мы снова будем представлять смешанное число как сумму натурального числа и обыкновенной дроби. Таким образом, произведение двух смешанных чисел будет равно произведению сумм натурального числа и обыкновенной дроби каждого из этих чисел.
- Сразу перейдем к примерам, ибо в них вся наглядность.
- Пример:
- (mathbf{12frac{2}{3}cdot9frac{1}{5}=(12+frac{2}{3})cdot(9+frac{1}{5})=(12+frac{2}{3})cdot9+(12+frac{2}{3})cdotfrac{1}{5}=})
- (mathbf{=12cdot9+frac{2}{3}cdot9+12cdotfrac{1}{5}+frac{2}{3}cdotfrac{1}{5}=})
- (mathbf{=108+frac{18}{3}+frac{12}{5}+frac{2}{15}=108+frac{90}{15}+frac{36}{15}+frac{2}{15}=})
- (mathbf{=108+frac{90+36+2}{15}=108+frac{128}{15}=108+8frac{8}{15}=116frac{8}{15}})
- И для сравнения классическим способом:
- (mathbf{12frac{2}{3}cdot9frac{1}{5}=frac{12cdot3+2}{3}cdotfrac{9cdot5+1}{5}=frac{38}{3}cdotfrac{46}{5}=frac{38cdot46}{3cdot5}=frac{1748}{15}=116frac{8}{15}})
Видно, что в одном способе больше действий, а в другом сложнее вычисления. Смотрите что для вас проще и понятнее, и выбирайте соответствующий способ.
- Пример:
- (mathbf{20frac{1}{4}cdot5frac{3}{5}=(20+frac{1}{4})cdot(5+frac{3}{5})=(20+frac{1}{4})cdot5+(20+frac{1}{4})cdotfrac{3}{5}=})
- (mathbf{=20cdot5+frac{1}{4}cdot5+20cdotfrac{3}{5}+frac{1}{4}cdotfrac{3}{5}=})
- (mathbf{=100+frac{5}{4}+frac{60}{5}+frac{3}{20}=100+frac{25}{20}+12+frac{3}{20}=})
- (mathbf{=112+frac{25+3}{20}=112+frac{28}{20}=112+frac{7}{5}=112+1frac{2}{5}=113frac{2}{5}})
- И снова сравним с классическим способом:
- (mathbf{20frac{1}{4}cdot5frac{3}{5}=frac{20cdot4+1}{4}cdotfrac{5cdot5+3}{5}=frac{81}{4}cdot{28}{5}=frac{81cdot28}{4cdot5}=frac{81cdot7}{5}=frac{567}{5}=113frac{2}{5}})
- Итог точно такой же: с распределительным свойством больше вычислений, меньше сложность каждого конкретного вычисления, а при классическом способе наоборот.
Современный человек может не понять, зачем нужно распределительное свойство, ведь под рукой есть калькулятор, которому на первый взгляд безразлично, насколько большие числа в нем вычислять. Поэтому расскажу немного о том, как представлены числа в компьютерах и почему иногда важно уменьшить обрабатываемые числа.
Целые числа в компьютере представлены в двоичной системе счисления.
Она на самом деле весьма похожа на десятичную, только в ней всего лишь две цифры: и 1
| Таблица соотвествия десятеричного и двоичного представления чисел | |
| Числа в десятичной системы счисления | Числа в двоичной системе системе счисления |
| 1 | 1 |
| 2 | 10 |
| 3 | 11 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| 10 | 1010 |
| 11 | 1011 |
| 12 | 1100 |
| 13 | 1101 |
| 14 | 1110 |
| 15 | 1111 |
| 16 | 10000 |
- На уроках информатики вы узнаете, как именно связаны двоичная система счисления и десятичная, а пока просто запомним, что в компьютерах все числа представлены как нули и единицы.
- В зависимости от реализации под числа выделяется какое-то количество бит — ячеек, способных принимать значение 0 или 1
- Например, популярно выделять под целое число 32 бит.
- Как видим, хоть целые числа могут быть сколь угодно малыми или сколь угодно большими, на практике появляются вполне реальные ограничения.
- Так в языке программирования Java целые числа принимают значения от -2 147 483 648 до +2 147 483 647
- Да, если мы делаем какие-то бытовые расчеты, этого хватает с запасом.
- А если вычисления делает банк или правительство, где числа совсем другие?
- На практике часто начинают выделять больше памяти под числа или использовать другие специальные технологии, тогда пользователь может снова не думать про размер чисел.
- Но мысль о том, что размер чисел имеет значение, весьма важна.
Пройти тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/primenenie
Переместительное свойство умножения и сложения
Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.
Переместительный закон умножения
- Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей. Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:
- 3 + 2 = 5;
- 2 + 3 = 5.
Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.
- Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:
- Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:
- a · b = b · a.
- Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:
- a · b · c = b · a · c
- Применение переместительного закона умножения на практике
- Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.
- 6 · 251 = ?
- Записав пример столбиком, получим:
Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.
Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:
Быстро и просто. Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.
- Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:
- 2 · 3 = 2 + 2 + 2
- 3 · 2 = 3 + 3.
Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506. Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.
Сочетательный закон
Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:
- получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
- раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения. На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.
Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.
Распределительный закон
- На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров.
Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:
- Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:
- 2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у
- 5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.
Распечатать памятку «Свойства умножения»
Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности.
Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел.
В этом случае распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания позволяет намного быстрее получить итог произведения натурального числа на смешанную дробь. Для этого нужно:
- целую часть умножить на натуральное число;
- дробную часть умножить на него же;
- сложить получившиеся числа и записать результат.
Правила умножения и деления
Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления.
Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.
Источник: http://razvitiedetei.info/razvitie-shkolnika/matematika-peremestitelnoe-svojstvo-umnozheniya.html
Свойства умножения. Законы умножения
Категория: Математика 
Переместительный (коммуникативный) закон умножения: а · b = b · а
От перемены мест множителей произведение не меняется.
Пример:
569 · 17 = 17 · 569
Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: а · b · c = а · (b · c)
Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.
Пример:
39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (а + b + c) · d = аd + bd + cd
Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.
Пример:
(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948
Как на практике применяется это свойство умножения? К примеру, у нас есть прямоугольник , разбитый на 2 других прямоугольника. Требуется найти его площадь.
- Можно сначала найти длину его стороны, а затем перемножить длину и ширину, получится S = (a + b) * cА можно найти площади маленьких прямоугольников и сложить их S = (a * c) + (b * c)А поскольку мы искали площадь одного и того же прямоугольника, то
- (a + b) * c = (a * c) + (b * c)
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания: (а — b) · c = аc — bc
Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.
Пример:
(125 – 42) · 8 = 125 · 8 — 42 · 8 = 1000 – 336 = 664
Умножение числа на единицу:а · 1 = 1 · а = а
При умножении числа на единицу получаем само число.
Пример:
45 · 1 = 1 · 45 = 45
Умножение числа на ноль:а · 0 = 0 · а = 0
При умножении числа на нуль получаем нуль.
Пример:
6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.
Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Рейтинг: 4 / 5
© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу — специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)
Источник: https://7gy.ru/shkola/matematika/1483-svojstva-umnozheniya-zakony-umnozheniya.html
Сочетательное свойство умножения
Сочетательный и переместительный законы умножения о многом похожи на свойства сложения. Возможно поэтому, ученики 5 классов часто путают свойства, из-за чего допускают в теоретических вопросах. Чтобы избежать таких проблем в дальнейшем и окончательно разобраться в вопросе рассмотрим данную тему подробнее.
На самом деле, схожесть свойств сложения и умножения появилась не на пустом месте. Умножение это сокращенный вариант сложения, где первый множитель указывает на число, которое складывалось само с собой. Второй множитель показывает количество слагаемых. На практике это выглядит так:
3*4=3+3+3+3 – число 3 складывалось с самим собой 4 раза.
Вспомнит свойства сложения. Их всего два:
- От перемены мест слагаемых сумма не меняется – переместительное свойство.
- Если складывается несколько чисел, то можно сложить два числа, результат сложить с третьим и так далее – сочетательное свойство.
В математике два основных раздела: алгебра и геометрия. В алгебре понятия свойства и закона довольно схожи, особенно на школьном уровне математики. Поэтому свойства сложения иногда зовутся законами. Та же ситуация присутствует и в умножении. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения, хотя назвать законы умножения свойствами можно. Это не будет являться ошибкой.
По аналогии с свойствами сложения выделяют два свойства умножения:
- Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется. Действительно, если подумать, то нет никакой разницы, сложить 3 раза число 4 или сложить 4 раза число 3. Результат от этого не поменяется.
- Сочетательный закон: если в произведении больше 2 множителей, то можно перемножить 2 числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. Например: 3*4*5=12*5=60
К этим двум законам добавляется третий: распределительный. Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что если число умножается на сумму, то можно умножить это число на каждое из слагаемых, а результаты сложить. Распределительный закон в математике часто используют для раскрытия скобок.
Сочетательное свойство умножения необходимо для больших вычислений.
Сочетательный закон сложения можно использовать вместе с переместительным для ускорения расчетов. С умножением все не так просто, зачастую лучше умножать числа в том виде, в каком они записаны.
Исключение из этого правила только одно: если ученик уверен, что какое-то произведение точно даст число 10 или любое из его степеней, то есть числа 100, 1000 и так далее, то нужно в первую очередь перемножить эти числа.
Приведем небольшой пример сочетательного свойства умножения.
15*3*4*5+1*2*3*4*5*6 – в первом слагаемом есть возможность немного упростить расчет, во втором такой возможности нет. Вычислим каждое из слагаемых по очереди, а потом сложим результаты.
15*3*4*5=(15*3)*(4*5)=45*20=900 – за счет правильной группировки множителей получилось немного облегчить расчет. Никаких правил здесь нет, все решает только опыт. Именно для приобретения навыков правильной группировки чисел и нужно выполнять огромное количество примеров.
1*2*3*4*5*6=2*3*4*5*6=6*4*5*6=24*5*6=120*6=720
Выполним сложение и получим результат: 900+720=1620
Мы поговорили о том, что такое умножение. Провели аналогии со сложением и выделили три свойства умножения. Отдельно поговорили о сочетательном законе умножения, а также привели пример его использования.
Средняя оценка: 4.1. Всего получено оценок: 134.
Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/sochetatelnoe-svoystvo-umnozheniya-primery-5-klass.html
Свойства умножения — СПИШИ У АНТОШКИ
- Имея общее представление об умножении натуральных чисел, можно перейти к свойствам умножения
- 1. Переместительное свойство умножения натуральных чисел:
- при перестановке множителей значение произведения не меняется.
- Это переместительное свойство умножения. Если его записать буквами, то оно выглядит так:
- m • n = n • m .
Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел.
Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел, вычислим произведение чисел 2 и 6, а также произведение чисел 6 и 2, и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6, из таблицы сложения находим 6+6=12.
А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2, которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6.
- 2. Сочетательное свойство умножения натуральных чисел:
- умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель.
- Сочетательное свойство умножения, a • (b • с) = (а • b) • c .
Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2). По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6, тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. А теперь выполним умножение (4·3)·2. Так как 4·3=4+4+4=12, то (4·3)·2=12·2=12+12=24. Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2, подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.
- 3. Распределительное свойство умножения относительно сложения:
- умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа.
- a·(b+c)=a·b+a·c.
Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2. Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14, а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.
- 4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания:
- умножить данную разность двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что из произведения уменьшаемого и данного числа вычесть произведение вычитаемого и данного числа.
- (a−b)·c=a·c−b·c
- или a·(b−c)=a·b−a·c.
Проверим справедливость распределительного свойства умножения относительно вычитания на примере. Убедимся, что верно равенство 3·(4−2)=3·4−3·2. Так как 4−2=2, то произведение 3·(4−2) равно произведению 3·2, а 3·2=3+3=6. Теперь вычислим разность 3·4−3·2. Имеем 3·4−3·2=(3+3+3+3)−(3+3)=12−6=6. Таким образом, равенство 3·(4−2)=3·4−3·2 верное.
- 5. Свойство умножения единицы на натуральное число:
- произведение любого натурального числа и единицы, равно самому этому числу.
- n • 1 = n .
- Например, произведение чисел 1 и 37 равно 37; результат умножения 1 и 1 004 есть число 1 004.
- 6. Свойство умножения нуля на натуральное число:
- произведение любого натурального числа и нуля, равно нулю.
- n • 0 = 0 .
- 0·1=0.
Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 365, то тоже получим нуль.
Источник: http://spishy-u-antoshki.ru/cislo-umnosh.html
Математика 4 класс"Свойства умножения"
- 4 В класс 2017г.
- Предмет: Математика.
- Тема: «Свойства умножения».
- Цель урока: Создать условия для формирования знаний, умений и навыков учащихся по теме «Свойства умножения».
- Задачи:
- Предметные:
-
Повторить свойства умножения (переместительный закон, сочетальный закон, распределительный закон, умножение на 0 и 1);
-
Научить использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений;
-
Научить выполнять умножение многозначного числа на однозначное, используя свойства умножения;
Личностные:
- Помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала.
Регулятивные:
- Создать условия для развития у школьников умений формулировать проблемы, предлагать пути их решения;
- Содействовать развитию у школьников умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.
Коммуникативные:
- Содействовать развитию у школьников умений общаться;
- Обеспечить развитие у школьников монологической и диалогической речи.
Оборудование: учебник М. И. Башмаков, М. Г. Нефедова. «Математика». 4 класс. Учебник. В 2-х частях.; карточки самооценки, карточки с заданиями.
Ход урока:
Этап:
- Деятельность учителя:
- Деятельность обучающихся:
- Универсальные действия:
- Актуализация знаний
- Организационный момент. (Повторение)
- Приветствие.
- -Желаю, чтобы глаз у вас был острым, ум гибким, а знания, которые вы приобретёте на уроке – крепкими.
- — Запишите число, «Классная работа».
-Вспомним наши этапы урока. Сейчас работает с этапом 1. Повторение.
Сейчас вы работаете в парах. На партах карточки с заданиями. Возьмите карточку 1. Выполните умножение в парах. Ответ записывать прямо на листках.
- Оцените работу в группу до выполнения задания (прогноз).
- 2500 + 60 + 8 100: 2 1 000 : 100
- 7 + 100 + 1000 100 • 5 100*128
- 9600 + 400 6 • 40 200:4
- 3 000 + 9 000 11 • 9 35*100
- -Та пара, которая выполнила первая отвечает вместе.
-Оцените результат работы. У кого обе оценки совпали? У кого прогноз лучше, чем результат? У кого результат лучше, чем прогноз?
- Называют этапы:
- Актуализация знаний,
- Постановка учебной задачи,
- Работа с новым материалом. (Первичное закрепление),
- Закрепление знаний.
Рассматривают карточки и выполняют задания устного счета в паре на листках. Прогнозируют свою работу в группе.
- Называют ответы:
- 2 568, 50,10, 1107, 500,
- 12 800,10 000, 240, 50, 12 000, 99,3 500.
- Оценивают результат.
- Личностные: самоопределение; регулятивные: целеполагание; коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
- Постановка учебной задачи.
— Мы переходим на второй этап урока. В какой раздел математики мы начали вчера свое путешествие?
— Это новый для вас раздел или вы уже знакомы с умножением и делением?
— Посмотрите на равенства. Прежде чем мы с ними начнём работать, обратите внимание на математические действия. Какие действия встречаются в этих выражениях?
— Распределите выражения на пять столбиков. По какому признаку мы это сделаем?
- (105 • 2) •3 =105 • (2 •3) Сочетальный закон У
- 13 • 25 = 25 •13 Переместительный закон У
- (45+264) •2=45•2+264•2 Распределительный закон У
- 284•0=0 Умножение числа на 0
- 1•578=578 Умножение на 1
- -Сформулируйте переместительное свойство умножения; Сочетательное свойство умножения; Распределительное свойство умножения; Умножение на 0 и 1.
- — Зачем нужно знать свойства в математике?
- — Какая тема нашего урока сегодня?
- — Какие цели на урок мы поставим для себя?
- РАЗДЕЛ: УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
- Тема: Умножение на однозначное число
- ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.
- Находят и читают свойства.
- П: От перестановки мест множителей произведение не меняется.
- С: Множители можно объединять в группы любым способом.
- Р: Чтобы умножить сумму на число, надо каждое слагаемое умножить на это число.
- Чтобы облегчить решение.
- Определяют тему урока:
- Свойства умножения.
- Определяют цели урока: Повторить свойства умножения; Научиться использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений; Научиться выполнять умножение многозначного числа на однозначное, используя свойства умножения.
- Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; познавательные: логические – анализ объектов с целью выделения признаков;
- постановка и формулирование проблемы; анализ, синтез;
- регулятивные: целеполагание, прогнозирование.
Работа с новым материалом. Первичное закрепление.
— Переходим на этап 3. Откройте учебники на стр. 74, замените наши примеры с помощью латинских букв.
Прочитаем еще раз формулировку свойств умножения.
— В учебнике найдите № 1.Дан пример.3*6 857. Какая запись удобнее для вычислений?
- -Какой закон позволяет менять множители местами?
- — Запишите вычисления в столбик по рядам.
- 1 ряд: 3•6857
- 2 ряд: 6•4095
- 3 ряд: 7580•4
- Кто решит быстро делают 4 пример.
- а•в=в•а
- (а•в) •с=а•(в•с )
- (а+в )•с=а•с + в•с
- а•0=0
- 0•а=0
- а•1=а
- 1•а=а
- Третья запись.
- Переместительный закон.
- 20 571
- 24 570
- 30 320
- 104 020
- Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
- познавательные:
- осознанное и произвольное построение речевого высказывания;
- установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, доказательств.
- Физкультминутка.
Вызываю дежурного. Проводит физкультминутку.
Выполняют все вместе минутку отдыха.
Отработка полученных знаний.
-Какова тема урока? А цель?
Посмотрите на № 2. Выполним вычисления устно. Объясните, как провели вычисления. Продолжите.
-Какие математические законы вы использовали при этих вычислениях?
-Рассмотрим задание № 4. Прочитайте задачу про себя. Одного ученика вызываю решать у доски. Ученик Оценивает себя перед решением задачи.
Дополнительно: стр.75 № 9. Сдадут после урока тетради.
- Формулируют тему урока,цель.
- 5*30=5*3*10=15*10=150
- 700*6=7*100*6=7*6*100=
- 42*100=4 200
- 12*50=12*5*10=60*10=600
- 200*34=2*100*34=2*34*100
- =68*100=6800
- Переместительный и сочетательный закон умножения.
1).16*9=144 (пл.) -в 9 подъездах.
- 2)144*8=1 152 (кв.)
- Ответ:1 152 квартиры в доме.
- Физкультминутка
Для глаз и шеи. Проводят самостоятельно.
- Выполняют все вместе минутку отдыха.
- Закрепление изученного.
- Работа в паре.
- Работа в группах.
— Переходим к этапу 4. Вспомним нашу тему и цель урока.
. Сейчас вы будете работать в парах.
-Каждая пара возьмёт карточку 2 и прочитает задание.
-Всё ли вам понятно в задании? Задайте вопрос, если возникли трудности в понимании задания.
- -Сделайте прогноз вашей работы.
- -Проверка.
- — Оцените результат вашу работу в паре на карте самооценки.
- Называют тему урока, цель урока.
Выполняют задание в парах. Прогнозируют свою работу. Оценивают результат.
- Переместительное свойство У,
- Сочетательное свойство У,
- Распределительный закон У.
- Коммуникативные:
- умение выражать и отстаивать свою точку зрения в диалоге с партнёрами; умение вступать в сотрудничество, согласовывать действия с партнёром, выражать и отстаивать свою точку зрения и отстаивать её в диалоге;
- познавательные:
- смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; выделение необходимой информации из текста, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
- регулятивные:
- планирование, контроль коррекция, оценка;
-А сейчас вы поработаете в группе. Возьмите карточку 3, прочитайте задание в группе. Задайте вопрос, если возникли трудности в понимании задания. Спрогнозируйте результат.
-Начните выполнять задание.
-Проверим. При решении, каких выражений вы будете применять переместительное свойство умножения, объясните, почему вы так думаете?
- —Сочетательное свойство?
- -Распределительное?
- — Умножение на 0 и 1.
- -Оцените результат.
- Прогнозируют свою работу.
- Садятся, выполняют задание.
- Дают ответы, сравнивают, с эталоном.
- П: 4 ∙ 356, 6 ∙ 229.
- С: 16 ∙ 15 ∙ 4 ∙ 5, 7 ∙ 12 ∙ 5.
- Р: (5 + 12) ∙ 4, 15 ∙ (4 + 10).
- У: 0* 249, 887*1.
- Оценивают результат.
- Рефлексия деятельности (итог урока).
- -Какова тема урока?
- -Чему учились на уроке?
- Сделайте итог вашей работы:
- сегодня я узнал(а)…
- было интересно…
- было трудно…
- я выполнял задания…
- я понял, что…
- теперь я могу…
- я почувствовал(а), что…
- я приобрел(а)…
- я научился…
- у меня получилось …
- я смог…
- я попробую…
- меня удивило…
- мне захотелось…
- Определяют тему урока:
- Свойства умножения.
- Определяют цели урока: Повторить свойства умножения; Научиться использовать свойства арифметических действий при выполнении вычислений; Научиться выполнять умножение многозначного числа на однозначное, используя свойства умножения.
- Делают рефлексию своей работы.
- Личностные:
- Смыслообразование, нравственно-этическое оценивание;
- регулятивные:
- Оценка.
- Домашнее задание.
Стр.74-75 №3, 5.
Записывают д/з в дневниках.
Личностные: самоопределение.
Карточка 2
- 1 задание.
- Объясни, почему верны равенства (выбери правильный ответ из предложенных)
- 10 ∙ 5 ∙ 3 = 3 ∙ 5 ∙ 10
- Распределительное: при умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое
- Сочетательное: два соседних множителя можно заменить их произведением
- Переместительное: от перестановки множителей произведение не изменяется
- 2 задание.
- Объясни, почему верны равенства (выбери правильный ответ из предложенных)
- 10 ∙ (5 ∙ 3) = (10 ∙ 5) ∙ 3
- Распределительное: при умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое
- Сочетательное: два соседних множителя можно заменить их произведением
- Переместительное: от перестановки множителей произведение не изменяется
- 3 задание.
- Объясни, почему верны равенства (выбери правильный ответ из предложенных)
- (10 + 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 + 5 ∙ 3
- Распределительное: при умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое
- Сочетательное: два соседних множителя можно заменить их произведением
- Переместительное: от перестановки множителей произведение не изменяется
Карточка 3
- Распределите примеры по столбикам в зависимости от того, какое свойство сложения нужно применять для решения каждого выражения., запишите каждый в свою тетрадь
- Переместительный Сочетательный Распределительный Умножение на 0 и 1.
- 4 ∙ 356, (5 + 12) ∙ 4,
- 15 ∙ (4 + 10), 7 ∙ 12 ∙ 5,
- 16 ∙ 15 ∙ 4 ∙ 5, 6 ∙ 229
- 0∙249 887 ∙1
- Карточка 1
- Выполните умножение в парах.
- 2500 + 60 + 8=
- 100: 2 =
- 1 000 : 100 =
- 7 + 100 + 1000 =
- 100 • 5 =
- 100*128=
- 9600 + 400 =
- 6 • 40 =
- 200:4-
- 3 000 + 9 000 =
- 11 • 9 =
- 35*100=
Источник: https://infourok.ru/matematika-klasssvoystva-umnozheniya-2696364.html
Загрузка...
